指数与指数函数-2025年高中数学一轮复习

第03讲指数与指数函数

（5类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

判断对数函数的单调性

2024年新I卷，第6题,5分判断指数函数的单调性

根据分段函数的单调性求参数

2023年新I卷，第4题,5分指数型复合函数单调性二次函数单调性

用导数判断或证明已知函数的单调性

2022年新I卷，第7题,5分比较指数募的大小

比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及

指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分

【备考策略】1.了解有理数指数幕、实数指数幕含义，掌握指数幕的运算性质.

2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念

3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点

4.能结合指数函数比较指数式大小

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

质.考点梳理，

1

知识点1根式的基本知识

知识点2指数的基本性质

知识点3指数的基本计算

核心知识点

知识点4指数函数

知识点5对称性

考点1指数与指数幕的运算

考点2指数函数的图象及其应用

考点3指数（型）函数的单调性

核心考点

考点4指数（型）函数的值域与最值

考点5指数值的大小比较（含构造函数比较大小）

知识讲解

1.指数的基本知识

（1）根式的基本性质

①五的定义域为x20,正的定义域为xeR

（2）A/P-=|x|=<%，X-0,定义域为（xeR）

—X,X<（J

③（Jj=x，定义域为（X20）

④k=x，定义域为（xeR）

⑤依Y=x，定义域为（xeR）

（2）指数的基本性质

①零指数幕:a°=1（。中0）;

②负整数指数幕:a-p=—（a^0,peN*）;

ap

m__

③正分数指数塞：Q〃=服/（。>0,加、〃6"*,且〃〉1）；

m11

④负分数指数幕：an=——=.——（a>0,ne>1）

（3）指数的基本计算

0m

①同底数幕的乘法运算am-an=am+n②同底数幕的除法运算J=L

an

④积的乘方运算（仍y=/人加

2

2.指数函数

（1）指数函数的定义及一般形式

一般地，函数^=优（。〉0且awl）,xeR,叫做指数函数

（2）指数函数的图象和性质

y=优a>\0<6Z<1

\y

/y-ax尸―

图(0,1)/-------J=1

象)

___1___

01X1x

定义域R

值域(0,+°°)

过定点（0,1）

当x〉0时，y>1；当x>0时，0<y<l；

性质x<0Ht,0<y<lx<0Ht,j>1

在（-oo,+co）上是增函数在（-GO,+GO）上是减函数

考点一、指数与指数塞的运算

典例引领

，百、2+3

1.（2023•全国•模拟预测）I—9J=（）

A.-B.—C.73D.3

33

【答案】A

【分析】利用指数塞的运算性质化简计算即可.

故选：A.

2.（2024・广东•模拟预测）若盯=3,则

3

【答案】±2百

【分析】

分x>0/>0和x<0,y<0两种情况分类计算.

【详解】当x>0/>0时,

当x<0,”0时,

故答案为：±273

3.(2022•北京•高考真题)已知函数二，则对任意实数X,有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(x)=lD.

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

【详解】/—x)+/x)=—11_+'1-=1,故A错误，C正确;

八)J\)]+2-”1+2、1+2》1+2"

[2T_]__2

f(-x)-/(%)=------------不是常数，故BD错误;

')')1+2一*1+2"1+2”1+2工-2*+1--2'+1

故选：C.

即时校（

1.（2024・上海宝山•二模）将向戏（其中。>0）化为有理数指数幕的形式为.

【答案】）

【分析】直接利用根式与分数指数幕的运算法则化简求解即可

故答案为：/

2.（2023・山东•模拟预测）若/一”=4,贝3+力的值为（）

A.8B.16C.2D.18

【答案】D

【分析】利用完全平方公式结合指数幕的运算性质计算即可.

【详解】解：因为力"=4,

所以a-2+a2=（a-1—a1）2+2=+2=18.

故选：D.

4

3.(2023・四川宜宾•一模)计算:新二『-(0.25)t［上］+®xlg\=.

