广东省六校（广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2024-2025学年高二上学期12月联合质量检测数学试题

第1页/共1页广东省六校（广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2024-2025学年高二上学期12月联合质量检测数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对数函数性质得集合，然后由交集定义计算．【详解】，又，故选：B.2.已知数列满足,则（）A.2024 B.2025 C. D.【答案】C【解析】【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解.【详解】因为，，则有，故数列是以1为首项，公差的等差数列，故，所以，则.故选：C.3.已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，若，则的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线的斜率，再根据方向向量的知识求得.【详解】设的斜率分别为，因为直线的倾斜角为，则，因为，则，又因为直线的方向向量为，则有，则有.故选：D4.斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式计算即可求解.【详解】由题意可知数列满足，所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其中是偶数的有：2，8，34，144，故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是偶数的概率为.故选；C.5.如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算来求得正确答案.【详解】连接，，则.故选：A6.已知圆截直线所得线段的长度为，则圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.外切 C.相交 D.外离【答案】D【解析】【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式可得，即可根据圆心距与半径的关系求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，所以.圆的圆心为，半径，所以两个圆的位置关系是外离.故选：D.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角的正切公式求出，然后将其次式化简求值即可.【详解】，解得或，所以，故选：A.8.已知函数的定义域为，且为奇函数，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据求出的一个周期为4，由为奇函数求出函数的图象关于点对称，然后求解即可.【详解】由，则，所以，所以的一个周期为4.由，令，则有，所以.因为为奇函数，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以，所以，令，则，即，令，则，令，则，而，又因为的一个周期为4，所以，故选：B.二、选择题.本题共有3小题，本题共18分，每小题6分.每小题有四个选项，其中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小值为−2 B.最小正周期为C.在上单调递减 D.的图象关于对称【答案】AC【解析】【分析】先利用辅助角公式化简可得，再利用余弦函数的性质进行逐项检验即可求解.【详解】因为.对于A，当时，最小值为，A正确；对于B，因为，所以的最小正周期为B错;对于C，当时，，则在上单调递减，C正确；对于D，当时，，D错.故选：AC.10.设为等差数列的前项和，且.若，则（）A.的最大值是 B.的最小值是C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据等差数列求和公式可得单调递增，结合得且，结合单调性以及求和的性质即可求解.【详解】因为，则，即.故单调递增，因为，即有且，故数列前1012项均为负数，而第1013项以及以后各项都是正数，故的最小值是，无最大值，故A错误，B正确;又因为，则有，故C错误，D正确.故选:BD.11.如图，在边长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为C.三棱锥的体积是定值D.存在点使直线与直线夹角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设，则.对于选项A：因为，故，故A正确;对于选项B:结合题意易得：，当时，取得最小值为，故B正确;对于选项C:因为平面平面，则平面，所以三棱锥的体积为，故C错误；对于选项D:因为，，设与的夹角为，则，因为，则，故不存在点使直线与直线夹角的余弦值为，故D错误.故选:AB.三、填空题.本题共有3小题，每小题5分，本题共15分.12.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________.【答案】##【解析】【分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数.【详解】依题意可得极差为，平均数为，所以，解得，所以中位线为.故答案为：13.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.【答案】【解析】【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：.故答案为：【点睛】本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.14.已知正四面体的棱长为3，平面BCD内一动点满足，则取最小值时，直线AP与直线BC所成角的余弦值为_____________.【答案】##【解析】【分析】先利用正四面体性质由确定点轨迹，然后根据圆的性质确定最小时点位置，再建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角．【详解】设在平面BCD内的投影为，故为的重心，故，，故的轨迹为平面BCD内以为圆心，为半径的圆.当取最小值时，三点共线时，且在BE之间时，的最小值是.以为原点，BE所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，故.设直线AP与直线BC所成角为.故答案为：．四、解答题.本题共有5小题，本题共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可；（2）先由正弦定理求出，然后由三角形内角的关系求出，再由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】，由正弦定理得，即，又，【小问2详解】且，则，，由正弦定理有，即，解得.，，的面积.16.记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式;（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）讨论的符号去绝对值，结合等差数列求和公式求解.【小问1详解】在等差数列中，，解得，则.【小问2详解】因为，则.当时，数列的前项和；当时，数列的前项和.故.17.篮球三人赛参赛队伍要进行投球测试，测试规定每支球队三人各自投球一次，命中得1分，不中得0分；三人得分和为2分或以上视通过测试.现有甲、乙、丙组队参与投球测试，每人投球一次，已知甲命中的概率是，甲、乙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响.（1）求乙、丙两人各自命中的概率;（2）求甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率.【答案】（1）乙、丙两人各自命中的概率分别为.（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【小问1详解】设乙、丙两人各自命中的概率分别为，每人是否命中互不影响，故，解得，故乙、丙两人各自命中的概率分别为.【小问2详解】甲、乙、丙这支球队通过投球测试，则三人得分和为2分或3分.三人得分和为3分，即甲、乙、丙三人均命中，概率为，三人得分和为2分，即甲、乙、丙三人中恰有2人命中，其概率为，故甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率为.18.如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两个向量的夹角公式求解即可；（3）不妨设则设出的坐标，利用向量求线面所成的角的正弦值得出的坐标，然后求解点到平面的距离即可.【小问1详解】证明：因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形，则.因为平面平面，所以，又因为平面，且，所以平面.【小问2详解】由（1）可知，即两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，而所以，令，则.设平面的一个法向量为，而，所以，令，则，记平面与平面的夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.【小问3详解】依题意，不妨设则又由（2）得平面的一个法向量为，记直线CM与平面所成角为，所以，解得（负值舍去），所以，则，而由（2）得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.19.已知过点，且圆心关于直线对称的点为，过点作两条相异直线分别与相交于，，且直线和直线的斜率互为相反数.（1）求的标准方程；（2）为坐标原点，证明直线与平行；（3）设直线的斜率为正数，且直线和直线PB与轴的交点分别为，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据点关于直线的对称点的知识求得，再求得的半径，从而求得的标准方程.（2）设出直线的方程并与的方程联立，求得点的横坐标，同理求得点的横坐标，进而求得的斜率，从而证得结论成立.（3）先求得的坐标，求得三角形面积的表达式，然后利用换元法和基本不等式来求得面积的最大值.【小问1详解】因为圆心关于直线对称的点为，则，解得.则圆的方程为，将点P的坐标代入得，故圆的方程为.【小问2详解】因为直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设，其中由，得因为的横坐标一定是该方程的解，故可得同理，可得，所以直线与平行.小问3详解】直线的斜率为正数，则，由（2）知，则PA与轴交点为，同理PB与轴交点为，则由（2）有，则，则，所以，令，