集合、立体几何、解析几何及其他新定义综合-2025年高中数学一轮复习

第03讲集合、立体几何、解析几何

及其他新定义综合

（4类核心考点精讲精练）

考情探究・

集合新定义考情分析

首先，集合的基本概念和表示方法是基础，包括集合的定义、元素、子集、并集、交集、补集等。考

生需要掌握集合的表示方法，如列举法和描述法，并能正确使用集合运算符号。

其次，集合的新定义和新概念可能会出现在高考试题中，考生需要关注集合新问题。

总体而言，新高考数学集合部分的考情分析要求考生不仅要掌握基础知识，还要能够将集合知识与其

他数学领域相结合，解决实际问题。考生应注重基础知识的巩固，同时关注新定义的学习和应用。

立体几何新定义考情分析

新高考数学立体几何部分，新定义的引入是近年来考试改革的一个重要方面。新定义通常涉及一些特

定的几何概念、性质或定理，这些内容在传统的教学大纲中可能没有明确提及，但它们对于解决某些特定

问题非常关键。考情分析显示，新定义的题目往往要求考生具备较强的逻辑推理能力和空间想象能力。

在备考时，考生需要特别注意以下几个方面：

1.理解新定义的含义：考生需要准确理解新定义的几何概念或性质，并能够将其与已知的数学知识联

系起来。

2.掌握新定义的应用：通过大量练习，熟悉新定义在解决立体几何问题中的应用，包括但不限于计算

体积、表面积、线段长度、角度等。

3.分析和解决问题的能力：面对新定义题目，考生应学会如何分析问题，运用逻辑推理和几何直观来

解决问题。

4.关注新定义与实际问题的结合：新高考数学试题越来越注重实际应用，考生应学会将新定义与实际

问题结合起来，提高解决实际问题的能力。

总之，新定义的引入增加了立体几何题目的难度和深度，考生需要在复习时特别关注这些内容，通过

多种方式提高自己的理解和应用能力。

解析几何新定义考情分析

解析几何是高中数学的重要组成部分，它以代数方法研究几何问题，是连接代数与几何的桥梁。在新

高考数学中，解析几何的内容和考查方式有所更新，主要体现在以下几个方面：

1.新定义问题的引入：新高考数学解析几何部分增加了对新定义的理解和应用的考查。这类问题通常

1

会给出一个未见过的几何概念或性质，要求考生在理解的基础上，运用已学知识进行推导和计算。

2.综合性增强：解析几何题目往往与其他数学领域如代数、三角等知识相结合，考查学生综合运用多

种数学工具解决问题的能力。

3.实际应用背景：新高考数学解析几何题目更加注重实际应用，题目背景往往来源于实际生活或科学

技术，要求学生能够将抽象的数学问题与现实世界联系起来。

4.创新思维的考查：解析几何题目中可能会出现一些开放性问题，鼓励学生运用创新思维，探索多种

解题方法，而不仅仅是套用固定模式。

5.计算能力与逻辑推理能力并重：新高考数学解析几何部分不仅考查学生的计算能力，还强调逻辑推

理能力。考生需要准确理解几何图形的性质，合理运用几何定理和公式，进行严密的逻辑推理。

针对这些考情变化，考生在备考时应加强对新定义的理解和应用，提高解决综合性问题的能力，注重

实际应用背景的题目训练，并在解题过程中发挥创新思维，同时加强计算能力和逻辑推理能力的培养。

II考点梳理

考点1集合新定义

考点立体几何新定义

集合、立体几何、解析几何2

一核心考点考点解析几何新定义

及其他新定义综合3

考点4其他新定义综合

考点一、集合新定义

典例引领

1.(2024•广东深圳•模拟预测)定义两集合的差集：=且xeN},已知集合/={2,3,5},

5={3,5,8),则/-(/-2的子集个数是()个.

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根据题意求得集合从而求得其子集的个数.

【详解】因为4={2,3,5},3={3,5,8},

所以/_3={2},

所以/-(/-8)={3,5},有两个元素，

贝1|/-("8)的子集个数是22=4个.

故选:B.

