教学课件：《概率论与数理统计》

概率论与数理统计是研究什么的？什么是随机现象？什么是统计规律性？概率论与数理统计主要内容概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理样本及抽样分布参数估计假设检验方差分析及回归分析退出概率论的基本概念随机试验、样本空间、随机事件频率与概率等可能概型（古典概型）几何概率概率的一般定义条件概率独立性返回退出本章小结习题

随机试验是具有以下特征的试验：可以在相同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个，但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个结果会出现。样本空间、样本点

随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间。试验的每—个可能结果称为样本点。记为S＝｛e｝。随机试验例1：E1：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。S1：{H，T}；E２：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。S2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}；E３：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。S3：{0，1，2，3}；E４：抛一颗骰子，观察出现的点数。S4：｛1，2，3，4，5，6}；E５：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。S5：{0，l，2，3，…}；E６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。S6：｛t︱t≥0}；E７：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。S7：{(x，y)︱T0≤x≤y≤T1}，这里x示最低温度，y表示最高温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。随机事件基本事件（简单事件）、复合事件由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。必然事件、不可能事件样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。空集

不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。例2：在E２中事件A１：“第一次出现的是H”，即

A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}；事件A２：“三次出现同一面”，即

A2＝{HHH，TTT}；在E６中事件A3

：“寿命小于1000小时”，即

A3＝｛t︱0≤t＜1000}；在E７中事件A3：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即

A7＝{(x，y)︱y-x=10,T0≤x≤y≤T1}。例3：某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件。若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号。如果用数对(i，j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)

把这30个结果作为样本点，则构成了样本空间。在这个问题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究下面另外一些事件：

A：第一次摸出黑球；

B：第二次摸出黑球；

C：第一次及第二次都摸出黑球．后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可以分解的，例如为了A出现必须而且只须下列样本点之一出现：

(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)事件间的关系包含：，称事件B包含事件A，即事件A发生必然导致事件B发生。相等：，称事件A与事件B相等。和：，表示A、B二事件中至少有一个发生；表示n个事件A1

，A2，

…

，An中至少有一个发生。差：A－B，表示事件A发生，而事件B不发生。积：，也记作AB，表示A、B二事件都发生；表示n个事件A1

，A2

，…

，An都发生。互不相容(或互斥)：指AB＝，即事件A与事件B不能同时发生；若n个事件A1

，A2

，…

，An的任意两个事件不能同时发生，则称A1

，A2

，…

，An互不相容。互为对立(互逆)：若＝S，且AB＝，则A与B二事件互逆。有。图示事件间的关系（Venn文图）ABSABAABABABBA－BAAB事件的运算在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C为事件，则有交换律结合律分配律德·摩根律对于n个事件，甚至对于可列个事件，德·摩根律也成立。例4：在例２中有

{HHH，HHT，HTH，HTT，TTT}

{HHH}

{TTT}

{THH，THT，TTH}例5：A发生而B与C都不发生可以表示为：A与B都发生而C不发生可以表示为：所有这三个事件都发生可以表示为：这三个事件恰好发生一个可以表示为：这三个事件恰好发生两个可以表示为：这三个事件至少发生一个可以表示为：练习一化简下列格式：练习二证明下列等式：练习三从下面两式分析各表示什么包含关系。返回在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA

／n称为事件A发生的频率，并记成ƒn(A)。概率对于一个随机事件A(除必然事件和不可能事件外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A的概率。我们希望找到一个数来表示P(A)。频率例考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍。得到数据如下表所示(其中nH表示H发生的频数，ƒn(H)表示H发生的频率)。试验序号n=5n=50n=500nHƒn(H)nHƒn(H)nHƒn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494频率稳定性大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。当n足够大时，ƒn(A)

P(A)由于事件发生的频率表示A发生的频繁程度。频率大，事件A发生就频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性就大。当n增大时，频率在概率附近摆动。因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率P(A)的近似值。频率的基本性质由定义，易见频率具有下述基本性质：⑴0≤ƒn(A)≤1;⑵ƒn(s)＝1;⑶若A1

