高中数学讲义（人教B版2019选择性必修一）第25讲234圆与圆的位置关系

2.3.4圆与圆的位置关系TOC\o"13"\h\u题型1圆与圆的位置关系 3题型2由圆的位置关系确定参数 5题型3圆与圆公共弦问题 9◆类型1圆的公共弦问题 10◆类型2最值与范围问题 14题型4公切线问题 18◆类型1公切线条数问题 18◆类型2公切线方程问题 23◆类型3公切线长度问题 28◆类型4最值取值范围问题 34题型5圆系问题 36题型6两圆相关最值问题 38知识点一.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为:外离、外切、相交、内切、内含。知识点二.圆与圆位置关系的判定1.几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)2.代数法通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇒相交；,Δ＝0⇒内切或外切；,Δ＜0⇒内含或外离Ｗ.))注意：涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．注意：1.圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；2.圆与圆相交，两圆有两个公共点；3.圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.知识点三.两圆的公切线两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线.两圆的公切线有如图所示的五种情况：位置关系两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含图示    公切线条数432101.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；3.相交时，有2条公切线，都是外公切线；4.内切时，有1条公切线；5.内含时，无公切线.知识点四．两圆相交时公共弦所在直线的方程：圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：1.将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；2.两圆圆心的连线垂直平分公共弦；3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．知识点五．圆系方程1.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；2.过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．3.当λ=1时，变为（D1D2）x+（E1E2）+F1F2=0表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆圆心连线垂直的直线.题型1圆与圆的位置关系【方法总结】圆与圆的位置关系求解策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．【例题1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：x2+yA．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】C【分析】利用两圆外切的定义判断即可.【详解】圆O是以O(0,0)为圆心，半径r圆C:x2+y2+6y+5=0改写成标准方程为x则OC=3，r故选：C.【变式11】1.（2022秋·福建宁德·高二统考期中）圆(x−2)A．相切 B．相交 C．内含 D．外离【答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆(x−2)2+圆(x+1)2+(于是|C所以两圆相交.故选：B【变式11】2.（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆C1:xA．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【分析】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.【详解】两圆化为标准形式，可得C1:(可知半径r1=4，r2而3=r故选：C.【变式11】3.（多选）（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知圆的方程为x2A．该圆的面积为4π B．点2,1C．该圆与圆x2+y2=1【答案】BD【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点2,1代入(x−2)【详解】x2+y2−4对于A：由圆的半径r=2，得该圆的面积为对于B：因为(2−2)2对于C：圆x2+y因为两圆心距离为(2−0)2+(0−0)对于D：圆心(2,0)到直线x+y−4=0所以直线x+故选：BD．题型2由圆的位置关系确定参数【例题2】（2022秋·高二课时练习）若圆x2+y2=A．r<5+1C．r−5≤1【答案】C【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解.【详解】由x2+y两圆圆心之间的距离为−12+2∵两圆有公共点，∴r−1∴5−1≤r≤即−1≤r−5故选：C.【变式21】1.（2023春·安徽·高二校联考期末）已知圆C:x−32+y−42=r2【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意得，圆x2+y∴r2+25−1≤32解得0<r≤11故答案为：1（2,3均可）【变式21】2.（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆C1:x2+【答案】13【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求a，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.【详解】如图，

由题意得C1与C2相内切，又所以C1所以2a+1=4所以C23,1联立x2+所以切点的坐标为−3故所求公切线的方程为y+12=故答案为：1；3【变式21】3.（2023秋·高一单元测试）已知圆O1:(x−【答案】2【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．【详解】圆O1的圆心为(m,−2)，半径为r1=3，圆O∴两圆的圆心距d=|∵两圆内切，∴|m+n所以m2+n2≥2故答案为：2．【变式21】4.（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆C:(x−4)2A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根据条件，将问题转化成圆x2【详解】由∠APB=90°，得点P在圆x2因为圆x2+y所以|a−1|≤OC≤a解得4≤a故选：C.【变式21】5.（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆C(1)若直线l1过定点A1，1，且与圆C相切，求直线(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2【答案】(1)x=1或(2)(x+1【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.【详解】（1）圆C化为标准方程为(x所以圆C的圆心为3，4，半径为2．①若直线l1的斜率不存在，即直线为x②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y由题意知，圆心3，4到已知直线l1所以|3k−4−k解得k=5综上，所求直线l1的方程为x=1（2）依题意，设D又已知圆C的圆心为3，4，半径为2，由两圆外切，可知CD=3+2=5所以(a解得a=−1或a=6．所以D(−1,1)所以所求圆D的方程为(x+1【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程．（2）设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程．题型3圆与圆公共弦问题【方法总结】两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：①若与相切，则表示其中一条公切线方程；②若与相离，则表示连心线的中垂线方程.◆类型1圆的公共弦问题【例题31】（2022秋·高二课时练习）已知圆C1：xA．3x+4yC．3x−4y【答案】D【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.【变式31】1.（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆C1：(x+1)2+【答案】5【分析】求出r2，得到圆C【详解】圆C2：(x−4)因为圆C1过圆C2的圆心，所以所以r2=26，所以C1两圆的方程相减可得相交弦方程为5x故答案为：5x【变式31】2.(多选)（2022·高二课时练习）圆Q1:xA．公共弦AB所在直线的方程为xB．线段AB中垂线方程为xC．公共弦AB的长为2D．P为圆Q1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆Q1的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出Q【详解】对于选项A，因为圆Q1：x两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为4x−4y对于选项B，圆Q1：x则线段AB中垂线的斜率为−1，即线段AB中垂线方程为y−0=−1×整理可得x+对于选项C，圆心Q1(1,0)到x−又圆Q1的半径r=1，所以对于选项D，P为圆Q1上一动点，圆心Q1(1,0)到x又圆Q1的半径r=1，所以P到直线AB距离的最大值为故选：ABD．【变式31】3.（2023·河南·统考二模）若圆C1:xA．2ax+byC．2ax+2by【答案】D【分析】将两圆方程相减得到直线AB的方程为a2+b2−2【详解】将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2即2ax因为圆C1的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB的长为1则C1(0,0)到直线2ax所以a2+b所以直线AB的方程为2ax故选：D.【变式31】4.（2021秋·高二课时练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．【答案】x＝±14【分析】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，利用勾股定理和等面积法，求出AC，进而求出AB，根据OO1，求出m，进而联立求出直线【详解】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝5，|O1A|＝25∴|OO1|＝5，∴|AC|＝5×2由|OO1|＝5，得m=±5x2直线AB的方程为x＝±1．故答案为：①x=±1【变式31】5.（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为(2,−2)，且与直线x+(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆x2【答案】(1)((2)2【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.【详解】（1）由题意得圆C的半径为r=故圆C的方程为(x（2）圆x2+y2=4而25将x2+y2=4圆x2+y2=4故两圆的公共弦长为24−◆类型2最值与范围问题【例题32】（2021秋·高二课时练习）圆C1:xA．12 B．1 C．