利用函数的奇偶性、周期性和单调性求解函数问题（十种题型）-2025年高考数学热点、重难点题型专项复习（新高考专用）

第03讲利用函数的奇偶性、周期

性和单调性求解函数问题（十种题型）

函数单调性的性质与判断

【知识点的认识】

一般地，设函数/（X）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自

变量尤1,XI,

当无1<X2时，都有了（XI）</（尤2）,那么就说函数/（无）在区间。上是增函数；当X1>X2

时，都有无1）</（X2）,那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（无）在区间。上是增函数或减函数，则称函数于（X）在这一区间具有（严格

的）单调性，区间。叫做y=/（x）的单调区间.

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结

论.

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、

指数函数可不考虑定义域.

第二步：求函数了（无）的导数,（x）,并令，（尤）=0,求其根.

第三步：利用f'（无）=0的根和不可导点的尤的值从小到大顺次将定义域分成若干个小

开区间，并列表.

第四步：由r（无）在小开区间内的正、负值判断了（尤）在小开区间内的单调性；求极

值、最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为了（无）相"Wa或/（x）min^a,解不等式求参数的取

值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热

点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调

性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考

查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数

求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重

点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

二.函数奇偶性的性质与判断

【知识点的认识】

1

①如果函数/(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个无，都有/(-X)=7

(尤)，那么函数f(x)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数f

(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个尤，都有/(-无)=/(尤)，那么函数f

(x)就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/(X)=-/(-X)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用了(X)=/(-%)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

例题：函数y=x|x|+p无，xeR是()

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关

解：由题设知了(无)的定义域为R,关于原点对称.

因为/(-X)=-x\-x\-px=-x|x|-px=-f(x),

所以/(x)是奇函数.

故选8.

【命题方向】函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，

确保答题的正确率.

三.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，

所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用.在

重复一下它们的性质①奇函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都

有-X)=-/(无)，其图象特点是关于(0,0)对称.②偶函数/(X)的定义域关于原

点对称，且定义域内任意一个x,都有/(-x)=/(%),其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用了(%)=-/(-%)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(x)=/(-%)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

例题：如果/(X)=且且为奇函数，那么。=—.

2X+1

解：由题意可知，f(x)的定义域为R,

2

由奇函数的性质可知，f(x)=a-2=-/(-X)=>a=l

2X+1

【命题方向】奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总

结，一定要重视这一个知识点.

四.函数的周期性

【知识点的认识】

函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使/(x)=/(x+D恒

成立，则了(无)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期.常函数为周期函数，但无最

小正周期，其周期为任意实数.

【解题方法点拨】

周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富.

①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，

例：求/(x)=,1、的最小正周期.

f(x-2)

解：由题意可知，f(x+2)=——--=/(%-2)=>7=4

f(x)

②与对称函数或者偶函数相结合求函数与X轴的交点个数.如已知函数在某个小区间与X

轴有力个交点，求函数在更大的区间与尤轴的交点个数.

思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点

个数；第三，注意端点的值.

【命题方向】

周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题

的基本方法，为了高考将仍然以小题为主.

A【热点、重难点题型】

题型一：利用函数奇偶性求参数值

一、单选题

1.(2022・河南•项城市第三高级中学高三期中)若函数/(x)=ln(Jd+a-q为奇函数,则

〃二()

A.-B.3C.1D.2

42

2.(2022•黑龙江・哈尔滨七十三中高三阶段练习)已知函数f(x)=x夕3'-一，贝IJ“函数

3

丁（力为偶函数”是“。=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2022•山西忻州・高三阶段练习）已知函数无）=3a+2：inx+acosx的最大值与最小值

之和为6,则实数a的值为（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

ax-l,x<0

4.（2022・全国•高三专题练习）若函数/（%）=x+〃,x>0,为奇函数，则参数〃的值为

0,x=0

5.（2022•江西・修水中等专业学校高三阶段练习）若二次函数、=/+（%-1口+6为偶函

数，贝1］加=.

三、解答题

6.（2022•山西太原•高三期中）已知/（x）=log2（4'+l）+公依eR）是偶函数.

⑴求实数A的值；

（2）求不等式2f（x）+x>2、+3的解集.

