圆的证明与计算（过关检测）-2022年中考数学一轮复习（全国解析版）

专题23圆的证明与计算

一、单选题

1.（2021•廊坊市第四中学九年级期末）已知。。的直径是8,圆心。到直线。的距离是3,则直线。和。。

的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.外切

【答案】B

【分析】

根据题意可得半径尸4,根据可判断直线。与OO的位置关系.

【详解】

解：:。。的直径为8,

.•・半径=4,

・••圆心。到直线。的距离为3,

・•・圆心O到直线a的距离＜半径，

直线。与O。相交.

故选：B.

2.（2021•银川市第三中学）如图，正方形/BCD中，分别以8,。为圆心，以正方形的边长。为半径画弧,

形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（）

.122122

A.一兀Q—aB.一兀Q—aD.

422

【答案】B

【分析】

由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90。，且半径为。的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此

求出树叶形图案的面积.

【详解】

解：树叶形图案的面积为:

Q_907X4o

9-启-才.

扇彩一%方物3-/xOROa-

2

故选：B.

3.（2021•廊坊市第四中学九年级期末）如图，圆的两条弦CD相交于点E,且茄=为，zC=50°,则

乙CEB的度数为（）

A.50°B.80°C.90°D.100°

【答案】D

【分析】

先根据圆周角定理得到/。=乙4=50。，然后根据三角形外角性质计算NCE8的度数.

【详解】

解：■■AD^CB>

."=々=50°,

.­.ZC£5=Z^+ZC=50°+500=100°.

故选：D.

4.（2021・长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级）如图，正六边形尸内接于圆O,半径为4,

则这个正六边形的边心距ON为（）

A.2B.2月D.1

【答案】B

【分析】

连接。8、OC,证明AOBC是等边三角形，得出即可求解.

2

【详解】

解：连接08、0C,如图所示:

则NBOC=60°,

■■■OB=OC,

.•.△08C是等边三角形,

；.BC=OB=2,

■：OMVBC,

;.NBOM=LNBOC=3Q。

2

•••OM=OB•cos300=OB•T=4XT=2^,

故选：B.

5.Q021•厦门海沧实验中学九年级开学考试）在MA/BC中，/C=90。，AC=6cm,8c=8cm,若以点C

为圆心，厂为半径的OC与直线相切，贝什的值为（）

A.2.4B.3C.4.8D.5

【答案】C

【分析】

如图所示，过C作C0L48,交48于点。，在直角三角形/8C中，由NC与8c的长，利用勾股定理求出

48的长，利用面积法求出CD的长，即为所求的心

【详解】

解：如图所示，过C作CD1/8,交于点。，

BK

C号1---------------^4

在RRATIBC中,AC=6cm,BC=8cm,

根据勾股定理得：AB=yjAC2+BC2=10（c加）,

・•,SaL7BC-AC=|AB-CD,

•••yx6x8=1xl0xCr）,

解得：CD=4.8,

则r=4.8（cm）.

故选：C.

6.（2021•全国九年级课时练习）如图，在“3C中，CA=CB,ZACB=90°,以的中点。为圆心，作

圆心角为90。的扇形。环，点C恰在不上，设/5D尸=乃（0°<a<90。），当。由小到大变化时，图中阴影

部分的面积为（）

A,四（万一2）40?

D.----------------C----.-------（-"-2）“'-口.随a的变化而变化

81616

【答案】C

【分析】

连接CD,证明三△COG,利用扇形面积公式、正方形面积公式计算即可.

【详解】

如图，连接。C,作DML/C于点M,DNLBC于点、N,

-CA=CB,ZACB=90°,ZA=ZB=45°,

DM=—AD=—AB,DN=—BD=—AB,：.DM=DN,

2424

・•・四边形QMCN是正方形，

/.AMDN=90°,:./MDG=90。一4GDN,

•••ZEDF=90°,.・./NDH=90°-ZGDN,

・•・4MDG=/NDH,

在△QMG和△OVH中,

ZMDG=ANDH

<DM=DN,

ZDMG=ADNH

：.ADMG^DVH（ASA）,

・•・四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，

•.•正方形DMCN的面积=DM2=-AB-,

8

••・四边形DGCH的面积=,

O

由钻石工q90•-CD27iAB1

•・•扇形FDE的面积=-------=-----，

36016

・•・阴影部分的面积=扇形即£的面积-四边形DGCH的面积="二辿次，恒为定值.

16

故选：C.

7.（2021•全国九年级课时练习）一张圆心角为45。的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形,

边长都为1,则扇形和圆形纸板的面积比是（）

【答案】A

【分析】

先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可.

