中考数学函数专项复习：利用反比例函数解决实际问题（含答案及解析）

专题18利用反比例函数解决实际问题

।知识对接

考点一、反比例函数的应用

1.反比例函数与一次函数的综合运用

（1）根据点的坐标确定函数解析式；

（2）根据图象比较两函数值的大小；

（3）求三角形或四边形的面积；

（4）由几何图形面积确定点的坐标或函数的解析式.

考点二、反比例函数的实际应用

2.数学学科中的应用

（1）面积一定的三角形（或四边形），底边长与底边上高的关系或耕地面积一定，人均耕地面积与人口数之间的

关系等.

考查知识点:根据关系确定图象（注意自变量取值范围）、根据图象确定函数解析式或已知图象中某点的横（纵）

坐标求纵（横）坐标等.

（2）跨学科的应用

在物理与化学学科中有很多涉及反比例函数关系的公式，如/=£■，以&p=歹等.

考查知识点:运用待定系数法求函数解析式;已知一个变量，根据解析式（或图象）求另一变量;根据解析式确定

函数图象（自变量的取值一般大于0）.

专项训练

一、单选题

1.如果矩形的面积为15cM2,那么它的长与宽反7〃之间的函数关系用图象表示大致是（）.

2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压尸（kPa）是气体体积V（m3）的反比

例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于lOOkPa时气球将爆炸.为了安全起见，气体的体积丫（n?）应

满足（）

A.V>-B.0<V<-C.V>-D.0<V<-

6655

3.平度高铁通车后极大的方便了市民的出行.平度北站建设初期需要运送大量土石方.某运输公司承担了

运送总量为1。64土石方的任务，该运输公司平均每天运送土石方的数量v（单位：加/天）与完成运送任务

所需时间/（单位：天）之间的函数关系式是（）

106

A.v=io6rB.C.v=]D.v=106f2

4.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长

最快的新品种蔬菜.上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间无（小时）变

化的函数图像，其中BC段是双曲线>=人（#0）的一部分，则当x=16时，大棚内的温度约为（）

X

A.18℃B.15.5℃C.13.5℃D.12℃

5.为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份尤之间

的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项

错误的是（）

A.4月份的利润为50万元B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元

C.9月份该厂利润达到200万元D.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元

6.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时，气球内气体的气压尸（kPa）是气体体积Vm3）的

反比例函数，其图象如图所示，当气体体积为1"时，气压为（）kPa.

A.150B.120C.96D.84

7.为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格%（元/件）随时

间r（天）的变化如图所示，设%（元/件）表示从第1天到第f天该商品的平均价格，则%随r变化的图像

大致是（）

8.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系/=点/＞。），其图象

为如图所示的一段双曲线，端点为A（40,l）和8（加。5）,若行驶速度不得超过60km/h,则汽车通过该路段

最少需要（）

八Mi

A

vTknih)

2C.60分钟D.一分钟

A.1■分钟B.40分钟

9.2020年益阳始建高铁站，该站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为106m3土

石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度V（单位：/天）与完成运送任务所需的时间才（单位:

天）之间的函数关系式是（）

］。61

A.v~----B.v=106C.v=D.v=106^2

10.小明乘车从县城到怀化，行车的速度v（km/h）和行车时间r（h）之间函数图是（）

二、填空题

11.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距X(m)成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m,则

y与x之间的函数表达式是.

12.在平整的路面上某型号汽车急刹车后仍将滑行的距离s(米)与刹车的速度v(千米/时)有这样的关系

2

5=—,当汽车紧急刹车仍滑行27米时，汽车刹车前的速度是千米/时.

13.如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V/n^hT与排完水池中的水所用的时间《h)之间的函数图象.

M(m)h)

(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为

(2)此函数的解析式为

(3)若要在6h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是

(4)如果每小时的排水量是5m工那么水池中的水需要..h排完.

14.每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的

含药量y(mg/m3)与时间x(h)之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且

持续时间不能低于10h.请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到_h.

15.在一个不透明的纸箱内装有三张形状、质地、大小完全相同的卡片，三张卡片分别标有-1、1、2三个

数字，甲抽取一张卡片数字记为。，放回后，乙再抽取一张卡片数字记为6,两次抽取完毕后，直线

b

与反比例函数y=巴的图象经过的象限相同的概率为.

X

三、解答题

16.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.经过实验

分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB,分别为线段，CD

为双曲线的一部分).