2.(2024・浙江绍兴•模拟预测)对于集合B,定义小8={x|xe/且xeB},则对于集合

2

A={x\x=6n+5,zzeN},B={y\y=3m+1,meN},C=x|xe且x<1000},以下说法正确的是（）

A.若在横线上填入"n",则C的真子集有212-1个.

B.若在横线上填入"U",则C中元素个数大于250.

C.若在横线上填入则C的非空真子集有2面-2个.

D.若在横线上填入则中元素个数为13.

【答案】B

【分析】根据各个选项确定相应的集合C,然后由集合与子集定义得结论.

【详解】尤=6〃+5=3x（2〃+l）+2,y=3/w+7=3（加+2）+1,集合4台无公共元素，

选项A中，集合C为空集，没有真子集，A错；

选项B中，由6〃+5<1000得“<165』，由3〃?+7<1000得用<331,因此C中元素个数为166+331=497,B

6

正确；

选项C中，C中元素个数为166,非空真子集个数为2际-2，c错；

选项D中，飘=M/U躺）=N4n瞰M）=NA^B,而8三金/,因此其中元素个数为331个，D错.

故选：B.

3.（2024・吉林长春•模拟预测）（多选）对于集合A,若则称A为对偶互存集，则下列为

对偶互存集的是（）

A.{-1,0,1,2,3}B.卜卜=2左一1,左eZ}

C.卜了=占,D.{山=l+siwc}

【答案】ABD

【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案.

【详解】对于A,当尤=-1,0,1,2,3时，2-尤e{-l,0,l,2,3},故A正确；

对于B,卜,=24-1,左wZ}为全体奇数构成的集合，

当x为奇数时，2-x也为奇数，故B正确；

对于C,，了=^J={引了W0}，贝|2«引了20},

但2-2=00{中工0},故C错误；

对于D,{y|y=l+sinx）=[0,2],当xe[0,2]时,2-xe[0,2],故D正确.

故选:ABD.

4.（2024•北京西城•三模）记集合。={（4,电，…,qe{0,1},7=1,2,…，叫〃>2）.对任意c=e。,

。=他也,…也）e。，记〃（©/）=（|4-4I』的%I，I）,对于非空集合定义集合

D（A）=\d（a,p）|aeA,0eA].

⑴当〃=2时,写出集合O；对于/={（0,0）,（0,1）,（1,0）},写出。⑷;

3

(2)当〃=3时，如果求card(/)的最小值；

⑶求证：card(Z>(4))》card(4).

(注：本题中，card(N)表示有限集合/中的元素的个数.)

【答案】(1)。={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}；。(⑷案{(0,0),(0,1),(1,0),(U)}

(2)5

⑶证明见解析

【分析】(1)根据定义直接写出集合。，再根据。(⑷的定义写出。(/)；

(2)设card(/)=m,则card(Q)=8,则由题意可得C：27,从而可求得结果；

(3)设/中的所有元素为a1，a2,am,其中加=card(N),记=(i=l,2,...,m),先利用反

证法证明这些“互不相等，再根据定义证明即可.

【详解】(1)。={(0,0),(0,1),(1,0),(1」)}；

若4m{(0,0),(0,1),(1,0)},则D(/)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

(2)cardQ)的最小值为5.

证明如下：

设card(/)=m.

因为card(Q)=23=8,除(0,0,0)=d(c,0外，其它7个元素需由两个不同的a,月计算得到，

所以C：》7,解得d.

当/={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}时，有。(/)=。，符合题意.

(3)证明：设/中的所有元素为%，%，...，%,,其中加=card(/).

记％'="(生吗)(i=),则这些a；互不相等.

证明如下：如果存在，〃(%,%)="(%,/),

则dQ,%),d(%,4)的每一位都相等，

所以火,勺的每一位都相等，

从而%=%,与集合N中元素的互异性矛盾.

定义集合。'(⑷={琮/,…，或},则card(D'(/))=m=card(^).

又。(/)卫。'(/),

所以card(O(4))2card(Z>'(Z))=card(/).

【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理

解，考查理解能力，属于难题.

