浙江省台金七校2024-2025学年高一年级上册期中联考数学试卷（含答案）

浙江省台金七校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.命题“至少有一个实数X,使得三+1=0”的否定是（）

A.HXGR，X3+1=OB.VxeR'%3+1=0

C.±eR,d+]/0D.VxeR,%3+10

2.学校开运动会，设A={x|；d是参加100米跑的同学},5=打忖是参加200米跑的同

学｝,。=｛%忖是参加400米跑的同学｝.学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参

加两项比赛.请你用集合的运算说明这项规定（）

A.（A|B）C=0B.（AIB）C=0

C.（AB）C=0D.（AB）C=0

3.设q〉0,且awl,则下列运算中正确的是（）

4a^[ay[a

Clog。2=—log2aD-7^=1

(叼a4

4.如图，①②③④中不属于函数＞=2",丁=3\〉=（七厂的一个是（）

A.①B.②C.③D.④

5.对于集合A,3和全集U,“A&5)=0”是3”的什么条件()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象

由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢建议，如图(2)(3)所示，这两

种建议是()

A.(2)：降低成本，票价不变;(3)：成本不变，提高票价.

B.(2)：提高成本，票价不变;(3)：成本不变，降低票价.

C.(2)：成本不变，提高票价;(3)：提高成本，票价不变.

D.(2)：降低成本，提高票价;(3)：降低成本，票价不变.

7.已知函数八外的定义域为R,y=/(%)-2e*-l是奇函数,y=/(%)-4尸为偶函数,

(e为自然对数的底数,e°2.71828)，则/(九)在区间［-1,0］上的最小值为()

A.2B.3C.3^-e+1D.3e+1-1-

ee

8,若集合A=｛（m,n）|m<-2,0v〃<时,V（m,£A,均有mlog4n-n-3m>0恒成立,

则看的最大值为（）

A.lB.4C.16D.64

二、多项选择题

9.下列命题为真命题的是()

若〃〉则工〉工

A.b,B.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd

ab

a

C•若0>c>Q>b,则>bD.若a>Z，>c>0,则

c-ac-bbb+c

10.波恩哈德•黎曼(1866.07.20〜1926.09.17)是德国著名的数学家.他在数学分析、微

分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何,并给后来的广义相对论提供了数学基础.

他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为［0』,其解析式为：

R(X)="'X=Z(P，4为正整数且P，'互质)，下列关于黎曼函数的说法正确的是()

0,X=0或1或(0,1)内的无理数

B.R⑷R㈤<R（ab）

C.H(x)的值域为0,；D.y="x+£|为偶函数

11.若函数=+当2,2］时,/(%)的最大值为M最小值为孙则下列

说法正确的是()

A.M—加的值与6无关B.V—加的值与。无关

C.函数/(x)，xeR至少有一个零点D.函数/(x)，xeR至多有三个零点

三、填空题

12.已知集合4={1,3,4},8={1,m+2},若48=A,则实数机的值为.

13.已知/(X)=|1阂，若/(a)=/(/?),(a<万),则2a+b的最小值为.

14.若函数士(。〉0,且“1)在区间［司上单调递增，则a的取值范围是

四、解答题

15.已知集合A={x|必—3%—10<o},§=,(x—［x—(2机—1)］<o},C=卜|，〉21

⑴求AC,A\(^C)；

(2)若“xc8”是“xeA”的充分不必要条件，求m的取值范围.

16.设奇函数/(x)=ln二、-6+6,(e为自然对数的底数,-2.71828).

(1)求J(x)的定义域和b-

(2)xe,求函数"%)的值域.

17.设函数〃%)=依2+fcr+c(awO,/?,ceR).

⑴若/⑴=—a,求证：“X)在［0,2］内存在零点；

(2)若不等式/(对<0的解集是(-2,-1),且xc［l,2］时,/(2工)44工恒成立，求a的取值范围.

18.函数/(对满足：对任意实数职,有/(盯)=4(y)+W(x)成立;函数

g(x)="^，(xw0)，g(2)=l,且当％>1时,g(x)>0,"Q-

X

⑴求并证明函数〃可为奇函数;

(2)证明：函数g(x)在(0,+s)上单调递增；

⑶若关于X的不等式g(12+2x+3)-g(a)>2恒成立，求t的取值范围.

