中考数学专项复习：一次函数的应用与综合篇（解析版）

专题15一次函数的应用与综合

知识回顾

1.一次函数的图像与性质:

上的取值b的取值所在象限了随X的变化情况大致图像

/

■（图像交

一二三象/

于y轴正半轴）限/0--------►X

了随X增大而增大4

■（图像交

一三四象

于＞轴负半轴）限

■（图像交

一二四象—

于V轴正半轴）限

.y随x减小而减小

■（图像交

二三四象

---------»•X

于y轴负半轴）限

一次函数与X轴的交点坐标公式为：◎0J；与y轴的交点坐标公式为：（缶乃。

2.一次函数的平移：

①左右平移，自变量上进行加减。左加右减0

即若y=日+b（左中0）向左移动了m个单位，则平移后的函数解析式为：y=k（x+m）+b（k^G）；

y=kx+b（kw0）向右移动了m个单位，则平移后的函数解析式为：y=k（x-m）+b（k^0）.

②上下平移，解析式整体后面进行加减。上加下减。

即若y=Ax+W左wO）向上移动了机个单位，则平移后的函数解析式为：y=kx+b+m（k^O^

若〉=Ax+b（左。0）向下移动了机个单位，则平移后的函数解析式为：y=kx+b-m（k0）0

3.一次函数的对称变换：

①若一次函数关于x轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。

即y=Ax+M左/0）关于x轴的函数解析式为：—y=kx+b{k0）,即y=-而一6（左w0）。

②若一次函数关于y轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。

即y=fcv+M左00）关于V轴的函数解析式为：y=k（-x）+b（k0）,即y=+左00）。

③若一次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。

即y=Ax+M左w0）关于原点的函数解析式为：-y=左（一%）+6（左/0），即了=丘一，（左力0）。

4.待定系数法求函数解析式：

具体步骤：

①设函数解析式一一j=kx+b（k^O）.

②找点一一经过函数图像上的点。

③带入一一将找到的点的坐标带入函数解析式中得到方程（或方程组）。

④解一一解③中得到的方程（或方程组），求出由6的值。

⑤反带入一一将求出的0b的值带入函数解析式中得到函数解析式。

5.一次函数与一元一次方程：

①若一次函数y=kx+b（k^0）的图像经过点QQn）,则一元一次方程kx+b=n的解为x=m。

②若一次函数y=上述+仇（左1w0）的图像与一次函数,V=左2%+，2（左2中0）的图像的交点坐标为

（"0"）,则一元一次方程kxx+许=k2x+b2的解为x=mo

6.一次函数与二元一次方程组：

若一次函数,V=^X+仇（月W0）的图像与一次函数>=左2%+与（左2W0）的图像的交点坐标为

gn）,则二元一次方程组」「7八的解为-

[左2%+$一y=0[y=n

7.一次函数与不等式:

①若一次函数y=kx+b*w0)的图像经过点("Q〃),则不等式日+■的解集取点(70〃)上方

所在图像所对应的自变量范围；不等式区+■的解集取点gn)下方所在图像所对应的自变量范

围。

②若一次函数y=月》+许体W0)的图像与一次函数y=左2%+与(左2W0)的图像的交点坐标为

(“Q〃)，则不等式上1%+/^^2%+人2的解集取函数V=姬+法―产0)的图像在〉=k2x+b2(k2w0)图

像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式舟工+，2》+3的解集取函数＞=月》+许体H0)的图

像在y=左2%+3(k2*0)图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为

分界点存在。

8.分段函数：

在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，

要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。

关键点：①分段函数各段的函数解析式。

②各个拐点的实际意义。

③函数交点的实际意义。

9.一次函数的综合：

(1)一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

(2)一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范

围内的前提下求出最值。

(3)用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题。

微专题

1.物理实验证实在弹性限度内，某弹簧长度V(cm)与所挂物体质量X(彷)满足函数关系丁=履+15.下

表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.

025

y151925

(1)求y与x的函数关系式；

(2)当弹簧长度为20c加时，求所挂物体的质量.

【分析】(1)把x=2,y=19代入y=fcc+15中，即可算出片的值，即可得出答案;

(2)把》=20代入y=2x+15中，计算即可得出答案.