5.(2024・浙江•模拟预测)称代数系统G(x,。)为一个有限群，如果

1.X为一个有限集合，。为定义在X上的运算(不必交换)，^a,beX,aob^X

2.(0。6)。c=a。(6。c),\/a,b,c6X

3.3eX,\JaX,a°e=e°a=a,e称为G的单位元

4

4.V。eX,存在唯一元素/eX使。。厂=/。a=e,小称为。的逆元有限群〃（匕。）,称为G（X,。）的子群

若y=X,定义运算.。//={0。〃〃€//}.

⑴设H为有限群G的子群，。力为G中的元素.求证：

（i）a。H=b。H当且仅当bl°aeH;

（ii）与b元素个数相同.

⑵设。为任一质数X={1,2,…,p-l}.X上的乘法定义为。。6=---P，其中国为不大于无的最小整

VPVP\）

pl

数.已知G（X,。）构成一个群，求证:VaGX。」-1=0（其中a-表示PT个。作。运算）

【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）（i）利用单位元、子群的定义判断可得答案；（ii）首先构造一个〃到的满射，直接由

的定义得到，另一方面，证明这个映射同时也是单射即可；

（2）我们有如下断言:假设上是使得/=e的最小正整数，由（1）的结论可知可得答案.

【详解】（1）（i）如果。。7/=6。/7,则V力方力2」〃,a。h、=b。h,

从而b"。。=%。父wH.

另一方面，如果尸。”©〃，

则有V4ea。瓦物e/Z,g、=a。％,

lx

即a'°gx=hx,从而b~°a°a~°gx=『。a。％eH,

即b"°g[wH,

从而4S。"，

反之由反°aeH得到a-l°beH，

类似讨论得中的元素也全都属于。。〃，证毕；

（ii）我们首先构造一个b到a。”的满射，

这直接由。的定义得到，

另一方面，我们证明这个映射同时也是单射，

事实上，若对h\，heH,a。瓦=a。均,

两边左乘a1>

则有力=用，从而两集合间有一一映射，

故元素个数相等；

（2）我们有如下断言:VaeX,awl,

假设先是使得d=e的最小正整数，

则e,a,小,舒,…,（其中屋表示加个。作.运算）在运算。下构成G的一个子群，

记作

而由（1）的结论可知，卜。〃,xeG}这一集族中的集合有相同的元素个数，

5

且两两不交(若有两个集合。。修/。〃相交，则推得尸oaeH，

由(1)(i)得两集合相同)从而它们构成G的一个划分，从而有p-l=^JeN,

因而ap~]=(ak)=f=1.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解及性质的应用.

即时检测

I______________________

11.(2024・浙江・二模)称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记灾[S]为集合S包

含的好整点的个数.若火1(2)卜+y)2+3x+”A)]=见｛(\x+y<4^,则正整数上的最小值是()

A.1976B.1977C.2023D.2024

【答案】B

【分析】一方面由必要性：转换成恒成立求参问题，可以求得力21977,另一方面比较重要的一点是：要验

证当先=1977时，w[(2)卜+»+3x+”4=见{(|x+”4打，由此即可得解.

【详解】一方面：由题意Vx,yeN*,x+y<43,使得不等式++3x+y〈上恒成立，

注意至U(x+y)2+3x+y=(x+y)2+3(x+y)-2_y<(x+y)?+3(x+y)-2

4432+3x43-2=1976,

fx+y=43]x=42

等号成立当且仅当；，即,,

b=i卜=i

所以正整数上应该满足左点977,

另一方面：当左=1977时，

我们证明：火](x,川(x+y)2+3x+y<,=端(x,»|x+y44打成立，

证明过程如下：

注意到{(x,y)x+"43}={(1,1),(1,2)(2,1…,(1,42)0,41)…,02,1»,

42x+42

所以R[{(x,y)|x+y<43}]=1+2+••-+42=0)=903,

Vx/eN",记x+y=M,则“€{2,3J..43},ye{1,2,--1},

91+y)2+3x+y<左J

=况](苍川(为+y)~+3(x+y)-2y<1977,

3/、42x(1+42)

=E("-l)=l+2+-.+42=——------^=903,

M=22

即火{(x,y)kx+y)2+3x+y<左[=%[{"y)x+yV43}]=903成立，

6

综合以上两方面，可知正整数发的最小值是1977.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解题的关键在于用必要性求得参数范围后，一定要检验充分性是否成立，由此即可

顺利得解.

