高中数学《两条直线的交点坐标》+教案

2.3.1两条直线的交点坐标教学设计课题两条直线的交点坐标单元第二单元学科数学年级高二教材分析在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数的方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等。在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的解的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。教学目标与核心素养1数学抽象：根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；2逻辑推理：解方程组的方法求两条直线的交点坐标；3数学运算：求两条直线的交点坐标、判断两直线的位置关系；4数学建模：用坐标法解决平面几何问题；5直观想象：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系；6数据分析：利用两条直线方程的对应系数来判断两直线的位置关系.重点能利用二元一次方程组的解的个数来判断两条直线的位置关系，会求两条直线的交点坐标.难点能利用两条直线方程的对应系数来判断两直线的位置关系.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课问题1直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？问题2如何求二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有几种情况？问题3平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？提示：1每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线；2二元一次方程组的解有三种情况3平面直角坐标系中，两条直线的位置关系也有三种问题导入复习巩固，以旧带新，为学生自主探究铺平道路，引发学生探究新知识的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课.讲授新课思考已知两条直线ll相交，它们的交点坐标与直线l1设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.例1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：ll解：解方程组得x所以，直线l1与l2的交点是M（-2，2如图例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:（2）l1:（3）l1:分析：解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1//l解：（1）解方程组x得x所以，l1与l2相交，交点是M(（2）解方程组3=1\*GB3①×2-=2\*GB3②得9=0，矛盾，所以这个方程无解，所以，（3）解方程组3=1\*GB3①×2=1\*GB3①和=2\*GB3②思考你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？几何法（用斜率判断）设直线l1:y则（1）l1与l2（2）l（3）l1与代数法（解方程组法）两条直线l1：l2：的位置关系，可以用方程组A1x+方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点=1\*GB3①有唯一解相交有一个交点=2\*GB3②有无数解重合无数个交点=3\*GB3③注：=1\*GB3①A1A2=2\*GB3②A1A2≠=3\*GB3③A1A2=特别地l课堂练习：1直线l：(a+2)x+(1-a)y-3=0.当a变动时，所有直线都通过定点（）A．(0，0)B.(0,1)C.(-2,1)D.(1,1)答案：D解：直线l：(a+2)x+(1-a)y-3=0即a(x-y)+2x+y-3=0当a变动时，所有直线都通过x-y=0与2x+y-3=0的交点(1,1)，故选D2已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq\f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，求实数k的取值范围．解：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))(若2k＋1＝0即k＝－eq\f(1,2)，两直线平行)．∴交点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交点位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).3求过直线x+y+1=0与解：设过直线x+y+x即它的斜率为-1+2解得λ所以，所求直线方程为2拓展：经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2:A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，（λ但此时不含l2,在解题时要注意验证l2是否符合题意，否则会出现漏解的情况.问题：上述共点直线系方程中为什么不包括l2？提示：由于共点直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，则当λ=0时，说明此时随λ取值变化的直线系中刚好刻画的是直线当λ≠0时，要使得刻画的是直线l2，则需要A1x＋B1y＋C1＝0，而它前边的系数是1，不是0A2x＋B2y＋C2＝0故共点直线系方程中不包括l2.同理，如果我们将共点直线系方程写为λ(A1x＋B1y＋C1)＋(A2x＋B2y＋C2)＝0则此时共点直线系方程中就不包含直线l1.4求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．证明：法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝eq\f(1,2)时，直线方程为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若对任意m都成立，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4.))所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，-4)．5已知两条直线l2m为何值时，l1与l2（1）相交；（2提示：（1）m（2）m=（3）m=学生交流、讨论学生自主练习，动手操作设置问题，引导学生探究新知识体会两条直线的交点与对应二元一次方程组的解的关系.通过动手操作，直观感知，深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系.在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究。拓展直线系方程概念具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合，叫做直线系。它的方程叫做直线系方程，直线系方程的特征是含参数的二元一次方程.法一课堂小结1两条直线位置关系与二