中考数学专项复习：古代数学文化中的二元一次方程组的应用（原卷版）

专题14古代数学文化中的二元一次方程组的应用（原卷版）

专题解读：因为中考必考又有趣，所以练练很必要！

一、《算法统宗》里的二元一次方程组的应用

1.（2021秋•招远市期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东

方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧

三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1

人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题.

程大位

2.（2022春•丹阳市期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，

一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么有7人无房

可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？该批住店房客多少人？

3.（2022春•邦州区校级月考）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子,

若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两.问银子共有多少两？

4.（2020•蜀山区校级一模）《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多

十八，试问能算者，合与多少肉”，其大意是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差

30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两多少文？

5.（2019•颍泉区模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水

井深度，绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，问绳长、井深各是多少

尺？若设这个问题中的绳长为x尺，求尤的值.

二、《九章算术》里的二元一次方程组的应用

6.（2022春•漂阳市期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足中有题译文如下：今有人合伙

买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？

7.（2022•安徽模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典北作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白

银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”意思是“甲袋中装有黄

金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交

换1枚后.甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？”试求黄金、

白银每枚的重量.

8.（2022春•铜山区期末）《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六

两.问牛、羊各值金几何？”译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16

两银子.问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”

根据以上译文，解决下列问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）某人计划用17两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），共有几种不同的购买方

案？请列出所有可能的方案.

9.（2022春•青县期末）阅读下列材料:

《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿.其中提出并解决了一个在数学

史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值

钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何

译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡,

问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

结合你学过的知识，解决下列问题：

（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，

①小鸡有只，买小鸡一共花费文钱；（用含x,y的式子表示）

②根据题意，列出一个含有x,y的方程：；

（2）若对“百鸡问题”增加一个条件母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各

有多少只？

（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解.

10.（2022•安徽一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一

十秉.下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉.问：上、下禾实一秉各几何？

大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其

中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当.问上、下禾每1束之实各为多少？

11.（2022•包河区校级一模）《九章算术》中记载这样一道问题.

原文“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、

雀各重几何？”

译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交

换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”

请解答上述问题.

12.（2022•安徽二模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有一

根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节

的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差.

请解答上述问题.

13.（2021春•同安区月考）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、

羊五，直金十六两.”意思是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银子.

（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？

以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：

分析：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列表分析：

品种单价个数总价合计所付银两

第一次牛X55x5x+2y19

羊y22y

第二次牛X216

羊y5

从而列出方程组:

产+2rI。①，则①+②，得____,所以，无+尸—.

\电一

小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是

我们通常所说的“整体思想”.

（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；

对于实数x,y,定义新运算：x&y=ax+力-1,其中a,6是常数.已知2笆）5=4,2便）3=2,求1（8）2的

值.

三、《孙子算经》里的二元一次方程组的应用

14.（2022春•滑县期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五

寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将

绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算.

15.（2022•蓝田县二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知

所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹.问人、绢各几何？大意是：有几

个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说“每人分6匹，会剩

下6匹；每人分7匹，还差7匹.”问有多少盗贼？多少匹绢？

16.（2021•安徽二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问

人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最

终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

17.（2021•义安区二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大

马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦.问有多少匹大马、多少匹小马？

18.（2021•双阳区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人

2

各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的『那么乙也共

有钱48文.甲、乙两人原来各有多少钱?

19.（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的《孙子

算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几

何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条

腿，问笼中各有几只鸡和兔？

20.（2018•利辛县模拟）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》

中记载