2.（2024•湖南怀化•二模）给定整数心3,有〃个实数元素的集合S,定义其相伴数集7=加的,力eS,aR6},

如果min（T）=l,则称集合S为一个"元规范数集.（注：min（X）表示数集X中的最小数）.对于集合

M={-0.1,-1.1,2,2.5}、N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},贝l]（）

A.”是规范数集，N不是规范数集B.M是规范数集，N是规范数集

C.M不是规范数集，N是规范数集D.M不是规范数集，N不是规范数集

【答案】C

【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.

【详解】集合屈={-0.1,-1.1,2,2.5}中，2wM,25wM,贝I]|2-2.5|=0.5<1,

即M的相伴数集中的最小数不是1,因此M不是规范数集；

集合N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},1-1.5-（-0.5）|=1,|-0.5-0.5|=1,10.5-1.5|=1,

|-1.5-0.5H-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3,

即N的相伴数集中的最小数是1,因此N是规范数集.

故选：C

3.（2024•福建•模拟预测）（多选）若平面点集M满足：任意点（x,y）eW,存在fe（0,+s）,都有侬,共）eM,

则称该点集M是f阶聚合点集.下列命题为真命题的是（）

A.若M={（x,y）|x2y},则/是3阶聚合点集

B.存在“对任意正数"使"不是邛介聚合点集

'V211

C.=<（x,y）~+y2=l>,则M不是§阶聚合点集

D."te工+e）"是"M—是邛介聚合点集”的充要条件

【答案】ACD

【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定

M==为g阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确.

【详解】对于A,由xNy可得3xN3y,故”是3阶聚合点集，即A正确；

对于B,对任意的点集总存在f=l,使得M是1阶聚合点集，故B错误；

对于C,因片+/=1,而（3）:，八2x2y2x22一故M不是《阶聚合点集，即C正确；

4丁+曰=*+/<“+”13

对于D,因"={（%））”22%}是，阶聚合点集等价于2比，

7

因1>0,可得少2“，又因依题意可得反之也成立，

故""=卜3小2“}是/阶聚合点集"是，"€工+”)〃的充要条件，即D正确.

故选：ACD.

4.(2024・贵州遵义•二模)设集合凡={(%/,…,当)|%=0或1/=(2,…,。，中的元素a=3，%…M3

6=(4也,…也)，定义：。㊉6=(%-4)4+(%-%)4+…+(%-2)4.若M为4的《元子集，对Vxe〃“，

都存在yeM,使得x㊉yW3,则称M为七的左元最优子集.

(1)若。㊉6=4,且。=(1,0,1,1,0),试写出两个不同的6；

⑵当〃=7时，集合2=…,马),(%,％,…,%)},占,匕e{01},占+%=1,证明：A为吗的2元最优子集;

⑶当〃28时，，“是否存在2元最优子集，若存在，求出一个最优子集，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1)；

(2)证明见解析；

⑶不存在，理由见解析.

【分析】(1)根据给定的定义直接写出b即可.

⑵任取z=(z”Z2,…,与)€鸟，确定存在的X/,使得(x,-z,)4+(%-zJ=l,i=l,2,3,4,5,6,7,代入计算

证得.

(3)先考虑〃=8的情况，证明不存在最优子集即可推理得证.

【详解】⑴取6=(0,1,0,0,0)或(U,0,0,1),满足a㊉6=12+12+12+12=4,

所以6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1).

⑵任取Z=(Z],z?,Z7)eZ，则存在4片€{0,1},%+%=1,使得a_ZJ+(%-Z,)4=1,i=1,2,3,4,5,6,7,

记X=(X],X2,……,乃)，

777

x㊉z+y㊉z=Z(%-Z,)4+£(%-Z,)4=£[&-4)4+(%-Z,)4]=7,

Z=1Z=1Z=1

若x㊉z43,则结论成立；若x㊉z24,贝帖㊉z=7-x㊉ZV3,

所以A为凡的2元最优子集.

