中考数学压轴大题专练：一线三等角模型（解析版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题4一线三等角模型

解题策略

X__________________Z

在直线AB上有一点P,以A,B,P为顶点的Nl,Z2,N3相等，Zl,N2的一条边在直线AB上，另一

条边在AB同侧，N3两边所在的直线分别交Nl,N2非公共边所在的直线于点C,D.

1.当点P在线段AB上，且N3两边在AB同侧时.

(1)如图，若N1为直角，则有AACPs^BPD.

(2)如图，若N1为锐角，则有△ACPs/\BPD.

2.当点P在AB或BA的延长线上，且N3两边在AB同侧时.

如图，则有△ACPS^BPD.

3.当点P在AB或BA的延长线上，且N3两边在AB异侧时.

如图，则有AACPSABPD.

/------------------\

经典例题

\/

【例1】.(2022•全国•八年级课时练习)(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本

图形.如图1,已知：在△48C中，Z.BAC=90°,ABAC,直线/经过点A,BD1直线/,CE，直线/,

垂足分别为点Q,E.求证：DE=BD+CE.

（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△力8c

中，AB=AC,D,A,E三点都在直线/上，并且有NBDA=^AEC=4BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请

问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过A4BC的边AB,

AC向外作正方形ABOE和正方形ACPG,是BC边上的高.延长交EG于点/.若S-EG=7,贝U

^AAEI=--------------

【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5

【分析】（1）由条件可证明△妾△CAE',可得ZM=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE；

（2）由条件可知/BAO+/C4E=18（）o-a,且/Z）BA+NB4O=180O-a,可得NQ54=NCAE,结合条件可证明

△ABD2ACAE,同（1）可得出结论；

（3）由条件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,结合条件可证明4EMI^^GNI,可得出结论/是EG的中点.

【详解】解：（1）证明：如图1中，直线/,CEJ_直线/,

ZBDA=ZCEA=9Q°,

'：ZBAC=9Q°,

：./54£>+/CAE=90。，

,/ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在△4。3和4CEA中，

NABD=/.CAE

Z.BDA=Z-CEA,

AB=AC

：.AADB^ACEA（A4S）,

：.AE=BD,AD=CEf

：.DE=AE+AD=BD+CE.

（2）解：成立.

理由：如图2中,

ZBDA=ZBAC=a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

NDBA=NCAE,

在△4。5和4CEA中，

2BDA=Z-AEC

Z-DBA=Z-CAE,

、AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

：・AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(3)如图3,过E作EM,印于M,GNJ_H/的延长线于N.

图3

JZEMI=ZGNI=90°

由（1）和（2）的结论可知EM=A"=GN

：.EM=GN

在^EM/和^GNI中,

2GIN=乙EIM

EM=GN,

/GNI=乙EMI

：.AEM/^AGMG4AS）,

：.EI=GI,

•”是EG的中点.

：.SAAEI=-SAAEG=3.5.

故答案为：3.5.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟

练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【例2】.(2022•全国•八年级专题练习)在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有48=AC,

且满足=AAEC=^BAC=a.

(1)如图1,当a=90。时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<a<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说

明理由；

(3)应用：如图3,在△ABC中，NB力C是钝角，AB=AC,/.BAD<ACAE,ABDA=^AEC=^BAC,直线与

CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△力BC的面积是12,求△FBD与△ACE的面积之和.

【答案】⑴DE=BD+CE

(2)DE=BO+CE仍然成立，理由见解析

(3)AFBD与△ACE的面积之和为4

【分析】(1)由/Ba4=NBAC=NAEC=90°得到/BAQ+NEAC=N8AQ+/r>BA=90°,进而得到/DBA

=ZEAC,然后结合A2=AC得证△DBA丝△EAC,最后得到DE=B£)+CE；

(2)由NBZM=/BAC=NAEC=a得到/朋。+/£>^=/&4£)+/£)84=180°-a,进而得到/£>2A=

ZEAC,然后结合AB=4C得证△OBAg/XEAC,最后得至I」OE=BO+CE；

(3)由/BADANCAE,NBDA=NAEC=NBAC,得出NCAE=/A3D,由AAS证得得

出S4ABD=S^CE4,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出SAAB尸即可得出结果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,/ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

AZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA^90°,

：.ZDBA^ZEAC,

"：AB=AC,

：.(AAS),

J.AD^CE,BD=AE,

・・・DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

•.・NBDA=ZBAC=ZAEC=af

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD^ZDBA=1SO°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

