直角三角形过关检测-2024年中考数学一轮复习（全国解析版）

专题18直角三角形过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.在△48C中，ZA=40°,ZC=90°,则的度数为（)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【解答】解：在△48C中，ZC=90°,

则N/+N8=90°,

VZA=40°,

/.Z5=90°-40°=50°,

故选：B.

2.一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为（)

A.10B.13C.7D.14

【答案】A

【解答】解：由勾股定理可得,

斜边长为：J62+82=10,

故选：A.

3.如图，在△/2C中，已知NC=90°，AC—5cm,BC=12cm,则斜边AB上的高为（

D60c机

cirC.30cm

13

【答案】D

【解答】解：过C作于〃,

VZC=90",AC=5cm,BC=12cm,

22=13

VAC+BC(cm),

:△/BC的面积=LB・C7/=LC・8C,

22

；.13C7/=5X12,

；.CH=也,

13

斜边上的高为弛.

13

故选：D.

C1-------------------------

4.如图，在RtZ\43C中，/C=90°，CD为43边上中线,过点。作连接ZE,BE,若/E=

10,CD=8,则。£的长为（）

E

C

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解答】解：在RtZUBC中，ZACB=90°,CD为48边上中线CD=8,

则AD=CD=8,

9：DELAB,4£=10,

•'-D£=VAE2-AD2=V102-82=6）

故选：D.

5.如图，在△/2C中，/4BC为直角，N/=30°,ADL/C于。，若CD=2,则4c的长为（

A

CZ^B

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解答】解：•.•△48C中，NN8C=90°,ZA=30°,

：.ZBCD=60°,

于D,

/.ZDBC=ZA=30°,

'：CD=2,

：.BC=4,

：.AC=8,

故选：A.

6.如图，若要用“HL”证明RtZ\/3C0RtZk/2D,则还需补充条件（）

A./BAC=/BADB.AC=4D或BC=BD

C.NABC=/ABDD.以上都不正确

【答案】B

【解答】解：若要用"血"证明Rtz\/8C丝Rt448。，则还需补充条件/C=4D或3C=AD,

故选：B.

7.如图，N/=/D=90°,AC=DB,则△NBC也△Z）C2的依据是（）

【答案】A

【解答】解：HL,

理由是：：//=/。=90°,

在RtA45c和RtADCS中

[AC=BD,

IBC=BC'

.,.RtA^5C^RtAZ)C5(HL),

故选：A.

8.下列各组数是勾股数的是()

A.1,V2，V3B.0.6,0.8,1C.5,11,12D.8,15,17

【答案】D

【解答】解：/、I2+(V2)2=(V3)2;V2-«不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；

B、0.62+0.82=12,0.6、0.8不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；

C、52+112^122因此不是勾股数，不符合题意；

D、82+152=172都是正整数，符合题意，因此是勾股数，符合题意.

故选：D.

9.如图，长为8c加的橡皮筋放置在数轴上，固定两端/和3,然后把中点C垂直向上拉升3c加到。点,

则橡皮筋被拉长了()

【答案】A

【解答】解：：点C为线段的中点,

.'.AC=^AB=4cm,

2

在Rt/X/CD中，CD=3cm；

根据勾股定理，得：

^D=VAC2<D2=5(CW);

"：CD±AB,

；./DC4=NDCB=90°,

在△4DC和△2DC中，

DC=DC

<NACD=NBCD，

LAC=BC

:.AADC<ABDC(SAS),

'.AD=BD=5cm,

J.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)；

••.橡皮筋被拉长了2cm.

故选：A.

10.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的

记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是

由图1放入长方形内得到的，/A4c=90°,AB=6,8c=10,点D,E,F,G,H,/都在长方形KLW7

的边上，则长方形AIM/的面积为()

图1图2

A.420B.440C.430D.410

【答案】B

【解答】解：如图，延长48交缸于尸，延长/C交LW于0,

图2

由题意得，NBAC=NBPF=NFBC=9Q°,BC=BF,

：.NABC+NACB=9Q°=NPBF+/ABC,

：.NACB=NPBF,

：./\ABC^/\PFB(AAS),

同理可证△48C且(AAS),

：.PB=AC=8,CQ=AB=6,

•••图2是由图1放入长方形内得到，

，/尸=8+6+8=22,00=6+8+6=20,

长方形的面积=22X20=440.

故选：B.

二、填空题（本题共6题，每小题2分，共12分）。

11.直角三角形的一个锐角为25°,则它的另一个锐角为65度.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•••直角三角形的一个锐角为25°,

它的另一个锐角为90°-25°=65°.

故答案为：65.

12.如图，在中，/4CB=90°,以/C为边向外作正方形4DEC,若图中阴影部分的面积为

【答案】5.

【解答】解：:正方形ADEC的面积为9,

：.AC2=9,

在RtZX/BC中，由勾股定理得，

VAC2+BC2=V9+16=5〈cm）,

故答案为：5.

13.如图，CO是Rt448C的中线，/ACB=9Q°,NCD/=120°,则N3的度数为60°

【答案】60°.