【解答】解：(1)把x=2,y=19代入＞=依+15中，

得19=2什15,

解得：k=2,

所以y与x的函数关系式为y=2x+15(x20)；

(2)把y=20代入y=2x+15中,

得20=2尤+15,

解得：x=2.5.

所挂物体的质量为2.5kg.

2.如图，直线y=；x+l与x轴交于点/，点/关于丁轴的对称点为T,经过点和y轴上的点8(0,

2)的直线设为＞=&+6.

(1)求点H的坐标；

(2)确定直线H5对应的函数表达式.

【分析】(1)利用直线解析式求得点/坐标，利用关于y轴的对称

点的坐标的特征解答即可;

(2)利用待定系数法解答即可.

【解答】解：(1)令尸0,则工"1=0,

＞—2,

：.A(-2,0).

:点/关于V轴的对称点为,

：.A'(2,0).

(2)设直线H8的函数表达式为〉=h+6,

.12k+b=0

1b=2

解得:k=-l

b=2

直线8对应的函数表达式为y=-x+2.

3.在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一

阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的距离y(km)与他所用的时间x(min)的关系

如图所示：

(1)小明家离体育场的距离为如7,小明跑步的平

均速度为km/min；

(2)当15WxW45时，请直接写出y关于x的函数表达式；

(3)当小明离家2加时，求他离开家所用的时间.

【分析】(1)根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5h〃，小明跑步的平均速度为：路程小

时间；

(2)是分段函数，利用待定系数法可求；

(3)小明离家2府时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家2碗，利用

路程小速度可得此时间，第二个时间利用2c段解析式可求得.

【解答】解：(1)小明家离体育场的距离为2.5人加，小明跑步的平均速度为2至=工筋”相沅；

156

故答案为：2.5,工；

6

设8C的解析式为：y=kx+b,

则［30k+b=2.5,

I45k+b=l.5

解得：,15,

b=4.5

：.BC的解析式为：y=--x+4.5,

15

'2.5(15<x<30)

...当15WxW45时，夕关于x的函数表达式为：y=1.

1^x+4.5(30<x<45),

io

(3)当y=2时，-_l_x+4.5=2,

"15

.v.75

2

24--=12,

6

当小明离家2痴时，他离开家所用的时间为12加比或

2

4.6月13日，某港口的潮水高度y(cm)和时间x(力)的部分数据及函数图象如下:

X(力)・・・1112131415161718・・・

y(cm)・・・18913710380101133202260…

(1)数学活动:

①根据表中数据，通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象.

②观察函数图象，当x=4时，＞的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？

(2)数学思考:

请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论.

(3)数学应用：

根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此

港口？

【分析】(1)①先描点，然后画出函数图象

②利用数形结合思想分析求解；

(2)结合函数图象增减性及最值进行分析说

明；

(3)结合函数图象确定关键点，从而求得取

值范围.

【解答】解：(1)①如图:

♦y(cm)

②通过观察函数图象，当x=4时，y=200,当y值最大时，尤=21；

(2)该函数的两条性质如下(答案不唯一)：

①当2WxW7时，y随x的增大而增大；

②当x=14时，y有最小值为80；

(3)由图象，当y=260时，x=5或x=10或x=18或x=23,

.•.当5Vx<10或18cx<23时，y>260,

即当5cx<10或18cx<23时，货轮进出此港口.

5.某商店决定购进/、8两种北京冬奥会纪念品.若购进/种纪念品10件，8种纪念品5件，需要1000

元；若购进/种纪念品5件，2种纪念品3件，需要550元.

(1)求购进N、8两种纪念品的单价；

(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进N种纪念品的数

量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？

(3)若销售每件/种纪念品可获利润20元，每件8种纪念品可获利润30元，在第(2)间的各种进货

方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润.

【分析】(1)设某商店购进N种纪念品每件需。元，购进3种纪念品每件需6元，根据条件建立二元

一次方程组求出其解即可；

(2)设某商店购进/种纪念品x个，购进8种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解

即可；

(3)设总利润为沙元，根据总利润=两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即

可.

