浙江省绍兴市诸暨市2022-2023学年高三年级上册数学1月期末试卷

浙江省绍兴市诸暨市2022-2023学年高三上学期数学1月期末试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单选题

1.已知复数Z满足z(l+i)=3-3则z・N=()

A.-3B.0C.4D.5

2.已知集合［/=口，a2,3a+1},集合Z=U,且QA=口，4},则a=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2)

3.边长为2的正AABC中，G为重心，P为线段BC上一动点，则E•前=()

A.1B.2

C.(BG-BA)■(BA-BP}D.^(AB+AC)-AP

4.2022年，考古学家对某一古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年

代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的57.4%.若碳14的初始量为k,衰减率为p(0<p<l),经

过x年后，残留量为y满足函数为y=k(l-p尸，已知碳14的半衰期为5730,则可估计该建筑大约是哪一年

建成.(参考数据lgO.574=-0.241,lg20.301)()

A.公元前1217年B.公元前1423年

C.公元前2562年D.公元前2913年

5.已知双曲线C：/—嗜=1，%,B分别为左、右焦点，P为曲线C上的动点，若Z&PF2的平分线与x轴

45

交于点M(L0),则|OP|为()

A.V19B.V31C.4V2D.6

6.已知函数/(%)=sin(a久+电，(3>0)对任意XC(0,沿都有/'(久)>：,则当3取到最大值时，f(x)的一

个对称中心为()

A.蛤，0)B.塞，0)C.0)D.(苧，0)

7.已知a=sinO.l,b=lnl.1,c=e01—1.005,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

8.数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的的六位数，A表示事件力和2相邻、B表示事件“偶数不相

邻”，C表示事件“任何连续两个位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇数按从小到大的顺序排列”.则

1

A.事件A与事件B相互独立B.事件A与事件C相互独立

C.事件A与事件D相互独立D.事件B与事件C相互独立

二'多选题

9.“直线/：、=/<:久+/）和圆。：/+y2=2有公共点”的一个充分不必要条件是（）

A.b=1B.k=1C.b2-k2<1D.b2-2k2<2

10.已知a,bGN*,函数fQ）=（1+久）。+（1+久）%其中x的系数为8,则/的系数可能为（）

A.12B.16C.24D.28

11.已知抛物线C；y2=4久的焦点为F,尸是抛物线C的准线与％轴的交点，A,B是抛物线C上两个不同的动

点，（）

A.若直线AB过点F,则APAB面积最小值为4

B.若直线AB过点F,则丽•丽20

C.若直线过点P,贝+\BF\<2\PF\

D.若直线4B过点P,则|AF|+\BF\>2\PF|

12.定义域为R的函数/(久)的导数为f'(%),若/(1)=1,且0</'(x)</(%),贝I]()

A-B./(2)<2

c.2/(—/1>/1(—$D.1(2)〈盍2

三、填空题

13.设是首项为1的数列，且斯斯+1=2、贝必1()=.

14.已知aC(0,^),tana=贝(jsina=.

273-V2sincr---------

15.如图，正四棱台4BCD上下底面分别是边长为4,6的正方形，若|441|6[百，3b],贝U该

棱台外接球表面积的取值范围是

16.已知函数/'（X）=三五,若勺，x2ER,实数m满足/'（久力・f（久2）=-62则实数m的取值范围

是.

四、解答题

17.已知Sn为数列｛%｝的前n项的和，且％=1,。„+1=户匚+底•

2

(I)求数列｛S"的通项公式；

(2)若垢=(一1)%„,求数列｛3｝的前2n项和不公

18.记锐角AZBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△4BC外接圆的半径为R,已知acosB—bcosZ=

R.

(1)若B=今，求A的值；

(2)求等的取值范围.

19.如图，四棱锥P—ABC。中，底面ABCD为平行四边形，PAiffiABCD,481PC,BC=AP=y[2AB=

2.

(1)求点A到平面PBC的距离；

(2)求二面角C—尸0—4的正弦值.