【答案】-2A/3

【分析】根据根式、指数幕运算以及对数的定义运算求解.

【详解】由题意可得：］(百一2『一(0.25)丸+6x1g/52.92(，)+“fl)

故答案为：-273.

考点二、指数函数的图象及其应用

中典例引领

1.(2024・四川成都•模拟预测)函数＞=3,与＞=的图象()

3

A.关于x轴对称B.关于V轴对称

C.关于原点对称D.关于了=•，对称

【答案】C

【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数/(幻与g(x),如果它们的图象关于原点对称，即

g(-x)=-/(x)在定义域内恒成立，则称/(X)与g(x)为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.

【详解】令函数k/(x)=3、,y=g(x)=-，，

所以g(-x)=_&=_3,=_/(x)

即g(-x)=-/(x),所以函数/(x)与g(x)的的图象关于原点对称，

即函数y=3、与y=-，的图象的的图象关于原点对称，

故选：C.

2.(23-24高三上•河北衡水•开学考试)已知。＞0,贝U函数/&)=优-2。的图象可能是()

5

【分析】通过特值法，排除错误选项，通过。的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.

【详解】由于当X=1时，1(1)=2。=一。＜0,排除B,C,

当。=2时，〃x)=2'-4,此时函数图象对应的图形可能为A,

当。=g时，)此时函数图象对应的的图形可能为D.

故选：AD.

3.(2024・甘肃张掖•模拟预测)函数/(x)=e，(x-l)-x-1的所有零点之和为()

A.0B.-1C.V3D.2

【答案】A

_)_1

【分析】令/(x)=0,即-x-l=0,构造函数？=6、与函数y=—r,画出函数图象，可知两个函

X-1

数图象相交于两点，设为芯,超,得/(无J=/(-xJ=0,进而得到尤2=-占，即玉+工2=0

【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程/(x)=0的实数根，令/'(x)=0,

贝1|/(尤一1)-无一1=0,显然XW1,所以e'=q,

x-1

构造函数y=e，与函数j==Y+1，则方程e*=Y3+1的根，

x-1x-\

可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，

所以此方程有两个实数根，即函数/(x)=e*(xT)-x-1有两个零点，

,X,+1丫+1

设为西,马，所以e』r=一,e"=—,

xx-1x2-1

%2

即/(^i)=e*(再一1)一项一1=0,/(x2)=e(x2-l)-x2-1=0,

另外发现，将F代入，可得f(一%)=e』(一匹一1)一(f)一1=一(；：0।4_]=一(；：11『0，

所以-%也是函数/(X)的零点，说明％=-%，即玉+Z=0.

故选:A.

6

1.（22-23高二下•四川绵阳•期末）要得到函数了=22”的图象，只需将指数函数y=4'的图象（）

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移1■个单位D.向右平移!■个单位

【答案】D

【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.

2

【详解】因为昨4,=22322X-1=2HK

所以，为了得到函数V=22Z的图象，只需将指数函数＞=4'的图象向右平移g个单位，

故选：D.

2.（23-24高三上•山西晋中•阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数y=/+ax+a-l与了=优的图象

可能是（）

【答案】AC

【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论.

【详解】当。＞1时，对应的图象可能为选项A；当0＜a＜l时，对应的图象可能为选项C.

故选：AC.

3.（2024•黑龙江・二模）已知函数y=的图象经过原点，且无限接近直线＞=2,但又不与该直线相

7

交，则〃6=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【分析】由题意可得Q+6=0且6=2,求出e即可求解.

【详解】因为函数，=/。）="针"图象过原点，所以心°+b=0,

得。+6=0,又该函数图象无限接近直线＞=2,且不与该直线相交，

所以b=2,则。二一2,

所以ab=-4.