(3)先考虑"=8的情况，假设生存在2元最优子集7?,

记及={a,6},a=…，4)，6=(4也，…，4)，

VaG77g,BcH(c1,c2,---,c8)e77'g,^a®c=4,

ific=(1—c1；l—c2,•••,1—c8),贝ijce,

由a㊉c+a㊉1=8,得a㊉？=4,6㊉c+6㊉5=8,

因此。㊉c,b㊉}中至少有一个数大于等于4,

这与R是最优子集矛盾，由6的任意性，可知&不存在最优子集，

当8时，Va,6e4,a=(a1M2,•••,%),6=(4也，…也)，

8

n8

则。㊉6=E(%-6Jz£(a,-也丁，所以忆没有2元最优子集.

Z=1Z=1

【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和

转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.

5.(2024・四川•一模)桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会

有一个抽屉里面放不少于两个苹果.这一现象就是我们所说的"抽屉原理

抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有〃+1个元

素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素.

应用抽屉原理，解答下列问题：设"为正整数，集合/={&|£=(32「4")，”€{0,1}水=1,2,…,力}.对于集

合/中的任意元素a=(再,三，…,%)和£=(%，%，,,2,)，记

=5[(再+J1+卜一必|)+伍+y2+卜_%|)+…+(X"+yn+|x„-J„D].

⑴当〃=3时，岩a=(0,l,l),^=(0,0,1),求A/(a,a)和的值；

(2)当〃=4时，对于/中的任意两个不同的元素B,证明：M(a,0)WM(a,a)+M(0,0).

⑶给定不小于2的正整数“，设3是/的子集，且满足：对于8中的任意两个不同元素a,P，

71/(4月)=河(40+M(尸,尸).写出一个集合8,使其元素个数最多，并说明由.

【答案】(l)M(/a)=2,M(aQ=2

(2)证明见解析

(3)S={e0,ej,---,e„},理由见解析

【分析】(1)根据定义得到M(a,a)=2,M(aQ=2；

(2)设。=(%,%，三,三),夕=(%,掇*%，招)，求出M(a,a)=X]+工2+退+匕，M(P，夕)=必+%+%+%，分析出

Af(«,^)=max{x1,j?1}+max{x2,^2}+max{x3,j；3}+max{x4,)/4},max{x,.,^.}＜x(+yt,证明出WM(a,a)+M(/7,0,

当且仅当x,%=0(/=1,2,3,4)时等号成立；

(3)在(2)的基础上,得到若"'(&,")="'30)+〃_(£,£),贝5]无a=0,7=1,2,3「1〃成立,对集合A进行分

类，应用抽屉原理和反证法，得到满足条件的集合8中元素个数不多于〃+1,在取e。=(0,0,…0),对于左=1,

2,…，«-1,取e&=(4工2，%，…，，且％="-=%=0;e„e4＞令台=佃丛…,e“},得到答案.

【详解】(1)因为a=(O,l,l),£=(0,0,1),

所以M(a,a)=g[(0+0+|0-0|)+(l+l+“_l|)+(l+l+卜1|)]=2,

A/(«,^)=|[(0+0+|0-0|)+(l+0+|l-0|)+(l+l+|l-l|)]=2；

(2)当〃=4时，对于/中的任意两个不同的元素a,P，

设。=(芭，％2，13，％4)，夕=(必，＞2，为，》4)，

M(a,a)=xx+x2+x3+x^9M(夕，夕)=必+%+%+2.

对于任意的%，%,1=1,2,3,4,

9

当x,2X时，有;(%+力+卜-%|)=1[x;+乂+(X,.-y,)]=X,.,

当占My,时，有+%+|为一％=+%-(x,-%)]=%.

即1(x,+Z+I%-yjI)=max{x,.，x},

所以Af(a,/)=max{x”M}+max{x2，%}+max{x3，%}+max{z，”},

又因为x,,y,e{O,l},

所以max{x”其}i=l,2,3,4,当且仅当x那=0时等号成立,

所以max{再，乂}+max{x2,y2}+max{x3,y3}+max{x4,y4}

V(%+Vj)+(x2+%)+(%+%)+(x4+y4)

=(xt+x2+x3+x4)+(必+y2+y3+y4),

即囚3,0这'(氏&)+版月,0,当且仅当x,%=0(i=l,2,3,4)时等号成立：

(3)由(2)可证,对于任意的a=(再，苞,后,…，怎的£=

若M(a,0)=M(a,a)+M(0,0),则占％=0"=1,2,3「、〃成立.