7.（2022•上海市嘉定区安亭高级中学高三期中）已知函数/（尤）=^^为奇函数

⑴求。的值，判断并证明了（X）在其定义域上的单调性；

⑵若关于龙的不等式/'（入3*）+/（3:9,+2）<0对任意x>1恒成立，求实数k的取值范

围.

4

8.（2022・上海市控江中学高三阶段练习）对于两个定义域相同的函数，（x）、g（x）,若存在

实数〃K"使网”=时（力+咫（无），则称函数/2（X）是由“函数〃X）、g（X）”生成的.

⑴若/'（x）=d+3x和8（力=3了+4生成一个偶函数/2（尤），求可2）的值；

（2）若//（了）=2/+3尤一1是由函数/（0=%2+以送（力=龙+63沙€/?且必*0）生成，求

a+26的取值范围.

9.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=2=ig（x）=l+（“：l）・2”,且“尤）的图

象关于坐标原点成中心对称.

⑴求实数”的值；

（2）若在y轴的右侧函数的图象始终在g（x）的图象上方，求实数〃?的取值范围.

（xm]

10.（2022.上海市延安中学高三期中）已知/（©=等nuc+♦n，gQ）=1\~,其中

m,neR,且函数y=/（元）为奇函数；

⑴若函数y=/（x）的图像过点A（1,1）,求实数相和〃的值；

⑵当机=3时，不等式/（x）+g（x）»4（x）g（x）对任意xe[3,+oo）恒成立，求实数。的取值范

围；

⑶设函数〃（x）=]（（（?）:若对任意玉e[3,+⑹，总存在唯一的（-co,3）使得

/?（0=/心2）成立，求实数相的取值范围；

5

题型二：利用函数奇偶性解抽象函数不等式

一、单选题

1.（2022.陕西.蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知〃无）是偶函数，g（x）是奇函

数，定义域均为[-U],二者在[0』上的图象如图所示，则关于x的不等式〃x）g（x）＜0

的解集为（）

y

21

o~o\/

V=/(x)产g(%)

b-H'°}M

2.（2022・广东•高三阶段练习）已知〃无）是定义在R上的偶函数，AM在[0,+s）上是增函

数，且〃2）=0,则不等式/⑶）＞0的解集为（）

A.(-co,-log32)u(log32,+co)B.(log32,+oo)

C.（-co,-log32）D.（-log32,log32）

3.（2023・全国•高三专题练习）函数/（x）在（—,+＜»）单调递增，且为奇函数，若

"2）=1,则满足-LV/（x+3）＜l的x的取值范围是（）

A.[—3,3]B.[—2,2]C.[—5,—1]D.[1,5]

4.（2022•安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）己知函数/'（X）的定义域为

{x|xeR,xN。},对定义域内任意％,马，都有〃西马）=〃为）+/（々），且当x＞l时,

6

/(x)>0,/(16)=4,则不等式|〃x)|+〃3)>2的解集为()

4T。。。，|3噌,+8

A.-oo.----u-

34

B.

C.

D.

5.(2022・上海•上外附中高三阶段练习)已知定义在(-8,0)U(0,y)上的奇函数y=/(x)

的导函数为>=/'(",当尤>0时，")<—/(%),且"2)=3,则不等式

2J^(2X+1)<6—〃2x+l)的解集为()

3£13。1万,+8

A.B.—00,—C.—00,-------

25222

3_£

D.2，-2

41x1

6.(2022.云南.高三阶段练习)已知函数/(x)=~^,则不等式〃2尤-3)<2的解集是

l+|x|

)

J_5

A.(1,2)B.

252

C.(—00,1)一(2,同D.-00,2

7.(2023・全国•高三专题练习)已知偶函数/(%)在［0,+。)上单调递减，若

/(5)=-/(-5),则满足加二的x的取值范围是(

X+1

A.B.(-8,8]

C.(-00,-2]D(―1,+00)

x

8.(2023・全国•高三专题练习)已知函数了⑴为偶函数，且当了之0时，f(x)=e-cosxf则

不等式/U-3)-/(2x-l)<0的解集为()

制

A.B.(-oo,-2)

D.(-co,-2)uf-1,+co

C.(-2,+co)

二、多选题

7

9.（2022•浙江•高三开学考试）已知“X）是定义在何尤力。｝上的奇函数，当三＞玉＞。时，

%+%一%＞。恒成立，则（）

A.y=〃x）在（-8,0）上单调递增

B.〉=〃刈-：在（0,+向上单调递减

C./（2）+/（-3）＞i

O

D./（2）-/（-3）＞^

O

三、填空题

10.（2022.上海•同济大学第一附属中学高三阶段练习）设奇函数“X）在（0,+8）上严格递

增,且"1）=0,则不等式比上止”＞0的解集为.