，A2，

…

，Ak是两两互不相容的事件，则ƒn(

A1∪A2∪…∪Ak

)=ƒn(

A1)+ƒn(A2)+…+ƒn(Ak).返回有限样本空间我们先考虑只有有限个样本点的样本空间，这种样本空间称为有限样本空间。这是最简单的样本空间，研究它有助于深入研究更为复杂的样本空间。有限样本空间基本事件概率的定义若S是有限样本空间，其样本点为e1，e2，…,en，在这种场合可以把的任何子集都当作事件。在这种样本空间中引进概率，只要对每个样本点给定一个数与它对应，此数称为事件｛ei｝的概率，并记之为P({ei}))，它是非负的，而且满足

P({e1})+P({e2})+…+P({en})=P(S)=1这样，我们对样本点定义了概率，用它来度量每个样本点出现的可能性的大小。由此出发，我们不难定义更为一般的事件的概率。有限样本空间事件概率的定义定义任何事件A的概率P(A)是A中各样本点的概率之和．按照这个定义，显然有P(S)=1，0≤P(A)≤1。离散样本空间把上面做法推广到有可列个样本点的样本空间是不难的，这种空间称为离散样本空间，但是当把上面做法推广到不可列个样本点的场合，则会遇到实质性的困难，对于这种一般场合的讨论，以后将逐渐展开。等可能概率模型（古典概型）等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机现象具有下列两个特征：

(1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬如为n个，记为e1，e2，…,en，而且这些事件是两两互不相容的；

(2)事件｛ei｝（i=1,2,…n)的发生或出现是等可能的，即它们发生的概率都一样。这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它具有简单、直观的特点，且应用广泛。如何理解古典概型中的等可能假设？等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。等可能概率模型中事件概率的计算公式设试验的样本空间为S={e1，e2，…,en}。由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有

P({e1})＝P({e2})＝…＝P({en})又由于基本事件是两两不相容的，于是

1=P(S)=P({e1}∪{e2}∪…∪{en})=P({e1})+P({e2})+…+P({en})=nP({ei})P({ei})=1/n，i=1，2，…n法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义。事实上它只适用于古典概型场合。有关排列组合的知识求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数。在理清事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是关于排列组合的知识：

1．不同元素的选排列从个不相同的元素中，无放回地取出ｍ个元素的排列(ｍ<ｎ)，称为从n个不同元素中取ｍ个元素的选排列，共有当m＝n时，称n个元素的全排列。共有ｎ！种。

2．不同元素的重复排列在n个不同元素中，有放回地取ｍ个元素进行的排列，共有种。有关排列组合的知识

3．不全相异元素的排列在ｎ个元素中，有ｍ类不同元素，每类有k1，k2，…,km个，将这n个元素作全排列，共有

n!／(k1!·k2!·…·km!)种。

4．组合从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列，共有

有关排列组合的知识

5．环排列从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有

n(n-1)…(n-m+1)／m=·(m-1)!种。

6．乘法原理设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，…，第n步有mn种方法，则完成这件事有m1·

m2·

…

·mn种方法。

7．加法原理设完成一件事有k类方法，每类分别有m1,…,mk种方法，而完成这件事只需一种方法，则完成这件事可以有m1+m2+…+mk种方法．例6：将一枚硬币抛掷三次。⑴设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)；⑵设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2)。解：⑴我们考虑例1中E２的样本空间：

S2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}而A1：{HTT，THT，TTH}S2中包含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同。故由古典概型计算公式，得

P(A1)=3/8⑵由于={TTT}，于是例7：一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率；(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解以A、B、C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红球”，“取到的两只球中至少有一只是白球”。易知“取到两只颜色相同的球”这一事件即为AUB，而C＝。(a)放回抽样的情况。(b)不放回抽样的情况。例8：将n只球随机地放入N(N≥n)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。解这是古典概率问题。因每一只球都可以放人N个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共有N(N一1)…[N-(n一1)]种不同放法。因而所求的概率为例9：如果某批产品中有a件次品b件好品，我们采用有放回及不放回抽样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率各是多少?解[有放回抽样场合]把a+b个产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列全体作为样本点，总数为，

