浙江省嘉兴市秀洲区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题（含答案）

2024学年第一学期期中测试试题卷（2024.11）

九年级数学学科

考生注意：

1.本试题卷分选择题、填空题和解答题三部分，共4页，满分120分，考试时

间120分钟.

2.答题时，请在答题纸相应的规定位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无

效.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（）

2.如图，O。是△4BC的外接圆，若//。8=100。，则//C2的度数是（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

3.抛物线y=（x+l）2-4的顶点坐标是（）

A.（1,4）B.（1,-4）C.（-1,4）D.（-1,-4）

4.已知。。的半径为4,若点P在。。内，则OP的长可能是（）

A.3B.4C.5D.8

5.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小

杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随

机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（）

1111

A.-B.—C.—D.—

424212

6.如图是一次函数>="+人（。，b为常数，〃。0）的图象，则二次函数y=+6%的图

试卷第1页，共6页

象不经过的象限为（）

第二象限C.第三象限D.第四象限

7.过同一平面内/,B,C三个点作圆，可以作出的个数为（

A.0个B.1个C.2个D.0个或1个

8.己知（一1,乂），（2,%）,（4,%）是抛物线歹=一¥2+4苫+机（”为常数）上的点，则（）

A.M<y2<y3B.yi<y3<y2C.%<弘<了2D.%<%<必

9.如图，海岸线/8=6百km,经过A、B的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在

圆的半径为6km,船C保持怎样的航行不会进入暗礁区（）

A.ZACB>60°B.ZACB<60°

C.ZACB>60°D.ZACB<60°

10.如图，二次函数y="2+6x+c（a,b,c为常数，20）的图象与x轴交于点

4（3,0）,与y轴交于点B,对称轴为直线x=l,下列四个结论：①"c>0；②2a+c>0；

33

③arft+bm<-a为任意实数）；④若—5<c<――,则-2<a+b+c<-l,其中正确结

论为（）

试卷第2页，共6页

C.②③D.①③④

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）

II.二次函数y=/+3x+2的图象与y轴的交点为

12.将抛物线y=（x-3）2+l的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的

抛物线的表达式是

13.随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.

抽取件数（件）1001502005008001000

合格频数90141190475764950

合格频率0.900.940.950.950.9550.95

估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有件.

14.如图所示，已知。。的半径为10,OMVAB,AB=\6,则线段OM的长为.

15.已知二次函数了=仁+加-2乂%-加）+〃（机，力为常数），则抛物线的对称轴

是.

16.如图，N3是。。一条弦，将劣弧沿弦N3翻折，连结40并延长交翻折后的弧于点C,

连结2C.若。。的半径长为2,BC=\,则45=.

试卷第3页，共6页

A

三、解答题(本题8小题，17—21每题8分，22,23每题10分，24题12分)

17.已知抛物线y=-/+mx+3经过点.

(1)求心的值；

(2)求此抛物线的顶点坐标.

18.一面圆形的镜子被打碎，剩下如下的形状，请你用尺规完成下列作图:

⑴请在原图上补全它原来的形状；

(2)镜子破碎之前弧的中点处正好有个小挂钩C,请你用尺规作图把它标出来.

19.某校运动会田赛部分由A、B、C、。四个项目组成，学生可以任选一项参加.为了了

解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.请根

(1)补全条形统计图；

(2)求A区域扇形圆心角的度数；

(3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了A项目的比赛，小丽取得了第一名的

好成绩，求小杰获奖的概率.

20.如图，等腰三角形的顶角NB/C=40。，以腰为直径作半圆，交BC于点D,交

试卷第4页，共6页

/C于点£.

(1)求证：BD^DE-,

⑵求靛的度数.

21.某超市对进货价为io元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量》千克

与销售价x元/千克(x为整数)存在一次函数关系，如图所示.

(1)求》关于》的函数关系式；

(2)应怎样确定销售价，使该苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少？

22.如图，43是。。的直径，把42分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆,

设48=2厂，那么。。的周长£=2w,。。的面积S=TZ■产.

⑴探究：①把N8分成两条相等的线段，每个小圆的周长=

②把42分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作人，

③把42分成四条相等的线段，每个小圆的周长人，…

④把43分成〃条相等的线段，每个小圆的周长

试卷第5页，共6页

分别求出右，4，4；

(2)类比探究：仿照(1)的探索过程，当把大圆直径平均分成"等分时，以每条线段为直径

画小圆，求每个小圆的面积s“与大圆面积S之间的关系.

23.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M,对于任意的函数值都满足yw,

那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确

界.例如，函数y=-2(x-l『+l是有上界函数，其上确界是1.