X

11.（2022•江西•萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数/（尤）是定义域为R的奇函

数，当x＞0时，/,（-x）＞2/（x）,且/⑶=0,则不等式〃力＞0的解集为.

12.（2022•山西太原•高三期中）已知定义在R上的函数满足〃x）=e"（-x）,且

/⑴=五,广⑶是的导函数，当xe[0,+oo）时，则不等式

厩于（x-V）＜”的解集为---------

四、解答题

13.（2022.江西•贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数“力是定义在R上的偶函

数，当X40时，f（x）是一个二次函数的一部分，其图象如图所示.

⑴求在R上的解析式；

⑵若函数g（x）=/（x）+（4a-6）x,xe[2,4],求g（x）的最大值.

8

ax+b

14.（2022•浙江•东阳市横店高级中学高三阶段练习）已知函数/（尤）=的定义域为

1+x2

(-1,1)满足"-x)=-/(x).且一

⑴求函数/（元）的解析式;

⑵解不等式/，_l)+/(x)<0.

15.（2022•全国•高三专题练习）已知定义域为R的函数”x）=£瓷为奇函数.

⑴求匕的值；

⑵\/，eR,，（产一2/）+/（2产-左）<0恒成立，求女的取值范围.

16.（2022・山东•汶上圣泽中学高三阶段练习）定义在（0，+力）上的函数/（x）满足下面三个

条件：

①对任意正数4,b,都有〃。）+/0）=〃"）；②当x>l时，/（x）<o；③〃2）=-1

⑴求41）和的值；

⑵试用单调性定义证明：函数”X）在（0，+8）上是减函数；

⑶求满足/（4元3-12/）+2>〃18x）的X的取值集合.

9

题型三：构造奇偶函数求函数值

一、单选题

3-x

1.(2022・四川成都•模拟预测(理))函数〃x)=ln—•+(尤＜2尤)sin(x-1)+2尤+1在［。,2］上

X+1

的最大值与最小值的和为()

A.-2B.2

C.4D.6

2.(2022・河南.偃师市绥第四中学高三阶段练习(理))已知函数/(%)=/-1工+/+3,

若〃。)=5,则/(一。)=()

A.2B.1C.-2D.-5

3.(2022•江西南昌•模拟预测(理))设函数/⑺的定义域为R,且/(x+2)是奇函数，

“2x+l)是偶函数，则一定有()

A."4)=0B./(-1)=0C./⑶=0D.八5)=。

4.(2022•陕西•铜川市耀州中学模拟预测(理))己知正方形的四个顶点都在函数y=/(x)

图象上，且函数y=“X)图象上的点(X,y)都满足卜3一4x-y广+/⑼+尤3_3x-y=0,则

这样的正方形最多有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题

5.(2022•江苏•姜堰中学高三阶段练习)下列命题中真命题有()

A.已知a=(1,1),6=(1,2),若。与a+劝的夹角为锐角，贝U彳e

B.若定义域为R的函数/(x)是奇函数，函数/(x—1)为偶函数，则/(2)=0

C.复数z满足|zF=z2

D.函数/(x)=j4-2x+J3-+9的最大值是5

三、填空题

6.(2022・重庆一中高三阶段练习)已知/'(x)=ax3+人私+4(a,b为实数)，

/(lglog310)=2022,贝|/(lglg3)=.

7.(2022•福建•高三阶段练习)己知函数〃%)=。(2，-2-，)+法+1,若“2)=5,贝|

/(-2)=.

10

8.(2022•河南省淮阳中学模拟预测(理))已知函数/(x)=(GF-l}sin[x+m]-3,

则〃尤)在[-2小0]上的最大值与最小值之和为.

