立体几何中的动态问题-2025年高考数学二轮复习学案（含答案）

微专题02立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的，

是一类可变的开放性问题.由于位置的不确定性，学生在解题时容易遇到困难，常

规的思考方式和解题方法可能不太适用.这类问题要求学生具备较强的空间想象

能力和灵活的思维转换能力，能够多角度分析问题.

考向1J最值（范围）问题

典例精析

典例1如图所示，在三棱锥尸-ABC中，BCL^PAC,PALAB,PA=AB=4,且

E为尸3的中点，AfUPC于点当AC变化时，三棱锥P-AER体积的最大值

是（）.

A.2B.V2C.延D笆

333

方法总结：

将待解决的立体几何中的最值问题转化为一个变量或多个变量的函数问题，借助

函数求最值的方法来解决立体几何中的最值问题.此外，用变量表示出立体几何

中待求的问题后，也常利用基本不等式的方法加以解决.

培优精练

已知正方体A5CD-4BCD1的棱长为2,P为线段GDi上的动点，则三棱锥P-

BCD的外接球半径的取值范围为（）.

A.呼,2]B.[等,V3]

C・呼，V3]唔,V3]

考向2J翻折问题

典例精析

典例2如图，在平面四边形A3CD中，AB=8,CD=3,AD=5y[3,ZADC=9Q°,

NR4D=30。，点E,R满足荏乏而，AF^AB，将△AER沿ER翻折至△PER

使得PC=4V3.

(1)证明：EFLPD.

(2)求平面PCD与平面P3R所成的二面角的正弦值.

培优精练

如图1,在矩形A3CD中，AB=2,AD=2y/3,将△A3。沿3。折起，得到三棱锥

M-BCD,如图2,其中△M3。是折叠前的△A3D,过点”作3。的垂线，垂足

为H,MC=V10.

(1)证明：MHLCD.

(2)过点”作M3的垂线，垂足为N,求点N到平面的距离.

考向3J动点轨迹问题

典例精析

典例3多选题在正三棱柱A3C-A向。中,A3=A4=1,点P满足品=汨？+〃西,

其中7G[0,1],4G[0,1],则().

A.当7=0,〃=1时，AP与平面A3C所成的角为一

q

B.当4三时，有且仅有一个点P,使得AiPLBP

C.当丸=1,〃三时，平面AB1P，平面A1A3

D.若AP=1,则点尸的轨迹长度为］

方法总结：

方法总结：

(1)几何法：根据平面图形的性质判定.

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法计算.

(3)特殊值法：根据空间图形线段的长度关系取特殊值或特殊位置排除.

培优精练

已知P是边长为1的正方体ABCD-AiBrCiDx表面上的动点，若直线AP与平面

A3CD所成角的大小为9则点P的轨迹长度为().

A.3V2

B.2\^2+TI

c.争4+兀)

D.2V2+^

参考答案

微专题02立体几何中的动态问题

考向1最值（范围）问题

典例1c

【解析】在三棱锥P-ABC中，由平面PAC,得BCLAC.

又A3=4,AC1+BC2=AB2=16.

、，[]BC

由题意可知V三棱链P-AEF=V三棱链E-R1F=§，SA户5

因为平面PAC,R1U平面PAC,所以BCLPA.XPA±AB,ABHBC=B,AB,

3Cu平面ABC,所以平面ABC,所以出，AC.

XAFXPC,所以△必Rs^pc4,

所以沁二驾=手工

SZ

LPCAPCP/'+AC*

又SAPCA=9AC必，必=4,

所以s*『昔,

所以v=w考*•

设AC=〃，0<a<4,贝!JBC='\6—十,

所以V三棱锥E-fii尸二学，a116；.

316+a2

令"2二层+16,易知16＜相＜32,贝!JV二棱锥及公尸二16（32-6）二学.

3m3

令X」'则X*限H

m

所以V三棱锥E-E4/二可-'.5]2K2+48x—!_，

令於）=-512^+48左-1忌＜%脸）,

由二次函数於）=-512x2+48x-l的性质知，当产斗寸，段）有最大值，最大值为1

o4o

所以V二棱锥及出尸的最大值为学X《=苧，故三棱锥PAER体积的最大值是苧.故

选C.

培优精练C

【解析】

如图，连接AC,3D,且AC交3。于点E,易得E为△BCD的外心，连接AiG,

B1D1,且4G交及Di于点孔连接ER易知EfU平面BCD,.：三棱锥P-3CD

的外接球的球心。在EF上.

设△PCD的外接圆的圆心为O,连接C。，，CO,00',则。平面PCD由正

方体ABCD-ALBIGDI中的棱3C,平面CC—,得。。〃3c

又E,R分别是3D,BA的中点，/.OO'=1.

设^PCD的外接圆半径为r,三棱锥P-BCD的外接球半径为R,则R2=l+^.

设PG=x,x£[0,2],则SAPCD=2=^PCPDsinNCPD,

.：---=&+4](24)2+4.

sinzCPD4------~1——

4

又r=CD=1,

2sinzCPDsinzCPD

•3_024[+4y2+4)

16

设兀0=(5-4*+8)(/+4),[0,2],

则人为=4。3-3炉+6.4).

设g(,x)=f(x),则gf(x)=12(x2-2x+2)>0,

.](x)在[0,2]上单调递增，又八1)=0,

.忧x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增.