•：AB=ACf

.,.△DBA^AEAC(AAS),

：.BD=AEfAD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：'：ZBAD<ZCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZCAE=ZABD,

在AABO和△CAE中，

2ABD=/.CAE

Z.BDA=Z-CEA,

、AB=AC

：.AABD^/\CAE(AAS),

:.S^ABD=S/\CAE9

设AABC的底边8C上的高为h,则AAB/的底边上的高为h,

：.SAABC^-1BC-h^l2,S4ABF=1*F・h,

22

,:BC=3BF,

：.SAABF=4,

■:S△ABF=SABDF+SAABD=SAFBD+SAACE=4,

：.AFBD与AACE的面积之和为4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌

握全等三角形的判定与性质.

【例3】.(2022•浙江绍兴.模拟预测)如图，ANBC中N8=NC=30°,乙DEF=30°,且点E为边BC的中点.将

4DEF绕点、E旋转,在旋转过程中，射线DE与线段48相交于点P,射线EF与射线C4相交于点Q,连结PQ.

图1备用图

(1汝口图1,当点Q在线段C4上时，

①求证：4BPES&CEQ；

②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；

(2)当△4PQ为等腰三角形时，求当的值.

Dr

【答案】(1)①见解析，②B⑶=BPCQ

(2)1或3

【分析】⑴①推导角度关系可得NCEQ=/BPE,结合4B=/C即可得出结论；②由①中相似可得案=美，

结合8E=CE即可得出结论；

(2)。点可能在线段C4上或者线段CA的延长线上，分两种情况讨论，结合(1)中的相似三角形即可得

出结果.

(1)

解：①：/DEF=30。，ZB=30°,

ZBED+ZCEQ=150°,ZBED+ZBPE=150°

：.ZCEQ=ZBPE,

'：ZB=ZC,

：.4BPES/\CEQ；

②B3=BP.CQ,理由如下：

ABPEsMEQ

.BEBP

9'CQ=CE

:・BECE=BPCQ

・・•点E为边3C的中点，

：.BE=CE,

；.B»=BPCQ；

(2)

解：①当点。在线段AC上时，

•・・ZA=180°-ZB-ZC=120°,为钝角,

・•・AAP2为等腰三角形时有AP=AQ,

,:/B=/C,

：.AB=AC,

：.BP=CQ,

工1

BP—

②当点。在线段CA的延长线上时，如图：连接尸。

VZBAC=120°,

ZBAQ=60°,

当△APQ为等腰三角形时，有AAP。为等边三角形

设A5=AC=2〃，则3C=2V5〃，

BE=CE=y[^a,

设AQ=AP=x,

贝ljCQ=2a+x,BP=2a-x,

由(1)得：BE7=BPCQ

/.(百〃)2=(2〃+x)(2〃-x),

解得：x=a,

:・BP=a,CQ=3a,

.•.丝_3

BP—

综上器的值为1或3.

Dr

【点睛】本题考查三角形相似综合问题，熟练掌握一线三等角的相似三角形模型是解题关键.

培优训练

X.______________________________

一、解答题

1.(2022・全国•八年级课时练习)在△力BC中，^ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且2D1MN于

D,BE1.MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时.

①请说明AADC三△CEB的理由；

②请说明DE=AD+BE的理由；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD,8E具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证

明.

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD.BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等

量关系：•

【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析

(2)DE=AD-BE,证明见解析

(3)DE=BE-AD

【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等，根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明

AD,EB、DE之间的关系.

(1)

解：①于。，BE工MN于E,

J./.ADC=乙BEC=90°,

V^ACB=90°,

：.^ACD+^BCE=90°,

^ACD+^DAC=90°,

：./-DAC=乙BCE,

在△ADC和△CEB中

AADC=乙BEC

Z-DAC=乙BCE,

、AC=BC

••AA^DC£△CEB,

®*：LADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

*：DC+CE=DE,

••AD+EB=DE,

(2)

结论：DE=AD—BE,

•；BE1EC,AD1CE,

C.Z.ADC=乙BEC=90°,

・EBC+乙BCE=90°,

・・,乙4cB=90°,

：.AACE+^BCE=90°,

：./-ACD=乙EBC,

••AA^DC=ACEB,

：.AD=EC,CD=BE,

••DE=EC-CD=AD—EB,

(3)

结论：DE=BE-AD,

LACB=90°,

：.^ACD+^BCE=90°,

■:BE1MN,AD1MN,

：.AADC=乙DEC=90°,

：.^ACD+Z.DAC=90°,

：.Z.DAC=乙BCE,

在△40C和△CEB中

Z.ADC=乙BEC

乙DAC=乙BCE

、AC=BC

••△ADC=△CEB,

：.AD=EC,CD=BE,

：.DE=CD-EC=EB-AD.