四、双空题

9.(2021•河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习)我们知道，函数y=/(x)的图象关于

坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广

为：函数y=/(x)的图像关于点尸(。㈤成中心对称图形的充要条件是函数y=〃x+a)-6

为奇函数.

(1)请写出一个图象关于点(-L0)成中心对称的函数解析/(力=；

(2)利用题目中的推广结论，则函数〃力=3-3d图象的对称中心坐标是.

五、解答题

10.(2022•上海市杨浦高级中学高三开学考试)对于两个定义域相同的函数"X)和g(x),

若存在实数m、n使/?(x)=〃矿(x)+〃g(x),则称函数h(x)是由“基函数/(x)和g(x)”生成

的.

⑴若/。)=尤2+3了和g(x)=3x+4生成一个偶函数〃(x),求〃⑵的值；

(2)若/z(x)=2/+3尤-1由函数/(x)=V+ax,g(x)=x+b(a、beR,且曲中0)生成，求

2a+b的取值范围：

(3)试利用“基函数/(幻=1呜(4工+1)和8(%)="1"生成一个函数砥)，使之满足下列条

件：①是偶函数；②有最小值L求函数以》)的解析式并进一步研究该函数的单调性.(无

需证明)

11.(2020•全国•高三专题练习)已知事函数/(x)=V"的图象过(2,拒).

(1)求小的值与函数/(%)的定义域；

111-X

(2)已知双防二寸^+7+怆；——+m,求gO)+g(Tn)的值.

2-121+x

11

题型四：奇偶性与周期性综合问题

一、解答题

1.(2021・全国•高三专题练习)设〃尤)是定义在R上的奇函数，且对任意实数无，恒有

/(x+2)=-/(x),当xe[0,2]时,f(x)=2x-x1,当xe[2,4]时，求的解析式.

2.(2022・全国•高三专题练习)己知函数/'(X)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直

线x=l对称.

⑴求证：“X)是周期为4的周期函数；

(2)若/(x)=«(OVxVl),求5,T]时,函数〃x)的解析式.

3.(2022.河南.高三阶段练习(理))己知〃x)是定义在R上的偶函数，且

f(x)=log2(2*+1)-履,g(x)=f(x)+lx.

⑴求/'(x)的解析式；

(2)若不等式g(4*•2l+l)>g(-15)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设65)=尤2_2如+5,若存在[0,2],对任意的尤2e[1,4],都有gQ),,以马)，求实

数m的取值范围.

12

4.(2022.全国•高三专题练习)已知函数y=/(x)(xeR).

(1)若，(x)满足y=/(尤+1)为R上奇函数且y=/(x-D为R上偶函数，求/(-3)+/(5)的

值；

(2)若函数y=数x)(xeR)满足g(x+3)=；+Jg(x)-[g(x)]2对xeR恒成立,函数

〃(元)=/(尤)+g(x),求证：函数/z(x)是周期函数，并写出M无)的一个正周期；

(3)对于函数y=/(无)，y=^(x)(xeR),若/(-x))=/(x)对xeR恒成立，则称函数

丁=/(尤)是“广义周期函数”，以尤)是其一个广义周期，若二次函数

/。)=办2+a+。("力0)的广义周期为左。)(左。)=无不恒成立)，试利用广义周期函数定

义证明：对任意的士,马eR,玉片尤2，/(芯)=/(々)成立的充要条件是

5.(2022・上海•高三专题练习)函数/(x)=g(x)+/?(x),其中g(x)是定义在R上的周期函

数，h(x)=ax+b,a,b为常数

(1)g(x)=sinx,讨论/'(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)求证广"(尤)为奇函数"的一个必要非充分条件是"了⑴的图象有异于原点的对称中心

(3)g(x)=sinx+cosx,f(x)在工况0,3句上的最大值为Af,求M的最小值.

13

题型五：单调性与奇偶性综合问题

—•、解答题

1.(2022•全国•高三阶段练习(文))已知对任意两个实数a,b,定义

,,\b,a<b,、

max{a,6}=jaa>6，设函数g(x)-l分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

/(x)+g(x)=-x3+x2.

