第1课时+数列的概念及通项公式+学案 高二下学期数学苏教版（2019）+选择性必修第一册

第1课时数列的概念及通项公式[学习目标]1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项．一、数列的概念与分类问题1观察以下几列数：①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2401,16807；②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的年份：2025,2025，…，2025；④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤－eq\f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？知识梳理1．按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的______．数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第______项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第______项，用a2表示……，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用______表示．其中第1项也叫作______．2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为______．3．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数______的数列无穷数列项数______的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，eq\f(1,27)，eq\f(1,81)，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(2)判断数列是递增(或递减)数列时，一定要满足数列单调性的定义，即从第2项起，每一项都大于(或小于)它的前一项，不能有例外．跟踪训练1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？(1)2020,2021,2022,2023,2024；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(5)1,0，－1，…，sin

eq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.二、数列的通项公式问题2我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？知识梳理一般地，如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的______．例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前6项分别是下列各数：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(1,6)；(2)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，18；(3)0,1,0,1,0,1；(4)9,99,999,9999,99999,999999；(5)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64).延伸探究1．试写出前4项为1,11,111,1111的一个通项公式．2．试写出前4项为7,77,777,7777的一个通项公式．反思感悟根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析式，有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式．(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．跟踪训练2写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：(1)1,3,7,15,31；(2)eq\f(1,2)，eq\f(4,5)，eq\f(9,10)，eq\f(16,17)，eq\f(25,26)；(3)－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)；(4)2×3,3×4,4×5,5×6.三、数列的通项公式的简单应用例3已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则该数值是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是数列的一项．跟踪训练3已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．1．知识清单：(1)数列的概念与分类．(2)数列的通项公式．(3)数列的通项公式的简单应用．2．方法归纳：观察法、归纳法、猜想法．3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．1．下列说法正确的是()A．数列中不能重复出现同一个数B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C．1,1,1,1不是数列D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为()A．1,0,1,0 B．0,1,0,1C.eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，0 D．2,0,2,03．在数列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是这个数列的()A．第16项 B．第24项C．第26项 D．第28项4．已知数列1，－3,5，－7,9，…，则该数列的第100项为________．第1课时数列的概念及通项公式问题1共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化．知识梳理1．项12an首项2．{an}3．有限无限例1解(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列．跟踪训练1解(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列．问题2对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))；对于②，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，n∈N*；对于③，an＝2025，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是本班学生的学号))))；对于⑤，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，n∈N*.知识梳理序号n通项公式例2解(1)这个数列的前6项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(－1n,n)，n∈N*.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，eq\f(36,2)，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2)，n∈N*.(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))也可以写成an＝eq\f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq\f(1＋cosnπ,2)(n∈N*)．(4)各项加1后，变为10,100,1000,10000,100000,1000000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.(5)分母为2n，易看出第2,3,4,5,6项的分子均比分母少3，因此第1项为－eq\f(2－3,2)，因此原数列的前6项可以化为－eq\f(2－3,2)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，－eq\f(25－3,25)，eq\f(26－3,26)，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N*.延伸探究1．解由本例的第(4)题每一项除以9即可得到该数列，则它的一个通项公式为an＝eq\f(1,9)(10n－1)，n∈N*.2．解由本例的第(4)题的每一项乘以eq\f(7,9)即可得到该数列，则它的一个通项公式为an＝eq\f(7,9)(10n－1)，n∈N*.跟踪训练2解(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，可得an＝2n－1，n∈N*.(2)由eq\f(1,2)＝eq\f(1,12＋1)，eq\f(4,5)＝eq\f(22,22＋1)，eq\f(9,10)＝eq\f(32,32＋1)，eq\f(16,17)＝eq\f(42,42＋1)，eq\f(25,26)＝eq\f(52,52＋1)，可得an＝eq\f(n2,n2＋1)，n∈N*.(3)由－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an＝(－1)n×eq\f(1,2)，n∈N*.(4)由2×3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2))，3×4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2))，4×5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2))，5×6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2))，可得an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.例3解(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f(9,2)(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f(3,2)，故3不是数列{an}中的项．跟踪训练3解(1)由题意知，q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．随堂演练1．D[由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．]2．A[把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝eq\f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq\f(1＋－12＋1,2)＝0，a3＝eq\f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq\