四川省新高考联盟2024-2025学年高三年级上册12月模拟考试数学试题

四川省新高考联盟2024-2025学年高三上学期12月模拟考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z满足z(2+i7)=-3i+4,则复数Z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1pq

2.已知：^:_L_>i^：lOg2(x-«)>l.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围

为()

A-(o,l)B.(0,1]C.(F,o]D,(一8,1]

3.己知等比数列｛%｝的前“项和为S",若邑=L则一()

564号+4

A.-B.8C.9D.16

3

,、/八、八4n.itancr-tanjS=/、

4.已知sin(a+P)=2cos(a-75),tana+tan£=5，贝!J()

-311

A.3B.C.-D.--

33

5.已知点。在v/Bc确定的平面内，0是平面外任意一点，满足

CD=2OC-xOA-yOBt且、>°，丁>°,则的最小值为()

Xy

A.3।B.-+V2C.2+迪D.3+2逝

i+V242

试卷第11页，共33页

6.记的内角4凡。的对边分别为a,'c,已知.=百，A=l,则/+2。2的最大值

为（）

A-9B-6+2>/3C-9+6D.12

7.己知椭圆氏£+£=i（a>6>o）的左、右焦点分别为6与，点尸’48都在椭圆E上，

a2b2

若西=恒2朋=正田且4+则椭圆E的离心率的取值范围为（）

文团B.］刊C,卜同D.收

8.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长

A.这两个球体的半径之和的最大值为3+6

2

B.这两个球体的半径之和的最大值为3

3

C.这两个球体的表面积之和的最大值为（6+3人彳

D.这两个球体的表面积之和的最大值为驷

9

试卷第21页，共33页

二、多选题

9.随机事件4，满足尸⑷=；,P伍）=|,尸（彳忸）=：,则下列说法正确的是（）

A.尸（"）=尸⑷尸⑻B.P（分）=|

C.+D.尸（明（/+0）P（粉）="⑷尸⑻

10.[司表示不超过x的最大整数，例如：[-0.5]=-=已知函数/（x）=[x]，下列

结论正确的有（）

A.若代（0,1）,则+〃x）+；

B-Vx,yeR,/（x+y）＜/（x）+/（j）

C.函数y=[x],xeR的图象不关于原点对称

D.设方程口1口=3的解集为A,集合84欧一11船+15f0},若"U8=R,则

4~|「火S-

ke-1,--U{O}U

11.已知eC:（x_2/+廿=4，直线/：x=2,0为原点，点尸在0C上，直线O尸与/交于点

Q,R在直线0P上，且而=砺，点&的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线E,其中/是E的渐

近线，如图所示.设河a0，%）是£上一点，则（）

试卷第31页，共33页

y

A

--2<x0<2

B.存在异于原点°的点河，使得“关于点°的对称点仍在后上

C.若初在第二象限，则外的最大值为近

3

D.若加在第一象限，则直线°”的斜率大于e自

三、填空题

12.j\_N}x+y)6的展开式中x4产的系数为__

13.已知0<a<b<c<l，且3624a，则即也一年-覃-4的最小值是___-

14.设/是非空数集，若对任意x/w/,都有x+ye/,孙e/,则称Z具有性质产•给出以

下命题：

①若N具有性质P,则/可以是有限集;

②若同,4具有性质R且4c应力。，则4ca具有性质「；

③若4,4具有性质尸，则4口4具有性质产；

④若N具有性质产，且N/R,则3/不具有性质a

其中所有真命题的序号是.

试卷第41页，共33页

四、解答题

15.已知函数/(x)=/sin(ox+9”/>0,0>0,0<夕<曰上由下列四个条件中选出三个：

①最大值为2；②最小正周期为2兀；

③/(。)=-2；©/L^=o.

(1)求函数y(x)的解析式及单调递减区间；

⑵设=当«0，加］时，g(》)的值域为［。，2+司，求”的取值范围.