⑴求函数尸(x)=max{y(x),g(x)}的最小值；

(2)若不等式/(2r-3r+3)>f(mt2-2mt+2m)对任意实数t恒成立，求非零实数m的取值

范围.

2.(2022・湖北・枣阳一中高三期中)已知函数/(X)的定义域为R,且〃lnx)=x+：+2.

⑴判断了(x)的奇偶性及/(%)在(0,+e)上的单调性,并分别用定义进行证明；

⑵若对W(x)W〃2x)+2a恒成立，求实数。的取值范围.

3.(2022•江苏镇江•高三期中)已知函数/5)=巨士巴是定义在R上的奇函数.

ae+b

(1)求函数/(X)的解析式，判断函数/(X)在定义域上的单调性并证明；

⑵令网x)=/(3x)+#x)(feR),若对Vxe(l,y),使得/z(x)>0,求实数r的取值范围.

4.(2022・广东实验中学高三阶段练习)己知函数f(x)对任意实数无？恒有

14

〃x+y)=〃x)+〃y),当x>0时，/(x)<0,且/⑴=一2

⑴判断的奇偶性；

⑵求函数/(x)在区间[-3,3]上的最大值；

⑶若五4-1,1],1/"[-1,1]〃*)<加一2加一2恒成立，求实数加的取值范围.

5.(2022•上海南汇中学高三期中)欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念

名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定

义：对于函数丁=/(力，如果对于其定义域。中任意给定的实数x,都有-xeO,并且

/(x)-/(-x)=l,就称函数y=/(x)为倒函数.

⑴己知〃无)=2，，g(x)=?W,判断y=〃x)和y=g(x)是不是倒函数，并说明理由；

(2)若丁=〃力是R上的倒函数，当尤40时，〃可二套?，方程〃x)=2022是否有正

整数解？并说明理由；

(3)若>=/")是R上的倒函数，其函数值恒大于0,且在R上是严格增函数.记

尸⑴」了?「,证明：%+%>0是尸(占)+尸(々)>。的充要条件.

6.(2020•全国•高三专题练习(理))设Ax)是偶函数，且当xZO时，

..\x(3-x),O<x<3

f£(X)—〈

[(x—3)(〃—x),x>3

(1)当x<0时，求『(X)的解析式;

(2)设函数汽幻在区间[-5,5]上的最大值为g(a),试求g(a)的表达式；

(3)若方程/(x)="有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求。与加满足的条件.

15

题型六：对称性与奇偶性综合问题

一、解答题

1.(2020・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=/上^(4,瓦<?€凡°>0,6>0)是奇函数，当

尤>0时，Ax)有最小值2,其中6wN且/⑴

(1)试求函数Ax)的解析式；

(2)问函数Ax)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不

存在，说明理由.

2.(2020・上海•高三专题练习)以下给出两种求函数图像对称中心的方法：①利用奇函数图

像关于原点对称这一性质，再结合图像的变换可得.例如，函数y=V,y=的对

称中心为(。,0).而丫二4%-飞7+可%-%升％的对称中心为(%,%)；②利用结论：函数

了。)的图像有对称中心(“,3的充要条件是对定义域中的任何一个x,均有

f(a+x)+f(a-x)=2b.请你根据以上提供的方法，解下列各题.

(1)求函数y=/-3/+x-5的对称中心；

(2)判断命题：“若/3,g(x)的定义域都为R,且都关于点(。力)对称,则2(x)+g(x)也

关于点(a,6)对称”的真假，并说明理由；

(3)问y=lgJ是否有对称中心？若有，求出其对称中心；若没有，说明理由.

3x-l

16

题型七：对称性、周期性与奇偶性综合问题

一、解答题

1.(2022•福建省厦门第二中学高三阶段练习)已知函数，(x)是R上的奇函数，且/(元)的

图象关于直线x=l对称，当X€[0,1]时，/(X)=2'-1.

(1)求八㈤的最小正周期，并用函数的周期性的定义证明；

⑵当尤e[1,2]时，求/(x)的解析式；

(3)计算/(0)+/(I)+f(2)++/(2018)的值.

2.(2022•全国•高三专题练习)记〃x)-ox+2『，其中。eR,已知x=l是函数

y=的极值点.