【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质，灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键.

2.(2022•江苏•八年级课时练习)(1)如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,BD1

直线相，CEL直线加，垂足分别为点。、E.求证：AABD义ACAE；

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有

=NAEC=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△A3。丝ZkCAE是否成立？如成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点厂

为N8AC平分线上的一点，且△A8F和△ACP均为等边三角形，连接2£),CE,若NAEC=N54C,

求证：△。跖是等边三角形.

【分析】(1)根据8。1直线zn,CE，直线zn得乙8。4=/.CEA=90。，而NB4C=90°,根据等角的余角相等

得Z,C4E=UBD,然后根据“A4S”可判断AAOB=ACEA；

(2)禾！J用NBZM=Z.BAC=a,则N0B4+Z.BAD=4BAD+/.CAE=180°-a,得出NCAE=乙ABD,然后

问题可求证；

(3)由题意易得BF=4F=AB=AC,NABF=NB4F=NF4C=60。，由(1)(2)易证A4DB三ACEA,

则有4E=BD,然后可得NFB。=/.FAE,进而可证ADBF=^EAF,最后问题可得证.

【详解】（1）证明：:BD1直线zn,CE1直线zn,

・•・Z-BDA=Z.CEA=90°,

•・•ABAC=90°,

・•・乙BAD+^CAE=90°,

•••/.BAD+乙ABD=90°,

•••Z.CAE=乙ABD,

•・•在AZDB和ACE/中，

2ABD=ACAE

Z-BDA=Z.CEA,

、AB=AC

：.AADB=△CE/(44S)；

解：(2)成立，理由如下：

Z-BDA=Z.BAC=a,

・•.匕DBA+乙BAD=/.BAD+Z.CAE=180°-a,

•••Z.CAE=乙ABD,

•・•在A4DB和ACE/中，

2ABD=ACAE

Z-BDA=Z-CEA，

、AB=AC

・•.NADB=△CEZQ4AS)；

(3)证明：:△AB尸和△ACb均为等边三角形，

：.BF=AF=AB=AC,^ABF=^BAF=AFAC=60°,

・•・ZBDA=ZAEC=ZBAC=120°,

•"DBA+乙BAD=乙BAD+Z.CAE=180°—120°,

：.Z-CAE=乙ABD,

:.'ADB=△CEA(44S),

：.AE=BD,

9：Z-FBD=Z.FBA+iABD/FAE=Z.FAC+NCAE,

:,乙FBD=Z.FAE,

C.LDBF=LEAF(SAS),

：.FD=FE/BFD=^AFE,

：.^BFA=乙BFD+^DFA=AAFE+^DFA=4DFE=60°,

...△QPE是等边三角形.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定

与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.

3.（2022.全国.九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：

如图1,^BAD=/-ACB=^AED=90°,由Z.1+乙2+ABAD=180°,Z2+ZD+^AED=180°,可得=

乙D；又因为2CB==90。，可得△4BCFD4E,进而得到繁=.我们把这个模型称为“一线

三等角”模型.

应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2,在△力BC中，AB=AC=10,BC=12,

点尸是BC边上的一个动点（不与3、C重合），点。是AC边上的一个动点，且乙4PD=NB.

①求证：XABPs^PCD；

②当点P为中点时，求CD的长；

拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当AAPD为等腰三角形时，请直接写出2尸的长.

【答案】感知：（1）若；应用：（2）①见解析；®3.6；拓展：（3）2或斗

DE3

【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；

（2）①根据等腰三角形的性质得到/B=/C,根据三角形的外角性质得到即可求证；

②根据相似三角形的性质计算，即可求解；

（3）分以=PD、AP=AD,三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解.

【详解】感知：（1）VAABC^ADAE,

.BC_AC

••=，

AEDE

.BC_AE

••=，

ACDE

故答案为：空;

应用：(2)©VZAPC=ZB+ZBAPfZAPC=ZAPD+ZCPD,ZAPD=ZBf

：.NBAP=/CPD,

9：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.△ABPsfCD；

②3cM2,点尸为5c中点，

：.BP=PC=6,

VAABP^APCZ）,

即U=&,

PCCD6CD

解得：8=3.6；

拓展：（3）当B4=P。时，^ABP"APCD,

：.PC=AB=\O,

：.BP=BC-PC=12-10=2；

当AP=AO时，ZADP=ZAPD,

ZAPD=ZB=ZC,

/.ZADP=ZC,不合题意，

：.AP^AD；

当D4=£）尸时，ZDAP=ZAPD=ZBf

vzc=zc,

・•・ABCA^AACP,

即工=也，

ACCP10CP

解得：CP=g,

2，11

：.BP=BC-CP=12--=—,

33

综上所述，当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或5.