20.某课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取了高年级的100名学生某次考试的成

3

绩(满分100分)，若按单科85分以上(含85分)，则该课成绩为优秀，根据调查成绩得出下面的2X2列联

表(单位：人).

数学成绩优秀数学成绩不优秀

物理成绩优秀1614

物理成绩不优秀2050

(1)根据调查所得数据，该课题组至少有多大把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？

(2)随机从这100名学生中抽取1名学生，在已知该学生“数学成绩优秀”的情况下，求该学生物理成绩不

优秀的概率

(3)随机从这100名学生中抽取2名学生，记2人中数学成绩优秀的人数为x,物理成绩优秀的人数为

y,设X=x—y,求X=1的概率.

2

附.r2____n(ad-bc)_______

八-(a+b)(c+d)(a+c)(fa+d)

Pg>k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

21.在平面直角坐标系中，已知点4(一2,0),B(2,0),直线PA与直线PB的斜率之积为一记动点P

的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线/：y=k久+血与曲线C交于M,N两点，直线MA,NB与y轴分别交于E,F两点，若前=

3OF,求证：直线1过定点.

22.已知函数/(%)=axeax—Inx,a>0.

(1)若a=l,记/(%)的最小值为m,求证：m>|+ln2.

■x1

(2)方程/(%)=a%+b,b€R有两个不同的实根％i，x?，且％I+%2=2,求证：^i2a2e2a'

5

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】由z(l+i)=3T,则有z=数=貂热=1-23

所以z-£=(l-2i)(l+2i)=5.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则对称复数z,再利用复数与共甄复数的关系，进而得出复

数Z的共甄复数，再结合复数的乘法运算法则得出z-Zo

2.【答案】C

【解析】【解答】因为集合〃={1,a2,3a+1},集合4UU,且Q4={1，4},

所以{1,4}c[1,a2,3a+1},

所以若3a+1=4na?=1,不满足元素互异性，

则a?=4=a=+2=3a+1=7或3a+1——5,满足互异性，

所以a=±2.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系和补集的运算法则，再结合元素的互异性，进而得出实数a的

值。

3.【答案】B

【解析】【解答】如图：以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线所在直线为y轴，建立如图所示直角坐标

系，由题意可知：A(0,V3),C(-l,0),B(l,0),

因为G为△ABC的重心，所以G(0,")，

因为点P为线段BC上一动点，设点PQ,0)(-1<%<1),

所以襦=(0,—孥)，而=(x,-V3),则前.屁=0.%+(_孥)x(一百)=2，

6

故答案为：B.

【分析】以BC所在直线为%轴，线段BC的垂直平分线所在直线为y轴，建立直角坐标系，由题意可知空间点的

坐标，再结合G为AABC的重心，进而得出点G的坐标，再利用点P为线段BC上一动点，设点PQ,0)(-1<

x<1),再结合向量的坐标表示合数量积的坐标表示，进而得出品.晶的值。

4.【答案】C

【解析】【解答】由题意可得57.4%=(1—p),50%=(l—p)573。，则备=嚅普=鬻|=久”4588,

J/JUUaJxJ•J

则4588-2022=2566,

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合函数建模的方法，再结合指数函数的模型合代入法，进而可估计该建筑大约建成

的时间。

5.【答案】B

【解析】【解答】由题意可知a=2,c=3,\FrM\=c+1=4,|F2Ml=c—1=2,

不妨设P在右支上，根据角平分线的性质可得解=翳六率又|P&|-〃1=2。=4,

所以IP&I=8,\PF2\=4,在4P0F2中，由余弦定理得COSNP&F2=

进而|OP|=JPFJ+&。2-2Pa•FIOCOSNP&M=164+9—2x8x3x(=V31；

方法二；由双曲线的光学性质可知MP为切线，设P(%o,y0),故其方程为竽—争=1,

又因为过M(l,0),则?=1=>久。=4=%=15,则|OP|=V^I.