又火1)=25,汽0)=/(2)=32,

.：»e[25,32],2]

.：R=VI不/©[手，遮].故选c.

考向2翻折问题

典例2

【解析】(1)由A3=8,AD=5y[3,AE=^AD,AF^AB,得AE=2E，AF=4.

因为ZBAD=30°,所以在△AEF中，由余弦定理，得EF^=A^+AF^-

2AE-AFCOSZBAD=12+16-2X2V3X4X^=4,所以踞+£尸=4产，所以AELER,

即EfUAD,所以EfUPE,EFLDE.

又PECDE=E,且PE,DEu平面PDE,所以ER,平面PDE.又PDu平面PDE,

所以EF±PD.

⑵连接CE,由NADC=90°,ED=343,CD=3,得C^=ED2+CD2=36,所以CE=6.

在△PEC中，PC=4V3,PE=2y[3,EC=6,^Ef^+P^PC2,所以PELEC

由(1)知PELER又ECCEF=E,EC,Eft平面A3CD,所以PE,平面A3CD

又EDu平面ABC。，所以PELED,贝ljPE,EF,ED两两垂直，建立如图所示

的空间直角坐标系，

则E(0,0,0),P(0,0,2百)，D(0,3V3,0),C(3,3旧，0),F(2,0,0),A(0,

-2y/3,0).由R是A3的中点，得3(4,2V3,0),所以而=(3,38，-28)，丽=(0,

3V3,-2V3),PB=(4,2y/3,-2^3),PF=(2,0,-2^3).

设平面PCD和平面P3R的法向量分别为〃=(为，"，zi),〃z=(X2,加Z2),

则jn.PC=3%1+2bzi=0,

\nPD=3V3y1_2V3z1=0,

z

(mPB—4久2+2y/3y2,2^2=°，

Z

1m.PF—2X2-2^32=0，

令y=2,%2=V3；得XI=0,ZI=3,竺=-1,Z2=l,所以“=(0,2,3)是平面PCD的

一个法向量，m=(V3,-1,1)是平面P3R的一个法向量，

所以|cos<m,n>\=lm,nl=r-1

严|严|V5xV1365

设平面PCD和平面P3R所成的二面角的平面角为仇则sinH—cos?〕里!!,

65

即平面PCD与平面P3R所成的二面角的正弦值为电fl

65

培优精练

【解析】

⑴如图，连接CH.由MB=CD=2,MD=BC=2W，NBMD=NBCD=90。,得3。=4,

ZMDB=ZDBC=3Q°,MH=43,BH=1.

在中，由余弦定理，22=

MCH=VBH+BC.2BH.BCCOS30OV7.

因为舷G,所以

又MHLBD,CHCBD=H,CH,BDu平面BCD,所以MH,平面BCD

又CDu平面BCD,所以MHLCD

(2)在4MBD中，由NH±MB,MD±MB,得NH〃MD.因为Affi>u平面MCD,

NWC平面MCD,所以NH〃平面MCD,所以点N到平面MCD的距离等于点H

到平面MCD的距离.设点B到平面MCD的距离为力，点H到平面MCD的距离

为d.

因为需=需=3'所以。=制

又cosNMDC=：+：2谓=组,所以sinNMDC=逗，S^MCD=^2X243^—=—,

2x2x2V344242

$△BCD=.

1

得-x解得

由V三棱锥B-MCD=V三棱锥M-BCD,35MCD-h=^S^BCD-MH,BP-^/i=2V3V3,

A32

狂警.

所以点N到平面MCD的距离4=扣=誓.

考向3动点轨迹问题

典例3ACD

【解析】

0：

B

图1

如图1,当2=0,〃=1时，点尸与点31重合，由已知得313,平面A3C,所以

N31A3就是AP与平面ABC所成的角，因为A3=AAi=1,所以tanZBiAB=^=1,

又/即钻G(0,5),所以NBA34即AP与平面ABC所成的角为3，故A正

确.

\/

犷C

B

图2

当24时，取线段BC,51G的中点分别为M,Mi,连接MMi,如图2,因为

丽=2阮+〃西，即痛=〃函，所以加〃西,则点P在线段MMi上，设

MP=x(0<x<l),则PM=l-x,

则3P2=5肝+”产=(；)2+%2,AiP-=AiM^+PMl=^+(l-x)2,AiB2=2,

若AxPLBP,则AXB2=BP2+AP2,则2=丹/+升(1-铲，整理得(x-l)=0,解得

X44x

x=l或x=0,则当点P与点M或跖重合时，AxPLBP,即当7弓时，存在两个

点P,使得AiP上BP,故B错误.

当i=1,时，BP=BC+^BBI，则标仁两，所以P是"1的中点，取3c的

中点为。，5cl的中点为以。为原点，QA,QB,QH所在直线分别为x轴、

y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图3,则A(噂，0,0),B(0,0),5,(

0,(1)，尸(0,》

所以同=卜桨I，0),初=西=(0,0,1),丽=卜噂，>1)，AP=(-^V

N乙Z乙/乙

!)•

设平面AiAB和平面ABiP的法向量分别为机=(xi,yi,zi),n=(xi,yi,zi),

则产初=一苧%1+/i=0,

'-V31

%z

AB1,n——2-2+2y2+2—0>

[一V311

(ZP.Ti——2-^2.2y2