【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形

的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

4.（2022・山东烟台•七年级期末）问题背景：（1）如图①，已知△力8C中，ABAC=90。，AB=AC,直线相

(2)拓展延伸：如图②，将(1)中的条件改为：在△力8C中，AB^AC,D,A,£三点都在直线机上，

并且有NBD4=N4EC=NBaC,请求出OE,BD,CE三条线段的数量关系，并证明.

(3)实际应用：如图③，在AACB中，乙ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(—2,0),点A的坐标为(—6,3),

请直接写出B点的坐标.

【答案】⑴BD；CE；证明见详解；(2)DE=BD+CE；证明见详解；(3)点8的坐标为B(l,4).

【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质得到4E=B。，AD=CE,结合图形解答即可；

(2)根据三角形内角和定理、平角的定义证明乙48。=NC4E,证明AaB。三AC4E,根据全等三角形的性

质得到=AD-CE,结合图形解答即可；

(3)根据AZECmACF8,得到CF=4E=3,BF=CE=OE-OC=4,根据坐标与图形性质解答即可.

【详解】(1)证明：J.CE1m,

：.^ADB=/.CEA=90°,

/.BAC=90°,

ABAD+^CAE=90°,

/.BAD+/.ABD=90°,

：.^CAE=UBD,

在△4。8和4CE4中

2ABD=ACAE

UDB=/.CEA,

♦AB=CA

••△ADB=△CEA^j

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案为：BD；CE；

(2)解：数量关系：DE=BD+CE,

证明：在△48。中，A.ABD=180°-/.ADB-^BAD,

"：^CAE=180°-4BAC-ABAD,^BDA=乙4EC,

；.UBD=ACAE,

在△48£)和小C4E中，

f^ABD=^CAE

\^BDA=^AEC

(AB=CA

△ABDSACAE,

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)解：如图，作4E_L无轴于E,8尸1乂轴于尸,

由（1）可知，4AECSACFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

：.OF=CF-OC=1,

点8的坐标为8（1,4）.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定

理是解题的关键.

5.（2021•浙江.义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形A8C中，

/ACB=90。，CB=CA,直线EO经过点C,过A作A。_L于。，过8作8E_LEC于E.求证：△BE8△CDA；

（2）模型应用：

①已知直线尸况+3与y轴交于A点，与x轴交于2点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC,

4

过点A,C作直线，求直线AC的解析式；

②如图3,矩形ABCO,。为坐标原点，B的坐标为（8,6）,A,C分别在坐标轴上，尸是线段BC上动点,

已知点。在第一象限，且是直线y=2尤-5上的一点，若AAPD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请

直接写出所有符合条件的点D的坐标.

【答案】(1)见解析；(2)y=-,％+3；(3)(3,1)或(9,13)或(三，y)

【分析】(1)由条件可求得NEBC=乙4。。，利用44s可证明ABEC三△CD4；

(2)由直线解析式可求得4、B的坐标，利用模型结论可得CE=BO,BE=AO,从而可求得C点坐标，利

用待定系数法可求得直线4C的解析式；

(3)分两种情况考虑：如图2所示，当N4DP=90。时，AD=PD,设。点坐标为(x,2%-5),利用三角形

全等得到11-2%+x=8,易得。点坐标;如图3所示，当N4PD=90。时,4P=PD,设点尸的坐标为(8,m),

表示出。点坐标为(14-m,m+8),列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，

当NADP=90。时，AD=PD时，同理求出D的坐标.