⑴函数了=-/+2尤-1是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界；

(2)如果＞=3x+6(xW26+l)以10为上确界的有上界函数，求6的值；

(3)如果函数＞=-/+4^+l(-a4x4-a+1)是以-4为上确界的有上界函数，求实数。的

值.

24.如图，PA,尸B是。。的两条弦且点C是弧42的中点，点E沿着弦4尸从点

A运动到点P.

(2)如图2,当C£_L/尸时，求证：AE=PE+PB；

⑶如图3,当点£运动到点尸时，连结尸C和/8,如果正好过圆心。且48=26,

PC=42.求此时的长.

试卷第6页，共6页

1.B

【分析】本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点解答即可.

【详解】解：A、不能旋转得到，错误；

B、可以旋转得到，正确；

C、不能旋转得到，错误；

D、不能旋转得到，错误；

故选：B.

2.D

【详解】试题解析：丫。。是aABC的外接圆，ZAOB=100°,

••2ACB=-ZAOB=-x100°=50°.

22

故选D.

3.D

【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题

的关键.直接利用顶点式的特点可求顶点坐标.

【详解】解:抛物线y=(x+l>-4的顶点坐标是(-1,-4),

故选：D.

4.A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键.根据

点与圆的位置关系解答即可.

【详解】解：已知。。的半径为4,若点P在。。内，

那么。尸<4

所以0P的长度可能是3

故选：A.

5.C

【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.

根据概率公式进行计算即可.

【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况，

其中抽到“夏至”有两种等可能的情况，

答案第1页，共15页

故选：c

6.C

【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的

象限得出。，6的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案.

【详解】解：,•・一次函数了="+/420）的图象经过第一，第三，第四象限，

•t.a>0,b<0,

—>0,且当x=0时，y=ax2+bx=O,

2a

•••二次函数k加+bx+2的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于原点，

故图象一定不经过第三象限，

故选：C.

7.D

【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可.

【详解】解：若平面内B,C三个点共线，则过三点不能作出一个圆，

若平面内aB,C三个点不共线，则过这三点能作出I个圆，

故过同一平面内B,C三个点作圆，可以作出的个数为。个或1个.

故选：D.

8.B

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练求出对称轴，并熟悉二次函数的增

减性是解题的关键.求出抛物线的对称轴为直线x=2,然后根据二次函数的增减性解答即

可.

【详解】解：y=-x2+4x+m=-（x-2）-+m+4,

••・抛物线的对称轴为直线x=2,

a=-1<0,

••・抛物线开口向下，

・•・当x>2时，y随x的增大而减小，当x=2时，函数有最大值，

•••（T,%）关于x=2对称点为（5,乂），2<4<5,

答案第2页，共15页

故选：B.

9.D

【分析】连接NC交圆。于。，连接CM、BD,过。作于〃，延长〃。交圆O

于E,连接/£、BE,根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得==

可证明“EB是等边三角形得到ZAEB=60°,根据圆周角定理可得ZADB=ZAEB=60°,

根据三角形的外角性质可得NC<60。,进而可得结论.

【详解】解：连接NC交圆。于D,连接CM、BD,过。作于“，延长"。交圆

。于E,连接4E\BE,

则/〃=l48=3百，NOHA=90°,则=

2

在Rt/IUOH中，。4=6,

■■OH=yj0A2-AH2=苫-（3如『=3,

在Rt^N班中，EH=OE+OH=9,

•••AE=yjEH2+AH2=^92+（3V3）2=6曲,

*'•AE=BE=AB,

△AEB是等边三角形，

・•./AEB=60。,

・•.ZADB=ZAEB=60°,

・・・NADB是ABCD的一个外角，

・•.ZADB>ZC,

即/C<60。，

二船c保持ZACB<60°的航行不会进入暗礁区，

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、垂径定理、线段垂直平分线的性质、勾

股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.

答案第3页，共15页

10.B

【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得〃>0,c<0,由对

称轴可判断6的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点(-1,0),-3=1，

可得3a+c=0,将2a+c化为。+2a+c,即可判断；③由二次函数的最值得

12

V最小可得Q加之+6机2q+b+c,即可判断；④由②可求。=—］。,b=—c,

代入Q+b+C,即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键.