19.已知函数八力的定义域为D,若最多存在〃个实数

%1，%2，一，七使得/(内)=/(%2)=“=/(%),(“22,“GN*卜贝U称

函数”X)为"”级E函数

⑴函数①〃司=犷2,②g⑺=工是否为“级E函数”，如果是，求出n的值，如果不是，请说

明理由；

(2)若函数/⑺=--3%+小求X]+工2++X”值；

(3)若函数"%)=%2+乂*+矶。>0),求工+私(%#0)的取值范围.(用a表示)

参考答案

1.答案：D

解析：根据存在命题的否定可知，

至少有一个实数X,使得X3+1=0的否定是VxGR,%3+1/0,

故选：D.

2.答案：D

解析：学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛,

故没有同学参加三项比赛，即（AB）C=0.

故选：D.

3.答案：D

解析：对于选项A：。L矢_1,故A错误；

对于选项B：4密布=6,故8错误；

对于选项C：例如。=4,则log42=g,-log24=-2.故C错误；

>/ay/ay[a_

对于选项D：=a=1,故D正确;

故选：D.

4.答案：B

解析：根据函数y=2*与y

函数y=3,为单调递增函数，故③正确.

所以②不是已知函数图象

故选：B.

5.答案：A

解析：韦恩图所示:

反之由AqB推出A48)=0，

所以“A46)=0”是3”的充要条件

故选：A.

6.答案：A

解析：(2)直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0,说明降低成本，两

直线平行，说明票价不变；

(3)：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0,说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同

的乘客量时收入变大，即票价提高了.

故选：A

7.答案：B

解析：由题意可得：r)(/\7，可得/3=3葭—e'+l,

V(x)-4e-'=/(-x)-4e'八)

因为y=3e-x,y=-e*+1在上单调递减，可得y=/(%)在上单调递减，

所以〃龙)在区间［-1,0］上的最小值为"0)=3-1+1=3.

故选：B.

8.答案：B

解析：要使不等式znlog/2-/7-37w>0恒成立，则log4n---3<0恒成立，

4m

当n取得最大值t,=_2时,k)g4n---3取得最大值，

mm

即log/+；—3<o恒成立，因为函数y=log4。和y都是增函数，所以函数y=log/+；

是增函数，

当/=4时Jogj+g-3=0,所以/的最大值为4.

故选：B.

9.答案：BD

解析：对于选项A：例如〃=2,Z?=1,则————

alb

即故A错误；

ab

对于选项B：因为〃>/?>0,0<2<0,则—0>—d>0,

可得—ac>—bd>0，所以,故B正确；

对于选项C：例如c=—1,〃二一2,Z?=—3,贝10>c>a>Z?,a=-2,b=一3,

c-ac-b2

即，〈上，故C错误；

c-ac-b

对于选项D：因为4—竺£=半空，

bb+cb\b+c)

且。>人>。>0,则b+c>0,〃一Z?>0,

可得g±£=咋驾>o,即故D正确；

bb+cb\b+c)bb+c

故选：BD.

10.答案：ABD

解析：通过题目信息可知R(x)对于有理数和无理数具有不同的取值，且当x为无理数

时,R(x)=0：

对于A选项，代入验证易知其正确；

对于B选项,不妨设。w/,，根据在⑴的性质可得H(x)的最小值为0,

当a=0时,R(a)R。)=0=砥0),当代=1时,R(a)R(b)=0<R(a),

当0<aW/?<l时，若。和b中有无理数，则R(a)RS)=0WH(ab),

若。和6均为有理数,不妨设a=且力=上其中0,“2,0应均为正整数，

夕1%

贝ljR(a)R(b)=—•—=-^―,ab=

Q\q?Q\Qi

若PR与qxq2互质，则R(ab)=」一=R(a)R(b),

qq?

k

若pip,与q、q,有大于1的公约数匕贝IR(ab)=——>R(a)R⑻,

，q0

综上可得R(a)R(b)<R(ab),B选项正确；

对于C选项，计算可知R(x)的函数值只能是有理数,C选项错误；

对于D选项,/⑴=R(x+g)的定义域为［-|,1］，/(-1)=/(1)=0,/(0)=R(g)=1,

对于任意的xe(-工,0)」(0一),当》为无理数时,1+!和’-彳均为无理

2222

数,R(x+；)=吗—x)=0,

当x为有理数时，可令0<fB<L其中2和q是互质的正整数且2P<q,

q2

则f(t)=RQ+〈)=7?(^±2£)=J_,/(v)=7?(1-)=R3当」=于⑺,

2292g22q2q

综上可知对于任意的X都有f(-x)=f(x),y=R(x+g)是偶函数,D正确.