【详解】解：(1)由题意可得，^ACB=^ADC=Z.BEC=90°,

乙EBC+/-BCE=/.BCE+/.ACD=90°,

:.乙EBC=^ACD,

在△BEC和A中

2EBC=/.ACD

Z-E=Z-D,

BC=AC

：.△BEC=△CDA(AAS)；

(2)过点C作CD1x轴于点D,如图2,

y

在y=-%+3中，令y=0可求得第=—4,令％=0可求得y=3,

4

/.OA=3,OB=4

同(1)可证得ACDB任BOA,

=8。=4,8。=4。=3,

J.OD=4+3=7,

."(—7,4)且4(0,3),

设直线AC解析式为：)/=/d+3,把C点坐标代入可得-7k+3=4,解得k=一点

二直线AC解析式为y=-｝久+3；

过点。作DE1。力于E,过点D作DF1BC于F,

同理可得：4AED任DFP

设D点坐标为(居2%-5),则AE=DF=6-(2x-5)=ll-2x,

"：DE+DF=EF=BC,即ll-2x+x=8,解得x=3,

可得。点坐标(3,1)；

如图3,当N4PD=90。时，AP=PD,

过点P作PE1。4于E,过点D作OF1PE于F,

设点P的坐标为(8,巾)，同理可得：△APE三△PDF,

PF=AE=6—m,DF=PE=8,

。点坐标为(14-m,m+8),

Am+8=2(14—m)—5,得m=5,

点坐标(9,13);

如图4,当乙4。尸=90。时，4D=P。时，同理可得△4DE三△DPF,

设。(弭2n一5),则OE=PF=n,OE=2n-5,AE=DF

则DF=AE=2n-5-6=2n-ll,

U：DE+DF=EF=OC=S

•**Yt+2n—11=8,解得几=~f2zi-5=三~

•••D点坐标（£，y）,

图4

综上可知满足条件的点。的坐标分别为(3,1)或(9,13)或(蔡，仲).

【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性

质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解.

6.(2022•江苏•八年级专题练习)(1)课本习题回放：“如图①，乙4cB=90°,AC=BC,AD1CE,BE1CE,

垂足分别为D,E,AD=2.5cm，DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为.

(2)探索证明：如图②，点B,C在NM4V的边AM、AN上，力点E,F在NM力N内部的射线AD上，

5.ABED=/.CFD=Z.BAC.求证：\ABE=\CAF.

(3)拓展应用：如图③，在AABC中，AB=AC,AB>BC.点。在边BC上，CD=2BD,点、E、F在线段力D

上，4BED=MFD=ABAC.若2L4BC的面积为15,贝必4CF与ABDE的面积之和为.(直接填写结

果，不需要写解答过程)

【答案】⑴0.8cm；(2)见解析(3)5

【分析】(1)利用A4S定理证明△根据全等三角形的性质解答即可;

(2)由条件可得/4=NABE,根据A4S可证明△ABE四△CAB；

(3)先证明△ABE名△CAR得到A4CF与ABDE的面积之和为△A3。的面积，再根据C。=280故可求解.

【详解】解：(1)VBE1CE,ADLCE,

-ZA£)C=90°,

：.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

：.ZEBC=ZDCA.

ZE=乙40c

在^CEB和aADC中，｛乙EBC=ADCA

BC=AC

:,△CEB/XADC(44S),

:・BE=DC,CE=AD=2.5cm.

'：DC=CE-DE,DE=1.7cmf

，00=2.5-1.7=0.85,

BE—G.?)cm

故答案为：0.85；

(2)证明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

VZ1=ZABE+Z3,Z3+Z4=ZBAC,Z1=ZBAC,

：.ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,ZABE=Z4fAB=AC,

：.AABE^/\CAF(A4S).

(3)•:(BED=乙CFD=^BAC

ZABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

：.NABE=ZCAF,ZBAE=ZACF

又4B=AC

△ABE4△CAP,

,•S—BE=S^CAF

.♦.△ACF与ABDE的面积之和等于AABE与ABDE的面积之和，即为△ABD的面积,

"：CD=2BD,△A3。与△AC。的高相同

则SMBD二三SAABC=5

故A4CF与ABDE的面积之和为5

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

7.(2022・全国•八年级课时练习)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1,ZBAD=90°,AB=AD,过点B作BC_LAC于点C,过点。作。E_LAC于点E.由21+/2

=/2+/。=90。,得Nl=ND.又NACB=NAED=90。,可以推理得到△ABC会△D4E.进而得到AC=

BC=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)如图2,ZBAD^ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接8C,DE,且8C_LAE于点忆与直线

AF交于点G.求证：点G是。E的中点；

(深入探究)

(3)如图，已知四边形和。EGF为正方形，△AFD的面积为S/,AOCE的面积为则有S/S2

（填“>、=、<”）

【答案】（1）DE：（2）见解析；（3）=

【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；

（2）分别过点。和点E作尸G于点EQLBG于点。进而可得/544然后可证

AABF^^DAH,则有AF=OH,进而可得O〃=EQ,通过证明△OHGgzXEQG可求解问题；

（3）过点D作DOLAF交AF于。，过点E作EN±OD交0D延长线于N,过点C作CM±OD交0D延长

线于M,由题意易得NA£>C=/90。，AD=DC,DF=DE,然后可得则有△AODg/VM/C,

△FOD^/\DNE,进而可得0£>=NE,通过证明△ENPZ△CMP及等积法可进行求解问题.