故答案为：B.

【分析】由双曲线的标准方程可知a,c的值，再结合双曲线的定义得出|aM|,|F2Ml的值，不妨设P在右支

上，根据角平分线的性质可得掰=翳/=东再利用双曲线的定义得出|PFi|,|PF2|的值，在APF1F2中，

由余弦定理得出OP的长;

7

方法二：由双曲线的光学性质可知MP为切线，设PQo,y0),故其方程为学—管=1,再利用双曲线过

M(l,0)结合双曲线的标准方程得出点P的横坐标，再结合代入法得出点P的纵坐标，再利用两点求距离公式

得出OP的长。

6.【答案】C

【解析】【解答】:X6(0,誓)，谆<3%+与<噌

rz、、137r3,7T,5zr

.../(x)>...T

0<O)<I，所以3的最大值为去

当3=凯寸f(%)=singx+号)，令gx+号=kmkeZ,解得力——今+.kmkeZ,

所以函数的对称中心为(―a+引兀，0),kez,

所以函数的一个对称中心为6，0).

故答案为：c.

【分析】利用已知条件结合X的取值范围合不等式的基本性质，进而得出3的取值范围，从而得出口的最大

值，进而得出对应的函数的解析式，再利用换元法结合正弦函数的图象求对称性的方法，进而得出函数f(x)的

一个对称中心。

7.【答案】D

TT

【解析】【解答】设/(久)=sinx-In(久+1),xG(0,小)

则/(X)=cosx-

令zn(x)=晶(久)=-sinx+1亶,

'(久+1)

因为y=sin久在(0,”上单调递增，丫二日匚了在(°，号)上单调递减，则加(久)在(。，1)上单调递减，

由加(0)=1>0,m(g)=-1+-^-2<0；所以me(0,J),WQ0)=0,

°

所以当x£(0,%o),m\x)>0,所以TH。)在(0,%0)上单调递增，

当口€(%o,看)，m/(x)<0,所以m(%)在(%。,看)上单调递减，

又m(0)=0,租(看)=亨一>。，

从而m(%)>0即/%)>0在(0,3)上恒成立，

故”乃在(0,亲上单调递增，

8

所以/'(x)>/(0)=0,即sin%>ln(x+1)=>sinO.l>lnl.1,

构建。(久)=ex—^x2—1—x)则g'(X)=ex—x—1,

令0(x)=ex—x—1,则/(久)=ex—1,

当xe(0,+8)时，/(久)>0,则0(久)在(0,+8)单调递增，

所以W(%)>0(0)=e0-0-1=0,即g'(K)>0,

故gO)在(0,+8)上单调递增，则g(%)>g(0)=0,

故e*—^%2—1>%在(0,+8)恒成立，

取了=0.1,可得e0i-1.005>0.1,

构造八(%)=x—sinx,则=1—cos%，

当xe(0,刍时，江⑺>0,故h㈤在(0，刍单调递增，

所以％(久)>/i(0)=0,所以当xG(0,今时，

x>sinx,取％=0.1,则0.1>sinO.l,

综上所述得:lnl.1<sinO.l<e01-1.005,即c>a>b.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性结合恒成立问题求解方法,

进而得出函数的值域，再结合比较大小的方法，从而比较出a,b,c的大小。

8.【答案】C

253333吊

【解析】【解答】尸⑷=爷岩，「伊)=竽=白％)=牛=东超=人」，

A6A36，

A6A3

对于A,P(4B)=为4遥+4洌f)+*退屑=圣手P⑷P(B),A不符合题意，

A6

对于B,p(")=点必邛2岐41=黑=9P(4)P(C),B不符合题意,

/u/乙UJrJ

111

^cc

-451

6-

对于C,P(AD~)A点=P(4)P。)，C符合题意,

6

对于D,P(BC)=P(C)aP(B)P(C),D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合组合数和排列数公式以及古典概型求概率公式，再结合独立事件的定义，从而找

9

出正确的选项。

9.【答案】A,C

,网

【解析】【解答】由''直线Ay^kx+b和圆0：久2+y2=2有公共点”可得圆心到直线的距离弓=-T^=

yjk+1

应0b2W2炉+2,

当b=l时，b2<2k2+2,即1W2k2+2显然成立，A符合题意；

当k=l时，M〈2/+2，即后<2X俨+2=4不一定成立，不满足充分性，B不符合题意；

当户―时，可得d</+1<2/+2，C符合题意；

当d―2/式2,即非〈2y+2,此时满足充分必要条件，D不符合题意.

