6.3.3 正方形的性质与判定 同步练习

第6章平行四边形6.3特殊的平行四边形第3课时正方形的性质与判定基础过关全练知识点6正方形的定义与性质1.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB=BF=DE，则∠EAF的度数为()A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°2.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，连接DE、BE、BF、DF.下列结论：①△ABE≌△ADE；②∠ABE=∠CBF；③四边形DEBF是菱形，其中正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.33.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，且AE=BF，连接CE、DF相交于点M，作AN⊥DF，垂足为N.求证：(1)CE⊥DF；(2)CM=AN+MN.知识点7正方形的判定4.如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.有三位同学给出了不同的组合方式：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c.你认为能得到正方形的是.(填序号)

5如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.求证：四边形AECF是正方形.6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形?并给出证明.能力提升全练7.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.48.如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC=120°，∠BEC=∠CBF=50°，ED与BF的延长线交于点M，下列结论：①∠BME=30°；②△ADE≌△ABE；③EM=BC.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.39.如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF，交AB的延长线于点E，连接EF，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为()A.20 B.24 C.25 D.2610.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM，则下列结论：①DN=BM；②EM∥FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.411.(多选题)如图，正方形ABCD中，CE平分∠ACB，点F在边AD上，且AF=BE.连接BF交CE于点G，交AC于点M，点P是线段CE上的动点，点N是线段CM上的动点，连接PM，PN.下列结论一定成立的是()A.CE⊥BF B.BE=AM C.AE+FM=AB D.PM+PN≥1212.如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，点F为边AB的中点，连接EF，CF，若AD=12CD，∠CEF=38°，则∠AFE=13.问题解决：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，DE=AF，DE⊥AF于点G.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由.类比迁移：如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，DE与AF相交于点G，DE=AF，∠AED=60°，AE=7，BF=2，求DE的长. 图① 图②素养探究全练14.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F.(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明.(2)连接BF，BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否成为菱形?若能，请证明；若不能，请说明理由.(3)连接AE，AF，当点O在AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形?请说明理由.