【详解】解：(1)9：LABC=LDAE,：.AC=DE；

(2)分别过点。和点E作。G于点H,尸G于点。如图所示:

cE

：.^LDAH+AADH=90°,

9：^BAD=90°,

：.^LBAF+^DAH=90°,

：.^BAF=乙40”，

9：BCVAF,

C.Z.BFA=乙AHD=90°,

"：AB=DA,

△ABFdDAH,

：.AF=DH,

同理可知A斤EQ,

：.DH=EQ,

V£)H±FG,EQLFG,

:.乙DHG=Z.EQG=90°,

■:乙DGH=Z.EGQ

：./\DHG^/\EQG,

：.DG=EG,即点G是OE的中点；

(3)S1=S2,理由如下：如图所示，过点。作。OLA厂交A尸于O,过点E作EAU。。交。。延长线于N,

过点C作CM±OD交OD延长线于M

,/四边形A8C。与四边形OEGF都是正方形

AZADC=Z90°,AD=DC,DF=DE

"：DO.LAF,CMLOD,

：.ZAOD=ZCMD=90°,ZOAD+ZODA=90°,ZCDM+ZDCM=90°,

又ZODA+ZCDM=90°,

：.ZADO=ZDCM,

：./\AOD^/\DMC,

••S^AOD=SHDMC，OD=MC,

同理可以证明△FOD沿ADNE,

,,SAFOD=SADNE，OD=NE,

：.MC=NE,

■:ENLOD,CMLOD,ZEPN=ZCMP,

：.AENP沿△CMP,

,S&4DF=SAAOD+SAFOD'S^DCE=S&DCM~S^CMP+^hDEN+S4ENP，

,・SADCE-S^DCM+S&DEN-SA40D+S^FOD，

••SADCE=SAADF即Si=S2■

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三

角形的判定条件是解题的关键.

8.（2021•北京.东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,

直线/经过顶点C,过A、B两点分别作/的垂线AE、BF,E、尸为垂足.

（1）当直线/不与底边A8相交时，

①求证：ZEAC=ZBCF.

②猜想ERAE、的数量关系并证明.

（2）将直线/绕点C顺时针旋转，使/与底边48交于点不与AB点重合），请你探究直线I,EF、AE,

之间的关系.（直接写出）

【答案】（1）①证明见解析，®EF=AE+BF；证明见解析；（2）AE=BF+EF或BF=AE+EF.

【分析】（1）①根据NAEC=NBfC=90°,利用同角的余角相等证明/以。=/月。2即可；②根据AAS

证△EAC四△/CB,推出CE=2尸，AE=b即可；

（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可.

【详解】（1）证明：①BF±EF,ZACB=90°,

：.ZAEC=ZBFC=ZACB=90°,

AZEAC+ZECA=90°,ZECA+ZFCB=90°,

NEAC=ZFCB,

②EF=AE+BF；

证明：在△£AC和△尸CB中,

^LAEC=乙CFB

{^EAC=乙FCB,

AC=BC

AAEAC^AFCB(A4S),

:・CE=BF,AE=CF,

：.EF=CE+CF=AE+BFf

即EF=AE+BF；

(2)①当时，如图①，

VZACB=90°,AE_U直线，

同理可证N3CT=NC4£(同为NAC。的余角)，

又・・,AC=BC,3F_L/直线

即N8M?=NAEC=90°,

AAACE^ACBF(A45),

；・CF=AE,CE=BF,

CF=CE+EF=BF+EF,

：.AE=BF+EF；

②当时，如图②，

VZACB=90°,即LL/直线，

同理可证NC5F=NACE(同为N3c。的余角)，

又・・・AC=3C,3E_U直线，即NAEC=N3尸C=90°.

AAACE^ACBF(AAS),

；・CF=AE,BF=CE,

CE=CF+EF=AE+EF,

:・BF=AE+EF.

【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACEgZXCB尸

(AAS),利用全等三角形的性质得出线段之间的关系.