⑴求实数。的值；

⑵的表达式展开可以得到〃x)=a()+a1x+a2x2++//,求

q+2%+3a3++IO%。的值.

(3)设函数y=g(x)定义域为R,且函数y=g(x+l)和函数y=〃x)+g(x)都是偶函数，若

g(O)=-32,求g(8)的值

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3.(2022•全国•高三专题练习)定义在R上的函数/(x)同时满足/(-无)=于(x),f

(无)=/(4-x),且当2W烂6时，

(I)求函数/(无)的一个周期；

(II)若/'(4)=31,求机，〃的值.

4.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(尤)的定义域为R,若存在常数上和A,对任意

的xeR,都有|"尤)一岗4A成立，则称函数为“拟线性函数”，其中数组化A)称为

函数/(x)的拟合系数.

⑴数组(2,1)是否是函数g(x)=有的拟合系数？

⑵判断函数s(x)=xsinx是否是“拟线性函数”，并说明理由；

⑶若奇函数为(x)在区间[0,p](P>0)上单调递增，且〃(x)的图像关于点(°,4)成中心对称

(其中。,4为常数)，证明：/z(x)是“拟线性函数”.

5.(2020・全国•高三专题练习)己知了⑺是定义在R上的函数，满足/(x+1)J?，，

1+/W

(1)证明：2是函数/(x)的周期；

(2)当尤e[0,1)时，/(x)=x,求人>)在0)时的解析式，并写出Ax)在

xe[2A:-l,2左+l)(LeZ)时的解析式；

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（3）对于（2）中的函数/（x）,若关于x的方程/（x）=a尤恰好有20个解，求实数。的取值

范围.

题型八：定义法判断证明函数的奇偶性

一、单选题

1.（2022・湖北•仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）设函数=+x2,若

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a=[ln；],&=/^log7c=/（3）,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<a<c

二、多选题

2.（2022•江苏・徐州市第七中学高三阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显

j]%为有理数

著，以其名命名的函数”尤）=:不工工田物称为狄利克雷函数，则关于狄利克雷函数

[0,x为无理数

/（x）,则正确的是（）

A.函数〃尤）的值域是[0/；

B.任意一个非零有理数T都是/（X）的周期；

C.函数“X）是偶函数；

D.存在三个点4（占,〃%））,3（%2，/（々）），。（玉，/（玉）），使得ASC为等边三角形.

三、填空题

3.（2022・浙江绍兴.一模）我们知道，函数y=/（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的

充要条件是函数y=/（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=〃x）的图象关

于点p（a,b）成中心对称图形的充要条件是函数y=/（a+b）-人为奇函数，则/（力=/-3/

的图象的对称中心为.

四、双空题

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4.（2022•北京铁路二中高三期中）已知函数〃X）=/+°出+1）.

①“X）的函数图象关于对称；

②若存在唯一x°eR,满足〃Xo）=2O23,贝.

五、解答题

5.（2022・上海大学附属南翔高级中学高三期中）已知函数/（元）=2工+9.

2

⑴若/（。）=7,解关于尤的方程解x）=5；

（2）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；

⑶若＜3在xe［1,3］上恒成立，求实数a的取值范围.

6.（2022・全国•高三专题练习）己知函数/（x）=tsinx+kos乂淇中常数feR.

⑴讨论函数/（x）的奇偶性,并说明理由；

⑵ABC中内角A,民C所对的边分别为b,c,且。=2,b=正"（A）=2,求当好君时,tABC

的面积.

7.（2022.重庆市长寿中学校高三期中）已知函数芳.

⑴判断了（尤）的单调性和奇偶性并简答说明理由；

⑵若fg'+f（3,-9'+2）＜0对任意x＞1恒成立，求实数k的取值范围

8.（2022・河北保定•高三阶段练习）已知函数/（X）满足

2/（尤）+/'（1—了）=3%2+（fl-2）x-2i?+l（xeR）.

⑴讨论”尤）的奇偶性；

⑵求函数力G）=兀+时（同在［i,+oo）上的最小值.

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9.(2020・上海市奉贤中学高三阶段练习)若定义在R上的函数>=/(尤)满足：对于任意实

数x，y,总有/U+y)+/U-y)=2/(x)/(y)恒成立，我们称f(x)为“类余弦型”函数.