其中有利场合(即次品正好出现k次)的数目是，故所求概率为是二项式展开式的一般项，上述概率称为二项分布。[不放回抽样场合]从a+b个产品中取出n个产品的可能组合全体作为样本点，总数为，有利场合数为故所求概率为这个概率称为超几何分布。[思考]在我们前面中都假定产品中的次品数已知，然后根据它来计算种种概率，而在实际问题中，情况恰恰相反，次品数是未知的，并且正是我们希望通过抽样检验来确定的。这个矛盾可通过下面办法来解决。不难理解，抽出来的样本的质量情况在某种程度上反映了整批产品的质量情况，例如，如果整批产品中次品很多，则抽查的样本中含有次品的可能性就相当大；反之，若产品中极少次品，则从中抽查一、两只样本而得到次品的可能性就很小，因而样本中所含次品数的多少就为我们估计整批产品中的次品数提供了某种根据。例如为了确定某批产品的次品率，通常采用的方法是从这批产品中抽若干个产品作为样本来检验，并用样本的次品率来估计整批产品的次品率。关于这个课题的研究，构成了数理统计的重要内容。由于抽样带有随机性，因而不同的抽样可能得到不同的结果，所以我们有必要对各种结果出现的可能性大小进行讨论，这为我们根据样本情况推断整批产品情况提供了理论依据，这种研究是概率论的任务。从这里也看出，概率论与数理统计有着很密切的关系。解(1)放回抽样的情况，显然有例10袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样，求第i(i=1，2，…，k)人取到白球(记为事件B)的概率(k≤a+b)。(2)不放回抽样的情况，各人取一只球，共有(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)个基本事件，每个基本事件发生的可能性相同。当事件B发生时，B中包含a(a+b-1)(a+b-2)…[a+b-l-(k-1)+1]个基本事件，故

值得注意的是P(B)与i无关，即k个人取球，尽管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一样的，大家机会相同(例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的）。另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下P(B)是一样的。例11将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为每一种分配法为一基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同。

(1)将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3!种。对于这每一种分法，其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有12!／(4!4!4!)种。因此，每一班级各分配到一名优秀生的分法共有(3!×12!)／(4!4!4!)种。于是所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一班级的分法共有3种。对于这每一种分法，其余12名新生的分法(一个班级2名，另两个班级各5名)有12!／(2!5!5!)种。因此3名优秀生分配在同一班级的分法共有(3X12!)／(2!5!5!)种，于是，所求概率为古典概率的基本性质从古典概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基本性质：

⑴对于任何事件A,P(A)≥0；

⑵P(S)=1；

⑶若A1

，A2

，…

，Am两两互不相容，则

P(A1+A2+…+Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)

第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的(有限)可加性。返回几何概率问题的提出在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率；不过，古典概型要求可能场合的总数必须有限。因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多结果而又有某种等可能性的场合。这类问题一般可以通过几何方法来求解。先从几个简单的例子开始。

[例1]某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间短于10分钟的概率。

[例2]在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机抽出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。一种相当自然的答案是认为例1所求的概率等于1/6，例2所求的概率等于1/200。在求出这些概率时，我们事实上是利用了几何的方法，并假定了某种等可能性。几何概率的定义

将事件A与样本空间S用几何量的测度SA与S(长度、面积或体积)之比，即概率P=SA／S，称为几何概率。例12(会面问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。解以x，y分别表示两人到达时刻，则会面的充要条件为︱x-y︱≤20

这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出(如图)。所求概率为o60202060xy几何概率中的悖论几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有理但却互相矛盾的答案，下面就是一个著名的例子。[贝特朗奇论]在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少?

解此题有3中考虑方法：

[解法一]任何弦交圆周二点，不失一般性，先固定其中一点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有落入此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率等于1/3(见图)。

[解法二]弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直于某一直径。当且仅当它与圆心的距离小于1/2时，才满足要求，因此所求概率为1/2(见图)。ABM1/21/2CNAB

同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在取弦时采用不同的等可能性假定．在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。由此例看出，等可能性引起了怪现象。由于采用等可能性来定义概率有这种困难，因此后来就选择另外的途径。即在定义概率这一基本概念时只指明概率应具有的基本性质，而把具体概率的给定放在一边。这样做的好处是能针对不同的随机试验给定适当的概率。与概率的频率解释及古典概型一样，几何概率的研究对于我们了解应要求概率具有哪些基本性质是很有帮助的。[解法三]弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时，才满足要求，此小圆面积为大圆面积的1/4，故所求概率等于1/4(见图)。DAC几何概率的基本性质从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基本性质：