【详解】

解：如图1,连接0D,

•・•四边形45CQ是正方形，

ZDCB=ZABO=90°,AB=BC=CD=\,

-ZAOB=45°f

OB=AB=1,

由勾股定理得：=收+廿=

•••扇形的面积是万;

3608

如图2,连接也、MC,

•・・四边形/BCD是。河的内接四边形，四边形是正方形，

:./BMC=90。,MB=MC,

/MCB=4MBe=45°,

•••BC=1,

MC=MB=—V2,

2

QM的面积是%x（11=J_»，

22

扇形和圆形纸板的面积比是（。幻=J.

o24

故选：A.

8.（2020•广州市第七中学）以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,

则该三角形的面积是（）.

A.72B."C.2&D.V3

2

【答案】C

【分析】

由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，然

后由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积.

【详解】

解：如图1,

A

・•,”BC为圆内接正三角形，

.・./也=-ZAB=-x60°=30°,

22

...OC=4,ODKBC,

11

：.CD=-GC=-x4=2,

22

如图2,

图2

•・•四边形45CQ是圆内接正方形，

11

.-.ZCBE=-AABC=」x90。=45°,

22

-OELBC,

:.乙KE=/CBE=45°,

：.OE=BE,

•••08=4,

••OE2+fiE2=tB2=42=16，解得:OE=2y/2

如图3,

・•,正六边形为圆内接正六边形，

：.ACAB=-x120°=60°,AO=4

2

-ODLAB,

・・・/4。。=30。，

：.AD=-A3=-x4=2,

22

•••CD=-9=2A/3,

该三角形的三边长分别为2,2啦,2g，

••-22+（2何=12=（2可，

该三角形是直角三角形，

该三角形的面积为:x2x2虚=2虚

故选：C

9.（2021・湖南师大附中博才实验中学九年级）如图，在用A4O8中，280=90。，"08=30。，AB=

3百，扇形/OC的圆心角为60。，点。为就上一动点，尸为线段AD上的一点，且PB=2PD,当点。从

点A运动至点C,则点P的运动路径长为（）

A.B.C.473D.3G

33

【答案】A

【分析】

在08上取8E=2O£,在4B上BF=2AF,在3C上取3G=2CG,分别连接ERPE、GE、OD,则可证明

^DBO-APBE,从而求得PE的长为定值，这样可确定点尸的运动路径为一段弧，且弧的两端为点尸和点

G,因此只要求出O/的长及圆心角ZFEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果.

【详解】

在08上取8E=2OE,在AB上BF=24F,在3c上取2G=2CG,分别连接ERPE、GE、OD,如图

■：BP=2PD,BE=1OE

BPBE_2

"BD~OB

,:乙DBE=cPBE

：,ADBO〜APBE

PE2

，，~OD~3

2

^PE=-OD

•・•乙出9=90。，乙408=30。，AB=36

•••OA=2AB=6百

；.OD=OA=OC=6/

P^=-x6V3=4A/3

3

同理：EF=|o^=4V3,EG=：OC=4扭

：,PE=EF=EG

•••当点。与点4重合时，点尸与点尸重合；当点。与点C重合时，点尸与点G重合

・•・点尸在以点E为圆心，4班为半径的圆弧尸G上运动

^^4OC=60°

­.Z-COB=Z.AOC+Z-AOB=90°

•••△FBES^ABO,△BEGFBOC

••/FEB=4OB=3。。,（GEB=^COB=9。。

••/FEG=90。~乙FEB=60。

沔的长为竺”世8二拽三

1803

故选：A.

10.（2021・无锡市天一实验学校九年级月考）半径CM1弦5c于。，将。。沿着对折交4。于点£,

tanZABE=^,A48E的面积为36,则QD的长为（）

4

A

512

A.3B.-C.4D.—

35

【答案】A

【分析】

连接8尸，根据折叠的性质得到BE=2尸，。后=。尸，根据圆周角定理得到/48尸=90。，根据余角的性质

得到==连接03,根据等腰三角形的性质得到NN=乙48。，根据三角函数的定义设

0D=x,则8Z)=4x,求得02=J。。?十必=拒丫,根据三角形的面积列方程即可得到结论.