16.如图，在四棱锥尸一48cD中，底面N8CZ)为直角梯形，4D//8C，4D_LOC，

PA=PD=PB=2氏BC=DC^AD=2,E为仞的中点.

(1)求证：尸£j_平面/8C£)；

(2)求平面产48与平面me的夹角的正弦值；

(3)记Be的中点为.，若义在线段尸石上，且直线“N与平面尸所成的角的正弦值为

试卷第51页，共33页

旦,求线段EN的长.

18

17.己知椭圆。的焦点在x轴上，长轴长与短轴长的比为2:1,焦距为26孑为椭圆上任

意一点，过点尸作圆的两条切线尸2、PB,48分别为切点，直线分别与

x、V轴交于〃、N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求△“ON面积的最小值；

(3)过点0仅,1)的两条直线小分别与椭圆C相交于不同于点°的。，£两点，若4与4的

斜率之和为一2,直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说

D匕

明理由.

18.若数列*N*)满足”｛。,1｝，则称数列应｝为左项0-1数列，由

所有左项0-1数列组成集合朋J

⑴若｛6｝是12项0-1数列，当且仅当”=3p(0eN*,pV4)时，%=0,求数列｛㈠)、,｝的

所有项的和；

(2)从集合风中任意取出两个数列｛叫，也｝,记万=£L-4.

/=1

试卷第61页，共33页

①求随机变量X的分布列，并证明：E（x）〉g；

②若用某软件产生N左22）项0-1数列，记事件/="第一次产生数字1"，B="第二次产

生数字1”，且。〈尸（4）＜1，0＜尸修）＜1.若尸（即）〈中团，比较尸5⑸与尸（/同的

大小.

19.莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用"（”）

作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用所有大于1的正整数〃都可以被唯一

表示为有限个质数的乘积形式：”=…0?（左为〃的质因数个数，p,为质数，

々21/=1,2,…㈤，例如：60=22x3x5＞对应左=3,口=2,2=3,2=5/=2，

G=l,q=lnGN*l,n=1

.现对任意，定义莫比乌斯函数〃（〃）=＜（-1）:八=4h♦.=〃=1.

0,存在,〉1

（1）求〃（68）,〃（985）；

（2）已知"1，记”=p；p；z…p?（、为"的质因数个数,p,为质数，在=…肃）的

所有因数从小到大依次为巧,心,...,%.

（i）证明：|〃（％）|+|〃（出）|+…+|〃（金）|=2'；

（ii）求皿+巫J+...+3的值（用n=12…㈤表示）.

%a2an

试卷第71页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案DCBDBBBDCDACD

题号11

答案AD

1.D

【分析】根据复数的乘方与除法运算，整理可得标准形式，结合复数的几何意义，可得答

案.

【详解】由z（2+，）=-3i+4,得z（2-i）=4-3i,所以z="=H-W（2+i）=］二,

2-i（2-i）（2+i）55

所以z在复平面内对应的点为［位于第四象限.

故选：D.

2.C

【分析】〃

解分式不等式、对数不等式求对应x范围，结合充分不必要条件有a+2w2,即可得范围•

【详解】由--—=^<0,可得卜X-2）（X-3）4°

x-2x-2x-2［x-2^0-

由q:log221nx—Q22nxNQ+2‘

因为p是q的充分不必要条件，则a+242na4（T

故选：C

3.B

【分析】根据等比数列｛""｝的前"项和S”的性质，将$6，,9,几分别用53表示，代入

S3+S6

即可求解.

答案第11页，共22页

【详解】因为邑=L所以，6=4号，则S6-$3=3$3,

"4

由等比数列｛2｝的前〃项和S“的性质可知，

数列$3,$6-/耳-$6,几-凡是以$3为首项，3为公比的等比数列，

2

所以5一艮=353=9s3,即$9=9s3+$6=13$3，

S-3s3=21s3,即岳2=27s3+$9=405，

所以40。=8.

邑+久$3+45

故选：B.