【解答】解：,.,N/C8=90°,CD是△4BC斜边48的中线,

：.AD=CD=BD,

，ZDCB=ZDBC.

,?ZCDA是△CDS的一个外角,

ZCDA=12Q°,

AZDCB+ZDBC=nO°.

：.ZDBC^60°.

故答案为：60°.

14.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，设大树高为/3=10米，

小树高为CD=4米，

过C点作CEL/8于E,则K2DC是矩形，

连接NC,

：.EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=IO-4=6（米）,

在RtZ\/EC中，/C={AE2+EC2=1。（米），

故答案为：10.

15.如图，△48C中，AB=AC,ZBAC=120°,的垂直平分线交于点£,交8c于点R若BF=

3.5,则CF=7

A

E

BF\C

【答案】7.

【解答】解：连接/凡如图,

•,-ZB=ZC=yX(180°-120°)=30°，

•.•斯垂直平分线段45,BF=35,

；.BF=AF=35,

ZB=ZBAF=3O°,

：.ZFAC^ZBAC-ZBAF^90°,

.,.在RtZUEC中，ZC=30°,有FC=24F=7,

故答案为：7.

16.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A,2是这个台阶上两个相

对的端点，/点有一只蚂蚁，想到3点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到8点最短路程是

米.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2,宽为(0.2+0.3)X3,

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x,

由勾股定理得：X2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.52,

解得x=2.5.

三、解答题（本题共7题，共58分）。

17.（6分）如图，在RtZ\/2C中，/4CB=90°,DE过点C且平行于若/BCE=35°,求//的度

数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：；DE〃AB,

：.ZB=ZBCE=35°,

.•.N/=90°-35°=55°.

18.（8分）如图，在△/2C和△DC2中，//=ND=90°,AC=BD,NC与AD相交于点。.

（1）求证：AABC咨ADCB；

（2）△02C是何种三角形？证明你的结论.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）在△43C和△DC3中，//=/。=90°,

在RtZ\/8C和RtADCB中，

（AC=BD

IBC=BC'

RtAABC^RtADCB（HL）；

（2）△OBC是等腰三角形，

由（1）得：RtZXNBC丝RtZ\£>C8,

ZACB=ZDBC,

：.OB=OC,

...△O8C是等腰三角形.

19.（8分）如图，RtZ\4BC中，NB4C=9Q°,NC=30°,4D_L2C于。，BF平分/4BC,交AD于E,

交4c于F.

（1）求证：△/£尸是等边三角形；

（2）求证：BE=EF.

【答案】(1)证明见解答过程；

(2)证明见解答过程.

【解答】证明：(1)•：ZBAC=90°,ZC=30°,

AZABC^60°,

；BF平分NABC,

：.ZABF=ZCBF=30°,

'CADLBC,

:.NADB=90°,

：.ZAEF=ZBED=90°-ZCBF=60°,

NAFB=9Q°-ZABF=60°,

:.NAFE=/AEF=6Q°,

.•.△ZE尸是等边三角形；

(2)；402=90°,N/BC=60°,

：.ZBAE=ZABF=30°,

：.AE=BE,

由（1）知△NE尸是等边三角形,

：.AE=EF,

：.BE=EF.

20.（8分）如图，在△N8C中，CDJ_48于点。，AC=6,8c=8,AB=1O.求:

（I）△48C的面积；

（2）线段CD的长.

【答案】⑴24；

（2）4.8.

【解答】解：（1）：NC=6,BC=8,AB=W,

：.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

.•.△NBC的面积=，ACXBC=/x6X8=24；

（2）△NBC的面积=/ACXBC=/ABXCD，

.*.6X8=10C£>,

；.8=4.8.

21.（8分）如图1,同学们想测量旗杆的高度分（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出

了一段，但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：

小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；

②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2.

小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点。处（8O=8C）.

(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度〃米；

(2)已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图2,设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为G+1)米,

在RtZUBC中，由勾股定理得：X2+42=(X+1)2,

解得：x=7.5,

故旗杆的高度为7.5米；

(2)由题可知，BD=BC=15米,OE=4.5米.

在RtZXBDE中，由勾股定理得：3炉+4.52=7.52,

解得：BE=6,

：.EC=BC-BE=1.5-6=1.5(米)，

：.DF=EC=1.5米.

故绳结离地面1.5米高.

22.(10分)【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形,

通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为°、b,斜边长为c.图中大正

方形的面积可表示为Q+6)2,也可表示为c2+4xLb,即(a+6)2^c2+4xlab,所以层+庐二。2.

22

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一

个直角梯形8CDE,其中丝ZC=Z£>=90°,根据拼图证明勾股定理.

【定理应用】在RtZ\48C中，ZC=90°,//、/B、NC所对的边长分别为a、b、c.

求证：a1c2+a2b2=c4-b4.

ab

【答案】【尝试探究】见解析；

【定理应用】见解析.

【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S=L(a+b)(6+〃)=ab+l.(aW),

22

=22

利用分割法，梯形的面积为S=S^J4BC^-S^4BE^SADE-^aZ?+AC+AaZ)=ab+-^c,

22