故选：ABD.

11.答案：ACD

解析：对于选项AB：假设M=/(3),加=。，

则M-加==(玉㈤+3+Z?)-(x2|x2|+ax2+Z?)=(%1㈤-元2k2|)+。(%1-%2)，

显然占-％2。0,可知"一相的值与b无关，与。有关，故A正确,B错误；

对于选项CD：令/(X)=%国+以+/?=0,可得%忖+以=-6,

构建g(x)=MX+以,1£R,贝！Jg(-x)=-x|-x|+«(-%)=一(%国+or)=-g(x),

可知g(x)为奇函数，

若a20,g(x)=炉+ar在［o,+8)单调递增，其图象如图所示：

可知y=g(x)y=g(x)与y=—b恒有1个交点，即〃尤)恒有1个零点；

若a<O，g(x)=f+ax在0,-以单调递减，在\}+oo］上单调递增，其图象如图所示:

可知y=g(x)与y=—b可能有1、2或3个交点，即〃尤)可能有1、2或3个零点;

综上所述：函数/(x)，XGR至少有一个零点，至多有三个零点，故CD正确；

故选：ACD.

12.答案：2

解析：由A=A,知3是A的子集，所以加+2=1或加+2=3或m+2=疗•

由集合中元素的互异性，知所以mw±l,故m+2wl,机+2w3-

从而加+2=疗0=加一7〃-2=("/+1)(加一2),而加彳一1，故7〃=2.

经验证m=2满足条件.

故答案为：2.

13.答案：2也

解析：因为/(力=屿|=1炮工”'1,

若/(a)=f(b)可知。

贝UIgZ?=-lga=坨工,可得Z?，

aa

则2a+6=2a+Lz2j2a，=2四,

a\a

当且仅当2a」,即4=立，0=四时，等号成立，

a2，‘一

所以2a+Z?的最小值为2vL

故答案为：2夜.

14.答案:[4,+oo)

解析：/（%）=可看作由函数y=d与函数=依复合而成,

当时，因为丁=储为增函数，所以％=〃%+,=〃且在[目上单调递增即可,

a>lx+

xx

7

由对勾函数的单调性，只需解得aN4,

ya2

（1、

1且在[可上单调递减即可,

当0<QV1时，因为y=a/为减函数，所以/=ax+—二ax+

xx

I)

由对勾函数的单调性，只需,口22,解得0<a«L

a4

1

综上，〃的取值范围为0,-[4,+00）,

4

故答案为：（0,；L[4,+oo）

15.答案：(1)AC={^-2<x<-l],A(^C)={x|x>-2}

(2)——<m<3

2

解析：（1）由已知得A={削f―3%—10<0}={削一2（尤<5},C=,x—>2\=[x\x<-l],

2X

AC={x\-2<x<-l],8^C={x|x>-l},

A_（^C）={x|x>-2}；

（2）因为“1G8”是“xeA”的充分不必要条件,

所以5UA,

若2加—1二根，即根=1时,5={1卜符合题意;

若2加一1<相，即m<1时,JB={x|2m-l<x<m},

2m—1>—2匚匚[、[1

所以，所以——<m<1；

m<52

若2加一1>加，即机>1时，8={x[m<x<2m-lj,

2m-l<5“八］

所以，所以1(加<3

m>—2

综上，一工(机〈3•

2

16.答案：(1%=-1,定义域为{刈行±1}

⑵(fo,l)

I(

解析：(1)因为=-e\+b=Ine+Z?+1,

X+1j|X+1|

令国

>0,可得工£±1，可知/(%)的定义域为{x|xw±l}

因为/(x)是奇函数，则"0)=力+1=0,解得b=-l,

1+X

可得=ln---，则/(%)+/(-%)=In-~~-+ln=lnl=O,

x+1x+11-x

即"%)=—〃T),可知/(力是奇函数.

