沪科版九年级数学上册期末复习：投影与视图知识归纳与题型突破（5类题型清单）

第25章投影与视图知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

膜

投影-平行投影和中心般影

IEW

投影与视图

物体的视图

\A-画三视图的要求

\—三视图

一~常见几何体的三视图

由视图到立体图形

02知识速记

一、投影

1.投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平

面叫做投影面.

2.平行投影和中心投影：由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫

做中心投影.

3.正投影：投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影.

4.灯光下的影子与太阳光下的影子的区别

（一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物

体的高度不成比例.

（二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一

定.

（三）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光

二、三视图

1.物体的视图

当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图.

我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做

1

侧面.

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水

平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左

视图.

要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象.

2.画三视图的要求

(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图.

(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等.

要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽.

由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方

向的视图只能了解物体的部分信息、.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体，根据视图只能描述物体的

形状.

注意

2

三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息.

（一）主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状.

（二）左视图：由左视图可以分清物体的高和宽.

（三）俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽.

03题型归纳

题型一中心投影

例题：（23-24九年级上•安徽宿州•阶段练习）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的

影子分别是AB,CD.

JA

L

AC

华FI

（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；

（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段跖表示）；

（3）若小军的身高为1.8m,他的影长A3为2m,他距路灯底部3m,求路灯的高度.

巩固训练

1.（23-24九年级上•四川成都・期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段力B所示，他在地面上的影子

如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上.

G

B^

-H

czF

（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子.

（2）如果小明的身高AB=1.6m,他的影子长AC=1.4m,且他到路灯的距离AD=2.1m,求灯泡的高.

2.（24-25九年级上•陕西榆林•期中）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度

如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠CD上,在地面上留下影子砂，经测量得知，单杠长CD=1.8米，

影子跖=3.24米，单杠高CM=DN=1.6米.已知CMLBF,DNLBF,点、B、M、E、N、F

在同一水平直线上.

3

(1)请你在图中画出点尸的位置；(保留画图痕迹)

(2)请你求出路灯的高度AB.

3.(23-24九年级上.四川达州.期末)小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小

明利用相关数学知识测量了这个路灯的高.如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子QC照亮地面的

长度为斯，小明测得窗户距离地面高度00=lm,窗高CD=L5m,某一时刻，OE=lm,EF=4m,其

中8、0、E、尸四点在同一条直线上，C、D、。三点在同一条直线上，且CO±OE.

图1图2

(1)求出路灯的高度A3.

(2)现在小明想让光线透过窗子。C照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为2m,如图2所示，需将路

灯A3的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是多少？(画出图形并解答)

题型二平行投影

例题：(2024•广东佛山•一模)在学习完投影的知识后，小张同学立刻进行了实践，他利用所学知识测量操

场旗杆的高度.

(1)如图，请你根据小张(AB)在阳光下的投影(BE),画出此时旗杆(CD)在阳光下的投影.

⑵已知小张的身高为1.76m,在同一时刻测得小张和旗杆的投影长分别为0.44m和5.5m,求旗杆的高度.

巩固训练

1.(2024.内蒙古赤峰.二模)【基础解答】如图，A3和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=6m,某一时

4

刻A3在阳光下的投影8C=2m,DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱的长.

D

L

【拓展拔高】如图，古树A3在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m,还有一部分影子在建

筑物的墙上，墙上的影高CD为1m,同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m,求这棵古树AB

2.（23-24九年级上.辽宁沈阳.期末）小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所

示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为2。米，0A的影长0D为24米，小军

的影长PG为2.4米，其中。、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、。三点在同一直线上，且

EF工FG.

（1）①图中阳光下的影子属于一（填“中心投影”或“平行投影”）②线段A。、线段与线段EG之间的位置关

系为

（2）已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高A3.

3.（23-24九年级下•江苏连云港•期中）学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面

且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线"N的距离皆为100cm.小王同学观

测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知

5

落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，=1：0.75,在不计

圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：

（1）已知小王同学的身高为150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影子长为多少cm?

（2）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm,则高圆柱的高度为多少cm?

题型三三视图

付例题：（24-25九年级上•广东深圳•期中）如图所示的几何体俯视图是（）

A.~~|~|~B.C.D.-

巩固训练

1.（24-25七年级上•重庆・期中）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（）

2.（24-25七年级上・甘肃兰州•期中）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合

方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何

体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（）

6

3.（24-25九年级上•辽宁本溪•期中）如图，工件的主视图是（）

4.（24-25九年级上•陕西咸阳•期中）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，则它的俯视图为（

5.（24-25九年级上•四川成都・期中）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

7

A.B.C.D.