故选：C

考点三、指数（型）函数的单调性

典例引领

1.（2023・全国•高考真题）设函数〃x）=2，（i）在区间（0,1）上单调递减，贝段的取值范围是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+S）

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数了=2,在R上单调递增，而函数/（x）=2e-"）在区间（0,1）上单调递减，

则有函数〉=忒》-"）=­|）2-亍在区间（0,1）上单调递减，因此§1,解得心2,

所以。的取值范围是[2,+s）.

故选：D

2.（2024•宁夏银川•三模）已知函数[卜）=/^,则下列说法不正确的是（）

A.函数/（尤）单调递增B.函数“X）值域为（0,2）

C.函数“X）的图象关于（0,1）对称D.函数〃x）的图象关于（1,1）对称

【答案】C

【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数

的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，[（2-x）与/（x）的关系，即可判断CD.

【详解】/（X）=^^=2'Y+,2~2=2一一^―,

I）2X-1+12X-1+12X-1+1

2

函数y=2--，t=2X-1+1,贝卜＞1,

8

7

又内层函数”21+1在R上单调递增，外层函数y=2-。在（1,+8）上单调递增,

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数/（尤）单调递增，故A正确；

22

因为21+1＞1，所以0＜k；＜2,则

2+12+1

所以函数〃x）的值域为（0,2）,故B正确;

22T42

/(2-x)=/(2-x)+/(x)=2,

25+12+2*2*T+1

所以函数〃x）关于点（1,1）对称，故C错误，D正确.

故选：C.

3.（2024•全国•模拟预测）己知函数/■（尤）=3Z-32T,则满足/（x）+〃8-3x）＞0的x的取值范围是（）

A.（-℃,4）B.（-＜»,2）C.（2,+oo）D.（-2,2）

【答案】B

【分析】设g（x）=3,-3-工，即可判断g（x）为奇函数，又/（x）=g（x-2）,可得/（x）图象的对称中心为（2,0）,

则/（x）+/（4-x）=0,再判断了（尤）的单调性，不等式/（无）+/（8-3尤）＞0,Hp/（8-3x）＞/（4-x）,结合

单调性转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】设8(尤)=3*-3、xeR,贝g(-x)=3-工一3工=-g(x),所以g(x)为奇函数.

又/(x)=3"2-32-1=3-"2_3YE=g[_2),

则1（x）的图象是由g（x）的图象向右平移2个单位长度得到的,

所以/（x）图象的对称中心为（2,0）,所以/'（x）+/（4-尤）=0.

因为＞=3,在R上单调递增，了=3一，在R上单调递减，

所以g（x）在R上单调递增，则/卜）在R上单调递增，

因为/（x）+/（8-3x）＞0=/（x）+/（4-x）,

所以〃8-3x）＞/（4-x）,所以8-3x＞4r,解得x＜2,

故满足/仁）+/（8-3工）＞0的x的取值范围为（-8,2）.

故选：B

4.（2024•全国•模拟预测）已知函数+是R上的减函数，贝！I。的取值

[1-a,x＞l

范围是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.[2,+s）D.艮内）

【答案】B

【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.

【详解】因为函数＞=1-是减函数，所以。＞1.

9

又因为函数了=/+（。-5）x+1图像的对称轴是直线x=寸，

所以函数了=/+（。-5卜+1在[-对”]上单调递减，在上单调递增.

a>\

5—CL

又函数“X）是R上的减函数，所以匕一,解得2WaV3,

。—321—。

所以。的取值范围是[2,3].

故选:B.

即0唧（

1.（2024•江西•模拟预测）函数/（x）=3,2-洲的一个单调递减区间为（）

A.（-巩0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,+s）

【答案】C

【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.

【详解】令公工2-2此则>=3"

由复合函数的单调性可知：

/'（x）的单调递减区间为函数t=x?-2国的单调递减区间，

又函数，（—x）=（―x）2—2|-x|=t{x）,

即函数/（X）为偶函数，

结合图象，如图所示，

可知函数”尤2-2国的单调递减区间为和（0,1）,

即/（X）的单调递减区间为（一叫一1）和（0,1）.

