2025届高三年级港澳台学生8月月考数学试卷

第1页/共1页8月考试数学一、单选题1.若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（）A.15 B.30 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，即可求解.【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为，即为，所以该扇形的面积为.故选：C.2.已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得sinα+cosα的值【详解】∵知角α的终边经过点P（4，-3），∴sinα，cosα，∴sinα+cosα．故选：A．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正弦公式即可.【详解】.故选：D.4.函数图象在点处切线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数的几何意义得出斜率，进而由点斜式得出方程.【详解】由题意可得，则，则所求切线方程为，即.故选:：C5.用“五点法”作函数在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦函数的五点作图求解即可【详解】令，得.∴该点坐标为.故选A【点睛】本题考查”五点法”作函数y＝Acos（ωx+φ）的图象，y＝cosx的第一个周期内五个关键点：（0，1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，1）．6.已知函数与是互为反函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得到的解析式，再代入计算可得.【详解】因为函数与是互为反函数，所以，则，，，，即正确的只有D.故选：D7.已知，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根据补集的定义即可得解.【详解】，所以.故选：A.8.已知与是方程的两个根，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解．【详解】与是方程的两个根，，两边平方得：，，得．即．故选：D．9.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两角和与差的正切公式即可求解.【详解】．故选：D.10.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），所以．故选：A．11.已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（）A.B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.若，则在区间上的最大值为【答案】CD【解析】【分析】首先利用三角函数的性质求出和的关系，根据对称点距离和周期关系即可判断A；求出正弦型函数的对称轴和对称中心即可判断BC；利用整体法即可求出的最值.【详解】由于函数是偶函数，所以，由于将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则，对于A，因为曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，故，解得，故A不正确；所以函数，则或，，则或，对于B，令，解得，，令，解得，则的图象不关于直线对称，故B错误；对于C,令，解得，，所以当时，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，由A可得，当时，即为偶数时，为奇数时，故，此时时，当时，，所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D正确；故选：CD.12.若函数是定义域为R的奇函数，且fx+2=−fx，，则下列说法不正确的是（A.B.的图象关于点2,0中心对称C.的图象关于直线对称D.【答案】D【解析】【分析】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解.【详解】因为，，对于选项A：令，可得，故A正确；对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则，则，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项B：因为，可得，则，即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；对于选项D：因为，令，可得，令，可得，又因为，则，可知4为的周期，可得，即，因为，所以，故D错误；故选：D二、填空题13.，单调减区间是______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，直接写出函数的单调减区间.【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增，所以所求单调减区间是.故答案为：14.若，则________.【答案】##【解析】【分析】根据特殊角的正弦值以及反正弦函数的定义，即可得出答案.【详解】因为，所以.故答案为：.15.已知，若幂函数在0,+∞上单调递增，则______.【答案】2【解析】【分析】根据单调性可得，则可得出所求.【详解】在0,+∞上单调递增，，，，则，.故答案为：2.16.若是一次函数，且，则__________．【答案】或【解析】【分析】设，利用待定系数法求出的值即可.【详解】设，则，又，，解得或或.故答案为或.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可先设出函数解析式的一般形式，再利用已知条件求其中的系数.17.已知函数（）的一段图象如图所示，则函数的解析式为_________【答案】【解析】【分析】由最值求，由周期求，由图象过求，从而可得结果.【详解】由图可知，，所以，所以，又因为图象过，所以，可得，因为，所以,所以，故答案为：.【点睛】本题主要通过已知三角函数图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.18.函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为________．【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，当符合题意，当时参变分离可得没有除之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围.【详解】因为，x∈0,+∞所以，依题意可得存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根，当时，方程只有唯一变号正实根，符合题意，当，方程，即没有除之外的正实根，令，则，所以当时，，即在0,2上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以，则实数t的最大值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、解答题19.已知.（1）化简求值：；（2）若是第一象限角，，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用诱导公式化简，再弦化切求值；（2）先求出、的正弦、余弦，再利用两角和与差的三角函数求值.【小问1详解】原式.【小问2详解】由为第一象限角，且，故：，；又，且，故.所以：.20.端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍．（1）求既有专业组又有业余组的概率；（2）设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望【解析】【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案；（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望．【小问1详解】依题意，既有专业组又有业余组的概率为．【小问2详解】的可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布列如下：123．21.已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）先将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上的值域是，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用三角恒等变换化成正弦型函数，再整体代换即可求出单调递增区间；（2）运用图象变换得到解析式，再根据得到值域，建立不等式求解即可.【小问1详解】因为，所以增区间，由不等式，即，所以的单调递增区间为：.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位，得到，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，.当，因为的值域为所以，所以，即故.22.设函数，其中．（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程恰有两个不等实数根，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调递减区间，单调递增区间；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）代入,求得，分别求得导数的正负情况，进而可得单调性；（Ⅱ）可化为，构造函数，有两个不等的实数根，即与有两个交点，利用导数研究的单调性求得最值，数形结合即可得解.【详解】（Ⅰ