【解答】解：(1)设该商店购进N种纪念品每件需。元，购进8种纪念品每件需6元,

由题意,得|侬+5b=1000,

l5a+3b=550

解得卜=50,

lb=100

...该商店购进/种纪念品每件需50元，购进8种纪念品每件需100元；

（2）设该商店购进N种纪念品x个，购进8种纪念品y个，

根据题意，得50x+10Qy=10000,

由50x+100y=10000得x=200-2y,

把x=200-27代入解得yW25,

：代20,

...20WyW25且为正整数，

可取得的正整数值是20,21,22,23,24,25,

与y相对应的无可取得的正整数值是160,158,156,154,152,150,

共有6种进货方案；

（3）设总利润为沙元，

贝UW=20x+30y=-10y+4000,

V-10<0,

少随y的增大而减小，

.,.当y=20时，少有最大值，沙最大=-10X20+4000=3800（元），

当购进4种纪念品160件，2种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元.

6.当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化.下面是关于“一次函数图象

平移的性质”的探究过程，请补充完整.

（1）如图1,将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长

度；

（2）将一次函数尸-2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）

平移了个单位长度；

（3）综上，对于一次函数GW0）的图象而言，将它向下平移加（加>0）个单位长度，相当于

将它向（填“左”或“右”）（Q0时）或将它向（填“左”或"右"）"<0时）

平移了〃（">0）个单位长度，且〃？，n,人满足等

式.

(2)根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；

(3)根据(1)(2)题得出结论即可.

【解答】解：(1);,将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度得到y=x+27=(x-1)+2,

.•.相当于将它向右平移了1个单位长度，

故答案为：1;

(2)将一次函数》=-2x+4的图象向下平移1个单位长度得到＞=-2x+4-1=-2(x+-1-)+4,

相当于将它向左平移了工个单位长度；

2

故答案为：左；—；

2

(3)综上，对于一次函数y=fcc+6(30)的图象而言，将它向下平移％(m＞0)个单位长度，相当于

将它向右(填“左”或“右”)(左＞0时)或将它向左(填“左”或“右”)(上＜0时)平移了〃(〃＞

0)个单位长度，且加，小人满足等式加=川田.

故答案为：右；左；加=川用(或：当左＞0时，m=nk,当左＜0时，m=-nk).

7.为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果

的进价低20%,水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙

两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.

(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？

(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店

应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

【分析】(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1-20%)x元，由题意：用1000元购

进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；

(2)设购进甲种水果加千克，则乙种水果(150-w)千克，利润为w元，由题意得w=-加+450,再

由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得加22(150-机)，然后由一次函数的性质即可得出

结论.

【解答】解：(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1-20%)x元，

由题意得：I。。。3L+io,

(1-20%)xx

解得：x=5,

经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，

贝ij5X(1-20%)=4,

答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；

(2)设购进甲种水果加千克，则乙种水果(150-m)千克，利润为w元，

由题意得：w=(6-4)m+(8-5)(150-m)=-加+450,

•.•甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，

加》2(150-m),

解得：杉100,

V-1<0,则W随加的增大而减小，

当加=100时，w最大，最大值=-100+450=350,

则150-加=50,

答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元.

8.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过

程.结合已有经验，请画出函数>=£-恸的图象，并探究该函数性质.

同

(1)绘制函数图象

①列表：下列是x与y的几组对应值，其中。=.

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描点：根据表中的数值描点(x,y),请补充描出点(2,a)；

③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

-

一

(2)探究函数性质

请写出函数-恸的一条性质：:

(3)运用函数图象及性质

①写出方程£-因=5的解

②写出不等式£-|x|Wl的解集

【分析】(1)①把x=2代入解析式即可得a的值；

②③按要求描点，连线即可；

(2)观察函数图象，可得函数性质；

(3)①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案.

【解答】解：(1)①列表：当x=2时，=

I2|

故答案为：1;

②描点，③连线如下:

L-/L-L-1--」

(2)观察函数图象可得：歹二不且丁-恸的图象关于^轴对称，

故答案为：y=，-|x|的图象关于夕轴对称(答案不唯一)；

(3)①观察函数图象可得：当歹=5时，、=1或1=-1,

・•.[6-|R=5的解是％=1或x=-1,

IxI

故答案为：X=1或％=-1;

②观察函数图象可得，当xW-2或x，2时，yWl,

；.丁9丁-网W1的解集是xW-2或x，2,

Ix|

故答案为：xW-2或x22.