考虑设4={(*，三，三，…，三)1再=3=""=x,=0}，

4={(Xj,x2,x3,•••,%„)|Xj=l,x,.e{0,l},z=2,3,---,M},

对于任意的斤=2,3,...»n,

4={(xi,x2,x3,---,xn)\(xl,x2,x3,---,xtt')&A,xl=x2=■■-=xkk=0,xk=1},

所以/=4U4U…U4，

假设满足条件的集合3中元素个数不少于"+2,

则至少存在两个元素在某个集合4伏=1,2,…,〃-1)中，

不妨设为&=(再,%，尤3,…，匕)，"=(%，%，%，,••，%)，则以=%=】.

与假设矛盾，所以满足条件的集合8中元素个数不多于〃+1.

取e。=(0,0,•■•O)；

对于左=1,2,n-1,取eg=(外,々,知…,马)©4,

X==X=

且M""N0：e；,e4.

令3={eo，e”…,e“},

则集合8满足条件，且元素个数为〃+1,

故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.

【点睛】新定义问题的方法和技巧：

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

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考点二、立体几何新定义

甲典例引领

1.（2024・青海•模拟预测）如图，在正方体中，E,F,M,N,G,H分别为棱

BC,AD,CD,4月，CQi的中点，P为的中点，连接EX,FG.对于空间任意两点/,J,若线

段。上不存在也在线段即，尸G上的点，则称/,J两点"可视"，则与点片"可视”的点为（）

【答案】D

【分析】连接耳。、BF、B[E、MF、B]M、B、N,借助平行线的性质可得四点共面，即可得线段与。与

昉■相交，线段与尸与即相交，线段4M与尸G相交，从而排除A、B、C.

【详解】如图，连接与。，与尸，B\E,由正方体的性质及E、H分别为棱/5、的中点，

易得B\EMHD,所以线段用。与四相交，与尸与相交，故A、B错误；

连接MF,B[M,有AB//MF,ABUBfi,故用G//MF,

所以线段用M与FG相交，C错误；

连接4N,直线用N与四，直线4N与尸G均为异面直线，D正确.

故选：D.

2.（23-24高三上•上海浦东新•阶段练习）在空间直角坐标系中，定义点/（占,乂0）和点两点之

间的"直角距离=k1-乙|+瓦一月+%-Z2若A和3两点之间的距离是G，则A和8两点之间的“直

角距离”的取值范围是.

11

【答案】[后3]

【分析】根据空间两点距离公式，结合三角代换法、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.

22zz2

[详解]因为AB=-x2）+{y]~y2）+（i~2）=右，

所以设卜一%21二6cos8sineJ必一刃二V"§sinOsin同向一=7-3cos^,

其中。,夕£0,1,因此d（z,5）=|再一司+|弘一%|十|z「z』=|不—目

=A/3COS6sin°+Gsin夕sin°+百cos°

=V3sin(cos04-sin^)+V3COS(p=46sm(psin0+—+Geos夕,

因为共吟'所以"畀PT

设,=sin[e+：]£-^-,1

=&sin夕sin[9+；J+Gcoscp=y[6tsin°+Gcoscp

于是有d（A网

76t2+3sin(p+arctan

TT11171

因为夕e0,-所以9+arctanarctanarctan,I—

STyJ2t也t2_

因此当，=1且。+arctan7豆=己时，即当，=1且0=]_arctan1及时，

九㈤有最大值76x1+3=3,

当』=*且。=0或。=]时，4腐）有最小值，

止匕时arctan-y=-=arctan1=—,d（A§）=y/~6sin:=y/3或d（A§）=V6sin=后,

所以％B）的最小值=

综上，A和3两点之间的"直角距离”的取值范围是[6,3]

故答案为:[6,3]

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角代换的方法、运用正弦函数的最值的性质.

3.（24-25高三上•浙江•开学考试）已知Q是棱长为近的正四面体43C。，设Q的四个顶点到平面C的距离

所构成的集合为若M中元素的个数为左，则称夕为Q的后阶等距平面，"为Q的左阶等距集.