4.D

【分析】由两角和差的正余弦公式化简后两边同除以cosecosp可得解.

【详解】由sin(a+夕)=2cos(a—p)可得sinacosP+cosasinQ=2cosacos^6+2sintzsinp，

两边同除以cosacosQ可得，tan«+tanyS=2+2tanortan,

41

代入tana+tan.=,

故选：D

5.B

【分析】由四点共面可知x+y=2,结合基本不等式的乘“1”法即可求解.

［详解］CD^C^+OD=2OC-xOA-yOB^Ob^3OC-x^A-yOB^

因为45,C,。四点共面，所以3-x-y=lnx+y=2，

注意到从而2+1/2+口£±2;+4二鹿+乙1二+收，

xyyJ22x2y2v22

答案第21页，共22页

当且仅当x=4-2&/=2&-2时等号成立，

所以劣+工的最小值为3+也.

xy2

故选：B.

6.B

【分析】由已知可得/+2C2=迎上虫，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根

a2

据正弦函数的性质，可得答案.

【详解】由0=6,/=[,则〃+2/=近二至2,

3a2

根据正弦定理，可得/+202=麻出""Sin'C)=例出2B+2sir?C)

sinA

“l-cos25l-cos2C、,3

=4(---------卜2*--------)=6-2cos2B-4cos2C,

在V的中，C--B,则c-㈤

3

47rI-

b1+c2=6-2cos25-4cos(--B=-B+2cos2&e2V36sii)2R

=28sin28+6，

在VN2C中，易知0<8<生，当8」时，(〃+2c2)max=6+2G.

34

故选：B.

7.B

【分析】设直线力：尤=如了_°，直线尸8：x=%P+c代入椭圆方程，消元后得一元二次方

答案第31页，共22页

程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出4=-丛，和〃=-及，代入中，利

必y2

“2।2\a,c

用韦达定理代入，化简即得，2（。+c）由的齐次不等式，即可求得离心率的取

a2-c2

值范围.

【详解】依题意E（-c,O），工（c,0），

如图，由西=2瓦5，成=〃港可知尸,4月三点共线，尸,民巴三点共线•

设「（%，%），/（占，乂），直线为:x=m{y-c，直线尸3:x=m2y+c，

x22222222

x=mxy-c（a+bm-）v-2bcm^-ab+bc=0

由*v2消去，可得，

bv-1

则yy比二四l,同理可得yy‘显然°0,刈N0,

1JoV空

--/诉y2y0a2+b2m2

由两=4即代入坐标可得：（-c-x。,-％）=g+c，x）,即得2=_"

必

同理由%=陷8可得，”―比，由/=叫%-。，可得叫=&±£,

%为

22

同理，加2=^」故…2a+bmf+/加；

%b2c2-a2b2-

答案第41页，共22页

x+c+62（^Z£）2]=

[2a2+b\-0）2

2222

ab-bc%

y0

又点p在椭圆上，则有/说+/京=/62,则（*）式可化成:

2

2（1+6*）2（/+。2）解得3c2故得e，N"，

a2b2-b2c2-a2-c2-a3

又0<e<l,故E的离心率的取值范围为「无、.

P5J

故选：B.

【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三:

（1）根据已知条件列方程组，解出2°的值，直接利用离心率公式求解即可;

（2）根据已知条件得到一个关于凡0（或°,6）的齐次方程（或不等式），然后转化为关

于离心率e的方程（或不等式）求解；

（3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令”=1，求出相应c的值，进

而求出离心率.

8.D

【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切,

过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则Re，re,其中

.62j|_62.

2

7?=l_1_|V3r-2r,表达出/⑺=l+g-g后亍，re1,求导得到函数单调

性，得到最值，并求出R2+/=-g[（R+r）2_6（7?+r）+3],令x=R*rg,函数

答案第51页，共22页

k-2域,3-）在，,|上单调递增，求出了厘=等，得到答案.