9.某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植N、8两种花卉，已知3盆/种花卉

和4盆3种花卉的种植费用为330元，4盆/种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元.

(1)每盆/种花卉和每盆2种花卉的种植费用各是多少元？

(2)若该景区今年计划种植/、5两种花卉共400盆，相关资料表明：/、8两种花卉的成活率分别为

70%和90%,景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，

应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用.

【分析】(1)设每盆/种花卉种植费用为x元，每盆2种花卉种植费用为y元，根据题意列出关于X、

y的二元一次方程组，求解即可；

(2)设种植/种花卉的数量为川盆，则种植8种花卉的数量为(400-m)盆，种植两种花卉的总费用

为w元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，列出一元一次不等式，解得加W200,再

由题意得w=-30%+24000,然后由一次函数的性质即可得出结论.

【解答】解：(1)设每盆/种花卉种植费用为x元，每盆2种花卉种植费用为y元，根据题意,

zf3x+4y=330

何B：<，

,4x+3y=300

解得：卜=30,

[y=60

答：每盆/种花卉种植费用为30元，每盆2种花卉种植费用为60元；

(2)设种植/种花卉的数量为川盆，则种植8种花卉的数量为(400-m)盆，种植两种花卉的总费用

为w兀，

根据题意，得：(1-70%)(1-90%)(400-加)W80,

解得：mW200,

w=30m+60(400-m)=-30加+24000,

：-30<0,

；.校随加的增大而减小，

当加=200时，w的最小值=-30X200+24000=18000,

答：种植N、8两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元.

10.定义：对于一■次函数为=ax+6、y2~cx+d,我们称函数(ax+6)+n(cx+d)(ma+vcHO)为函数

”的“组合函数”.

(1)若加=3,"=1,试判断函数y=5x+2是否为函数为=x+l、”=2%-1的“组合函数”，并说明理

由；

(2)设函数乃=x-p-2与以=-x+30的图象相交于点尸.

①若"什〃>1,点尸在函数为、及的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；

②若函数为、竺的“组合函数”图象经过点P是否存在大小确定的加值，对于不等于1的任

意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点。的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点。的坐标

若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由夕=5尤+2=3(x+1)+(2x-1),可知函数y=5x+2是函数M=X+1、yi=rlx-1的“组

合函数”；

(2)①由Jy-xP-2得尸(20+1,0-1),当x=20+l时，y^m(2p+l-p-2)+n(-2p-1+3°)=

[y=-x+3p

(0-1)(〃?+〃)，根据点P在函数为、P2的"组合函数”图象的上方，有27>(°-1)(ZM+"),

而加+〃>1,可得?<1；

②由函数为、y2的"组合函数"y=m(x--2)+n(-x+3p)图象经过点P,知p-1=加(2p+l-p-

2)+n(-20-1+3°),即(p-1)(1-m-w)=0,而。#1,即得〃=1-加，可得y=(2w-1)x+3p

-(4/7+2)m,令y=0得(2m-1)x+3p-(4p+2)m=0,即(3-4m)p+(2m-1)x-2m=0,即可

得加=3时，"组合函数”图象与x轴交点0的位置不变，。(3,0).

4

【解答】解：(1)函数y=5x+2是函数为=x+l、力=2x-1的“组合函数”，理由如下：

V3(x+1)+(2x-l)=3x+3+2x-l=5x+2,

•・y=5x+2=3(x+1)+(2x-1),

，函数y=5x+2是函数为=x+l、y2=2x-1的“组合函数”；

⑵①由产X-P-2得(x=2p+l,

y=-x+3p[y=p-l

:・P(22+1,p-1)9

y\>g的"组合函数"为y=m(x-p-2)+n(-X+3/2),

.'.x=2/?+1时,y—m(2p+l-/?-2)+n(-20-1+3夕)=(夕-1)(加+〃)，

•・•点?在函数为、及的“组合函数”图象的上方，

••p-1>(/?-1)(加+〃)，

(/?-1)(1-m-n)>0,

*.*m+n>1,

1-m-〃V0,

:.p-l<0,

，AVI；

②存在m=2■时，对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点。的位置不变，Q

4

(3,0),理由如下：

由①知，P(22+1,p-1),

•・•函数为、”的“组合函数"丁=加Cx-p-2)+n(-x+3p)图象经过点尸，

:.p-1=m(2/?+1-2-2)+n(-2p-1+3/?),

(/?-1)(1-m-w)=0,

〈pWl,

/.I-m-n—OfWn—1-m,

J.y=m(x-7?-2)+n(-x+32)=m(x-72-2)+(1-m)(-x+3p)=(2m-1)x+3p-(?+2)