6.（24-25九年级上•辽宁沈阳•阶段练习）在我国古代建筑中经常使用桦卯构件，如图是某种卯构件的示意

图，其中卯的左视图是（）

1HHInon

题型四由三视图求侧面积或表面积

例题：（24-25九年级上•山东荷泽・期中）根据所给立体图形的三视图.

（1）写出这个立体图形的名称：；

（2）求出这个立体图形的表面积.

巩固训练

1.（24-25七年级上•山东济南•期中）某工厂加工一批茶叶罐.设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单

位：mm）.

主视图左视图俯视图

（1）图中的立体图形的名称是：.

（2）请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积.

8

2.（24-25七年级上•山东济南•阶段练习）某物体的三视图如图:

t视图右彻图

（1）此物体的几何名称是

（2）求此物体的全面积.（结果保留兀）

3.（23-24九年级上•安徽宿州•单元测试）已知下图为一几何体从不同方向看到的图形.

（1）写出这个几何体的名称;

⑵若长方形的高为8cm,三角形的边长为3cm,求这个几何体的侧面积.

4.（22-23九年级上•山东日照・期末）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图.

①②

（1）在图②的横线.上填写出两种视图的名称；

（2）根据两种视图中的数据（单位：cm）,计算这个组合几何体的表面积.

题型五由三视图求小立方体的个数

例题：（23-24七年级上•江苏盐城・期末）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成

的一个几何体，如图所示.

9

主视图左视图俯视图

(1)请画出这个几何体的三视图.

(2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加一个小正方体.

(3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆(接触地面部分不喷漆)，则喷漆面积是cm2.

巩固训练

1.(23-24七年级上•河南周口•阶段练习)如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体.

尸

3P

/主视图左视图俯视图

正面

(D请在方格中画出该几何体的三视图.

(2)堆成该几何体需要块小正方体.

(3)该几何体的表面积(含下底面)为.

2.(22-23七年级上•山东济南•期中)如图是由棱长为1cm的6块小正方体组成的简单几何体:

从正面看从左面看从上往下看

(1)请在方格中画出该几何体的三个视图；

(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加块小正方

体；

(3)添加最多的小正方体后，该几何体的表面积为.

3.(23-24七年级上.江苏无锡•阶段练习)把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形式.

10

ZL_7Z

ZJ^-Lz

/

正面主视图左视图俐程图

(1)该几何体的体积是cm3,表面积是cm2；

(2)在格纸中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；

(3)如果在这个几何体上再添加一个相同的小正方体(至少有一个面与原几何体中小正方体的面重合)，并保

持这个几何体的主视图不变，那么可以有种添法.

11

第25章投影与视图知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

膜

投影-平行投影和中心般影

iEte^

投影与视图

物体的视图

\A-画三视图的要求

\—三视图

一~常见几何体的三视图

由视图到立体图形

02知识速记

一、投影

1.投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平

面叫做投影面.

2.平行投影和中心投影：由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫

做中心投影.

3.正投影：投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影.

4.灯光下的影子与太阳光下的影子的区别

（一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物

体的高度不成比例.

（二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一

定.

（三）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光

二、三视图

1.物体的视图

当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图.

我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做

12

侧面.

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水

平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左

视图.

要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象.

2.画三视图的要求

(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图.

(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等.

要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽.

由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方

向的视图只能了解物体的部分信息、.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体，根据视图只能描述物体的

形状.

注意

13

三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息.

(一)主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状.

(二)左视图：由左视图可以分清物体的高和宽.

(三)俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽.

03题型归纳

题型一中心投影

例题：(23-24九年级上•安徽宿州•阶段练习)如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的

影子分别是AB,CD.

ABCD

小华小军小丽

(1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置(用点P表示)；

(2)画出小华此时在路灯下的影子(用线段跖表示)；

(3)若小军的身高为1.8m,他的影长A3为2m,他距路灯底部3m,求路灯的高度.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)4.5m

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、中心投影

【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定：

(1)连接点A和小军的头部并延长，连接点。和小丽的头部并延长，两条射线交于点尸，点P即为所求;

(2)连接点P与小华的头部与地面交于E,则点E与小华脚部的连线线段跖即为所求；

(3)过点尸作尸HLAB交A3延长线于证明△ABGs&lHP,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)如图所示，点尸即为所求；

(2)如图所示，线段所即为所求；

EFABCD

小华小军小丽

(3)解：如图所示,过点尸作P"，交AB延长线于H,

14

由题意得，AB=2m,BG=1.8m,BH=3m,

：.AH=5m,

'：BG//PH,

AABGs^AHP,

.AH"即鼠里=4.5m,

ABBG21.8

路灯的高度为4.5m.