⑴对于任何事件A,P(A)≥0；

⑵P(S)=1；

⑶若A1

，A2

，…

两两互不相容，则第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容的事件成立。几何概率的基本性质(3)与古典概型的基本性质⑶有何不同？

几何概率的定义及计算与几何图形的测度密切相关，因此所考虑的事件应是某种可定义测度的集合。这类集合并、交也还应该是事件。甚至对它们的可列次并、交也应有这个要求、例如考察在[0，1)中投一个点的随机试验，若以A记该点落入[0,1/2)中这个事件，而以An记该点落人[1/2n+1，1/2n）中这一事件，n=1,2,…,则如果假定所投的点落入某区间的概率等于该区间的长度，则P(A)=1/2，而P(An)=1/2n+1

，这时有这里我们碰到了事件及概率的可列运算。返回

解决这个问题的时机也在不断成熟．首先是通过对概率论的两个基本概念——事件与概率的长期研究，发觉事件的运算与集合运算完全相似，概率与测度有相同性质，这个事实随着当时在实变函数论中关于勒贝格(Lebesgue)测度和积分的研究以及一般抽象测度和积分理论的发展而日益明确起来。另外，十九世纪末以来，数学的各个分支广泛流行着一股公理化潮流，这个流派主张把最基本的假定公理化，其他结论则由它们通过演绎导出。在这种背景下，1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H．KoMoroPoB)提出了概率论公理化结构，这个结构综合了前人成果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年来概率论的迅速发展起了积极作用。走向概率的公理化定义

早在十七世纪中叶便开始了对随机现象的研究，到本世纪初，概率论的各个领域已经得到了大量的成果，人们对概率论在其他基础学科和工程技术上的应用也出现了越大的兴趣，但是直到那时为止，关于概率论的一些基本概念例如事件、概率等等——却没有明确的定义，这是一个很大的矛盾，这个矛盾不仅可能导致贝特朗奇论那样怪现象产生，而且许多人对概率的客观含义甚至概率论结论的可应用性都产生了怀疑。因此可以说到那时为止，概率论作为一个数学分支来说，还缺乏严格的理论基础，这就大大妨碍了它的进一步发展。

在概率论发展早期，所研究的随机现象比较简单，大部分可以归入古典概型。对这种模型，概率的计算可以通过某种等可能性的假设进行，其结果也有相当明确的解释。这种成功使得人们试图通过给定某种等可能性来定义概率。于是，由拉普拉斯给出的概率的古典定义在整个19世纪被人们广泛接受。但是，这种定义的局限性很快也暴露了出来，它既要求试验的可能结果总数有限，又要求某种等可能性，所以它的适用范围有限。当把这个结果推广到有无限多种可能结果的场合，例如几何概率时，不但适用范围有限，而且还出现了新问题。总之，一般的随机现象明确地定义概率及其它基本概念，在那时成了一个突出的问题。概率的一般定义设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(﹡)满足下列条件：

⑴非负性：对于任何事件A，有P(A)≥0；

⑵规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；

⑶可列可加性：设A1

，A2

，…

两两互不相容的事件，即对于i≠j,AiAj=

,i,j=1,2,…,则有可见，在公理化定义中只规定了概率应满足的性质，而不具体规定出它的计算公式或计算方法。关于概率公理化定义的进一步说明事实上在概率的公理化定义中，样本点e不再看作是随机试验的结果，而是一些抽象的点，这些点的全体构成样本空间S，一般不把S的一切子集都作为事件，若把事件的全体记为F，它是由S的一些子集构成的集类，且满足以下条件：

⑴SF;⑵若AF,则F;⑶若AnF,n=1,2,…,则F.一般地，称满足上述三个要求的集类为-域。这里F称为事件域，F中的元素称为事件，S称为必然事件，

称为不可能事件。定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率，如果它还满足非负性、规范性和可列可加性。在柯尔莫哥洛夫的概率公理化结构中，称(S,F,P)为概率空间。关于概率公理化定义的进一步说明下面介绍两个非常有用的-域。〖一维波雷尔集〗我们将以记实数全体，并称由一切形为[a,b)的有界左闭右开区间构成的集类所产生的-域为一维波雷尔-域，记之为B1,称B1中的集为一维波雷尔集。若x,y表示任意实数，由于因此B1中包含一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以及由它们经可列次并、交运算而得出的集合。〖n维波雷尔集〗以记n维欧几里得空间，可以类似的定义n维波雷尔集，它们是由一切n维矩形产生的n维波雷尔-域Bn中的集合。概率的重要性质概率的重要性质概率重要性质的证明概率重要性质的证明概率重要性质的证明概率重要性质的证明概率重要性质的证明概率重要性质概率重要性质的证明概率重要性质的证明概率重要性质的证明可列可加性与有限可加性由可列可加性可以推出来有限可加性，但一般而言，由有限可加性并不能推出可列可加性。若记定理若P是F上满足P()=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件为

⑴它是有限可加的；

⑵它是下连续的。可列可加性与有限可加性推论1概率是下连续的。推论2概率是上连续的。解设A为事件“取到的数能被6整除”，B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为

由于故得由于故得例13在1～2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少?

又由于一个数同时能被6与8整除，就相当于能被24整除，因此，由得于是所求概率为证⑴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1，故

P(AB)≥P(A)+P(B)-1.⑵应用数学归纳法，n=2已成立。设对n-1不等式也成立，则

P(A1A2…An)=P[(A1A2…An-1)An]≥P(A1A2…An-1)+P(An）-1≥P(A1)+…+P(An-1)-（n-2)+P(An）-1=P(A1)+…+P(An）-(n-1).例14证明：⑴P(AB)≥P(A)+P(B)-1;⑵P(A1A2…An)≥P(A1)+P(A2)+…+P(An)-（n-1)返回条件概率问题的提出对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的。以前的讨论总是假定除此之外再无别的信息可供使用。可是，有时我们却会碰到这样的情况，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。例如考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子(依大小排列)的性别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一样的。若以A记随机选取的这样一个家庭中有一男一女这一事件，则显然P(A)=1/2，但是如果我们预先知道这个家庭至少有一个女孩，那么，上述事件的概率便应是2/3。两种情况下算出的概率不同。这是因为在第二种情况下，我们多知道了一个条件：事件B(这一家庭至少有一女孩)发生，因此我们算得的概率事实上是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率”，这个概率我们将记之为P(A︱B)。条件概率问题的提出

上例中，样本点总数n=4，事件A包含的样本点数mA=2,因此P(A)=1/2；事件B包含的样本点数mB=3，而mAB=2，因此不难证明，上式对一般古典概型问题也成立。在几何概率中，若以m(A),m(B),m(AB),m(S)分别记事件A,B,AB,S所对应点集的测度，且m(B)>0,则在一般场合，我们将把这个等式作为条件概率的定义。条件概率的定义

设A,B是两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。条件概率满足概率定义中的三个基本性质

⑴非负性：对于任何事件B，有P(B∣A)≥0；

⑵规范性：对于必然事件S，有P(S∣A)=1；

⑶可列可加性：设B1

，B2

，…

两两互不相容的事件，即对于i≠j,BiBj=,i,j=1,2,…,则有可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如：特别当B=S时，条件概率化为无条件概率。解易知此属古典概型问题．将产品编号，1，2，3号为一等品；4号为二等品。以(i，j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品。试验E(取产品两次，记录其号码)的样本空间为

S={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，…，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，

A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)}，

AB＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}．按条件概率的定义，得条件概率例15一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(B∣A)。

也可以直接按条件概率的含义来求P(B∣A)。我们知道，当A发生以后，试验E所有可能结果的集合就是A，A中有9个元素，其中只有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)属于B，故可得乘法定理设P(A)>0，则有

P(AB)=P(B∣A)P(A)上式被称为乘法公式。它可以由条件概率的公式直接推得。同理，若P(B)>0，则有

P(AB)=P(A∣B)P(B)

可以把乘法定理推广到任意n个事件之交的场合：设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1）>0，则有