(1)已知"X)为“类余弦型”，且/(1)=3,求/(O)和42)的值；

4

(2)在(1)的条件下，定义数列4=2/("+1)-/(")("=1,2,3),求

log2^+log2^+flog?智flog?誓的值；

(3)若/(X)为“类余弦型”,且对任意非零实数/，总有了⑺>1,证明：

①函数Ax)为偶函数；

②设有理数和电满足㈤<同，判断"%)和/(%)的大小关系，并证明.

题型九：定义法判断函数的单调性

一、多选题

1.(2022•浙江・绍兴鲁迅中学高三阶段练习)已知y=/(x)的定义域为R,且对任意

x,yeR,</(x)-/(y)=/(x+y-l),且当x>l时，/(x)>l,则()

A./⑴=1B.〃尤)的图象关于点中心对称

C.f(x)在R上不单调D.当x<l时，0</(%)<1

二、解答题

2.(2022•江苏泰州•高三期中)若函数/(x)满足〃log“x)=£j[x-£],其中。>0,且

awl.

⑴求函数/(X)的解析式；

⑵判断并证明函数/(尤)的单调性；

⑶若0<a<l,/(x)+4>o在X<2时恒成立，求a的取值范围.

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3.(2022•全国•高三专题练习)对于定义在R上的函数/⑴，若存在正数相与集合A,使

得对任意的占，々^氏，当不＜々，且-尤根时，都有1/(马)一/(为)归A,则称函数/(X)

具有性质(m,A).

⑴若/(x)=|2元-1],判断了⑺是否具有性质(1,[0,2]),并说明理由；

⑵若/(%)=sinx,且f(x)具有性质(私[0』),求m的最大值；

(3)若函数了⑺的图像是连续曲线，且当集合A=(0,。)Q为正常数)时，八元)具有性质

(1,4),证明：/(x)是R上的单调函数.

4.(2022•全国•高三专题练习)给定集合。=(-oo,0)(O.+oo),Ax)为定义在。上的函数，

4X

当尤＜0时，/(x)=^—,且对任意xe。，都有___________.

x~+4

从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，补充在横线处，使/(X)存在

且唯一确定.

条件①：A-x)+f(x)=l；

条件②：/(-x)-/(x)=l；

条件③：f(-x)-f(x)=l.

解答下列问题：

(1)写出了(一1)和/⑴的值；

(2)写出了⑺在(0,+◎上的单调区间；

(3)设g(x)=/(x)-根(相eR),写出g(x)的零点个数.

题型十：利用周期性求函数值

一、单选题

1.(2022•江西省丰城中学高三开学考试(理))已知函数＞=/(%)是定义在R上的奇函

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数,满足H1-X)=H1+X).若)(1)=2,则/⑴+/(2)++/(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

2.(2022.福建泉州.高三期中)已知定义在R上的奇函数满足/(2-尤)=/(©,当

OVE时,/(%)=2\则/(1+噫2022)=()

1011r1024_1011-1024

A.--------B.--------C.------D.------

1024101110241011

3.(2022•广东汕头•高三期中)已知定义在R上的函数〃x),满足〃4x+2)为奇函数且

/(2x+l)为偶函数，则下列结论一定正确的是()

A.函数〃尤)的周期为2B.函数””的周期为3

C./(2020)=0D./(2021)=0

二、多选题

4.(2022•广东实验中学高三阶段练习)设函数y=f(x)的定义域为R,且满足

/(x)=/(2-x),/(-x)=-/(x-2),当1』时,则下列说法正确的是

()

A./(2022)=1

B.当龙44,6]时，f(x)的取值范围为[T0]

c.y=/(x-l)为奇函数

D.方程/(x)=log9(x+l)仅有4个不同实数解

三、填空题

5.(2022・上海大学附属南翔高级中学高三期中)设/(X)是R上的奇函数，且

/(x+3)=-/(%),当0V尤V；时，/(x)=x,贝U〃22)=.

6.(2022・上海市复兴高级中学高三期中)已知y=/(x)是定义在R上的奇函数且对于任意

的xeR均有〃2+x)+〃2—x)=0,若当xe[-l,0)时，/(^)=log2(1-x)