32【答案】D【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线y=【详解】由x2+y2+2ax+2由C2:x2+y2所以两圆圆心均在直线y=x上，半径分别为1和如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.故选：D.【变式32】1.（2023·全国·模拟预测）已知圆C:x−12+y−22=5，圆C′是以圆x2A．12 B．23 C．34【答案】D【分析】根据题意得到当公共弦AB最大，即AB为圆C′的直径时，∠ACB最大，即【详解】在△ABC中，AC当公共弦AB最大，即AB为圆C′∠ACB最大，又AC>AB可得∠此时cos∠ACB=AC故选：D【变式32】2.（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）过直线x+y+1=0上任一点P作直线PA，PB与圆x【答案】2【分析】求出圆x2+y2−2x=0的圆心C1,0，半径r=1.然后根据已知可推得，P【详解】由已知可得，圆心C1,0，半径r因为PA,PB为切线，所以所以，P,B,所以，AB是圆C与圆D的公共弦，所以AB⊥且PA=设四边形PBCA面积为S，则S=2×又S=所以，AB=显然，当PC增大时，AB也增大，所以，当PC最小时，AB有最小值.当PC⊥l时，PC最小，PC=故答案为：2.【变式32】3.（2023·浙江·高三专题练习）已知圆C1:(x−a)2+y2【答案】−【分析】根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线AB的方程，利用直线与圆相交弦长公式，求得a,b满足的等式关系，根据方程有解，即可得【详解】圆C1:(x−a)2+y若两圆相交，则r1−r2<又两圆相交弦AB所在直线方程为：(x−所以圆心C1a,0到直线AB的距离d1=2a则弦长AB=2r12−d1若存在a，使得AB=2，则b2≤3，即−3≤故答案为：−3【变式32】4.（2022秋·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）圆C1：x2+y2(1)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；(2)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程.【答案】(1)x(2)x【分析】（1）首先设圆系方程x2+y2+2x+2（2）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，求出该圆的圆心和半径可得圆的方程.【详解】（1）因为圆C2的圆心C2(1,−5)不在直线y故可设经过A、B两点的圆的方程为x2+y即x2则圆心坐标为λ−11+λ解得λ=−12（2）因为圆C1的圆心C1(−1,−1)，半径r1=10，圆所以直线C1C2的方程为y由题意可知以线段AB为直径的圆的面积最小，由两个圆的方程相减可得直线AB的方程为x−2联立2x+y+3=0x圆心C1(−1,−1)到直线AB:所以|AB|=2r故面积最小的圆的方程为x+2题型4公切线问题【方法总结】两圆公切线条数与两圆位置关系的相关结论如下：位置关系两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含图示    公切线条数43210◆类型1公切线条数问题【例题41】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆C1:(A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.【详解】圆C1:(圆C2:(所以两圆的圆心距为d=因为5−3<17所以两圆的公切线有2条.故选：B.【变式41】1.（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线l是圆C:x−22+y−12A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】由已知可推得，直线l是圆C与圆B的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，圆心C2,1，半径r由点B3,4到直线l的距离是2，所以直线l是以B3,4为圆心，又直线l是圆C:x所以，直线l是圆C与圆B的公切线.因为BC=所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l有4条.故选：D.【变式41】2.(多选)（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知圆A:x2+yA．圆B的圆心为2,2B．圆A与圆B有四条公切线C．点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为3+2D．直线l与圆B一定相交，且相交的弦长最小值为2【答案】ACD【分析】将圆B的方程化为标准方程，可判断A选项；判断圆A与圆B的位置关系，可判断B选项；求出圆心距，利用圆的几何性质可判断C选项；求出直线l所过定点C的坐标，分析出点C与圆B的位置关系，并求出直线l截圆所得弦长的最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，圆B的标准方程为x−22+y−2对于B选项，圆A的圆心为A0,0，半径为r1=1，圆B圆心距为AB=2−02所以，圆A与圆B相交，故圆A与圆B有两条公切线，故B错误；对于C选项，因为两圆圆心距为AB=2又因为M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为AB+对于D选项，直线l的方程可化为mx由x−1=0y−1=0得x=1y因为1−22+1−22<4，故点C在圆B当l⊥BC时，圆心B到直线l的距离取得最大值，且最大值为此时，直线l截圆B所得弦长最小，且最小值为24−故选：ACD.【变式41】3.（2023·湖北·模拟预测）已知圆C1:(x+3【答案】−4−73【分析】根据两圆有三条公切线可知两圆外切，然后由两圆心距等于两半径之和列式，分类讨论可得.【详解】圆C1的圆心为(−3k,−4圆C2的圆心为(−3k,0)，半径为因为圆C1与圆C所以1+即1+当k≤−12时，解得k=−4−7当−12<k解得k=−12+39当k>0时，1+k解得k=综上，k=−4−故答案为：−4−73【变式41】4.（多选）（2023秋·高一单元测试）已知圆C1:xA．C1与CB．C1与C2C．C1与C2D．若P,Q分别是圆C【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆C1的圆心C10,0圆C2的圆心C23,4C1故两圆相交，所以C1与C做差可得C1与C2C1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为若P,Q分别是圆C1故选：BD【变式41】5.（多选）（2023秋·高一单元测试）如图所示，该曲线W是由4个圆：x−12+y2=1，