2.（2024•福建福州•模拟预测）设函数/（无）=3,山在区间（1,2）上单调递减，则。的取值范围是（

A.（-oo,2]B.（-oo,4]C.[2,+co）D.[4,+oo）

【答案】D

10

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】函数＞=于在R上单调递增，而函数/（x）=3,⑶在区间（1,2）上单调递减，

所以y=|2x-a|在区间（1,2）单调递减，所以£w2,解得a»4.

故选：D.

3.（2024・吉林长春•模拟预测）（多选）已知函数/（力=声不，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）单调递增

B.函数/'（x）值域为（0,2）

C.函数“X）的图象关于（0」）对称

D.函数/（x）的图象关于（1,1）对称

【答案】ABD

【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A,根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解

函数的值域，即可判断B,根据对称性的定义，/（2-x）与的关系，即可判断CD.

2*+2-2_2

【详解】=2

1X

-2-1+]2'-+1-2-'+1

2

函数＞=2--，t=2X-1+1,则，＞1,

t

又内层函数:2'7+1在R上单调递增，外层函数y=2-：在（1,+8）上单调递增，

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数/（无）单调递增，故A正确；

因为21+1＞1，所以0〈不、＜2,贝|]0＜2[＜2,所以函数/（尤）的值域为（0,2）,故B正确；

/（2-x）=^|^=^r=^r，/（2-x）+/（x）=2,所以函数/（x）关于点（1,1）对称，故C错误，D正

确.

故选：ABD

Jr,”。

4.（2024・陕西西安・模拟预测）已知函数，则不等式/（1-1）＞/（3）的解集为（）

——,x＞0

[x+2

A.（-2,2）B.(0,+oo)

C.（-℃,0）D.(-00,-2)U(2,+oo)

【答案】A

【分析】判断函数/'（X）的单调性,再利用单调性解不等式即可.

11

*，x<°|

【详解】/W=<，易知了=备在(-8,0)单调递减,

----，尤202

、％+2

v=」在(0,+8)单调递减，且/(X)在X=O处连续，故/(X)在R上单调递减,

x+2

由/(/一1)>〃3),则解得一2<°<2,

故不等式/(力-1)>〃3)的解集为(-2,2).

故选：A

考点四、指数(型)函数的值域与最值

甲典例引领

1.(23-24高三•阶段练习)已知函数[⑴=&]户",则/(x)的单调递增区间为,值域为.

【答案】(-甩0](0,2]

【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.

【详解】令*—2x20,解得xZ2或x40,

/(x)的定义域为08,0]U2+8),

令t=\lx2-2x-1，则其在(-°°，0]上递减，在[2,+oo)上递增，

又y=U为减函数，故〃无)的增区间为(-叫

V?=7^27-1>-1-故〃x)的值域为(02.

故答案为：(-8,0],(0,2].

2.(2024•上海松江•二模)已知0<。<2,函数>=卜一+L*"：，若该函数存在最小值，则实数

。的取值范围是.

【答案】或”=1}

【分析】令g(x)=(a-2)x+4a+l,xe(-oo,2],h(x)=2ax~l,xe(2,+<»),分类讨论。的取值范围，判断g(x),

〃(x)的单调性，结合/(x)存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案.

【详解】由题意，令g(x)=(a-2)x+44+l,xe(-(»,2],/z(x)=2a*T,xe(2,+8),

当0<a<l时，g(x)在(F,2]上单调递减，〃(无)在(2,+8)上单调递减，则〃(x)在(2,+9)上的值域为(0,2a),

12

因为/(X)存在最小值，故需g⑵=(叱2)x2+4a+lV0,解得

当l<a<2时，g(x)在(-*2］上单调递减，/7(x)在(2,+网上单调递增，则/?(x)在(2,+对上的值域为(2a,+s),

3

因为/(%)存在最小值，故需g(2)W2”，即(a-2)x2+4a+lW2。，解得

这与l<a<2矛盾；

当"1时，g(%)=f+5在(-吗2］上单调递减，且在(-甩2］上的值域为［3,+8),〃(x)=2,此时存在最小值

则实数。的取值范围为或。=1}.