【详解】

解：连接AF,

••・将。。沿BC对折交AD于点E,

；.BE=BF,DE=DF,

必尸是。。的直径，

山"=90°,

.-.ZL4+ZF=90°,

•・•半径CM1弦于点。，

Z-F+Z.FBD=90°,

Z-EBD=Z.FBD=Z.A,

・••乙45月=90。-2乙4,连接05,

♦：OA=OB,

•,-Z.A=Z-ABO,

."BO=cDBE,

••・Z-ABE=Z-OBD,

1

'.'tanZ-ABE=—,

4

1

:.tan(OBD=一,

4

设。D=x,则8D=4x,则OB=J。。？+BD?=折尤,

-：DE=DF=OF-OD=y[vix-x,

：.AE=AD-DE=V17x+x-(VF7-l)x=2x,

,•,△ABE的面积为36=；4£・8Z)=；x2x・4x=36,

解得：x=3,

・・・0D=3,

故选：A.

二、填空题

n.(2021•广州市南武实验学校九年级期末)如图，PA,尸3分别与O。相切于4,8两点，P。与N2相交

于点C,PA=6,乙4P8=60。，则OC的长为

【答案】V3

【分析】

根据切线的性质和切线长定理可得O/1P4,^APO=30°,PA=PB,根据直角三角形的性质可得CM=2CO,

根据勾股定理可求/。的长，即可求OC的长.

【详解】

解：如图，连接。4,

B

•.PA,尸8分别与OO相切于/,8两点，PA=6,，尸8=60。，

■■■OA1PA,ZAPO=30°,PA=PB,

.••ZJOC=60°,ABLPO

••.zG4O=30°

■■.AO=2CO,

在R/A4Po中，ZAPO=30°,ZPAO=90°

PO=2AO

AP2+AO2=PO2

■■■62+AO2=4AO2

••.AO=2道

:.CO=拒

故答案为：V3.

12.2021•宜兴市实验中学九年级）如图，点C在以N8为直径的半圆上，48=10,NC=6,点。在线段48

上运动，点E与点。关于NC对称，DhDE于点、D,并交EC的延长线于点尸.当点。从点A运动到点3

时，线段防扫过的面积是.

【答案】48

【分析】

首先根据对称性确定线段跖扫过的图形，然后探究出该图形与A43C的关系，就可求出线段所扫过的面

积.

【详解】

解：•・•/c是半圆的

.-.Z^CB=90°

•/AB—10,AC=6,

•••BC=^AB2-AC2=A/102-62=8

•••点。与点E关于/C对称，

点。与点尸关于BC对称，

.•・当点。从点/运动到点3时，点E的运动路径NAf与48关于NC对称，点厂的运动路径与48关于

8c对称.

.•石尸扫过的图形就是图5中阴影部分.

'S阴影=2SA4BC

=2^-AC-BC

2

=AC・BC

=6*8

=48

••.E尸扫过的面积为48.

故答案为：48.

13.（2021•江苏高港区•高港实验学校九年级）如果圆锥的底面半径为3cm,母线长为6cm,那么它的侧面

积等于cm2.

【答案】18K

【分析】

根据已知条件得到底面圆的周长，再根据扇形面积计算公式计算即可；

【详解】

•・・圆锥的底面半径为3cm,

•••底面周长=6万，

又•・•母线长为6cm,

••・S=—x6»x6=184；

2

故答案是1871.

14.（2021•沙坪坝区•重庆八中九年级）在边长为6的正方形048c中，。为边2C上一点，且CD=1,

以。为圆心，QD为半径作圆，分别与OC的延长线交于点£、F,则阴影部分的面积为

【答案】3-V3-1

【分析】

根据勾股定理求出8,根据直角三角形的性质求出NCO。，证明•△CO。mRMdOG,得到/G=C£»=1,

乙4OG=4COD=30。，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案.

【详解】

解：如图所示：

在放△OCQ中，OD=y/0C2+CD2=7(A/3)2+12=2,

.・ZCOD=30。，

在RtACOD和RtAAOG中,

fOC=OA

[OD=OG'

.-.RtACOD^RtAAOGQHL)

^AG=CD=1,zL40G=4000=30。，

・・ZZ)OG=30。，

・•・阴影部分的面积=6x百-1xixV3x2-30^2'=3-V3-I；

故答案为：3-。.

15.（2021•辽宁鞍山市•九年级期末）如图，点/、B、C、。在。。上，是。。的直径，且ND=3后,

若ZJ2C=/C4。，BC交AD于点、E,则CE4C为.

【答案】9

【分析】

由圆周角定理可知42c=40,又/ABC=/CAD,则可得/D=/C4D,从而可得出C/=C。；由直径

所对的圆周角为直角可得N/CD=90。；由勾股定理求得C4的值；由/4BC=NG4D,NACB=NECA,可

判定A4CBSA5。，由相似三角形的性质可得比例式，变形即可得出答案.

