浙教版八年级数学下册常见几何模型解读与提分训练：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（原卷版）

专题02最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型

将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的

思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型

和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长

度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连

线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造

桥）再也不是问题！.

模型1.将军遛马模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】已知A、8是两个定点，P、。是直线山上的两个动点，P在Q的左侧，且间长度恒定，在

直线机上要求P、。两点，使得出+PQ+QB的值最小。（原理用平移知识解）

（1）点A、2在直线机两侧：（2）点A、2在直线相同侧：

AC

A.

―不~~~Q9，n'P

••

BB

如图1如图2

（1）如图1,过A点作AC〃优，且AC长等于长，连接BC,交直线机于。。向左平移P。长，即为P点，

此时P、。即为所求的点。（2）如图2,过A点作AE〃肛且AE长等于PQ长，作2关于机的对称点方，连

接夕瓦交直线相于。,0向左平移尸。长，即为尸点，此时尸、。即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2023・西安•统考一模）问题提出：在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,点、E、歹分别为边A。、BC±.

的点，且AE=1；BF=2.（1）如图①，尸为边A8上一动点，连接EP、PF,则EP+PF的最小值为；

（2）如图②，P、M是边上两动点，且PM=2,现要求计算出EP、PM、和的最小值.九年级一班

某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在ZM的延长线上取一点E,使再过点E作A2的平行

线£C,在EC上E"的下方取点使£射=2,连接时尸，则与A8边的交点即为再在边上点M

的上方取尸点，且PM=2,此时EP+PM+MP的值最小.但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老

师，田老师高兴地说："你们的做法是有道理的现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小

值；问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为

M、N两个村同时输电.如图所示，农田区两侧与。平行，且农田区宽为0.5千米，M村到的距离

为2千米，N村到C。的距离为1千米，M、N所在的直线与A8所夹锐角恰好为45。，根据架线要求，在农

田区内的线路要与垂直.请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度.（要求：

写出计算过程，结果保留根号）

例2.（2022•四川内江,统考中考真题）如图，矩形ABC。中，4B=6,AD=4,点、E、尸分别是AB、0c上

的动点，EF〃BC,则AP+CE的最小值是.

B

例3.（2023年山东中考三模）如图，在菱形ABCD中，BC=4,ZABC=60,在8C边上有一线段时由8向

C运动，点/到达点C后停止运动，E在歹的左侧，EF=1,连接尸，则△AEF周长的最小值为（）

A.45/3+1B.4A/3+2C.7D.8

例4.（2023年陕西中考模试）如图，菱形A8C。的边长为6百，MBC=60。，点E、尸在对角线8。上运动,

且皮）=0凡连接AE、AF,则AAEb周长的最小值是.

例5.（2023•江苏•校考一模）如图，在边长为2的正方形ABC。中，连接对角线AC,将0AOC沿射线CA的

方向平移得到财'。'。，分别连接8C,AD',BD',则8C+8D'的最小值为.

例6.（2023下•湖北武汉•八年级统考期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=43AB,将沿

射线的方向平移，得至UEFG,连接EC,ED,FC,则EC+PC的最小值为.

模型2.将军过桥（造桥）模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】

【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：

桥建在何处能使路程最短？

考虑长度恒定，只要求AM+A®最小值即可.问题在于AM、N2彼此分离，所以首先通过平移，使AM

与连在一起，将AM向下平移使得/、N重合，此时A点落在4位置（图2）.

问题化为求A'N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）.

图1图2图3

【双桥模型】已知，如图4,将军在图中点A处，现要过两条河去往8点的军营，桥必须垂直于河岸建造,

问：桥建在何处能使路程最短?

图4图5图6

考虑PQ、均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移

使其连接到一起.AP平移至A'。，平移至河/，化AP+QW+NB为A0+QW+M9.（如图5）

当4、。、M、9共线时，4Q+QM+MB取到最小值，再依次确定P、N位置.（如图6）

【最值原理】两点之间线段最短。

例L（2023.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些:

（1）如图1,如果。b,在a上任取一点P,作PQJSb于点Q,则线段PQ的长度叫a,b之间的距离.

如果在a上再取一点M,作MN0b于点N,则线段MN可以看成由线段PQ平移得到，即MN=PQ,这就得

到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等.根据平移还有哪些线段相等

（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2,直线a,b表示一条河的两岸,

且。b.现在要在这条河上建一座桥.使村庄A经桥过河到村庄B.现在由小明、小红两位同学设计:

小明：作AD回a,交a于点D,交b于点C.在CD处建桥.路径是A-C-D-B.

小红：作ADEIa,交a,b于点D,点C；把CD平移至BE,连AE,交b于G,作GFEIa于F.在FG处建桥.路

径是A-G-F-B.

问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.

（3）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3点某船从旧桥下到新桥下,

到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16千米，水流每小时4千米，在当晚23点时有

人看见船在离旧桥80千米处行驶求这两桥之间的距离.