故答案为：{。|0<。<；或。=1}.

3.(2024・四川成都•二模)已知函数f(x)=2"ji的值域为若(1,+8)±M,则实数。的取值范围是()

—00——,+00—,+00

444

【答案】B

【分析】

对实数。分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.

【详解】当4=0时，/(工)=2-7£(0,+8),符合题意；

当"0时，因为函数/(%)=2—的值域为M满足(1,+。)=M,

由指数函数的单调性可知，即二次函数》="2_、+1的最小值小于或等于零;

4/7—11

若a>0时，依题意有y=ax2-x+\的最小值-----<0,即0<aW—,

4a4

若a<0时，不符合题意；

综上：0444一，

故选：B.

即时检测

1.(2024・贵州•模拟预测)已知函数〃X)=2T2+2K3,则/(X)的最大值是.

【答案】16

【分析】求出1=-/+2》+3的范围，根据复合函数的单调性求解.

【详解】由/(x)=2*+2，+3,而仁一f+2x+3=-(x-l)2+444,

因为>=2,单调递增，所以y=2'W24,则/⑴的最大值是16.

13

故答案为：16

2.(2024・山东荷泽•模拟预测)若函数/(x)=l+lgx(xeG，100]),则函数尸(x)=2"⑸]5心的值域为()

A.[-,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出/(X)的值域，再借助二次函数求出的值域,

最后利用指数函数单调性求解即得.

【详解】函数〃尤)=1+1第在[《,100]上单调递增，/(x)e[0,3],

令t=[/(X)]2-/(x2)=[/(x)]2-l-21gx=[/(X)]2-2/(X)+1=[/(x)-l]2e[0,4],

而函数y=2'在[0,4]上单调递增，贝hv2X16,

所以函数尸(x)=2"W)的值域为[146].

故选：D

3.(2024•河北保定•三模)已知/(%)=(。>1)的值域为。，Z)c[-,+co),则。的取值范围

C.[|,2)D.£幻

A.

【答案】D

【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数。的取值范围.

【详解】①若l<a<2,

当时，=-；在(-°0,1]上单调递减，此时/(%)式。-*+8),

当x〉l时，/(x)=x+--1^2V^-l,当且仅当％=石>1时，等号成立，

2G0解得*<2；

又函数/(X)的值域。满足[],+8),贝卜

1<6Z<2,

②若a>2,

当X41时，/3=("1)'-1在(一甩1]上单调递增，此时

当x>l时，/(X)=X+--1^2A/^-1,当且仅当彳二人〉1时，等号成立,

14

又函数/（X）的值域。满足。ug,+s）,不合题意；

③当。=2时，/«=42，

XH---1,X>1,

若x>l,Wx+--1^2V2-l>-（当且仅当x=3时取等号）符合题意，

x2

7

综上所述：一

4

故选：D.

考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）

中典例引领

1.（2024•玄南•二模）若q=2"-2_g-ic=^,贝!］（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根据中间数2比较。与*根据中间数1比较b与c.

【详解】因为a=2~2>21=2,c=2；<2，

所以a>c,因为6=6一=，<1,C=2；>2°=1，

所以c>6,所以a>c>6.

故选：D.

2.（2024•天津•一模）已知实数a,b,c满足〃==；,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

111

【分析】根据条件，得到6=g）e,利用函数>=§）,的单调性，即可得到〃<6<1,而C>1,即可求出结果.

【详解】因为得到6=（；）：,又.=（；了，函数y=（；『是减函数，

所以a=U<6=（y<l，又出=|,得到C=k）gj=log23>l,

所以a<6<c,

故选：A.