【详解】解：①由图象得：。>0,

c<0,

・「---=1>0,

2Q

：.b<0f

：.abc>0,故①正确；

②;对称轴为直线x=l,

图象与'轴交于点力(3,0),

「•图象与x轴交于另一点(-1,0),

:.a-b+c=Q,

•」二i

2a'

..b——2cl,

a一(—2a)+c=0,

3Q+C=0,

3a+c=a+2a+c=0f即-a=2“+c,

va>0,

：.-a=2a+c<0,故②错误；

③,.,a<0,对称轴为直线x=l,

•••当X=1时，

y最小=a+b+c,

ax2+bx+c>a+b+cyBPam2+bm+c>a+b+c(加为任意实数)，

am2+bm>a+b,

答案第4页，共15页

b=-la,

•*-am1+bm>-a,故③错误；

④)由②)得，3Q+C=0,b=—2a,

17c2

a=——c,b=-2a=—c,

33

.**a+b+c

12

=——C+—C+C

33

4

~3C，

33

—<c<—,

24

c4।

二.一2<一c<—1,

3

-2<a+b+c<-\,故④正确；

故正确的结论有：①④，

故选：B.

11.(0,2)

【分析】本题考查求二次函数图象与y轴的交点坐标，求x=0时，>=2即可.

【详解】解：对于函数y=/+3x+2,

当x=0时，J=2,

.•二次函数y=/+3x+2的图象与V轴的交点为(0,2),

故答案为：(0,2).

12.y=(x-4)2+3

【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解

即可.

【详解】解：将抛物线y=(x-3y+l的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后,

得至U的抛物线的表达式是>=(x-3-1『+1+2,即y=(x-47+3,

故答案为：y=(x-4)2+3.

13.100

【分析】本题主要考查频率分布表和利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率

答案第5页，共15页

在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频

率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用最终频率的稳定值即

可估计其概率，再用总数乘以次品对应的频率即可.

【详解】解：由表格知，任意抽一件衬衣是合格品的概率为0.95；

.1.估计次品的数量为2000x(1-0.95)=100(件),

故答案为：100.

14.6

【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.连接。4,根据勾股定理即可求得OM的长.

【详解】解：连接04,如图

AM=8,

的半径为10,

•1•OM=>]AO2-AM2=6，

，线段加的长为6,

故答案为：6.

15.x=1##l=x

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，将二次函数的一般式化为顶点式，即可得出答

案.

【详解]解：y=(x+m-2)(x-m)+n

=x2-mx+mx-2x-m2+2m+n

=x2—2x—m2+2m+n

=一加2+2机一1+〃,

则抛物线的对称轴是X=1,

答案第6页，共15页

故答案为：X=l.

16.V15

【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦

是直径.如图，延长NC交。。于点。，连接2。，利用折叠的性质可判断蓝和丽所在圆

为等圆，则根据圆周角定理得到前=丽，所以5C=BD=1,根据圆周角定理得到

乙iBD=90°,再利用勾股定理可计算出AB即可.

【详解】解：如图，延长NC交。。于点。，连接2。，

B--劣弧沿弦AB翻折，AD交翻折后的弧于点C,而前和丽都对ZBAD,

BC=BD，

BC=BD=1,

为直径，。。的半径长为2,

ZABD=90°,4D=4,

在RtAMZ)中，AB=dAD2-BD2=m一F=岳,

故答案为：V15.

17.(l)m=-2

⑵(T4)

【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式.

(1)把M(-2,3)代入y=-x?+/HX+3,即可求出加的值；

(2)根据(1)中求出加的值，得出抛物线的表达式，将其化为顶点式，即可求出顶点坐

标.

【详解】(1)解：把”(-2,3)代入＞=一/+〃a+3得：

3=-(-2)2-2/M+3,

答案第7页，共15页

解得：m=-1-

（2）解：由（1）可得：m=-1,

，该抛物线的解析式为y=_2x+3=-（x++4,

抛物线的顶点坐标为（T,4）.

18.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识，解

题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）在圆弧上取。点，连接48,BD,作线段48,2。的垂直平分线交于点。，点。即

为所求；

（2）根据垂径定理，由（1）中作图，得则点C即为所求.

【详解】（1）解：如图，点。为所求的圆心，则补全它原来的形状如图所示；

（2）解：如图，点C即为所求作.

19.（1）见解析

（2）36°

⑶工

2

【分析】本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数，

（1）根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出8选项的人数，再补全统计

图即可；

（2）求出N选项所占的百分比，再乘以360。可得答案；

（3）根据概率公式计算即可.

答案第8页，共15页

【详解】(1)样本的容量为10+20%=50,

则参加2项目的人数为50-5-10-10=25.

补全统计图如下：

(2)A区域扇形圆心角的度数为总x36(T=36。；

(3)根据题意可知/项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是

1

4-2,

20.⑴见解析

(2)100°

【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键.