综上所述：b=—\

I_x2

⑵由⑴可知/(x)=ln二1=lnR——1

令/=:——1,则y=lnlr|,

x+1-11

因为七二--1在1匕:1］上单调递减，

x+111+eJ

当x时,/=e；当x=l时,/=0；可知/e(O,e),即口e(O,e)

且y=Inx在定义域内为增函数，则y<Ine=1,所以/⑺的值域为(-oo,l).

17.答案：(1)证明见解析

⑵0<。J

3

角军析:(1)由/(1)=一〃=>〃+/?+(?二一〃，

即2a+b+c=0,.・.b=-2a-c，

〃0)=c，

当"0时，/(O)〃2)=-。2<0,由零点存在性定理知〃力在［0,2］上存在零点;

当c=0时，则x=0，x=2是零点，此时存在零点；

综上"尤)在［0,2］内存在零点.

(2)依题意得a〉0,且—2，-1是方程++云+c=0的两根，

由韦达定理得,/?=3。，0=2”,

所以/(%)=a(x+l)(x+2)=a(尤2+3x+2),

依题意，得aQ2工+32+2)<4"在R上恒成立，

m人亦2口.1(22X+3-2X+2^

因为a>0,4*>0,所以只需一》-----------，

aI平Jmax

人22X+3-2X+223।「1

y------------------="z-i------2?

J^2%2%L」

令"J-,则y=2/+3t+l,在晚］」］上单调递增，

2X|_42_

所以”;时,小=3,

—23「.0<aV—•

a3

18.答案：⑴"-1)=0,证明见解析

(2)证明见解析

解析：⑴因为73)=虫丁)+才(％),

令％=y=1,则/(1)=/°)+/°)，得f(1)=0；

令x=y=-1,则/(1)=-/(-1)-/(-1)，得/(-1)=0；

证明：MxeR,令y=—l,

依题意得/(—x)=x・/(—1)+(—1〉/(办即=-/«,

所以/(%)是奇函数.

(2)由/(盯)=W(y)+W(x)得丛或=丛。+丛”,即g(盯)=g(x)+g(y),

xyxy

/\

＜W，则上＞1，则g三＞0

V%1,X2£(0,+8),西

/、/\/\

可得g(%2)-g(xj=gXl'--g&)=g(xj+g逗-g(xj=g邃>0,

[X1)卜XJI菁J

即g伍）＞g（菁），所以函数g（%）在（。，+8）上单调递增•

⑶因为8（司=/皿,（％/0%且函数/（力为奇函数，

X

贝IJg（_力=/（司=/（X）=IB=g（力,可知g（J）是偶函数,

且g(4)=g(2)+g⑵=2,

因为g(x?+2x+3)—g(比)>2,可得g(12+2]+3)>g(4)+g(比)=g(4/x),

因为g(x)偶函数，且%2+2%+3=(%+1)2+2>0,可得8卜2+2工+3)>8([4岗),

又因为函数g（力在（0,+oo）上单调递增河得好+2%+3＞[4同,

因为X/0,则囹＜f±2产3=忖+而+定可知囹＜3生'

W+N+H>

当了>0时，国+1+-j—j-=|x|+-j—r+2>2jx|+2=2A/3+2,

3

当且仅当|x|=向，即X=G时，等号成立；

当了<0时，同+1+-j—r=|x|+j—r-2>2j|x|-j—r—2=2^3-2,

凶NW丫|x|

3

当且仅当小,即％=时，等号成立;

/

3a2gx、

综上所述：同++=26-2.

wwLmin

可得陶＜26-2,解得—且徐0,

22

所以/的取值范围为

19.答案：(1)/(%)=尸为“〃级E函数"，且〃=2；g(x)=!不为"级E函数”，理由见解

析

⑵答案见解析

⑶答案见解析

解析：(1)①函数/(可=r2为偶函数，图象关于y轴对称，且在(fo,。)上递增，在(0,+8)

上递减，

所以/(%)=/为“〃级石函数”，且〃=2；

②