3.（2024•宁夏银川•三模）设〃=9。2,6=3刈，c=3皿，则（）

15

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=x-l-lnx,应用导数得其单调性，可判断0.3>lnl.3,再结合指数函数y=3,的单

调性即可判断.

【详解】根据题意，构造函数/(x)=x77nx,则r(x)=.,

当时，所以/(x)在区间［1,+8)上单调递增，

因止匕可得/(1.3)>/(1)=0,即/(1.3)=1.3_l_lnl.3=0.3_lnl.3>0,

所以0.3>In1.3,

又指数函数y=3』为单调递增，可得3。3］>3->3『即6>c,

因为a=9"2=3"4>3°刀=6,所以c<b<a.

故选：A.

♦即时检测

1.(2024・四川•模拟预测)设a=0.5°,,6=0.4".c=l.l°\则()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【分析】根据指数函数、幕函数的单调性，结合与特殊值工的比较，即可得到答案.

【详解】因为指数函数昨0.5,是单调减函数，所以05」<0.5°/<0.5°=1,

又由幕函数了在(0,+8)上单调增函数，所以1=1口>05」>04」，

又因为指数函数y=LF是单调增函数，所以1.1。=1,

综上可得：b<a<c,

故选：D.

2.(2023・天津•高考真题)设4=1.01°,5/=1.0产6,°=0.6°5,则凡2。的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据对应幕、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由>=1.01%在R上递增，贝1〃=1.0产5〈8=1.0产6,

由片X0-5在［0,+8)上递增,则〃=1.010-5>C=O.605.

所以6〉Q>C.

故选：D

71_2

3.(2024•辽宁•一模)设〃=—,b=2-"c=l一e，则()

3

16

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用导数证明不等式e，2x+l,可得根据不等式的性质可证得，贝1Jc<。，即

可求解.

【详解】对于函数/(尤)=1-1,f'(x)=e=l,

令/'(%)<0=>x<0/(%)>0=>x>0,

所以函数/(X)在(-«,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)min=/(0)=0,贝IJ/(x)20,即e'2x+l.

112--22

所以6=2-/V2-(§+l)="c=l-e3<1-(--+1)=

i2--in-2-

由e?<8,得|<1=2,所以葭彳，则1+/=1+丁>2下—>巴

、一e3e3Ve3e3

所以1_涓<2->即c<6.

所以c<6<a.

故选：B

【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：

(1)利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

(2)利用中间值"1"或"0"进行比较，

(3)构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

IN.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.(2024•陕西渭南•二模)设集合N={y»=e*,x<0},则MuN=()

A.(0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

【答案】C

【分析】求出函数值域化简集合N,再利用并集的定义求解即得.

【详解】当xWO时，0<e'vl,则N=(O,1],而/=[-1,1],

所以=

故选：C

2.(2024・河南•模拟预测)若a/eR,贝!|"a>6"是"3"-3">2、一2。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

17

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】构造函数/■(x)=3'+2，，根据函数单调性得到3"+2">3〃+2J故。>人

【详解】构造函数/'(x)=3，+2)则/("在R上单调递增，

所以3"-3">2b-2a=3"+2">3"+2"=/(a>a>b.

故选：C.

3.(2024・湖南邵阳三模)是"函数/3=优一。(”>0且awl)在R上单调递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】分。>1和0<。<1两种情况讨论「(X)的单调性，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若°>1,则/(X)的图象为：

可知〃可在R上单调递增；

若0<a<l,则f(x)的图象为:

可知/(x)在R上单调递减；

综上所述：是"函数/(x)=a=a(。>0且在R上单调递减”的充要条件.

故选：C.

4.(2024•全国•模拟预测)己知函数/(x)=2»H(aeR)为偶函数，则函数y=/(x)的增区间为()

A.(-1,+co)B.(0,+司

C.D.(一巩0)

【答案】B

【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.

18

【详解】因为函数/(x)=2*+d(aeR)为偶函数，所以2MH=2-，解得q=0,

所以函数/(x)=2N=[j其增区间为(0,+<»).

|,X>U

故选：B.