P(A1A2…An）=P(An∣A1A2…An-1）P(An-1∣A1A2…An-2）…P(A2∣A1）P(A1）例16设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解以Ai(i=l，2，3，4)表示事件“第i次取到红球”，则分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为例17设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1／2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7／10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9／10。试求透镜落下三次而未打破的概率。因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率。条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件(如B发生)求事件(如A)发生的概率。条件概率P(A∣B)与P(A)的区别就是在E的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的概率。条件概率P(A∣B)与积事件概率P(AB)有什么区别？P(AB)是在样本空间S内，事件AB的概率，而P(A∣B)是在试验E增加了新条件B发生后的缩减样本空间SB中计算事件A的概率。虽然都是A、B同时发生，但两者是不同的，有P(AB)＝P(B)P(A∣B)，仅当P(B)＝P(S)＝1时，两者相等。条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？全概率公式

全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备事件组)，然后计算各个概率和条件概率，最后代入全概率公式。它是求复杂事件概率的有力工具。样本空间的划分的定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2，…,Bn为E的一组事件。若

⑴BiBj=

,i≠j,i,j=1,2,…,n;⑵B1∪B2∪…∪Bn=S,则称B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分。全概率公式：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B1,B2，…,Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则

P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+…+P(A∣Bn)P(Bn).全概率公式的证明证明因为事件B1,B2，…,Bn时样本空间的一个划分，即Bi两两互不相容，P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，而且

B1∪B2∪…∪Bn=S有

AB1∪AB2∪…∪ABn=A这里的ABi也是两两互不相容（参见图）。由概率的可列可加性

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)利用乘法定理即得

P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+…+P(A∣Bn)P(Bn)B1AB5B4B3B2解设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别记为A1,A2,A3,A4，则它们构成样本空间的一个分割。用B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得例18播种用的一等小麦种子中混合2﹪的二等种子，1.5﹪的三等种子，1﹪的四等种子。用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5,0.15,0.1,0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。练习五考卷中一道选择题有4个答案，仅有一个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的。如果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率。解样本空间可以划分为事件A一知道正确答案，一不知道。以B表示学生答对事件，则A

B，P(AB)＝P(A)＝1／2。P(B∣A)=1，而P(B∣)＝1／4。由全概率公式

P(B)＝P(A)P(B∣A)+P()P(B∣)

＝1／2×1+1／2×1／4=5／8，故P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．贝叶斯公式

设试验E的样本空间为S。A为E的事件，B1,B2，…,Bn为S的一个划分，且P(A)>0,P(Bi)>0(I=1,2,…,n)，则上式称为贝叶斯(Bayes)公式。贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用。全概率公式一用于“由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于“执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式。贝叶斯公式的证明证由条件概率的定义及全概率公式即得当n=2时，全概率公式和贝叶斯公式的形式什么是先验概率和后验概率？

贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假定B1,B2,…是导致试验结果的“原因”，P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道。现在若试验产生了事件A，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”。条件概率P(Bi∣A)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识。例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了毛病B1,B2,…,Bn中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等)，他想用这类指标来帮助诊断。这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率。首先必须确定先验概率P(Bi)，这实际上是确定人患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次是要确定P(A∣Bi)，这里当然主要依靠医学知识。有了它们，利用贝叶斯公式就可算出P(Bi∣A)，显然，对应于较大P(Bi∣A)的“病因”Bi，应多加考虑。在实际工作中，检查的指标A一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助。在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。先验概率和后验概率两者间有什么关系？

先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的P(Bi)，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式P(Bi∣A)＝P(A∣Bi)P(Bi)/P(A)中的P(Bi∣A)，是“执果寻因”问题中的“因”。先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。如求P(Bi∣A)要先求P(A)，一定要知道P(A∣Bi)。解设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l，2，3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”。易知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0．15，P(B2)=0．80，P(B3)＝0．05，P(A∣B1)=0．02，P(A∣B2)=0．01，P(A∣B3)=0．03。例19某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额

10．020．1520．010．8030．030．05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。⑴由全概率公式

P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)=0.0125⑵由贝叶斯公式以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大。例20根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A∣C)＝0．95，P(∣)＝0．95。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0．005，即P(C)＝0．005，试求P(C∣A)。解已知P(A∣C)＝0．95，P(A∣)＝1一P(∣)＝0．05，P(C)＝0．005，P()＝0．995，由贝叶斯公式

本题的结果表明，虽然P(A∣C)＝0．95，P(∣)＝0．95，这两个概率都比较高。但若将此试验用于普查，则有P(C∣A)＝0．087，亦即其正确性只有8．7(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症)。如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(A∣C)和P(C∣A)混淆了会造成不良的后果。例21对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98％，而当机器发生某种故障时，其合格率为55％。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95％。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?解设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”。已知P(A∣B)＝0．98，P(A∣)＝0．55，P(B)＝0．95，