(1)连接先根据直径所对的圆周角是直角得到/D/2C,再根据等腰三角形的三线

合一性质得到/BAD=ZCAD,进而可得结论；

(2)连接根据圆周角定理求得N8O£=2/A4C=80。，进而求得=100。可求

解.

【详解】(1)解：连接如图，

ZADB=90°,即

■.■AABC是等腰三角形，

NBAD=ZCAD，

答案第9页，共15页

：•BD=DE；

（2）解：连接OE,

•••ZBAC=40°,

ZBOE=2ABAC=80°,

.•/OE=180°-/BOE=100°,

则弱的度数为100°.

21.（l）y=-2x+70

⑵销售单价为22.5元/千克时，苹果的每天销售利润最大，最大利润是312.5元

【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识.

（1）由图象过点（30,10）和（35,0）,利用待定系数法求直线解析式；

（2）每天利润=每千克的利润x销售量.据此列出表达式，运用函数性质解答.

【详解】（1）解：设〉=丘+6,图象过点（30,10）和（35,0）,则

广。左+6=10

\35k+b=0'

》关于X的函数关系式为>=—2x+70；

（2）解：设每天的利润为0,由题意得:

p=（x-l0）y

=（x-10）（-2x+70）

=-2X2+90X-700

a=-2<0,

•••P有最大值，

当x=]=22.5时，p最大值=?=312.5.

答：当销售单价为22.5元/千克时，苹果的每天销售利润最大，最大利润是312.5元.

答案第10页，共15页

22.（1）上3=工£，L^=—L,L=­L

34〃n

⑵s.=M

n

【分析】本题考查了圆的周长、面积.正确求出小圆的半径是解题的关键.

（1）把45分成三条相等的线段，则小圆半径为三2尸;=r每个小圆的周长为

3x23

p11

4=2^--=--（2^r）=-Z；同理，把43分成四条相等的线段，每个小圆的周长为

La=2兀三=；・&兀r）=；L；把42分成"条相等的线段，每个小圆的周长为

44'74

=2/r--=--（2^r）=-Z；

nnn

2尸r

（2）由题意知，把大圆直径平均分成"等分时，小圆半径为一则每个小圆的面积

77x2n

【详解】（1）解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为三=

3x23

,］1

・•・每个小圆的周长为乙=2%；

2尸r

把45分成四条相等的线段，则小圆半径为==:，

4x24

尸］1

;每个小圆的周长为4=2%7=］（2万厂）=产；

把42分成"条相等的线段，则小圆半径为J2〃=F

HX2n

y11

二每个小圆的周长为4=2%一=一一（2%厂）=一/；

nnn

•4=/，L"=L［；

34〃

（2）解：由题意知，把大圆直径平均分成”等分时，小圆半径为2二〃=°r,

HX2n

••.每个小圆的面积s.

23.（1）有上确界，上确界为0

⑵6=1

(3)-1或升产

答案第11页，共15页

【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质,

二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键.

(1)根据上确界的定义，结合二次函数的性质即可求解；

(2)根据上确界的定义，结合一次函数的性质即可求解；

(3)分当2aW-4时，贝1|aWO,当2a2-a+1时，则a2；,当-a<2a<-a+1时，则

0<«<1,三种情况，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：y=-x2+2x-l=-(x-1)2,

抛物线开口向下，顶点坐标(1,0),

有上确界，上确界为0；

⑵解：•.•y=3x+6(x426+l),

随x值的增大而增大，

y=3x+b(x<2b+l)以10为上确界的有上界函数，

.•.3(26+1)+6=10,

•••6=1；

(3)解：；J=f2+4ax+l(-a4x4-a+1)的对称轴为直线x=2a,开口向下，

当2aW时，贝Ia40,

y的最大值为^=-(-〃)2+4<7(-〃)+1=-5/+1,

・・.-4为上确界，

-5/+1=—4,

解得：。=-1或4=1(舍去)；

当2a2—a+1时，贝!J。之g,

y的最大值为y-—Q+1)+4。(-q+1)+1=—5a2+6Q,

•・,-4为上确界，

—5/+6a=—4,

解得：°=1±叵或4=三叵(舍去)；

55

答案第12页，共15页

当一〃<2〃v一〃+1时，则0<a<；,

y的最大值为歹=一(2。『+4a・2a+l=4/+1,

・「-4为上确界，

4/+1=—4,

4/二—5,

・.•无解.

综上所述：。的值为-1或小运.

5

24.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)4

【分析】(1)根据点C是弧的中点，得到NC=BC,利用同弧所对的圆周角相等得

ZCAE=