【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切,

过底面圆的直径作截面，

如图所示，过点。作。尸，/2,垂足为尸，过点0,作垂足为瓦

过点Q'作O，D-LOF,垂足为D.

g且C____』

设圆。的半径为凡圆）的半径为『，当下面的球与上底面相切时，火取得最大值，

此时“为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为6,内切球半径为走tan30。=，，

故°'一1,故尺的最大值为《，且取最大值时,

0,0,8三点共线，设O£=r，则O'8=2r，

则2r+r+—=l,解得r=一,

所以Re\OD\=R-r\OO'\=R+r

652

\O'D\=\EF\=\AB\-\AF\-\BE\^y/3-粗R-y/3r-

答案第61页，共22页

因为|。叶+|。叶=I。。］,所以（R一4+使一代氏_折了=伍+4①,

整理得3出+（2-6*+3卜2_2厂+1）=0,解得尺=1/二6-2一,

令函数f（r）=R+r=1-^3r-2r2+r=l+g-gJ3r-2/,11

re

652

213—2--3+4r

/'（7）=

313r-2/

34r

令函数g（，）=2j3—2/-3+4r,g'（r\=-+4＞0,所以g（/）是增函数.

I），3—2/

又因为＜：］＜（）,所以,g（%）一0,

所以g（r）＜°,g⑺

所以/⑺在上单调递减，在1%,m上单调递增.

因为所以〃“_=|,即这两个球体的半径之和的最大值为土

由①可得尺2+/=-3（尺+4-6（R+r）+3］,

这两个球体的表面积之和为4M超+产）=-3［（7?+r）2-（7?+r）+］.

答案第71页，共22页

=R+r<—,函数V=-2兀£x*）在o,2上单调递增,

33

1071电

=丁，即这两个球体的表面积之和的最大值为9

故选：D.

【点睛】方法点睛：

立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化

为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵

制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构

特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.

9.CD

【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项.

【详解】A.P（/忸）=1一尸（彳忸）=1-；=；,所以尸（22）=尸（/⑻尸（2）=；x[l

尸（⑷P（8）=；xg=

6

所以尸（4B）wP（4）尸（8），故A错误；

B.P（彳方）=尸（彳）_F（彳町=尸（彳）_尸（同犯尸（3）=；_《xg=；,故B错误;

1113

C.P（yl+5）=P（^）+P（5）-P（^）=-+———故C正确;

1

Z%P（^）=P（^）P（5）=|x-=

PM一1z

V-

/-12--

DP{AB\A+B\=(/9

\4

答案第81页，共22页

所以尸(//(4+8))尸(l8)=gx；=5，「2(4)尸2(8)=；xg=£,故D正确.

故选：CD

10.ACD

【分析】利用定义的函数，来取特殊值分析，即可判断ABC,对于D需要转化到一元二次

方程根的分布，再由端点值的取值符号来确定参数范围即可.

【详解】对于A,当工£(0,1)，则/⑺=国=0,所以有

1

〃一同+：=-1+；=-1,一〃x)+—

4

显然/(-x)+；(-〃x)+；成立,故A正确；

对于B,存在了(0.6)+/(0,6)=2x[0.6]=2x0=0,〃0.6+0.6)=/(1.2)=[1.2]=1，

此时\/x,yE.R,/(x+y)<f(x)+/(用不成乂,故B错误；

对于C,因为/(_o.5)=[-0,5]=-1,/(0.5)=[0.5]=0，

所以/(-0,5)^-/(0.5)>即/(x)=[x]不是奇函数，

所以函数了=,xeR的图象不关于原点对称，故C正确；

对于D,方程[卜_]]=3，可得,-1目3,4)，解得：4Wx<5或-3<xW-2，

所以/={x|-3<xW-2或44x<5}，

又因为/u3=R,8={xRx?-1lAx+15左22o},

所以当8=R时，满足题意，此时△及1/120左2=/%，解得笈=0；

答案第91页，共22页

当时，由上可知方程2/T1丘+15左=°有两根，解得项=：左,%=3左，

k>0A<JB=R

-^>4875

当时，若，则需要满足2=>一〈人工一，

—53

3k35

k<04DB=R[3k2-3

当时，若，则需要满足15

-k<-25

12

485

3

综上可得：k€-5-5-3，故D正确;

故选：ACD.