m,

令y=0得(2m-1)x+3p-(4^+2)冽=0,

变形整理得：(3-4m)p+(2m-1)x-2加=0,

.,.当3-4加=0,即加=3时，—x--=0,

422

.♦.加=3时，"组合函数”图象与x轴交点。的位置不变，Q（3,0）.

4

11.某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/奴、12元/彷，这两种苹果的销售额y（单位：元）与

销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示.

（1）写出图中点8表示的实际意义；

（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与

销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的

取值范围；

（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量

均为akg时，它们的利润和为1500元，求°的值.

【分析】（1）根据图形即可得出结论;

（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：修）之间的

函数解析式即可；

（3）分0WaW30和30<aW120两种情况列方程求解即可.

【解答】解（1）图中点3表示的实际意义为当销量为60馆时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元

（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为p甲=h1W0）,

把（60,1200）代入解析式得：1200=60左，

解得人=20,

..•甲种苹果销售额V（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为了甲=20x（0WxW120）；

当0WZ30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：奴）之间的函数解析式为y乙=人,

x（左'力0）,

把（30,750）代入解析式得：750=30〃，

解得：k'=25,

••y乙=25x；

当30WxW120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙=

mx+n（加W0），

则30m+n=750

60m+n=1200

解得:m=15

n=300

'.y乙=15x+300,

综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：彷）之间的函数解析式为y乙=

[25x(0<x<30)

tl5x+300(30<x<120)

(3)①当0WaW30时,

根据题意得:(20-8)a+(25-12)a=1500,

解得：a=60>30,不合题意；

②当30c.W120时，

根据题意得：（20-8）a+（15-12）a+3OO=15OO,

解得：a=80,

综上，°的值为80.

12.为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、

乙两种产品，甲种产品进价为8元/奴；乙种产品的进货总金额y（单位元）与乙种产品进货量x（单位

kg）之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/短和18元/馆.

（1）求出0WxW2000和x>2000时，y与x之间的函数关系式；

（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000检，并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1600奴,

且不高于4000奴，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润=销售额-成本），请求出w（单

位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进

货方案；

（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售.在（2）中获得最大利润的进货方案下,

甲、乙两种产品售价分别降低。元/炫和2a元/修，全部售出后所获1阮木

总利润不低于15000元，求。的最大值.56000-------------75/

30000

【分析】⑴分当0WxW2000时，当尤>2000时，利用待定系数法1/；；

求解即可；0\2000—'4000*kg

（2）根据题意可知，分当1600WxW2000时，当20004000时，分别列出w与x的函数关系式，根

据一次函数的性质可得出结论；

(3)根据题意可知，降价后，观与x的关系式，并根据利润不低于15000,可得出。的取值范围.

【解答】解：(1)当0WxW2000时，设夕=/x,根据题意可得，2000〃=30000,

解得后'=15,

**y=15x；

当x>2000时，设;/=履+6,

根据题意可得，(2°00k+b=30000,

U000k+b=56000

解得『3,

lb=4000

••y—13x+4000.

.[15x(0<x<2000)

"3-tl3x+4000(x>2000),

(2)根据题意可知，购进甲种产品(6000-x)千克，

,.T6004W4000,

当1600WxW2000时，w=(12-8)X(6000-x)+(18-15)*x=-x+24000,

V-l<0,

.,.当x=1600时,w的最大值为-1X1600+24000=22400(元)；

当2000<xW4000时，w=(12-8)X(6000-x)+18x-(13x+4000)=x+20000,

Vl>0,

.•.当x=4000时,w的最大值为4000+20000=24000(元)，

3Lf-x+24000(1600<x<2000)

综上，，/h.;

[x+20000(2000<x<4000)

当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元.

(3)根据题意可知，降价后，w=(12-8-a)X(6000-x)+(18-2a)x-(13x+4000)=(1-a)

x+20000-6000a,

当x=4000时，w取得最大值，

(1-a)X4000+20000-6000。215000,解得aW0.9.