(1)分别求出线段和曲线C。的函数关系式；

(2)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

17.你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的

总长度y(cm)是面条粗细横截面积xcn?的反比例函数，当x=0.04时，产3200

(1)求y与x的函数表达式；

(2)若面条的总长度是6400cm,求面条的横截面积

18.A、8两地相距400千米，某人开车从A地匀速到8地，设小汽车的行驶时间为f小时，行驶速度为v

千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时.

(1)写出v关于r的函数表达式；

(2)若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到8地至少要多长时间？

(3)若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由.

19.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=4m3时，它的密度p=2.25kg/n?.

(1)求M与P的函数关系式；

(2)求当V=6m3时，二氧化碳的密度；

(3)结合函数图象回答：当VW6m3时，二氧化碳的密度有最大值还是最小值？最大(小)值是多少？

20.如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距％轴(水平)18米，与V轴交于点8,与滑道>=三(尤21)交

于点A,且=1米.运动员(看成点)在54方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是

下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M,A的竖直距离〃(米)与飞出时间f(秒)的平方成正

比，且t=l时/?=5,M,A的水平距离是"1米.

(1)求k,并用r表示/?；

(2)设v=5.用，表示点〃的横坐标X和纵坐标y,并求y与X的关系式(不写X的取值范围)，及y=13

时运动员与正下方滑道的竖直距离；

(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、V乙米/秒.当甲距X轴1.8米，且乙位于甲右侧

超过4.5米的位置时，直接写出『的值及巳的范围.

21.为了预防新冠病毒，某中学对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药

量y(mg)与时间X(min)成正比例，药物燃烧完后，>(mg)与时间x(min)成反比例(如图所示),

现测得药物lOmin燃烧完，此时教室内每立方米空气中的含药量达到最大，为8mg,根据图象，解答下列

问题：

(1)求药物燃烧时y(mg)与X(min)的函数关系式及药物燃烧完后,(mg)与时间x(min)的函数关

系式，并写出它们自变量x的取值范围；

(2)据测定，只有当教室内每立方米空气中的含药量不低于4mg,且至少持续作用10分钟以上，才能完

全杀死病毒，请问这次药熏消毒是否有效？

22.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到8地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为f（单位：小

时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.

（1）求v关于Z的函数解析式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度丫的范围；

②方方能否在当天11点30分前到达8地？说明理由.

23.某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上高为1米的围挡.学校准备

了可以修建45米长的围挡材料（可以不用完）.设矩形地面的边长AB=x米，3C=y米.

（1）求V关于x的函数关系式（不写自变量的取值范围）；

（2）能否建造=20米的活动场地？请说明理由；

（3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/平方米，建好矩形场地的总费用为

80.4千元，求出x的值.（总费用=地面费用+围挡费用）

专题18利用反比例函数解决实际问题

।知识对接

考点一、反比例函数的应用

1.反比例函数与一次函数的综合运用

（1）根据点的坐标确定函数解析式；

（2）根据图象比较两函数值的大小；

（3）求三角形或四边形的面积；

（4）由几何图形面积确定点的坐标或函数的解析式.

考点二、反比例函数的实际应用

2.数学学科中的应用

（1）面积一定的三角形（或四边形），底边长与底边上高的关系或耕地面积一定，人均耕地面积与人口数之间的

关系等.

考查知识点:根据关系确定图象（注意自变量取值范围）、根据图象确定函数解析式或已知图象中某点的横（纵）

坐标求纵（横）坐标等.

（2）跨学科的应用

在物理与化学学科中有很多涉及反比例函数关系的公式，如/=£■，以&p=歹等.

考查知识点:运用待定系数法求函数解析式;已知一个变量，根据解析式（或图象）求另一变量;根据解析式确定

函数图象（自变量的取值一般大于0）.

专项训练

一、单选题

1.如果矩形的面积为15cM2,那么它的长与宽反7〃之间的函数关系用图象表示大致是（）.

【答案】C

【分析】

根据题意有：冲=15；故y与X之间的函数图象为反比例函数，且根据X、y实际意义尤、y应大于0,其图象

在第一象限，即可得出答案.

【详解】

解：由矩形的面积公式可得冲=15,

：.y=—(x>0,y>0).图象在第一象限.

x

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象.现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答

该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限.

2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压尸(kPa)是气体体积丫(n?)的反比

例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于lOOkPa时气球将爆炸.为了安全起见，气体的体积V(m3)应

满足()

A.V>-B.0<V<-C.V>-D.0<V<-

6655

【答案】C

【分析】

由题意设设P=[（V>0）,把（2.4,50）代入得到仁120,推出尸=T（V>0）,当P=100时，V=|■，由

此即可判断.