P()＝0．05，所需求的概率为P(B∣A)。由贝叶斯公式

这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0．97。这里，概率0．95是由以往的数据分析得到的，是先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0．97)是后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。返回考虑古典概型的一个例子例一袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回摸球，求：

(1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；

(2)第二次摸出黑球的概率。解以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得白球，则所以而注意这里的考虑古典概型的一个例子在前例中，若采用不放回摸球，试求同样那两个事件的概率。解这时所以而注意这里的事件独立性的定义

设A,B是两个事件，如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。[思考]若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容是否能同时成立？答不能定理1及其证明

设A,B是两个事件，且P(A)>0，若A,B相互独立，则反之亦然。证由条件概率的定义得定理2及其证明

若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立。证由于3个事件独立性的定义

设A,B,C是三个事件，如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立。[思考]三个事件A,B,C两两独立，能否保证他们相互独立呢？即能否由

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)

推出

P(ABC)=P(A)P(B)P(C).答：不能。这从下面的例子可以看出。例22一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种颜色。现在我们以A，B，C分别记投一次四面体出现红，白，黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此

P(A)=1/2

同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出

P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4

所以A,B,C两两独立，但是

P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)[思考]能否由

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

推出

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C).答：不能。这从下面的例子可以看出。例23若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，现在以A,B,C分别表示投一次正八面体出现红，白，黑的事件，则

P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)

但是

P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B)n个事件独立性的定义及其推论

一般，设A1,A2,…An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件相互独立。由定义，可以得到以下两点推论。

⑴若事件A1,A2,…An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。

⑵若n个事件(n≥2)相互独立，则将A1,A2,…An任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。推论1，可由独立性的定义直接推出；推论2，对于n=2的情形已证得，一般情况可由数学归纳法证得。事件独立性的应用

在实际应用中，事件的独立性往往不是由定义，而是由问题的实际意义来判断。如A,B分别表示甲、乙两人患感冒，如果甲乙两人的活动范围相距甚远，就认为A,B相互独立；如果甲乙两人同是住在一个房间里的，那就不能认为A,B相互独立了。事件的独立性对于计算事件的概率有很重大的作用，特别是复杂事件的概率在满足事件相互独立这一条件时，计算起来会十分简便。两事件A,B独立与两事件A,B互斥有什么关系？

这两个概念并无必然的联系。两事件A,B独立，则A,B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，所以说，两事件的发生是有影响的。可以用图形作一直观解释。左图中A是左上半个正方形，B是右上半个正方形，P(A)=P(B)=1／2，P(AB)＝1／4，表示样本空间中两独立事件间关系。右图中，左下半个正方形是A，右上半个正方形是B，P(A)=P(B)=1／2,P(AB)=0,表示样本空间中两互斥事件间关系。ABBA例24一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。如图，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式联接(称为串并联系统)。设第i个元件的可靠性为pi(i＝1，2，3，4)，试求系统的可靠性。解以Ai(i＝l，2，3，4)表示事件第i个元件正常工作，以A表示事件系统正常工作。系统由两条线路I和Ⅱ组成(如图)。当且仅当至少有一条线路中的两个元件均正常工作时这一系统正常工作，故有

A=A1A2A3A41432由事件的独立性，得系统的可靠性：

P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=p1p2+p3p4-p1p2p3p4例25要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0．95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0．01。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少?解设以Hi(i＝0，1，2，3)表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯”，H0，H1，H2，H3是S的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”。已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为0．99，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为0．05，并且3件乐器的测试是相互独立的，于是有例26甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p，p≥1／2。问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。解采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”。而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为

采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛3局(可能赛3局，也可能赛4局或5局)，且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局。例如，共赛4局，则甲的胜局情况是：“甲乙甲甲”，“乙甲甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容。由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为