(1)如图1,在等腰直角三角形4BC中，UCB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过4作2D1ED于点D,

过B作BE1ED于点E.求证：BE=CD；

模型应用：

(2)已知直线k：y=2x+4与坐标轴交于点4、B,将直线k绕点2逆时针旋转90。至直线6，如图2,求直

线"的函数表达式；

(3)如图3,已知点4、B在直线y=2x+4上，且48=4位.若直线与y轴的交点为M,M为4B中点.试

判断在x轴上是否存在一点C,使得△4BC是以4B为斜边的等腰直角三角形.

【答案】(1)见解析；(2)y=-|x-l；(3)不存在这样的点C

【分析】(1)证明△力CD三△CBEQ44S),即可得到结论；

(2)设点B绕点4逆时针旋转90。到点C,过点C作CO1*轴于点。，根据(1)求出C的坐标，将A、C的坐

标代入解析式即可求出答案；

(3)先求出点M(0,4),得到。M=4,假设存在这样的点C,利用反证法根据等腰直角三角形的性质得到MC=

14B=2V2<4,由此得到假设不成立进行论证.

【详解】(1)证明："-'ADLED,BE1ED,

:.乙D=NE=90°,

"：^ACB=90°,

：.AACD+乙BCE=180°-90°=90°,

又'."EBC+NBCE=90。，

：./LACD=乙EBC,

'z£>=Z.E

在与ACBE中，\AACD=^EBC,

、CA=CB

△24coq△CBE^AAS),

：.CD=BE；

(2)设点8绕点/逆时针旋转90。到点C,过点C作CD1%轴于点D,

由(1)可知：LACD^LBAO,

：.CD=A0,AD=OB,

Vl1.y=2%+4,

当x=0时，y=4,・•,点8(0,4),

当y=0时，2%+4=0,%=-2,・••点Z(—2,0),

：.CD=A0=2,AD=0B=4,

0D=OA+AD=6,

."(一6,2),

设G的解析式为y=kx+b，把力、c两点坐标代入，得

二%的解析式：y=-—1；

(3)不存在.

理由：当％=0时，y=4,

.•.点M(0,4),

：.OM=4,

假设存在这样的点C,

：△ABC是以为斜边的等腰直角三角形，

.•.点C在力B的垂直平分线与％轴的交点处，NACB=90°

又•：MA=MB,

：.MC=!71B=2V2<4(与“垂线段最短”矛盾)

，假设不成立，即不存在这样的点c.

【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数的解析式，

反证法，熟记全等三角形的判定定理及反证法的论证方法是解题的关键.

10.（2022・全国•八年级课时练习）如图，线段AB=6,射线BGLAB,P为射线BG上一点，以AP为边做正

方形APC。，且点C、。与点8在AP两侧，在线段。尸上取一点E,使得直线CE与线段

相交于点尸（点尸与点A、8不重合），

（1）求证：4AEP义LCEP；

（2）判断C尸与A8的位置关系，并说明理由；

（3）AAE尸的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）CFLAB,理由见解析；（3）是，为16.

【分析】（1）根据正方形的性质得到。P平分NAPC,PC=PA,求得/APD=NCPD=45°,根据全等三角形

的判定定理得到△AEP四（SAS）；

（2）根据全等三角形的性质得到NE4P=/ECP,求得根据垂直的定义得到CfUAB；

（3）过点C作CNLPB.根据平行线的性质得到NCPN=NPCP=NEAP=NR1B,根据全等三角形的性质得

至"CN=PB=BF,PN=AB,推出AE=CE,于是得到△的周长.

【详解】解：（1）证明：••,四边形APCD正方形，

.♦.£）尸平分NAPC,PC=PA,ZAPC=90°,

ZAPE=ZCPE=45°,

在△4£尸与八CEP中，

-AP=CP

/.APE=4CPE,

.PE=PE

.♦.△AEP丝LCEP（SAS）；

(2)CF±AB,理由如下:

AAEP^ACEP,

NEAP=NECP,

•・•ZEAP=ZBAP,

：.ZBAP=ZFCP,

ZAPC=90°,

・•・ZFCP+ZCMP=90°,

•・•ZAMF=ZCMPf

：.ZAMF+ZB4B=90°,

ZAFM=90°,

：.CF±AB；

(3)过点。作CN_LPB.

VCF±AB,BGLAB,

:・/PNC=/B=9U。,FC//BN,

：.ZCPN=ZPCF=ZEAP=ZPABf

又AP=CP,

:•△PCNQ^APB(A4S),

:・CN=PB=BF,PN=AB,

:AAEP^ACEP,

：.AE=CE,

：.AAEF的周长=AE+EF+A尸

=CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB-^-BF+AF

=2AB

=16.