【详解】

k

解：；根据题意可设尸="（v>o）,

由题图可知，当V=2.4时，尸=50,

k

...把（2.4,50）代入得到50=三

2.4

解得：依120,

•••P与（。0），

120

为了安全起见，气球内的气压应不大于lOOkPa,即歹4100,

/.V>-.

~5

故选C.

【点睛】

此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式.

3.平度高铁通车后极大的方便了市民的出行.平度北站建设初期需要运送大量土石方.某运输公司承担了

运送总量为106nl3土石方的任务，该运输公司平均每天运送土石方的数量v（单位：加/天）与完成运送任务

所需时间r（单位：天）之间的函数关系式是（）

106t

A.v=106fB.v-C.v=D.v=106f2

【答案】B

【分析】

按照运送土石方总量=平均运送土石方的速度vx完成运送任务所需时间列出等式，然后变形得出v关于

f的函数，观察选项可得答案.

【详解】

解：由题意可得，17=106,

.106

..V=-----

故选：B

【点睛】

本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键.

4.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长

最快的新品种蔬菜.上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间无（小时）变

k

化的函数图像，其中BC段是双曲线>=勺（原0）的一部分，则当x=16时，大棚内的温度约为（）

A.18℃B.15.5℃12℃

【答案】C

【分析】

利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可.

【详解】

k

解：・・,点3（12,18）在双曲线丁二一上,

x

解得：上216.

当x=16时，y=^^=13.5,

16

所以当416时，大棚内的温度约为13SC.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键.

5.为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间

的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项

错误的是（）

A.4月份的利润为50万元B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元

C.9月份该厂利润达到200万元D.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元

【答案】D

【分析】

直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案.

【详解】

解：A、设反比例函数的解析式为丫=公，

X

把(1,200)代入得，左=200,

・•.反比例函数的解析式为：y=—,

x

当x=4时，y=50,

,4月份的利润为50万元，正确，不合题意；

B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确,

不合题意；

C、设一次函数解析式为：y=kx+b,

\4k+b=50

则々,-

|6左+6=11i0n

上=30

解得:

b=-70

故一次函数解析式为：＞=30尤-70,

故y=200时，200=30x-70,

解得：尤=9,

则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意.

D、当y=100时，则100=变，

解得：x=2,

则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键.

6.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（加3）的

反比例函数，其图象如图所示，当气体体积为1〃/时，气压为（）kPa.

A.150B.120C.96D.84

【答案】C

【分析】

设反比例函数的解析式为：p=*N0）,先由点4（0.8,120）代入求出p=j当气体体积为质，代入求

得。=96,即可得出答案.

【详解】

设反比例函数的解析式为：p=*k#Q）

把点4（0.8,120）代入得：p=—

V

当v=l时，贝Up=96

故选：C

【点睛】

本题主要考查反比例函数的实际应用，要求学生熟练掌握反比例函数的表达式的求法，从图中找出相应的

已知量并求解出反比例函数的解析式是解题的关键.

7.为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格%（元/件）随时

间r（天）的变化如图所示，设内（元/件）表示从第1天到第f天该商品的平均价格，则必随才变化的图像

大致是()

【答案】A

【分析】

根据函数图像先求出％关于f的函数解析式，进而求出力关于r的解析式，再判断各个选项，即可.

【详解】

解：•由题意得：当1WE6时，％=2什3,

当6<江25时，％=15,

当25〈江30时，％=-2r+65,

.•.当1W江6时，%=(5+2/+3)L=(+4,

2

75+15)x6/八]30

当6<於25时，y2=----------—6)+f=15——,

'(5+15)x6.、「13+(-2f+65)]x«-25)-

当25</<30时，％=--+15x(25-6)+~-------------------------t

.•.当t=30时，y2=13,符合条件的选项只有A.

故选A.

【点睛】

本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键.

8.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系/=点(后＞0),其图象

为如图所示的一段双曲线，端点为A(40,l)和3(m,0.5),若行驶速度不得超过60km/h,则汽车通过该路段

最少需要()

2

A.1•分钟B.40分钟分钟

【答案】B

【分析】

把点A(40,1)代入t=2,求得k的值，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把v=60代

V

40

入求出t的值即可.

v

【详解】

解：由题意得，函数的解析式为1=人函数经过点(40,1),

V

把(40,1)代入t=幺，得k=40,

v

40

则解析式为t=一,

v

40

再把(m,0.5)代入t=—,得m=80；

v

402

把v=60代入t=—,得1=彳，

v3

2

§小时=40分钟，

则汽车通过该路段最少需要40分钟；

故选：B.