第6章平行四边形6.3特殊的平行四边形第3课时正方形的性质与判定答案全解全析基础过关全练1.C因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，因为AD=AB=BF=DE，所以∠BAF=∠BFA=180°−45°2=67.5°，∠DAE=∠DEA=180°−45°2=67.5°，所以∠EAF=180°-∠BFA-2.D因为四边形ABCD为正方形，所以AB=AD=BC，∠BAE=∠DAE=∠BCF=45°.在△ABE和△ADE中，AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE,所以△ABE≌△ADE(SAS)，结论①正确；在△ABE和△CBF中，AB=CB,∠BAE=∠BCF,AE=CF,所以△ABE≌△CBF(SAS)，所以∠ABE=∠CBF，结论②正确；因为△ABE≌△ADE3.证明(1)因为四边形ABCD是正方形，所以CD=AD=AB，∠CDE=∠DAF=90°，又因为AE=BF，所以DE=AF.在△CDE和△DAF中，CD=DA,∠CDE=∠DAF,DE=AF,所以△CDE≌△DAF(SAS)，所以∠DCE=∠ADF，因为∠ADF+∠MDC=∠EDC=90°，所以(2)由(1)知CE⊥DF，∠DCE=∠ADF，因为AN⊥DF，所以∠AND=∠DMC=90°，又因为AD=CD，所以△DCM≌△ADN，所以CM=DN，DM=AN，所以CM=DN=DM+MN=AN+MN.4.①②解析组合①，由条件a可得四边形是平行四边形，添加条件c可得平行四边形是菱形，再添加条件d可得菱形是正方形；组合②，由条件b可得四边形是平行四边形，添加条件c可得平行四边形是菱形，再添加条件d可得菱形是正方形；组合③，由条件a可得四边形是平行四边形，添加条件b得到四边形仍是平行四边形，再添加条件c可得平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形.5.证明因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，因为BE=DF，所以OB-BE=OD-DF，即OE=OF，所以四边形AECF是平行四边形.因为AC⊥EF，所以▱AECF是菱形.因为OE=OA，所以2OE=2OA，所以EF=AC，所以菱形AECF是正方形.6.解析(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC，因为AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，所以∠MAE=∠CAE，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°，又因为AD⊥BC，CE⊥AN，所以∠ADC=∠CEA=∠DAE=90°，(2)当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.证明：因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠ACB=∠B=45°，因为AD⊥BC，所以∠CAD=∠BAD=45°，所以∠CAD=∠ACB，所以DC=AD，因为四边形ADCE为矩形，所以矩形ADCE是正方形.能力提升全练7.C如图，连接AC，交BD于点O，过点O作直线MN，交AD于点M，交BC于点N.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，AD∥BC，因为BE=DF，所以OE=OF.因为AD∥BC，所以∠MDO=∠NBO，又因为OD=OB，∠MOD=∠NOB，所以△MOD≌△NOB，所以OM=ON，所以四边形MENF是平行四边形，所以存在无数个平行四边形MENF，①正确；只要MN=EF，则四边形MENF是矩形，所以存在无数个矩形MENF，②正确；只要MN⊥EF，则四边形MENF是菱形，所以存在无数个菱形MENF，③正确；只要MN=EF，MN⊥EF，则四边形MENF是正方形，符合要求的正方形MENF只有一个，④错误.故选C.8.D因为四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，所以AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠BCD=60°，∠DAE=∠BAE=∠DCE=∠BCE=12∠BCD=30°.因为∠BFE=∠BCE+∠CBF=30°+50°=80°，所以∠EBF=180°-∠BEC-∠BFE=180°-50°-80°=50°.在△CDE和△CBE中，CD=CB,∠DCE=∠BCE,CE=CE,所以△CDE≌△CBE(SAS)，所以∠DEC=∠BEC=50°，所以∠BEM=∠DEC+∠BEC=100°，所以∠BME=180°-∠BEM-∠EBF=180°-100°-50°=30°，故①正确；在△ADE和△ABE中，DA=BA,∠DAE=∠∠EBC.在△BEM和△EBC中，∠BEM=∠EBC,∠BME=∠BCE,9.B因为四边形ABCD为正方形，且面积为64，所以AB=CB=CD=AD=8，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，所以∠CBE=180°-∠ABC=90°，∠BCF+∠DCF=90°，因为CE⊥CF，所以∠BCF+∠BCE=90°，所以∠BCE=∠DCF，所以△CBE≌△CDF(ASA)，所以BE=DF，设BE=DF=x，则AF=8-x，AE=8+x，因为△CEF的面积=梯形AECD的面积-△CDF的面积-△AEF的面积，所以50=8×(8+x+8)2−8x10.D∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△DNA和△BMC中，∠∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；在△ADE和△CBF中，∠∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE=FC，DE=BF，∴DE-DN=BF-BM，即NE=MF，∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM∥FN，故②③正确；∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，当AO=AD时，AO=AD=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=∠ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形，故④正确.∴正确的结论有4个，故选D.11.ABD因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠ABC=∠DAB=90°，又因为AF=BE，所以△ABF≌△BCE(SAS)，所以∠AFB=∠BEC.因为∠AFB+∠ABF=90°，所以∠BEC+∠ABF=90°，所以∠BGE=90°，即CE⊥BF，故选项A正确；在正方形ABCD中，∠CAD=∠ACB=45°，因为CE平分∠ACB，所以∠BCE=∠ACE=22.5°，所以∠BEC=67.5°，所以∠AFB=67.5°，所以∠AMF=180°-∠CAD-∠AFB=67.5°，所以∠AMF=∠AFB，所以AF=AM，所以AM=BE，故选项B正确；在△AMF中，∠AMF=67.5°，∠MAF=45°，所以AF≠FM，所以AB=AE+BE=AE+AF≠AE+FM，故选项C错误；如图，连接PB，BN，连接BD交AC于点O，在△CBG和△CMG中，∠BCG=∠MCG,CG=CG,∠BGC=∠MGC=90°,所以△CBG≌△CMG(ASA)，所以BG=MG，所以直线CG是BM的垂直平分线，所以PB=PM，12.24°解析如图，延长CF交DA的延长线于点G，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AG∥BC，AB=DC，BC=AD，所以∠G=∠BCF，∠GAF=∠B，因为点F为边AB的中点，所以AF=FB，所以△AGF≌△BCF(AAS)，所以GF=CF，AG=BC.因为CE⊥AD，所以EF=12GC=FG=FC，∠GEC=90°，所以∠G=∠FEG=∠GEC-∠CEF=90°-38°=52°，所以∠GFE=180°-∠G-∠FEG=76°.因为AD=12CD，所以BC=AD=12CD=12AB=BF=AF，因为AG=BC，所以AG=AF，所以∠AFG=∠G=52°，所以13.解析问题解决：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAE=∠ABF=90°，所以∠BAF+∠DAF=90°，因为DE⊥AF，所以∠AGD=90°，所以∠ADE+∠DAF=90°，所以∠ADE=∠BAF，又因为DE=AF，所以△ADE≌△BAF(AAS)，所以AD=BA，所以矩形ABCD是正方形.(2)△AHF是等腰三角形.理由如下：由(1)得△ADE≌△BAF，所以AE=BF，因为BH=AE，所以BF=BH.因为∠ABC=90°，即AB⊥BC，所以AB垂直平分FH，所以AH=AF，所以△AHF是等腰三角形.类比迁移：延长CB到点H，使得BH=AE，连接AH，如图.因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB=AD，所以∠ABH=∠BAD.又因为BH=AE，所以△DAE≌△ABH(SAS)，所以DE=AH，∠AHB=∠DEA=60°，因为DE=AF，所以AH=AF，所以△AHF是等边三角形，所以AH=HF=BH+BF=AE+BF=7+2=9，所以DE=AH=9.素养探究全练14.解析(1)EO=FO.证明：因为MN∥BC，所以∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，因为CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，所以∠OCE