：.a的最大值为0.9.

13.已知/、2两地之间有一条长440千米的高速公路.甲、乙

两车分别从/、8两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车

先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达2地;

乙车匀速行驶至/地，两车到达各自的目的地后停止，两车距N地的路程y(千米)与各自的行驶时间x

(时)之间的函数关系如图所示.

(1)m=，n=；

(2)求两车相遇后，甲车距/地的路程y与x之间的函数关系式；

(3)当乙车到达工地时，求甲车距/地的路程.

【分析】(1)由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出机=2,根据以另一

速度继续匀速行驶4小时到达B地知n=6；

(2)用待定系数法可得y=60x+80,(2WxW6)；

(3)求出乙的速度，即可得乙到/地所用时间，即可求得甲车距/地的路程为300千米.

【解答】解：(1)由题意知：机=200+100=2,

〃=加+4=2+4=6,

故答案为：2,6；

(2)设^=h+6,将(2,200),(6,440)代入得：

[2k+b=200,

l6k+b=440

解得(k=60,

lb=80

.,.y=60x+80,(2WxW6)；

(3)乙车的速度为(440-200)4-2=120(千米/小时)，

，乙车到达/地所需时间为440+120=旦(小时)，

3

当时，^=60x11+80=300,

33

甲车距A地的路程为300千米.

14.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育

用品，两个商店的优惠活动如下:

甲：所有商品按原价8.5折出售;

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付了甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图

象如图所示.

(1)分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；

(2)两图象交于点/,求点/坐标；

(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

【分析】(1)根据题意和题目中的数据，可以分别写出了甲，y乙关于x的函数关系式；

(2)根据(1)中的结果和题意，令0.85x=0.7x+90,求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点/

的坐标.

(3)根据函数图象和(2)中点/的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

【解答】解：(1)由题意可得，

y甲=O.85x,

当0WxW300时，y^=x,

当x>300时，y乙=300+(x-300)X0.7=0.7x+90,

1ml_fx(0<x<300)

[0.7x+90(x>300)

(2)令0.85x=0.7x+90,

解得x=600,

将x=600代入0.85x得，0.85X600=510,

即点/的坐标为(600,510)；

(3)由图象可得，

当x<600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x=600时，两家体育专卖店购买体育用品一样

合算；当x>600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算.

ah

15.在平面直角坐标系中，P(a,6)是第一象限内一点，给出如下定义：舟=一和左2=—两个值中的最大

ba

值叫做点尸的“倾斜系数”k.

(1)求点尸(6,2)的“倾斜系数”人的值；

(2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,请写出。和6的数量关系，并说明理由；

②若点P(a,b)的“倾斜系数"k=2,且a+6=3,求。尸的长；

(3)如图，边长为2的正方形4BCZ)沿直线ZC：y=x运动，P(a,b)是正方形4BCD上任意一点，

且点P的“倾斜系数”左<V3,请直接写出a的取值范围.

【分析】（1）根据“倾斜系数”人的定义直接计算即可；

（2）①根据“倾斜系数”人的定义分情况得出结论即可；

②根据“倾斜系数”人的定义求出P点坐标，进而求出0P的值即可；

（3）根据左的取值，分情况求出。的取值范围即可.

【解答】解：（1）由题意知，左=2=3,

2

即点P（6,2）的“倾斜系数”左的值为3；

（2）①；点尸（a,b）的“倾斜系数"k=2,

.•.曳=2或亘=2,

ba

即a=2b或b=2a,

•9•a和b的数量关系为a=2b或b=2a；

②由①知，a=2b或b=2a

*.>〃+b=3,

"a=l或卜=2,

lb=2[b=l

­•OP=4F+22=Vs；

（3）由题意知，满足条件的尸点在直线夕=向丫和直线之间，

3

①当尸点与。点重合时，且左=百时，尸点在直线>=禽》上，。有最小临界值,

如图：此时aV6,

连接0D,延长。/交x轴于E,

7

/Z

此时且=«,

a

则空2g

a

解得+1,

此时3点的坐标为（«+3，愿+1），

且左=坐上1=«

V3+1

a>\/"3+1;

尸点在直线了=返式上，a