（1）若a为Q的1阶等距平面且1阶等距集为{a},求。的所有可能值以及相应的a的个数；

（2）已知月为。的4阶等距平面，且点A与点8c。分别位于尸的两侧.若。的4阶等距集为仍,26,36,46},

12

其中点A到。的距离为b,求平面BCD与0夹角的余弦值.

【答案】⑴答案见解析

⑵叵

7

【分析】（1）分两种情况得出。的所有可能值以及相应的&的个数；

（2）先根据已知得出/O:Z）B=1:2,/E:EC=1:3,//:ED=1:4,再计算求得余弦值.

【详解】（1）①情形一：分别取的中点

此时平面。昉为Q的一个1阶等距平面，

6为正四面体高的一半，等于Lx逅x&=1.

233

由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面1平行于其中一个面，有4种情况;

②情形二：分别取/氏/C,CD,Z出的中点尸,。,凡S

将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，

则。为正方体棱长的一半，等于

由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，

这样的1阶等距平面a平行于其中一组异面直线，有3种情况.

综上，当。的值为好时，a有4个；当”的值为:时，1有3个.

（2）在线段/民上分别取一点”,£,尸，

使得4W:M8=1:2,/£:£C=1:3,/GED=1:4,则平面〃即为平面加斯.

13

如图，取助中点。，连接OC,,以。为坐标原点，所在直线分别为轴，过点。且与平面垂

直的直线为z轴建立空间直角坐标系,

―►—►—►1—►1—►1

ME=AE-AM=-AC——AB=-

434

—►―►——►1—►1―►1

MF=AF-AM=-AD——AB=-

535

设平面”石尸法向量为记=（%,y,z）

m-MF=0x+46y+2y[2z=0

所以一，即

m-ME=05x+2y/3y+yf2z=0

所以沅=（0,1,_痴），

又平面85的法向量为方=（0,0,1）,

设平面sc。与尸夹角为e

\m-n\_y/6_V42

所以cos。=

网J司J1+67

所以平面BCD与£夹角余弦值为叵.

7

4.（2024高三•全国•专题练习）我们知道，二元实数对（xj）可以表示平面直角坐标系中点的坐标；那么对

于“元实数对（国产2,…,X”）（“21,〃是整数），也可以把它看作一个由〃条两两垂直的"轴"构成的高维空间

（一般记为R"）中的一个"点"的坐标表示的距离1（43）=2值-可.

/=1

⑴当〃=2时，若4（1,2）,5（4,6）,C（3,10）,求d（A,B）,d（B,C）和"（C,N）的值:

（2）对于给定的正整数〃，证明R,中任意三点48,C满足关系d（A,B）＜d（A,C）+d（C,B）.

⑶当〃=3时，设/（0,0,0）,8（4,4,4）,P（x,y,z）,其中x,九zeZ,d（A,P）+d（P,B）=d（A,B）.求满

足P点的个数〃，并证明从这"个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱

14

锥体积不大于g.

【答案】⑴"(43)=7,48,C)=5,d(C,4)=10

⑵证明见解析

(3)«=125,证明见解析

【分析】(1)根据新定义直接计算；

(2)由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；

(3)根据新定义，及绝对值的性质得P点是以NB为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，

把它们分布在五个平面(z=0,1,2,3,4)上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为

顶点构成三棱锥(能构成时)，棱锥的体积不超过己，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平

面内有3个点.根据这3点所在平面分类讨论可得.

【详解】(1)当〃=2时,若4(1,2),8(4,6),C(3,10),

则d(4B)=|4-4|+|6-2|=7,J(S,C)=|4-3|+|6-10|=5,c?(C,^)=|3-1|+|10-2|=10.

(2)设/(为,马,…,X"),8(%,C(Z]/2,…,Z"),

根据绝对值的性质有归-zj+[用-Z]以西-,\x2-z2\+\y2-z2\>\x2-y2\,---,\x„-z„|+\y„~z„\>\xn-yj\,

所以d(43)«"(4C+"(C3).

(3)因为/(0,0,0),5(4,4,4),P[x,y,z),则"(48)=12,

且国+卜_4,4加+卜_4,4,p|+g-4"4,

可得d(4P)+"(尸,3)灌12,当且仅当x,y,ze[0,4]时，等号同时成立，

又因为尸)+d(尸,8)="(48)=12,可得x,y,zw[0,4],x,y,zeZ,

可知x,y,z=0,1,2,3,4,贝!]5x5x5=125,

点P是以为对角线的正方体内部(含面上)的整数点，共125个，即〃=125.