11.AD

刈x,y)尸(士,%)OH，%)OR=XOP(A0)x

X]=

【分析】设，，，设得到，2,即可得到

A

工=^^，设OK=〃°P("°),则工=2,再由尸。=°穴，则[-1=1,从而求出曲

Ax+yRxJLIA

线"的方程，即可判断A、B；利用特殊值判断C,设/(x)=2三e，(0<x<2),利用导数

2+x

0_|_y

说明函数的单调性，即可得到—>/,从而判断D.

2-x

【详解】设R(x/)，P(X”必)，0(%,%),由OP与/相交，则P不与。重合，即无产0,

答案第101页，共22页

OR=WP（Aw0）（几歹）二4（玉，%）_x（x-2）2+y2=4

石一】

“，代入，可得

设，贝1J，所以

M=5

A

即_1二一4x^

Ax+y

设。底=〃。。(〃*°),则(“)=〃(％,%),即％=土，代入*=2,即土=2,即1=2,

444x

由所=砺，即而-丽=砺，所以上砺二砺=砺，

〃A

当丽力°时_1__1=1,从而2一二1=1,整理得/=士.2；

44xx+y2—x

当丽=0时°Q=°P,即°和°重合，氏（°，°）,此时方程式成立;

2-x

所以曲线E的方程为/=2，2；

2-x

解得-

由疗=臼玉.焉20,所以炉^20,2<X0<2故A正确;

2_/2—xQ

F

在第一象限的部分对应的方程为＞=^^•x(0<x<2)①，

2—x

,F在第三象限的部分对应的方程为y=:+》-x(_2<x<0)，

它关于原点成中心对称的部分对应的方程为_了El"<-%<0))

答案第111页，共22页

即昨|-^-x(0<x<2)®

联立①②解得x=o,这样0〈尤＜2矛盾，所以不存在异于原点°的点〃，使得“关于点

0的对称点仍在E上，

由对称性可知，二、四象限也不存在关于点°的对称点仍在£上，故B错误;

当"二-1时当x=-12时/=O.36＞；,故C错误；

设〃可=总叫0＜》＜2),则

e*<0.

所以/(x)在(0,2)上单调递减，

从而/(x)</(0)=l,所以三e，<l,即出〉e;

2+x2-x

所以/=Z±£j2＞e%2,即f＞e，，即上＞一，

2-x/x

所以若"在第一象限，则直线的斜率大于者，故D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出曲线户的方程，D选项关键是构造函数

"3'(°<x<2)'利用导数证明六3

12.

-25

答案第121页，共22页

【分析】分］1一生［取1,（x+用6取X，/和,一在］取一宗，（X+7）6取两种情况讨论

即可.

【详解】当］一生1取1,（x+y）6取x'V,//的系数为以=15；

当（1一斗取-型，（x+y）6取"时，得x4V的系数为：-2C：=-40.

所以x、2的系数为：15-40=-25.

人J

故答案为：_25

13.1

6

【分析】利用换元法可得产=1一”一?，进而根据不等式的性质，讨论求解即可.

［a=l-m-n-p

【详解1令6—。=冽,。-6=〃,1一0=）,其中加,〃,夕〉0，

所以F=i_〃_p,

右则3b=3—3〃一3P24（1—加一〃一夕），故4加+〃+221，

令Af=max{b-a,c-b,l-c]=max{加，?7}

4M>4m6M>4m+n+p>\M^i_

因此＜M>n，故，则",

M>p

当且仅当4机+〃+2=1等号成立，取加=〃=〃=工时可满足等号成立,

6

答案第131页，共22页

可知max｛b-a,c-b,l-c｝的最小值为1,

6

故答案为：

6

14.①②④

【分析】举特例判断①；利用性质夕的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法

判断④，元素0是关键.