【详解】

解：vZABC=ACAD,ZABC=ZD,

:.ND=ACAD,

:.CA=CD,

•.•NO是。。的直径，

NACD=90°,

在RtAACD中，由勾股定理得：CA2+CD2=AD2,

AD=3V2,CA=CD,

.'.2C42=18,

解得：CA=3.

ZABC=ZCAD,ZACB=NECA,

\ACB^\ECA,

BC\AC=AC:CE,

:.CEBC=ACAC=9.

故答案为：9.

三、解答题

16.（2021•全国九年级课时练习）如图，在一个半径为2亚的圆形纸片中，剪一个圆心角为90。的扇形.

(1)求这个扇形的面积(保留))；

(2)用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.

【答案】(1)47；(2)1

【分析】

(1)连接42,可以得到△R48为等腰直角三角形，由勾股定理求得尸/,再根据扇形面积即可求解;

(2)设这个圆锥的底面圆的半径为「，根据题意可得々的长即为底面圆的周长，列方程求解即可.

【详解】

(1)如图，连接48,•••乙4尸8=90。，

・•.48为。。的直径，

■■-APB^JM,■.-PA=PB,

.•・△尸/8为等腰直角三角形，

AB=dPA。+PA?

PA=—AB=—x4V2=4,

22

.•.这个扇形的面积==4万.

360

P

(2)设这个圆锥的底面圆的半径为「，由题意得标的长即为底面圆的周长

,•・扇形尸A8中，彘的长==2万,

'I1o.(J4

.•.27/=2%，解得，=1,即围成的这个圆锥的底面圆的半径为1.

17.(2021・全国)如图，ABLCD,8E是。。的直径，若/C=3,求的长度.

【答案】3

【分析】

连接4。，则可证明457/CD,可得乙=可得47=£E，故可得。E=4C

【详解】

如图，连接40,

・•・BE为OO的直径,

/./BAE=90°,

•・•AB1CD,

・•.AE//CD,

ZCDA=ZEAD,

.•无=隹'

；.DE=AC=3.

18.（2021•河南省淮滨县第一中学九年级期末）如图，为等边A45C的外接圆，半径为2,点。在劣弧

为上运动（不与点4,5重合），连接。4,DB,DC.求四边形4D5C的面积的最大值.

【答案】四边形4D2C的面积的最大值为4G.

【分析】

根据旋转的性质得到CD=S，4c=/〃BC,推出点。，点2,点〃三点共线，得到AOC"是等边三

角形，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：如图，将ZUOC绕点C逆时针旋转60。，得到△8〃C,

：.CD=CH,Z.DAC=/.HBC,

•••四边形NC5D是圆内接四边形，

：.Z.DAC+Z.DBC=1SO°,

••.ADBC+乙HBC=180°,

•••点。，点3,点〃三点共线，

•・・。。为等边AIBC的外接圆，

二乙CDH=4B4C=60°,

■DC=CH,

・•.△DC/f是等边三角形，

：.CD=CH=DH,

■■.ADCH的CD边的高为ZHxsin60°=—ZH=—,

22

・.,四边形ADBC的面积S=S^ADC+SZRF>C=Sr\cr)*—xCDxCD=--CD~)

224

・••当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，

.•.当CD为0。的直径时，CD的值最大，即0)=4,

二四边形NZMC的面积的最大值为立h=理x42=.

44

19.(2021•长沙市雅礼实验中学九年级月考)如图，48是。。的直径，点C在。。上，过点C的切线与48

的延长线交于点。，且/C=C0.

D

(1)求〃C。的度数；

(2)若。。的半径为3,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)120°；(2)9百-3万

2

【分析】

(1)连接OC,设/G4D=x。，由题意可得/C4D=/D=//CO,根据切线性质可得NOC。=90。，即可求

解；

(2)由图形可得图中阴影部分的面积为528-5扇糊"，分别求得以g°、S扇形即可求解.

【详解】

(1)证明：连接。C,如下图：

：AC=CD,OA=OC,

设ACAD=x°=ND=NACO,.-.ZCOD=2x°

••・CO是oo的切线，

ZOCD=90°,

ZD+ZCOD=90°,即3x=90°,解得x=30°

；.NACD=NOCD+NOCA=120°.

(2)解：-■ZA=30°,

NCOB=2NN=60°.

c60万J3)

™C=^60-=T，

在Rt^OCZ)中，8=0。tan60。=3若，

■■S/,ncn=-DC-CD=-x3x3y/3=^-,

△℃D222

_9百-3万

•，3OCDD扇形30C—之•

・・・图中阴影部分的面积为9百一3万.