故答案为：AC.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而得出“直线Z：y=kx+b和圆。：x2+y2=

2有公共点”的一个充分不必要条件。

10.【答案】A,B

【解析】【解答】x的系数为8,则以+或=a+b=8,

当或｛；二｝寸，/的系数为21;

当｛°12时，则/的系数为C：+=；(a?—a+用一b)=：(a+b)(a+b—1)—ab—28—ab,

因为a,b£N*,所以ab可能为7,12,15,16,21,

则28-ab可取12,16.

故答案为：AB.

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合展开式中的通项公式得出x的系

数，进而得出a,b的值，再结合分类讨论的方法得出满足要求的实数a,b的值，再利用展开式中的通项公式

得出/的系数。

U.【答案】A,B,D

【解析】【解答】由题意可得：抛物线C；y2=4x的焦点尸(1,0),准线与％轴的交点P(-1,0).

若直线4B过点尸(1,0),可设力3：%=my+1,代入抛物线方程，有y2=4jny+4.

22=

设2(第1，yi),8(%2，丫2)，则有』=(-4m)—4X(—4)=16(m+1)>0,y1+y24m,yty2=-4.

2216m2

对于A：SAPAB=SAPFA+sAPFB=1x2x|y1-y2|=-y2)=J(y1+y2)-^yry2=V(+?

4.A符合题意；

10

对于B：PA-PB=(久i+1,yj•(%2+1，y-2)=久1肛+久1+久2+1+匕%=4+m2—4>0

=%1久2++久2+1+

=(小力+1)(W2+1)+fnyi+1+my2+1+1+

2

=(m+1)为丫2+2m(yx+y2)+4

把、1+%=46，X丫2=一4代入，得：西・丽=4血22o.B符合题意；

若直线ZB过点P(—1,0),可设43：x=ny—1,代入抛物线方程，有y2=4ny-4.

所以判别式/=(―4n)2—42>0,则n2>1.

设4(%3，y3)>B(X4，yQ，则有y3+y4=4〃y3y4=&

2

由抛物线的定义：\AF\+\BF\=X1+l+x2+l=n(yr+y2)-2+2=4n.

因为">1,所以|4尸|+\BF\=4n2>4.

而|PF|=2,所以|4F|+\BF\>2\PF|.

C不符合题意，D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】由题意结合抛物线的标准方程可得抛物线C；/=4%的焦点坐标和准线方程，再结合准线方程和x

轴对应的方程，进而得出准线与x轴的交点P的坐标，若直线2B过点F(l,0),可设AB：x^my+1,再设

4(/，月)，B(%2,")，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出4>0,yi+

y2=4m,yiy2=-4；利用已知条件结合三角形的面积关系和三角形的面积公式以及韦达定理和判别式法得

出的最小值。利用已知条件结合向量的坐标表示和数量积的坐标表示以及韦达定理和判别式法得出易.