巩固训练

1.（23-24九年级上.四川成都.期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段4B所示，他在地面上的影子

如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上.

E

G

CADF

（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子.

⑵如果小明的身高=1.6m,他的影子长AC=L4m,且他到路灯的距离AD=2.1m,求灯泡的高.

【答案】（1）画图见解析；

（2）4m.

【知识点】中心投影

【分析】（1）连接CB并延长交DE于点。，点。即为所求，连接OG并延长交。厂于"，线段五”即为所求;

（2）由中心投影的性质可得裸=黑，再将数据代入即可求解；

AC

本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键

【详解】（1）解：如图，点。为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子；

15

E

O

/、、、

/II、、、

CADFH

(2)解：由中心投影的性质得，普=盥，

1.6DO

即Hn一=-------，

1.41.4+2.1

解得。O=4m,

答：灯泡的高为4m.

2.(24-25九年级上•陕西榆林•期中)学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度

如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠CD上,在地面上留下影子EF,经测量得知，单杠长CD=1.8米，

影子跖=3.24米，单杠高CM=ZW=1.6米.已知CMLBF,DNLBF,点B、M、E、N、F

在同一水平直线上.

(1)请你在图中画出点尸的位置；(保留画图痕迹)

(2)请你求出路灯的高度AB.

【答案】(1)见解析

(2)3.6m

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、中心投影

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键.

(1)如图：连接AD并延长交BE延长线于R即可确定点尸的位置；

Ap0ARAF

(2)先证明"CDs△的，根据相似三角形的性质可得=,再证明3.6_皿£得到=

最后代入数据求得AB的长即可.

【详解】(1)解：点尸的位置如图所示.

16

(2)解：由题意得：CDEF,

.ZACD=ZAEF,ZADC=ZAFE,

.△ACD^AAEF,

ACCD1.85

,AE-EF-324-9,

AE_9

~CE~^'

ZABE=NCME=90°,ZAEB=ZCEM,

△ABEs/\CME,

.-.AB=3.6m,即路灯的高度AB为3.6m.

3.(23-24九年级上•四川达州•期末)小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小

明利用相关数学知识测量了这个路灯的高.如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子。C照亮地面的

长度为E尸，小明测得窗户距离地面高度00=lm,窗高CD=L5m,某一时刻，OE=lm,EF=4m,其

中8、。、E、月四点在同一条直线上，C、D、。三点在同一条直线上，且CO±OE.

图1图2

(1)求出路灯的高度A3.

(2)现在小明想让光线透过窗子DC照亮地面的最远端位置离右墙角点R的距离为2m,如图2所示，需将路

灯A3的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是多少？(画出图形并解答)

【答案】⑴4m

3

(2)图形见解析，将路灯4B的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、中心投影、其他问题(解直角三角形的应用)

【分析】本题考查了相似三角形的应用、平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键

17

(1)利用条件证明ADOEs公ABE和△CQFS2\A8F,得=和=求出AB和BE即可得出答

ABBEABBF

案；

(2)证△CONs/VffiN和得=和型="，求出0M即可解决问题.

HBBNHBBM

【详解】(1)解：ABLBE,COLOE,

..AB//CO,

:.ADOE^AABE,ACOF^AABF

.DOOECOOF

..AB-BE'AB~BF

111.5+11+4

即nn---=---,-----=------

ABBEABBE+4

解得：AB=BE=4(m),

答：路灯的高度A8为4m；

(2)解：如图所示，将路灯A3的高度升高至3",

由⑴得：AB=4m,3E=4m,

.-.BF=BE+EF=4+4=8(m),

80=3尸一OE—防=8-l-4=3(m),

由题意得：NF=2m,贝=3/一NF=8—2=6(m),

:.ON=BN-BO=6-3=3(m),

AB±BE,COLOF,

.-.AB//CO,

:.△CONs^HBN,ADOM^AHBM,

,COONDOOM

'HB~~BN,HB~1BM

1.5+131OM

H即-----=-,——=-------

HB6HBOM+3

a

解得：HB=5(m),OM=1(m),

18

AH=BH-AB=5-4=l(m),

答：需将路灯AB的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是3m.

4

题型二平行投影

例题：(2024•广东佛山•一模)在学习完投影的知识后，小张同学立刻进行了实践，他利用所学知识测量操

场旗杆的高度.

(1)如图，请你根据小张(AB)在阳光下的投影(BE),画出此时旗杆(CD)在阳光下的投影.

⑵已知小张的身高为1.76m,在同一时刻测得小张和旗杆的投影长分别为0.44m和5.5m,求旗杆的高度.