【详解】对于①，取集合/=｛0』｝具有性质尸，故N可以是有限集，故①正确；

对于②，取则xe/jxeA2>y>y&A2>又4,4具有性质产，

:.x+y&Ax,xy&Axx+yeA^,xyeA2»x+y&A^A^,xyeAlryA2>所以4c4具有性

质尸，故②正确；

对于③,取4=｛x|x=2R4eZ｝，么="口=3左，左eZ｝，2e4，364，但

2+3效4口4,故③错误；

对于④，若工具有性质产，且4WR,假设忘力也具有性质产，

设OeN，在3/中任取一个X,XH0,此时可证得re/,否则若-xe3/，由于3/也具

有性质尸，则x+(-x)=0e京1，与0”矛盾,故—,

由于/具有性质尸，*4也具有性质R

所以(-x)2e4/e，

而(_q)2=工?，这与Ac34=0矛盾,

故当OeN且N具有性质P时，则3/不具有性质巴

答案第141页，共22页

同理当Oe牌/时，也可以类似推出矛盾，故④正确.

故答案为：①②④

【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生

的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.

15.⑴/⑺=2sin卜+胃，单调递减区间为—H2TIZ(kG)

(2庐J

_126_

【分析】(1)不管选择哪三个条件，均需利用三角函数的性质，并结合条件一一分析可求

出解析式，再根据三角函数的单调性求递减区间即可；

(2)根据(1)的结论，结合三角恒等变换化简g(x)，利用三角函数的性质计算参数范围

即可.

【详解】(1)对于条件③，有/⑼=/sin(/?=-2，

EAL,八八71EiSin。〉。/sin。〉°

因为/〉0,0＜夕＜2，则，*,

显然/(O)=/sin夕=-2不成立，因此只能选择条件①②④，

则42'①I^=07^^9--=A：[ke

所以e=已，此时/(x)=2sin[x+.];

解之得左，就

令x++2左，---白兀忆(k£xw3T22(kG

6221331

(2)由上可知g(x)=/(x)/(x-—2sinx+--2sinx=2sinx(VJsinx+cosx

66J

答案第151页，共22页

=sin2x-cos2x+V3=2sin卜-3+5

当L时,2x_Fr_2m__

因为此时g0°的值域为[°，2+K],则—学sin(2x_§]«l，

贝!12%一少%瓜——+2左，——3兀忆(kG)，

333v7

44八兀兀4和5兀5兀

故r2机—e—,——=＞冽w

3231256

16.(1)证明见解析

尾

cPf19

⑶或不

【分析】(1)连接BE，证出尸E//O和PEJ.8E，即可利用线面垂直判定定理得证；

(2)以£为原点，胡为x轴，£3为y轴，后尸为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

利用空间向量法直接求解面面角的余弦值，即可得到结果；

(3)设£N=/(/C(O,4))，利用向量法直接表示出线面角的正弦值，即可得到参数，进而

得到结果.

RF1

【详解】(1)连接，则==

2

因为ND//2C，所以四边形3cQE为平行四边形；

所以BE=CD=2'

答案第161页，共22页

因为pa_4Q_2y/§，=4且E为AD的中点，

所以所以PE=」PD2-DE2=J20-4=4'

所以PE?+BE2=PB2'即PE_LBE'

又因为40n8£=E，所以PE_L平面4BC0.

（2）以E为原点，为x轴，£3为J7轴,£/＞为2轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则幺12,0,00,8（0,2,0），C（-2,2,0），尸（0,0,4），

所以益=（一2,2,0），P5=（O,2,-4）'阮=（-2,0,0），

设平面PAB的法向量为玩=（再,必,Z1）,

万•方=0b2再+2必=0

则1.方=0,即击-44=0，

取而=（2,2,1），

设平面尸8C的法向量为为=（%，%，Z2），

n-BC=0/-2^2=0

则I心方=0'即卜％-4马=0，

取为=（0,2,1），

gcpi一一m-n2x0+2x24-1x15V5

切以cosm,n=：­j-r-r=,=—/==-产---'

\m\-\n\V22+22+12X>/02+22+123M3

答案第171页，共22页

A-PB-CI―TVy

所以二面角的正弦值为=j.