PB>0；若直线AB过点P(-l,0),可设AB：x=ny-l,再设4(久「月)，B(x2,y2),再利用直线与抛物线

相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出层>1和丫3+%=4九，当丫4=4，由抛物线的定义和韦达

定理以及代入法和小>1,所以|AF|+|BF|>4,而|PF|=2,所以|AF|+|BF|>2|PF|,进而找出正确的选

项。

12.【答案】A,C

【解析】【解答】由题意可知构造函数g(x)=牌，

则/(乃=[?」)曰外初<0,所以g(%)=曾在R上是单调递减函数，

于是：绰>哈=今于是用)>=>；，所以A符合题意；

e2e2

11

号<乎=3于是/(2)<e,所以B不符合题意;

eee

于是f(一$<e町(―》<2/(-｝，所以C符合题意;

由于f(2)>"J而/(2)<e,所以/©)/(2)的范围无法确定，D不一定正确.

e2z

故答案为：AC

【分析】利用已知条件构造函数g(久)=等，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性和

函数的解析式代入法以及比较法，进而找出正确的选项。

13.【答案】32

CCQ71+1(1

【解析】【解答】％+1%+2==2,得于垃=2,又。通2=2,得。2=2,所以40=。2・24=32.

2Un

故答案为：32.

【分析】利用已知条件结合递推公式变形和代入法，进而得出数列第十项的值。

14.【答案】今三

4

【解析】【解答】tana=包”=?co六+1,化简得bsina-cosa=V2,即sin(a-刍=q>0,

cosaV3—V2sina'6，2

又ae(o,今，所以aY是第一象限角，得cos(a—*=*

故sina=sin[（a一卷）+=sin（a—看）cos看+cos（a—1）sin看

枭枭袅巨审.

答案为:76+72

-4~

【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和辅助角公式以及角的取值范围和象限角的判断方法，

再利用同角三角函数关系式得出cos(a-看)的值，再结合角之间的关系式和两角和的正弦公式，进而得出sina

的值。

15.【答案】［72兀，153兀］

【解析】【解答】由题意得正四棱台的上下底面外接圆半径分别为厂］="y=2/，万=上产=3/,

IWJ为人=J|aAi|2_(万—乃)2=|［441|2—(3/一2V^)2=-2,

因为|44i|E[V3,3V3],所以hG[1,5];

12

设正四棱台的外接球半径为R,球心到上下底面的距离分别为心和④，

当球心在上下底面之间时，dr+d2=h,

当球心不在上下底面之间时，d1-d2=h,

所以di+d2=h,

又W+造=解，送+城=废，则询=JR2_若=JR2-8,d2=_r2=JR2_⑶

所以％=7R2一8±、R2-18,

所以九土7R2-18=7R2—8,

_______2______2

2

所以(h±JR2-18)=(7/?-8)'

所以±2/iV/?2-18+解_18=/?2_8，即庐±2/iV/?2-18=10，

所以2，腔-18=I"半|，因为hC[l,5],所以2，R2-18=|八一曲e[0,9],

所以4R2c[72,153],所以棱台外接球表面积SC[72兀，153兀].

故答案为：[72兀，1537rl.

【分析】由题意得正四棱台的上下底面外接圆半径，再利用勾股定理得出高为小AA——2,再结合

[V3,3遮],进而得出高的取值范围，设正四棱台的外接球半径为R,球心到上下底面的距离分别为四和d2,

当球心在上下底面之间时，di+d2=h,当球心不在上下底面之间时，dr-d2=h,所以di±d2=h,再利

用勾股定理得出2W?2—18=①―乎|,再结合he口，5],进而得出2UR2—18的取值范围,从而得出4炉的

取值范围，再结合球的表面积公式得出棱台外接球的表面积。

16.【答案】[一2,2]

4Y—n1

【解析】【解答】设£=4%—Q,则y=/(%)=号=a+2口；；：2+16«e

当£=0时，y=0；

16

当tH。时，y="+%/

LI{I乙Ct-

1>0时，t+吟竺227^不1石，当且仅当土=吟"即亡=中』等号成立,

c,16一8

所以。〈"百黑,

t+£i±16<_2V^T16-当且仅当"上冲即"―庇』等号成立,

8,16

所以E二-<0.

t+a^+16+2a

13

f(%)max=r>0,/(%)min=/<0

a+Jq2+i6CL—Jci2+16

88

综上所述，/2-f(%)­/2

CL-ja+16a+Ja+16

由/'(久1),f(久2)=一加•？，所以一瓶22fQ)max=-4,即加之44.解得一2WTHW2.