2

20.（2021•武汉一初慧泉中学九年级月考）如图，8c为。。的直径，NC与。。相切，以/。、08为边的

平行四边形/O8E交。。于点。，连AD.

代LG—一/

「（）'B「吟一”

（1）求证：4D是。。的切线；

（2）连若/£=3,AD=4,求tanZD/8的值.

【答案】（1）见解析；（2）三27

O0

【分析】

（1）如图1,连接OD,可证△/。。g△/。。（山田，得到乙4。。=乙4。。=90。即可；

（2）如图2,连接。。交N3于点X,连接。交“。于点”，通过平行四边形和勾股定理求出/。的长，

再根据条件和垂径定理证明点/为CD的中点，推出（W为△3CZ）的中位线，再利用等面积法求出CW,

再根据勾股定理求出（W,得到加，最后根据△BHDs△/〃0,可求出即可得到tan40/5=2乜的

AD

值.

【详解】

解：（1）证明：如图1,连。。，

••,3C为。。的直径，/C与OO相切，

:.ZACO=90°f

•・•四边形4QBE为平行四边形，

:.AO//BE,

ZAOD=/BDO,ZAOC=/DBO,

,;OB=OD,

ZBDO=ZDBO,

ZDBO=ZAOD,

ZAOD=/AOC,

在△/CO和AADO中，

OC=OD

<ZAOC=ZAOD,

OA=AO

AACO^AADO(SAS),

ZADO=ZACO90°,

•­•是OO的切线；

(2)如图2,连接交48于点从连接。交/O于点

曾

(:i.B

图2

VAE=3,4)=4,

・・.在平行四边形4OBE中，OB=AE=3,

：.OD=OB=3,

.•.在中，AO=NAD2+OD?=5,

•：AO//BE,

ZOMC=ZBDC=90°,

:.CD1AO,

・・・点M为CO的中点，

.•.(W为△BC。的中位线，

■：S^AOC=^AC-OC=^AO.CM,

vAC=AD=4,OC=OB=3,

:.CM=—,

5

OM=yjoc2-CM2=|,

1o

:.BD=2OM=—

5

•：AO//EB,

・•・ABHDsAAHO,

18

PHjgD_~5~_18,

~OH~^4O~~~25

DH=—xOH=-(3-DH],

2525V7

八

.DH=——54，

43

54

tanNDAB=也43=27.

AD486

21.(2021•浙江衢州市•九年级期中)如图，。。的直径与弦CD相交于E,已知BE=5cm,

4DEB=3Q°,求:

(1)CD的弦心距。尸的长;

(2)弦CD的长.

【答案】(1)1cm；(2)4A/2cm.

【分析】

(1)根据/E、的长及是直径可求出的长，根据含30。角的直角三角形的性质求出O尸的长即可;

(2)连接。£),根据勾股定理求出。R根据垂径定理即可得答案.

【详解】

(1),■,AE=1cm,BE=5cm,

.•.AB=AE+EB=6cm,

・MB为。。的直径，

••・04=g45=3cm,

••・OE=OA-AE=2cm,

-OFLCD,3EB=30。,

.'-OF=yOE=yx2=1cm；

(2)连接OD,

・MB=6cm,45为。。的直径，为。。的半径，

:.OD=yAB=3cm,

在RtAODF中，DF=NOD?-OF?=V32-I2=2后cm,

,.♦OF1CD,

CD=2DF=4V2cm.

22.(2021•辽宁鞍山市•九年级期末)如图，在中，^ACB=90。，AC=BC,D是AB边上一点、,作△BCD

的外接圆。0,C£是。。的直径，且CE与交于点G,。门出。交4C于点?

(1)求证：。方为。。的切线；

4n7

(2)若黑=：，NC=5,求。。的半径长.

DG3

【答案】(1)见解析；(2)OO的半径长为画.

2

【分析】

(1)由乙4c5=90。，NC=8C得"=乙4=45。，再由圆周角定理得乙DOC=90。，再由Z)WI£C,即可证。尸为O。

的切线；

CDAC

(2)先证明4c。方=乙4=45。，由zTZ)尸和4。。=乙0。尸可证从而有——=——，再由

CFCD

AT)2

—=-^DFWEC.AC=5WCF=3>AC=5,由此求出C£>,再用勾股定理求出OC即可.

DG3

【详解】

(1)证明：连接OD

“CB=90。，AC=