故△A所的周长是否为定值，为16.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，其中(3)中证明APCN丝△APB(A4S)

是本题的关键.

11.(2022・全国•八年级课时练习)如图，在AABC中，A8=AC=2,/8=40。，点O在线段8c上运动(D

不与8,C重合)，连接A。，作/4。£=40。，交线段AC于E.

(1)当/2。£=115。时，/BAD=。，点。从3向C运动时，NBA。逐渐变(填“大”或

“小”)；

(2)当。C等于多少时，4ABD咨ADCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，AAOE的形状也在改变，判断当NBA。等于多少时，是等腰三角形.

【答案】(1)65°,大；(2)DC=2；(3)30。或60。.

【分析】(1)利用三角形内角和计算即可求出NBA。，由点的运动方式即可得出/血。逐渐变大;

(2)先求出N4DB=NDEC,再由NB=NC,AB=DC=2,即可得出△力BDDCE(ASA)；

(3)分两种情况AD=DE或4E=DE讨论即可.

【详解】解：(1)•••Z.BDE=115°,ZADE=40°,

•••/.BDA=乙BDE-/.ADE=115°-40°=75°,

•••/.BAD=180°-ZB-乙BDA=180°-75°-40°=65°,

当点。从2向C运动时，NBA。逐渐变大.

故答案为：65°,大；

(2)当DC=2时，AABD丝ADCE,

理由如下：

*：AB=AC=2fZB=40°

•••Z.C—Z-B=40°,

•・•乙ADE=40°,

又•・.乙B+乙BAD=AADC=^ADE+乙EDC,

•••乙BAD=乙EDC,

在△48。和△DCE中，

\LBAD=乙EDC

AB=DC,

、Z-B—Z-C

•e•△ABD=△DCE(ASA)；

(3)当444。得度数为30。或60。时，△4DE是等腰三角形.

理由如下：

•:乙C=(B=40°,

：.£.BAC=180°-(ZC+(B)=100°,

•・•/.ADE=ZC=40°,Z.AED>zC,

・•.△ZDE为等腰三角形时，只能是/O=DE^AE=DE,

当4。=DE时，£.DAE=/.DEA=|(180°-40°)=70°,

ABAD=ABAC-^DAC=100°-70°=30°,

当E4=E。时，/.ADE=Z.DAE=40°,

•••^AED=180°-40°-40°=100°,

•••/BAD=ABAC-^DAC=100°-40°=60°,

综上所述，当/BAO得度数为30。或60。时，AADE是等腰三角形.

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，

此题涉及到的知识点较多，综合性较强.

12.(2022•重庆江北•八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，已知力(a,0)、B(0,6)分别在坐标轴的正半

轴上.

(1)如图1,若a、b满足(a-4)2+后忑=0,以8为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角

AABC,则点C的坐标是()；

(2)如图2,若a=b,点。是。力的延长线上一点，以。为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直角

ABDE,连接求证：N2BD=Z71ED；

(3)如图3,设4B=c,N4B。的平分线过点。(2,-2),直接写出a—6+c的值.

【答案】(1)点C的坐标是(3,7)；(2)见解析；(3)a-b+c=4

【分析】(1)根据偶次幕的非负性以及算术平方根的非负性得出a,6的值，过点C作CD_Ly轴于点D,然后

证明ACMB三ADBC,进而得出结论；

(2)过点E作EMlx轴于点根据题意证明△OBO三△MDEQL4S),在AABN和ADNE中，根据三角形

内角和定理可得结论；

(3)作。0Ly轴于H,轴于"OK_LBA交BA的延长线于K,先证明△FBD三△KBDQ44S)可得

BK=BF=b+2,然后证明乌汝△D4K可得BK=c+a-2,进一步可得结果.

2

【详解】解：⑴V(a-4)+VF^3=0，

♦♦a=4,b--3,

AOA=4,OB=3,

・・・△为等腰直角三角形，

：.BA=BC,/.ABC=90°,

:•乙CBD+乙ABO=90°,

u：Z.ABO+/-BAO=90°,

"CBD=乙BAO,

在△84。和△CBQ中，

(乙CBD=/.BAO

)乙CDB=乙BOA，

IBC=AB

：.△BAO=ACBD(AAS),

：.OA=DB=4,CD=BO=3,

：.OD=OB+BD=3+4=7,

・,•点。的坐标是