故答案为：[—2,2].

【分析】利用已知条件结合换元法和分类讨论的方法，再结合均值不等式球最值的方法，进而得出实数m的

取值范围。

17.【答案】(1)解：因为an+i=Sn+i—S”所以S„+1—=+信，解得后=1，

所以｛、用｝是公差为1的等差数列，则/霖=757+n-1=n,得5>1=712.

2

(2)解：由(1)可得：Sn=n,则即=+JSn_i=?i+n—1=2n—1,

n2n-12n

得bn=(-l)(2n-1),有电51+b2rl=(-l)[2x(2n-1)-1]+(-l)(2x2n—1)=2,

则72n=血+b2)+(b3+b4)+-••+(b2n-i+b2n)=2n.

【解析】【分析】(1)利用即，S.的关系式和等差数列的定义，进而判断出数列｛店｝是公差为1的等差数

列，再利用等差数列的通项公式得出数列｛S"的通项公式。

n

(2)利用已知条件结数列｛S"的通项公式得出数列的通项公式，再利用bn=(-l)an,进而得出数列

｛%｝的通项公式，再利用分组求和的方法，进而得出数列｛"｝的前2n项和。

18.【答案】(1)解：1艮据正弦定理‘1万=一=2R,有a=2Rsin4b=2/?sinB,c=2RsinC,

sin/isine。=sine，

由acosB-bcosA=R,有2Rsirh4cosB—2RsinBcosA=R,得sin(4—B)=5，

因为4Be(0,5),所以力一Be(—5，刍，

所以4-8=生由B=J,解得4=彗

(2)解：因为所以C=兀一(4+3)=猾一23,

兀

o<力<-(0<J+B<5

2I6L

为

因o<B<7r-，即［0<B<5，所以36(/刍，

C2

O<<7r

2-

则R—c_R—2RsinC_1—2sinC_1-2sin偿-28)_1—cos2B—月sin28

b-2/?sinB-2sinB-2sinB-2sinB

2sin2B—2V3sin^cos^.石.7r.

=-----2SE.-------=sinBn—V3cos8n=2nsm(/BD—可)，

BG(5,有B0),所以2sin(B—0e(—1,0),

14

所以片的取值范围为(-1,0).

【解析】【分析】⑴利用已知条件结合正弦定理，则a=2Rsin4b=27?sinB,c=2RsinC,由acosB-

bcosA=R,有2Rsirh4cos3-2RsinBcos4=R,再结合两角差的正弦公式得出sin(力一B)的值，再利用4BE

(0,务和不等式的基本性质得出A-B的取值范围，进而得出A-B的值，再结合进而得出角A的值。

(2)利用4=左+B结合三角形内角和为180度的性质，所以。=些—28,再利用锐角三角形中角的取值

范围和不等式的基本性质，进而得出角B的取值范围，再利用正弦定理和两角差的正弦公式以及辅助角公

式，进而得出£=2sin(B-亨)，再利用角B的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象求值域