5.(2024・辽宁•一模)若函数/(x)=Ba""在区间(1,4)内单调递减，则。的取值范围是()

A.(-a>,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+oo)

【答案】A

【分析】利用"同增异减"判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.

【详解】设/(")=3",u=-2x1+ax,则/(")=3"在(-叫+8)上单调递增.

因为/(x)=在区间(1,4)内单调递减，所以函数〃=-2/+"在区间(1,4)内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：-<1,解得aW4.

4

故选：A

6.(2024•江西景德镇•三模)已知函数了⑴〜匕]是奇函数，贝h>0时，g(x)的解析式为()

g(x),x>0

A.B.gjC.-2，D-2、

【答案】C

【分析】设x>0,禾I用x<0时，/(x)=(，和=可求得g(x)的解析式.

【详解】设x>0,则-x<0,

所以/(-》)=出=2'，

又函数“X)是奇函数，所以/(-x)=_〃x),即-〃x)=2，n/(x)=-2*,x>0.

即g(x)=-21

故选：C

7.(2024•浙江绍兴三模)已知函数〃2x+l)为偶函数，若函数g(无)=/(同+2-+2a-5的零点个数为奇

数个，贝U/0)=()

A.1B.2C.3D.0

【答案】D

【分析】由函数g(x)的图象关于x=l对称得零点关于X=1对称，但g(x)的零点个数为奇数个可得答案.

【详解】因为函数/'(2无+1)为偶函数，所以/(-2x+l)=f(2x+l),

所以>=/(x)的图象关于尤=1对称,

19

令3）=2修+2口_5,则〃（2_%）=21+21_5=44,

可得函数〃（尤）=21+21-5的图象关于x=1对称，

所以函数8（切=/（》）+25+2~-5的图象关于％=1对称，

则函数g（x）的零点关于x=1对称，但g（x）的零点个数为奇数个,

则〃1）=0.

故选：D.

二、填空题

8.（2024•山东济宁•三模）已知函数='X-0,则jO.

log4x,x>0

【答案】V2

【分析】利用已知的分段函数，可先求“；）=-g，再求=后即可.

【详解】因为/ah，1'X~0,所以/（£|=1吗卜-1鸣2=-]

log4x,x>0,

故答案为：亚.

9.（2024•全国•模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式〃x）=.

①/（X]+X?）=/（X]）/自2）;②/（X）的值域为（0,+8）.

【答案】2,（答案不唯一）

【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.

【详解】对于任意指数函数函数/（无）=优（。>0且a"）,

条件①，对于任意Xr%eR,都有f（xj/（x2）=aw刀"2=优源?=/（玉+%），

条件②，〃x）是指数函数，所以/⑴的值域为（0,+⑹，

例如：函数f（x）=2*为指数函数，满足条件①②.

故答案为：2”（答案不唯一）.

10.（23-24高一上•四川攀枝花•阶段练习）若命题"*eR,2=a=0”为假命题，则实数。的取值范围

为.

【答案】{a|aV0}

【分析】根据已知条件，推得V尤eR,2「“片0为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解.

【详解】命题"*eR,2*-a=0"为假命题，

20

贝iJVxeR,2-30为真命题，又21>0

则aW0,

故实数a的取值范围为{«|«<0}.

故答案为：{。I。40}.

L能力提

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（尤）=最匕的图象关于点（1J。））对称，则。=（）

2

A.1B.2C.eD.e

【答案】C

【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得。=e.

【详解】由对称中心性质可知函数/（%）满足/（%）+/（2-力=241）,

112

〜x卜二，

e+ae+ae+a

整理可得e3T+e加+2ae=2e2+ae'+ae2~x,即e（e2T+e*-2e）=a（e*+e2T-2e）,

解得a=e.

故选：C

2.（2024•贵州毕节•三模）已知函数=是奇函数，若"2023）>“2024）,则实数a的值为（

ex+a

A.1B.-1