A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆x2+C．BD与DE的公切线方程为xD．曲线W上的点到直线x+【答案】ACD【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，即可判断；B选项可直接由图讨论判断对错；C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线；D选项可先找到HB，HG的公切线方程为x+y+1+【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2+2×π当r=2时，交点为B，D，F，H；当当0<r<2或r设BD与DE的公切线方程为y=由直线和圆相切的条件可得t−1解得k=−1，t=1+2则其公切线方程为y=−x+1+同理可得HB，HG的公切线方程为x+则两平行线的距离d=故选：ACD.◆类型2公切线方程问题【例题42】（多选）（2022秋·高二单元测试）已知圆C1:x−22+yA．y=0 B．C．x−2y+【答案】ABC【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程.【详解】根据题意可知，两圆心C1在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：

显然，圆心距C1又两圆心到x轴的距离都等于其半径，所以x轴是其中一条公切线，即A正确；利用对称性可知，其中一条切线l1过原点，设其方程为y又C12,1到切线l1的距离为1，即2k−1当k=0时，切线即为x轴，当k=43时，切线方程为由对称性可知，切线l2,l易知kC1C2=可设l2,l3由两平行线间距离公式可得c1+12即切线l2,l3的方程分别为整理可得两切线方程为x−2y+故选：ABC【变式42】1.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆C1:x2+y2【答案】y=x−2(或y【分析】根据圆与直线对称求得a，进而判断两圆外切，从而确定公切线有三条.根据直线与圆相切的几何条件建立方程从而可解.【详解】因为圆C1:x故圆心C13,−a在直线x+y故圆C1:x−3而圆C2:x2所以两圆的圆心距为3−0所以两圆外切，公切线有三条.显然公切线的斜率存在，设方程为y=于是有：3两式相除得：3k+3+b当3k+3+b代入b1+k2=2当3k+3+b代入b1+k2所以三条公切线方程分别为：y=x−2,故答案为：y=x−2(或y【变式42】2.（2023·全国·高三专题练习）已知圆心均在y轴的两圆外切，半径分别为r1A．±22 B．±24 C．±【答案】A【分析】由已知结合直线与圆相切，圆与圆相切性质，利用三角函数知识和斜率的知识综合即可求得结果.【详解】如图所示，圆心均在y轴的两圆外切，画出两圆公切线,有两条分别为LBC,LDE,，公切线与圆的切点分别为B，C，D，E，公切线与y则O1∴AF=r2∴cos∠O则kBC同理可得kDE=22故选：A.【变式42】3.（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆x−42+【答案】y=1（答案不唯一，24x+7【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1；圆如图，有三条切线l1，l2，因为l3⊥OC，且kOC=−34，所以kl3=43，设l3:y可知l1和l2关于OC:y=−34在l1上取点0,1，设其关于OC的对称点为x0,解得x0=−24所以直线l2:y综上，切线方程为y=1或24x+7故答案为：y=1（答案不唯一，24x+7【变式42】4.（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1:x2+【答案】5（答案不唯一）y=2x+5【分析】根据两圆相交，求出圆半径的取值范围；再根据圆心到直线切线的距离等于半径求出切线方程.【详解】圆C2的圆心为(1,2)因为圆C1:x2+y2=m又C1C2所以可取m=5(答案不唯一.满m此时C1因为C1的圆心为(0,0)，半径为5，C2的圆心为所以可设公切线的方程为y=kx+又因为y=kx+b是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即所以当m=5时，公切线的方程为y=2x故答案为:5；y=2x+5◆类型3公切线长度问题【例题43】（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】设直线l交x轴于点M，推导出C1为MC2的中点，A为BM【详解】如下图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1:x+12+y则AC1⊥l，∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出A为MB的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质.【变式43】1.（多选）（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆C1:xA．圆C1与圆CB．圆C1与圆C2C．圆C1与圆C2D．圆C1与圆C2【答案】BCD【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.