的方法，进而得出片的取值范围。

19.【答案】(1)解：连接AC,•••PA1面ABCD.-.PA1AB,PA1AC

■：ABLPA,AB1PC,PAu面PAC,PCu面PAC,PACtPCP,

.■.ABl^PAC,.-.ABLAC,以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立坐标系则

4(0,0,0),P(0,0,2),B(V2,0,0),C(0,V2,0),D(一五,鱼，0),

BC=(-V2,V2,0),~BP=(-V2,0,2),

设平面PBC的法向量为元=Qo,yQ,zo),

..俨曳=0即之。'兽0」令z。j则…。3.•."(回a1)，

5•BP=。

2),CD=(-V2,0,0),AD=(-V2,V2,0),AP=

(0,0,2),

设平面PCD的法向量为同=(久1，y1；zi),

15

...叵t=0即广历j+2zi=0.0,令z1,则遮，..再=（0,V2,1）,

向・CD=0I-鱼%i=01

J

设面PAD的法向量为五二（%2，y222），

（而•力。=0日n（―V5%2+=0nA4rn.i1—,

・・・《，一>即｛:…Z2，=0令％2=1，则丫2=1，J九2=（L1，。），

I布•力P=0I2Z2=0

../—>一>近,药V2V3

=9

COS<Tl1i，Ti2o>=I——>iI——=^T=~i~产=~o~

|nil|n2lV3-V23

，二面角C—PD—A的正弦值为李

【解析】【分析】（1）连接AC,利用241面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以241

AB,PA1AC,再利用4B1P44B1PC结合线线垂直证出线面垂直，所以AB1面24C,再利用线面垂直的

定义证出线线垂直，所以AB1AC,以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立坐标系，从而得出

点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面PBC的法向量，再

结合数量积求出点A到面PBC距离。

（2）由（1）结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面PCD的法向量和

面PAD的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出二面角C-PD-4的正弦值。

7

100(16-50-14-20)“

20.【答案】（1）解：K2X5.59

(16+14)-(20+50)-(16+20)-(14+50)

•••3.841<K2<6.635.•.至少有95%把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系

（2）解：设/事件是“数学成绩优秀”，B事件是“物理成绩优秀”,

则「（月⑷=需=墨3

’100

（3）解：X=1有2种情况：

.取出1个数学优秀物理不优秀的学生，1个数学物理都不优秀的学生

取出1个数学物理都优秀的学生，1个数学优秀物理不优秀的学生

0&0+*6©0_

.p（X-1）-月20_32__132

..尸（△一】）一十_99+495—495，

L100L100

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而判断出至少有95%把握认为学生的数学成绩

与物理成绩之间有关系。

（2）利用已知条件结合条件概型求概率公式得出该学生物理成绩不优秀的概率。

（3）利用已知条件结合分类讨论的方法和组合数公式和古典概型求概率公式以及互斥事件加法求概率公

式，进而得出X=1的概率。

16

21.【答案】⑴解：设P点坐标为(%,y),则备•随=—%即导+产=i(K力±2),

2

所以曲线C的方程为竽+y2=1(%±±2).

y=kx+m

2消去y并整理得(4左2+1)%2+8kmx+47n2—4=

(2)证明：设M(%0%),N(%2,%)，由(%彳+,y22=1

0,

由4=64k27n2—4(4/c2+l)(4m2—4)>0,得4/c?+1>m2,

匚匚I、1,8km47n2—4

所以％1+%=-----2—，%1%2=-7----•

24fcz+l4fcz+l

MA:y=赳(久+2)nE(0,晟)，NB：y=舂^(久一2)nF(0,塞|),

因为E。=3。凡所以-??=3•警,即丫式4—2)=3y2(%i+2),

JC]~乙।尤2乙

・•.(k%i+m)(x2—2)=3(/CX2+m)(%i+2),

:.2kxix?+(2k+3771)(%1+%2)+4(k—m)x2+8m=0,

所以2k•^2-~+(2k+3m)—+4^_也)％?+87n=0,

4/+14fcz+l

2

所以(k—m)[4/cm-2+(4/c+1)%2]=。对任意％2都成立，

k=m,故直线1过定点(一1,0).

【解析】【分析】(1)设P点坐标为。，y),再利用已知条件结合两点求斜率公式得出曲线C的方程。

(2)设M(%i，yi),Ng,丫2)，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出

4k2+1>62和/+久2=--§锣勺％2=驾心，再利用直线方程和代入法得出点E,F的坐标，再结合

2

~EO=3而和向量共线的坐标表示得出(k-m)[4/cm-2+(4/c+l)x2]=0对任意%2都成立，进而得出k=m,

从而证出直线1过定点。

22.【答案】(1)证明：若a=1,/(x)=xex—Inx,(x>0),f(%)