【答案】(1)见解析

(2)旗杆的高度为22m.

【知识点】相似三角形实际应用、平行投影

【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计平行投影，解题的关键是读懂题意，掌握平行投影的特征.

(1)连接AE,过C作C尸〃AE交3D于F,线段。厂即为所求；

(2)根据平行投影特征得：会=,，即可解得答案.

【详解】(1)解：连接AE,过C作C歹〃AE1交3。于尸，如图：

q、

\\

\______________\

BEDF

线段。尸即为所求；

⑵解：根据题意得:盛卷，

解得CD=22,

旗杆的高度为22m.

19

巩固训练

1.（2024.内蒙古赤峰.二模）【基础解答】如图，A3和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=6m,某一时

刻A3在阳光下的投影3C=2m,DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.

D

【拓展拔高】如图，古树A3在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即3c=4m,还有一部分影子在建

筑物的墙上，墙上的影高CO为1m,同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m,求这棵古树AB

【答案】立柱DE=9m,古树AB=3m.

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行投影

【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质，

基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得D尸〃AC,据此判定问题随之

得解；

拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：AABGs^MNH,

△DCGsaw/VH,问题随之得解.

【详解】基础解答

20

*：DF//AC,

：.ZACB=ZDFE,

又ZABC=NDEF=90°,

J人ABCSADEF,

.AB_DE

**EF?

VAB=6m,BC=2m1EF=3m,

.6DE

••一=---

23

解得：DE=9m-

拓展拔高

如图，

'、、、DM

"竿

frffffrf7TtfTfTTfTJrrrrr

BCGNH

根据题意有：BC=4m,CD=lm,MN=lm,NH=2m,

根据【基础解答］同理可得：AABGS^^MNH,ZXDCG^^MNH,

.AB_MNCD_MN

*BGNH'CGNH

AB_11

即有:

4+CG-2,~CG~

解得：CG=2,

即有AB=3(m),

即古树AB=3m.

2.（23-24九年级上•辽宁沈阳•期末）小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所

示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长OC为20米，0A的影长。。为24米，小军

的影长FG为2.4米，其中O、C、。、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且。4，。。，

EF±FG.

21

⑴①图中阳光下的影子属于_（填“中心投影”或“平行投影”）②线段A。、线段3C与线段EG之间的位置关

系为

（2）已知小军的身高石为1.8米，求旗杆的高A8.

【答案】（1）①平行投影；②A。BCEG（或答“平行”）

（2）旗杆A3的长为3米

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行投影

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定.

（1）根据平行投影和中心投影的定义即可做出判断.

（2）证明EFG,利用相似比计算出A0的长，再证明，50。AOD,然后利用相似比计算05的

长，进一步计算即可求解.

【详解】（1）①根据题意可知是平行投影；

②ADBC\EG（或答“平行”）；

故答案为：①平行投影；②A。BC,EG（或答“平行”）.

（2）OAA.OD,EF±FG,

：.ZAOE^ZEFG=90°,

ADEG,

・・・ZD=NG,

A^AOD一EFG,

.OA_OP

••筋一芮’

・0—丝

**L8-Z4'

・•・04=18

CD=OD-OC=4,

•・•AD//BC,

.ABCD

^~6X~~6D'

22

AB4

•,百一五’

AB=3(米)，

所以，旗杆A3的长为3米，

3.(23-24九年级下•江苏连云港•期中)学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面

且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为100cm.小王同学观

测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知

落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，=1：0.75,在不计

圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：

(1)已知小王同学的身高为150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影子长为多少cm?

(2)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm,则高圆柱的高度为多少cm?

【答案】(1)120cm

(2)280cm

【知识点】平行投影、坡度坡比问题(解直角三角形的应用)

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关

系解决问题，属于中考常考题型.

(1)根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题.

(2)过点尸作FGLCE于点G,设FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和尸G,得到,过点产

作FF/LAB于点再根据同一时刻身高与影长的比例，求出A"的长度，即可得到A3.

【详解】(1)设小王的影长为％cm,

由题意，得：空="9,解得：x=120

经检验，x=120是原分式方程的解.

答：小王的影长为120cm.

(2)如图，过点P作PGLCE,垂足为点G,

23

•・•BC=CF=1QO,

...,八「.DEFG14

•i=1'0.75，•・----==------=-

CECG0.753

J设/G=4m,CG=3m,在RjCFG中，（4m）2+（3m）2=1002,m=20,

・・・CG=60,FG=80,

：.5G=5C+CG=160,

过点/作于点"，则四边形H8G尸为矩形，

：・HF=BG=16U,BH=FG=80,

・・・察镇解得：AH=200,

/Zrlr

AB=AH+BH=AH+FG=2OO+8O^28O,

答：高圆柱的高度为280cm.