【点睛】

此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数

法求出它们的关系式，注意要把小时化成分钟.

9.2020年益阳始建高铁站，该站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为1（）6m3土

石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：n?/天）与完成运送任务所需的时间才（单位：

天）之间的函数关系式是（）

1061

A.v=B.v=106C.v=『D.v=106^2

【答案】A

【分析】

利用运送土石方的速度、完成运送任务所需的时间与运送总量为1（/m3土石方工作量之间关系可直接得出结

论.

【详解】

解：平均运送土石方的速度v（单位：n?/天）与完成运送任务所需的时间人

二讨=1。6,

.106

••V=----,

t

故选择：A.

【点睛】

本题考查反比例函数关系，掌握运送土石方的速度、完成运送任务所需的时间与运送总量为106m3土石方工

作量之间关系是解题关键.

10.小明乘车从县城到怀化,行车的速度v（km/h）和行车时间”h）之间函数图是（）

A4

t

【答案】B

【分析】

根据路程s、速度丫、时间f之间的公式可知，当路程一定时，速度与时间成反比例关系，并且结合实际意

义可知，时间f>0,由此分析即可.

【详解】

•••小明乘车从县城到怀化的路程固定，设为s,且s>0,

s

••v=—,f>0,

t

故选：B.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的实际引用，理解路程固定时，速度与时间成反比，并且结合实际意义分析是解

题关键.

二、填空题

11.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距无（m）成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m,则

y与尤之间的函数表达式是.

【答案】y=—

X

【分析】

设y=^，根据已知500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m,求出上的值即可.

X

【详解】

k

解：设y=*,

X

V500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m,

k

500=——,左=100,

0.2

与x之间的函数表达式是：y=—,

X

M林gd

故答案为：y=1—00.

X

【点睛】

本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意特意求出左的值是解题的关键.

12.在平整的路面上某型号汽车急刹车后仍将滑行的距离s（米）与刹车的速度v（千米/时）有这样的关系

2

5二」二，当汽车紧急刹车仍滑行27米时，汽车刹车前的速度是千米/时.

300

【答案】90

【分析】

根据已知函数解析，将S代入求得丫2,再求算术平方根即可.

【详解】

2

依题意s=/一，s=21,

300

v2=5x300=27x300=8100,

解得：v=90.

故答案为：90.

【点睛】

本题考查了反比例函数的的应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键.

13.如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V/m3.hT与排完水池中的水所用的时间”h)之间的函数图象.

(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为m3;

(2)此函数的解析式为；

(3)若要在6h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是

(4)如果每小时的排水量是5m3,那么水池中的水需要h排完.

48

【答案】48V=—89.6

t

【分析】

(1)根据工作总量=工作效率x工作时间即可求出答案；

(2)根据点(12,4)在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；

(3)把f=6代入函数的解析式即可求出每小时的排水量；

(4)把V=5代入函数的解析式即可求出水池中的水需要排完的时间.

【详解】

解：(1)根据题意得：蓄水量为12x4=48加，

故答案为：48；

(2)设V=",

t

.点(12,4)在此函数图象上，

,k

4=—,

12

左=48,

48

.・.此函数的解析式丫=一，

t

48

故答案为：V=—；

4R

(3)当f=6时，V=—=8/n3；

6

,每小时的排水量至少应该是8加1.

故答案为：8；

4R

(4)当V=5时，t=--=9.6h.

水池中的水需要9.6h排完，

故答案为：9.6.

【点睛】

主要考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变

量的值，利用待定系数法求出函数解析式.

14.每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的

含药量》(mg/m3)与时间x(h)之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且

持续时间不能低于10h.请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到_h.

【答案】12

【分析】

利用待定系数法求出反比例函数，利用y=6求出两函数交点坐标，再求正比例函数，利用y=3,求出两函数

自变量值作差即可

【详解】

解：：反比例函数经过点(24,2),

仁孙=24x2=48,

48

反比例函数的解析式为y=—,

X

令y=6,解得：x=8,

二直线与双曲线的交点坐标为(8,6),

3

...正比例函数的解析式为>=工达

48

令y=—=3,解得：x=16,

x

3

令y=［尤=3,解得：x=4,

当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到16-4=12团

故答案为：12.