【详解】解：因为圆C1:x所以圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1=1，圆C所以r1−r2<因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为C1将两圆方程作差得x+所以两圆公共弦所在直线l的方程为x+因为C1的圆心为C1(0,0)所以C1(0,0)到直线x+所以公共弦长为2r又圆心C2(1,1)到直线x+所以圆C1与圆C2公共部分的面积为故选：BCD【变式43】2.（多选）（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆C1:x2+y2A．AB的直线方程为4x−4y+5=0 C．圆C1与圆C2的公切线长为7 D．线段AB【答案】ACD【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线AB的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦AB的长，对于C，求出C1C2，再由C1C22【详解】由x2+y2+2x−6由x2+y2−2x−2对于A，公共弦AB所在的直线方程为x2即4x对于B，C2(1,1)到直线AB的距离所以公共弦AB的长为AB=2对于C，因为C1C2=(−1−1)所以圆C1与圆C2的公切线长为对于D，根据题意可知线段AB的中垂线就是直线C1C2所以直线C1C2为y故选：ACD【变式43】3.（多选）（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知⊙C1:A．直线AB的方程为xB．过A，B两点，且过点1,1的圆的方程为xC．⊙C1与⊙D．以线段AB为直径的圆的方程为x【答案】AD【分析】由圆与圆的位置关系，直线方程，圆的方程对选项逐一判断，【详解】由x2+y2−2即A(1,0)，B对于A，直线AB的方程为x+对于B，设过A，B两点，且过点1,1的圆的方程x2得1+d+f圆的方程为x2对于C，⊙C1的圆心为M(1,2)，半径为2，⊙两圆半径相等，则⊙C1与⊙C对于D，AB中点为(0,1)，|AB|=22故选：AD【变式43】4.（2022秋·山东潍坊·高二统考期中）为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人用三个半径均为10mm的圆柱形量棒O1,O2,O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O【答案】1303/【分析】设两圆O1,O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO【详解】如图，设两圆O1,O2外切于点M，连接OM，作O1点D为线段OO2与圆因为DE=ℎ，所以因为∠O1N所以△O1N所以ℎ10=20故答案为：R=【变式43】5.（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为x2+y2−2(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【答案】(1)两圆相交，4x+4y(2)7.【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长；（2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.【详解】（1）圆A：x−12+y−1两圆心距AB=∵3−2<AB∴两圆相交，将两圆方程左、右两边分别对应相减得：4x此即为过两圆交点的直线方程.设两交点分别为C、D，则AB垂直平分线段CD，∵A到CD的距离d=∴CD=2（2）设公切线l切圆A、圆B的切点分别为E，F，则四边形AEFB是直角梯形.∴EF2∴EF=◆类型4最值取值范围问题【例题44】（2022秋·高二课时练习）已知两圆C1：x2+y2=1，【答案】5【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线时，则两圆相交，圆心C10,0，半径R＝2，圆C21,2，半径r，则C1C2若两圆相交，则满足r−R<得5−2<故答案为：5【变式44】1.（2022秋·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）已知圆C1:x2+【答案】(【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果.【详解】由x2+y可知圆C2的圆心为(1,2)，半径为2因为圆C1与圆C2恰有两条公切线，所以圆C1则|25−m解得：5<m<35，即故答案为：(5【变式44】2.（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知圆O1:x2+y2=r12(1)求r1(2)若直线l与圆O1､圆O2分别切于P,【答案】(1)r(2)最大值为3【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解|PQ（1）如图，由题意可知O1M与圆O2相切，O且MO故MO即r1（2）作O2在△O1O其中O2故PQ2又2r1r故|PQ即|PQ题型5圆系问题【方法总结】求经过两圆交点的圆的方程的方法一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E1圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E2x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠1)，或者x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2]=0，再由其他条件求出λ即得圆的方程.【例题5】圆心在直线x−y−4=0上，且过两圆x【答案】x【分析】设出圆系方程x2【详解】由题意设圆方程为x2整理得x2+y所以21+λ−所以圆方程为x2+y故答案为：(x【变式51】1．经过点M(2,−2)以及圆x2+【答案】x【分析】先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得所求圆