(3)设£N=(e(O,4))，则N(0,0/)，

而M(T,2,0)，所以丽7=(-1,2,中

由(II)知平面。45的法向量为位=(2,2,1)，

设直线“N与平面加5所成的角为则

I----►I—1x2+2x2+(―£)xlA/6

sing=cos7VA/,m=/_'/=——

1122222218

^(-1)+2+(-Z)XV2+2+1

化简得5〃一2书+19=0,解得：'=1或

故线段物的长度为1或里.

5

答案第181页，共22页

【分析】（1）依题列出a,6,C的方程组，求解即得椭圆方程;

（2）先判断点45在以。尸为直径的圆上，求出该圆的方程，减去已知圆的方程，得出直

线的方程，求出的坐标，利用基本不等式，即可求得△MON面积的最小值；

（3）设直线的方程为：x=my+t,与椭圆方程联立，得出韦达定理，计算化简

勺+勺=_2,得到机=T或机="1，回代入直线DE的方程，检验后即得直线DE经过的

定点.

a=2ba=2,b=l

【详解】（1）依题意，2c=26,解得,

a=b2+c2

C2

则椭圆的标准方程为C：土+/=1；

4

(2)

如图，设尸（加,〃），连接0405,0?，贝UOZLZROBLBP,

即点4'在以。尸为直径的圆上，取。尸的中点为〃（；,今，\OP\=y/m2+n2,

则圆竺y+（y_与=上£即/+「-，叱町=0

224

将其与一+,2=］作差整理，可得直线的方程为：mx+ny-1=0，

答案第191页，共22页

令x=°,则夕」；令y=°,贝卜=工，则得M（LO）,N（O,3,

nmmn

故SW=L^HL=L」一，因点尸（加'〃）在椭圆上，故/+4"2=4

2mn2|mn\

由4=加？+4/2212加〃|可得I加〃区1,当且仅当加=2〃时，等号成立,

止匕时&皿N=g就

即当点P为（血，5）,（加,一5）,（一及广等）,（一夜这四个点时，△欣加面积取得最小

1

值5；

如图，当直线DE的斜率为o时，直线。。与0E关于y轴对称，此时勺+勺,=0不符合题

思；

故可设直线DE的方程为：x=my+t,代入/+4y=4中，

整理得：（m2+4）,y2+2mty+z2-4=0>

由A=4加2产-4（加2+4）«2-4）>0,可得加2-r+4>0

答案第201页，共22页

。(西,必),£(%,乃)f2mt

,+为=FT7

设，则m+上(*)

r-4

IM』二E

依题，ki+k)=Zi^l+Azl=Jl^L+JkzL

12

xxx2my1+1my2+1

_(必一1)(仅%+。］32Tx加M+f)

(myx+t\my2+1)(加必+t\my2+1)

=2加必了2+«_m)(必+%)_2t=_2,

2

myxy2+mt{yx+%)+〃

9

化间整理得：2(加之+m)yxy2+(/+2mt-m)(+%)+2/-2t=0

将(*)代入，可得2(加2+加)._£^_—+(^+2m^-m)(——)+2』一2才=0，

加+4加+4

即得(m2+m)(r-4)-mt(t+2mt一加)+(r-t)(m2+4)=0，

整理得：(加+/)(加一£+1)=0,则有机=T或加=/一1.

当加二T时，瞑：％=_"+/经过点0(0,1),不合题意，舍去；

当机=£-1时，lDE：x=(t-l)y+t经过定点(1,-1).

故直线DE经过定点(1,-1).

18.(1)0

⑵①分布列，证明