【点睛】

本题考查正比例函数与反比例函数的联合应用，会用待定系数法求反比例函数解析式与正比例函数解析式,

会求函数值是解题关键.

15.在一个不透明的纸箱内装有三张形状、质地、大小完全相同的卡片，三张卡片分别标有-1、1、2三个

数字，甲抽取一张卡片数字记为放回后，乙再抽取一张卡片数字记为6,两次抽取完毕后，直线y=a尤

b

与反比例函数y=—的图象经过的象限相同的概率为.

x

【答案】

【分析】

b

根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得，尸以与反比例函产一的象经过的象限相同的可能性，进而

x

b

求得直线y=ax与反比例函数的图象经过的象限相同的概率.

尤

【详解】

解：由题意得

开始

a421

/N/N/N

6-121-121-121

•••从袋子中随机抽取一个小球，记标号为a,放回后将袋子摇匀,再随机抽取一个小球，记标

号为b,

b

...直线y=ox与反比例函数y=一的图象经过的象限相同的可能性为:(-1,-1),(2,2),(2,1),(1,2),(1,

x

1).

h5

・・・直线支依与反比例函数尸一的图象经过的象限相同的概率为：

x9

故答案为：B.

【点睛】

本题考查列表法和树状图法、反比例函数的性质、正比例函数的性，解答本题的关键是明确题意，求出相应

的概率.

三、解答题

16.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.经过实验

分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB,分别为线段，CD

为双曲线的一部分).

(1)分别求出线段A8和曲线的函数关系式；

(2)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

【答案】(1)乂=2x+20,%=侬；(2)第30分钟时注意力更集中

x

【分析】

(1)分别从图像中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数解析式即可；

(2)根据(1)中求得的线段和曲线的函数关系式，分别求出第五分钟时与第三十分钟时的注意力

指数，最后比较即可.

【详解】

解：(1)设线段所在直线的解析式为必=尤尤+20,

把点8(10,40)代入，得勺=2,

%=2x+20；

设C、。所在双曲线的解析式为%=&,

X

把点C(25,40)代入，得心=1000,

(2)当玉=5时，％=2x5+20=30,

••〈必，

...第30分钟时注意力更集中.

【点睛】

本题考查了函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应变量的值，

利用待定系数法求出函数解析式，在根据自变量的值求算对应的函数值.

17.你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的

总长度y(cm)是面条粗细横截面积xcn?的反比例函数，当x=0.04时，y=3200

(1)求y与x的函数表达式；

(2)若面条的总长度是6400cm,求面条的横截面积

128

【答案】(1)y-......(x>0)；(2)0.02cm2

【分析】

(1)根据反比例函数图象经过点(0.04,3200),利用待定系数法进行解答;

(2)把y=6400代入函数解析式计算即可求出面条的横截面积.

【详解】

解：(1)设反比例函数图象设解析式为：y

x

由图得，反比例函数上一点坐标为(0.04,3200)代入：y=-,

X

有3200=上，

0.04

解得：左=128,又题中实际意义需x>0,

102

・・・y与x的函数表达式为：y=——(x>0)；

X

128

(2)令y=6400得：6400=----,

解得：尤=0.02,

答：面条的横截面积0.02cm2.

【点睛】

本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题

的关键.

18.A、8两地相距400千米，某人开车从A地匀速到8地，设小汽车的行驶时间为f小时，行驶速度为v

千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时.

(1)写出v关于f的函数表达式;

(2)若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？

(3)若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达2地？请说明理由.

【答案】⑴八华；⑵5小时；⑶不能，理由见解析

【分析】

(1)根据题意列出函数表达式;

(2)根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得f的最大值;

(3)根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得/的最大值，再和实际情况比较即可.

【详解】

(1)根据题意，路程为400,设小汽车的行驶时间为r小时，行驶速度为v千米/小时

则丫关于/的函数表达式为:

400八、

v=---(t>0)；

(2)设从A地匀速行驶到8地要1«>0)小时，则早480

解得d5.

他从A地匀速行驶到B地至少要5小时

(3)v<100

^2.ioo

t

解得f>4.

2

7点至10点40分，是3§小时

3-<4

3

他不能在10点40分之前到达B地.

【点睛】

本题考查了列函数表达式，根据函数关系式求自变量的范围，反比例函数的应用，列出表达式是解题的关

键.

19.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=4m3时，它的密度p=2.25kg/n?.