这125个点在z=0,z=1,z=2,z=3,z=4这五面内.

这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥.

11O

则这个三棱锥的体积最大为K=；x：x4x4xl=；,

323

现在任取11个点，

若有四点共面，则命题已成立；

若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点(显然不共线)；

若这三点在z=l,z=2,z=3这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，

那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过2,

否则还有8个点在平面z=0和z=4上，不合题意，

若这三个点在平面z=0或2=5上，不妨设在平面z=0,

15

Q

若在平面z=1在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过会,

否则剩下的8个点在z=2,z=3,z=4三个平面上，只能是3,3,2分布，

O

不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过3;

Q

综上所述：任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于?.

【点睛】关键点点睛：本题新定义距离1（48）,解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质

解决一些问题.本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类

讨论可证明结论成立.

5.（23-24高一下•江苏常州•期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设尸为多面体M的一个顶点，

定义多面体M在点尸处的离散曲率为％=1-乙（/。P仪+尸&+…/Qk/Qk+"』值），其中

271

。。=1,2,…从左23）为多面体M的所有与点尸相邻的顶点，且平面。72,平面…，平面。1尸2

和平面以尸2为多面体M的所有以尸为公共点的面.

⑴求三棱锥P-/BC在各个顶点处的离散曲率的和；

（2）如图，已知在三棱锥尸-48C中，尸/，平面/8C,AC1BC,AC=BC,三棱锥尸-48C在顶点。处

的离散曲率为;.

B

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；

②若点。在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值.

【答案】⑴2

⑵①正；②60。

4

【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可

（2）①首先证明尸C,再由C点处的离散曲率可求出/尸从而其它相应的线段都可计算，

把PC与平移至中位线处，得出々DE为异面直线22与尸C的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可.

②首先是把线面角做出，设BG=x,再把角的三角函数值表示成x的函数，最后转化为函数最值问题.

【详解】（1）由离散曲率的定义得：①p=1-4-QPB+NBPC+NCPA）,

24

16

①4=1---(ZBAP+ZCAP+ABAC)

2万

①B=1---(ZABP+ZCBP+NABC)

27r

①c=1---(ZACB+ZBCP+ZACP),

2%'

四个式子相加得：①p+①4+①B+①c=4-二-x4万=2.

(2)①如图，分别取尸的中点。，瓦歹，连接AE,DE,DF,EF,显然有AB"DE,PCUDF,

所以4DE为异面直线48与尸C的夹角或其补角，设/C=3C=2,因为//C3=90。，所以48=2收，

/£=5

因为尸/_1_平面NBC,AB,AC,AE,BCcABC,所以尸/_L/8,PAIAC,PALAE,PALBC,

因为/CJ_8C,PA^AC=C,所以3C_L平面尸NC,又因为PCu平面P/C,所以BC_LPC,

由c点处的离散曲率为:可得

①,=1---(ZACB+ZBCP+ZACP}=^-=1---+-+ZACP\^NACP=-,

0In'，32万(22)3

所以PA=6AC=26PC=2AC=4,EF=dAF?+AE?=J3+5=2收，而4E=./J=0,DF=，C=2,

所以cosNFDE=DF'DEJEF。=4+2-8_旦,故异面直线.与PC的夹角的余弦值为正.

2DF-DE2x2x644

②如图，过0点做。G//P/交48与G,连接CG,因为平面N3C,所以。G,平面/BC,

则ZGCQ为直线CQ与平面43C所成的角，设3G=尤(0<xV2后)，

在ABCG中CG?=3C2+8G2-2BC8G-COSB=4+X2—2缶，

因为。G//P/,所以所以"=变=或="尸/=2华=®=。^2系

~~PABABA24222

33

ZGCQ=^=2_22

2y/22

-2~\[^x+4]4(2.也、1

1---------F~2+-

XXU2)2

17

当分母最小时，tai?NGC。最大，即/GCQ最大，此时2=变，即x=2后（。与尸重合）,

x2