例2.（2022上•湖北襄阳•九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2,A、8两地到河岸边

的距离均为1,AH=BF=1,AD=1,BE=9,现欲在河道上架两座桥MN、PQ,+MN+NP+PQ+QB

最小，则最小值为（）

C.14D.12

例3.（2023•广西•二模）已知，在河的两岸有A,B两个村庄,河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB

10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米,计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M

点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.2^/13B.1+375C.3+屈D.785

例4.（2023.广东省深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABC。，以点。为原点，OC所在的直线为x

轴，建立直角坐标系，交y轴于点4。=4,0c=10,0A=6O°,线段EF垂直平分。。点P为线段EF

上的动点,PMHx轴于点M点，点E与E关于x轴对称，连接则BP+PM+ME的长度的最小值为.

y

例6.（2023春•湖北武汉•八年级统考期中）如图，在YABCD中，AB=2,AD=5,M、N分别是AD、BC

边上的动点，且NABC=NWB=60。，则BM+MN+ND的最小值是.

例6.（2023,山东济南•统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB<,AD=3,若点E是边AD上的一个动

点，过点E作跖1AC且分别交对角线AC、直线8C于点。、F,则在点E移动的过程中，AF+FE+EC

课后专项训练

1.（2023下•江苏无锡•八年级统考期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=12,BE=4,

M、N分别为边C。、AB上的动点，且始终保持MNLAE,则AM+NE的最小值为（）

A.8B.8石C.8也D.12

2.（2023下•安徽滁州•八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，边AB,AD的长分别为4和3,点E在8

上，点尸在的延长线上，且比=即，连接FC,当点E在边8上移动时，AE+尸C的最小值为（）

A.7B.2y/13C.10D.773

3.（2023下•广东广州•八年级统考期末）如图，在边长为10的正方形ABCO对角线上有E,尸两个动点,

且48=血后尸，点尸是BC中点，连接则AE+尸产最小值为（）

A.575B.10A/5C.5A/2D.10

4.（2023•安徽•校联考模拟预测）如图，在四边形ABC。中,对角线AC,班＞相交于点。，AC=BD=5,

ZAOB=120°,则AB+CD的最小值为（

A.8B.10C.5石D.3石

5.（2023•安徽合肥•合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形ABC。中，点E、尸是对角线8。上的两个

动点，且始终保持所-班=1,连接AE、CF,则AE+C户的最小值为（）

A.2A/2B.3C.2A/5D.2小+1

6.（2023下•辽宁鞍山•八年级统考期末）如图，河的两岸有A,8两个水文观测点，为方便联络，要在河上

修一座木桥"N（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A,8两点到河岸的距离分别是5米，4

米，河宽3米，且A,8两点之间的水平距离为12米，贝AM+AW+NB的最小值是米.

7.（2023・江苏无锡,统考二模）如图，在YA3CD中，AB=2,AD=5,M、N分别是AD、BC边上的动点,

且NABC=4CVB=60。，则BM+A1N+N。的最小值是

8.（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1,已知平行四边形ABCO,以点。为原点，OC所在的直线为x

轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,0A=6O°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,

点P为线段EF上的动点，PM取轴于点M点，点E与F关于X轴对称，连接BP、E，M.

（1）请直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；

（2）当BP+PM+ME，的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为;

图1

9.（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有A（0,3）,。（5,0）两点.将直线j丫=%

向上平移2个单位长度得到直线4,点B在直线4上，过点B作直线4的垂线，垂足为点C,连接AB,BC,

CD,则折线ABC。的长AB+BC+CD的最小值为

10.（2023上•北京西城•八年级校考期中）如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,D,E为A3边上

的两个动点，且=连接。，CE,若AC=8,则CD+CE的最小值为.

11.（2023上•福建漳州•八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4,点£是8的中点，P,

。为8C边上的两点，且尸。=1,则四边形APQE周长的最小值为

12.（2023下•四川绵阳•八年级统考期中）如图，在平行四边形ABC。中，ZABC=120°,AB=正，连接8D,

且BDLCD,CE平分ZDCB交AD与于点E.点N在BC边上，BC=4CN,若线段尸2（点尸在点。的左

侧）在线段CB上运动，尸。=巫，连接BP,NQ,则2P+PQ+QN的最小值为.

2

13.（2023・辽宁抚顺,统考三模）如图，在矩形ABCD中，AS=2,AD=4.若点E是边BC上的一个动点,

过点E作跖/AC,交直线AD于点凡则点E移动的过程中，AE+CF的最小值为

14.（2023,陕西西安•校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形ABC。中，ZABC=60°,将△ABD沿射线8。

的方向平移，得到则A'C+3'C的最小值为

15.（2023下•安徽芜湖•八年级统考期末）如图,正方形ABC。的边长为8,点E在AB上，BE=2,息M,

N为AC上动点，&MN=2插,连接BN,EM,则四边形周长的最小值为

16.（2023上•重庆沙坪坝•八年级校考阶段练习）己知点4（1,0）函数y=x+l的图象上有两个动点尸、。，且

PQ=3近,则四边形OPQA的周长最小值是

17.（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在CC'处角转弯，河宽相同，从A处到达8处，须

经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到

8的路程最短，请确定两座桥的位置.

A

18.（2023上•陕西西安•九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在,ABC中，=AC=6,4BAC=120。,

点Z）,E分别是AB,AC的中点.若点M,N分别是DE和上的动点，则AM+MN的最小值是.

（2）问题探究：如图②，A和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处,

才能使从A到8的路径AfN-3最短.博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过