(1)求V与夕的函数关系式；

(2)求当y=6n?时，二氧化碳的密度；

(3)结合函数图象回答：当VW6m3时，二氧化碳的密度有最大值还是最小值？最大(小)值是多少？

9

【答案】(1)丫=—；(2)1.5依/加3；(3)二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5依加3

【分析】

(1)根据质量=密度x体积，即可得出V与p的函数关系式；

(2)将V=9代入解析式即可求的二氧化碳的密度p；

(3)根据反比例函数图象的增减性判断即可.

【详解】

解：(1)设1=一,

P

将V=4,p=2.25代入，得：

4=-----,

2.25

解得：m=9,

9

・・・v与2的函数关系式为v=一；

P

9

(2)将V=6代入丫=一,得：

P

解得：0=L5,

答：当V=6m3时，二氧化碳的密度为1.5这/席；

（3）如图，

Vw=9>0,且V>0,2>0,

•••V随着"的增大而减小，

,当V46m3时,021.5,

二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5像/加.

【点睛】

主要考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据质量=密度x体积列出函数关系式，从实际意义中找到对

应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值.

20.如图是轮滑场地的截面示意图，平台距x轴（水平）18米，与，轴交于点8,与滑道y=:（x21）交

于点A,且AB=1米.运动员（看成点）在54方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是

下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M,A的竖直距离/z（米）与飞出时间f（秒）的平方成正

比，且f=l时/z=5,M,A的水平距离是”米.

（1）求左，并用/表示//;

(2)设v=5.用r表示点的横坐标X和纵坐标y,并求＞与X的关系式(不写X的取值范围)，及y=13

时运动员与正下方滑道的竖直距离；

(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、以米/秒.当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧

超过4.5米的位置时，直接写出，的值及v乙的范围.

19QQ

【答案】(1)笈=18,h=5t2；(2)x=5f+l,y=-5/+18,j=--x2+-x+y,当y=13时，运动员在

与正下方滑道的竖直距离是10米；(3)t=1.8,v乙＞7,5

【分析】

(1)用待定系数法解题即可；

(2)根据题意，分别用/表示X、y,再用代入消元法得出＞与X之间的关系式；

(3)求出甲距X轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的V乙.

【详解】

kk

解：(1)把点A(U8)代入＞=—,得，18=-,

x1

左=18,

设力把£=1,/z=5代入，得，々=5,

h=5t2.

(2)v=5,45=1米，

.\x=5t+l,

h=5t2,05=18米，

y-—5r+18,

由x=51+l,

贝k=g(%—i),

.­.y=--(x-l)2+18=--x2+-x+—,

5555

当y=13时，13=-1(X-1)2+18,

解得尤=6或-4,

x.l,

:.x=6,

才巴尤=6代入，得，y=—，

x

＞=3,

二运动员在与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(米).

(3)把y=1.8代入＞=一5»+18,得，

解得7=1.8或-1.8(负值舍去)，

.,.x=10,

，甲的坐标为(10,L8),

此时，乙的坐标为(1+L8吃，1.8),

由题意：1+L8立一(l+5xl.8)>4.5,

v乙>7.5.

【点睛】

本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界点问题.

21.为了预防新冠病毒，某中学对教室进行药熏消毒，己知药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药

量y(mg)与时间X(min)成正比例，药物燃烧完后，＞(mg)与时间x(min)成反比例(如图所示),

现测得药物lOmin燃烧完，此时教室内每立方米空气中的含药量达到最大，为8mg,根据图象，解答下列

问题：

(1)求药物燃烧时y(mg)与x(min)的函数关系式及药物燃烧完后，(mg)与时间x(min)的函数关

系式，并写出它们自变量了的取值范围；

(2)据测定，只有当教室内每立方米空气中的含药量不低于4mg,且至少持续作用10分钟以上，才能完

全杀死病毒，请问这次药熏消毒是否有效？

x

【分析】

(1)根据图像上的点分别用待定系数法求正比例和反比例的解析式；

(2)根据反比例函数的解析式，将y=4分别代入正比例函数和反比例函数解析式中，分别求得X,根据自

变量的差即可求得持续时间，比较之即可求得答案.

【详解】

解：(1)设药物燃烧时y与％的函数关系式为>=京m,根据题意，得：

8=103

k=0.8,

Ay=0.8x(0<x<10),

设药物燃烧完后y与龙的函数关系式为y='(m/0),根据题意，得：

X

8=—,

10

m=80,

y=—(x>10),