当p>1/2时p2>p1；当p＝1/2时p2＝p1＝1/2。故当p>1/2时，对甲来说采用五局三胜制为有利。当p＝1/2时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是50﹪。本章中介绍了一类新的现象——随机现象，这是一种普遍存在的现象。在大量随机现象中存在着统计规律性，概率论便是研究随机现象的数量规律的一门数学学科。“事件”与“概率”是概率论中最基本的两个概念，我们在公理化结构下严格地定义了概率的概念。为了能清楚地理解事件与概率的直观含义，我们采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式分别介绍了频率、古典概型、几何概率，并从中归纳出事件与概率的本质特征，为公理化定义作准备，最后给出了概率的公理化定义，这种讲法基本上与概率概念的历史发展平行。事件的运算及概率的性质是本章的基本内容，也是学习以后的必要基础，务必牢固掌握。本章小结概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质，并未对事件A的概率P(A)给定一个具体的数。只在古典概型的情况，对于每个事件A给出了概率P(A)＝k／n。一般，我们可以进行大数量的重复试验，得到事件A的频率，而以频率作为P(A)的近似值。在古典概型中，我们证明了条件概率的公式：

(1.1)在一般的情况，(1.1)式则作为条件概率的定义。固定A，条件概率P(﹡∣A)具有概率定义中的三个基本性质，因而条件概率是一种概率。有两种计算条件概率P(B∣A)的方法：(1)按条件概率的含义，直接求出P(B∣A)。注意到，在求P(B∣A)时已知A已发生，样本空间S中所有不属于A的样本点都被排除，原有的样本空间S缩减成为SA＝A。在缩减了的样本空间SA＝A中计算事件B的概率就得到P(B∣A)。(2)在S中计算P(AB)及P(A)，再按(1.1)式求得P(B∣A)。将(1.1)式写成

P(AB)＝P(B∣A)P(A)，P(A)>0．(1.2)这就是乘法公式。我们常按上述第一种方法求出条件概率，从而按(1.2)式可求得P(AB)。事件的独立性是概率论中的一个非常重要的概念，概率论与数理统计中的很多很多内容都是在独立的前提下讨论的。应该注意到，在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断而是根据实际意义来加以判断的。根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难。返回习题返回书P32在概率的研究中为什么需要引入随机变量？

引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。随机变量及其分布随机变量、概率分布、分布函数离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布返回退出本章小结习题如何引入随机变量的概念？为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系，例如在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时刻正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某段时间中的话务量，它与呼叫的次数及各次呼叫占用交换设备的时间长短有关。此外如测量时的误差，气体分子运动的速度，信号接收机所收到的信号(用电压表示或数字表示)的大小，也都与数值有关。有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述，例如在掷硬币问题中，每次出现的结果为正面或反面，与数值没有关系，但是我们能用下面方法使它与数值联系起来，当出现正面时对应数“1”，而出现反面时对应数“0”，为了计算n次投掷中出现的正面数就只须计算其中“1”出现的次数了。如何引入随机变量的概念？一般地，如果A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系：如果A发生如果A不发生这些例子中，试验的结果能用一个数x来表示，这个数x是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。下面我们就来考虑应当如何给这种量以严格的数学定义。正如对随机事件一样，我们所关心的不仅是试验会出现的结果，更重要的是要知道这些结果将以怎样的概率出现，也即对随机变量我们不但要知道它取什么数值，而且要知道它取这些数值的概率。例1：将一枚硬币抛掷3次，我们感兴趣的是三次投掷中，出现H的总次数，而对H,T出现的次序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次数，那么对于样本空间S={e}中的每一个样本点e，X都有一个值与之对应，即有样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110我们注意到，随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率。如，当且仅当事件A={HHT,HTH,THH}发生时有{x=2},而且P(A)=3/8,则P{x=2}=3/8。设随机试验的样本空间为S=｛e｝,X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实函数，称X=X(e)为随机变量。概率分布

一般，若L是一个实数集合，将X在L上取值写成{X∈L},它表示事件B={e∣X(e)∈L}，即B是由S中使得X(e)∈L的所有样本点e所组成的事件，此时有P{X∈L}=P(B)=P{e∣X(e)∈L}。P{X∈L}称为随机变量X的概率分布。随机变量设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

F(x)=P{X≤x}=P{e∣X(e)∈(－∞,ｘ]}称为X的分布函数。分布函数设X(e)是定义于概率空间（S,F,P)上的单值实函数，如果对于直线上任意波雷尔点集B，有

{e∣X(e)∈B}则称X(e)为随机变量。概率分布