题型三三视图

例题：（24-25九年级上•广东深圳•期中）如图所示的几何体俯视图是（）

严

A.||JB.C.D.।

【答案】B

【知识点】判断简单几何体的三视图

【分析】本题考查简单几何体的三视图识别，理解三视图的基本概念，灵活运用空间想象能力是解题关键.

几何体的俯视图即为从上往下看，所看到的平面图形，由此判断即可.

【详解】解：根据题意可得，如图所示的几何体俯视图是

24

故选:B.

巩固训练

1.（24-25七年级上•重庆・期中）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（）

正面

【答案】C

【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图

【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可.

【详解】解：从上面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边起，第一列上下两层各有一个小正方

形，第二列和第三列上面一层个右边一个小正方形，即看到的图形如下：

2.（24-25七年级上・甘肃兰州•期中）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合

方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何

体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（）

25

【答案】A

【知识点】判断简单组合体的三视图

【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出

答案.

【详解】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体,

上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆，

故选：A.

3.（24-25九年级上•辽宁本溪•期中）如图，工件的主视图是（）

正面

【答案】C

【知识点】判断简单几何体的三视图

【分析】本题考查了物体的三视图，熟悉掌握三视图的观察方法是解题的关键.

根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线，观察即可.

【详解】解：根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线,

故选：C.

4.（24-25九年级上•陕西咸阳・期中）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，则它的俯视图为（）

26

【答案】C

【知识点】判断简单几何体的三视图

【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上方看得到的视图.找到从上方看所得到的图

形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

【详解】解：该锥形瓶的俯视图的底层是：

【答案】D

【知识点】判断简单组合体的三视图

【分析】本题考查了三视图的知识.找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见

的棱用虚线表示.

【详解】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线.

D选项符合题意.

故选：D.

6.（24-25九年级上•辽宁沈阳•阶段练习）在我国古代建筑中经常使用桦卯构件，如图是某种卯构件的示意

27

图，其中卯的左视图是()

【答案】B

【知识点】判断简单组合体的三视图

【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可，具有空间概念

是解题的关键.

【详解】

解：从左面看只能看到左面部分的形状图象，即：

故选：B.

题型四由三视图求侧面积或表面积

例题：(24-25九年级上•山东荷泽・期中)根据所给立体图形的三视图.

(1)写出这个立体图形的名称：；

(2)求出这个立体图形的表面积.

【答案】(1)圆锥

(2)247tcm2

【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积

【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积.熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，

由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等”的特点，确定

28

几何体的尺寸.

(1)从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥；

(2)由三视图可知圆锥的底面半径为3,高为4,故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出.

【详解】(1)解：这是一个圆锥，

(2)解：母线长：+42=5,

底面圆周长：6兀，

侧面积：—x67tx5=15n,

2

底面积：兀仁］=9兀，

表面积：15兀+9兀=24兀

故这个圆锥的表面积为24?tcm2

巩固训练

1.(24-25七年级上•山东济南•期中)某工厂加工一批茶叶罐.设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示(单

主视图左视图俯视图

(1)图中的立体图形的名称是：.

(2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积.

【答案】(1)圆柱

(2)312007z-mm2

【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积

29

【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体，计算圆柱的表面积：

(1)根据左视图和主视图是长方形，则该几何体是柱体，再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱;

(2)根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意得，主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则该立体图形是圆柱，

故答案为：圆柱；

(2)解：120-2=60mm,

120x^-x200+2x^-x60x60=31200^-mm2，

制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为31200万mn?.

2.(24-25七年级上•山东济南•阶段练习)某物体的三视图如图：

(2)求此物体的全面积.(结果保留兀)

【答案】(1)圆柱

(2)100071

【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积

【分析】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的全面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算

方法.

(1)根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；

(2)根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可.

【详解】(1)解：根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何

体为圆柱；

故答案为：圆柱；

20

(2)解：根据圆柱的全面积公式可得，20%X40+2XTTXI=10007r.

3.(23-24九年级上•安徽宿州•单元测试)已知下图为一几何体从不同方向看到的图形.

30

U△

从正面看从左面看从上面并

长方形长方形正三的膨

(1)写出这个几何体的名称;

(2)若长方形的高为8cm,三角形的边长为3cm,求这个几何体的侧面积.

【答案】(1)直三棱柱

(2)72cm2

【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积

【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，用到的知识点为：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边

形就是几棱柱.

(1)只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱；

(2)侧面积为长方形，它的长和宽分别为3x3、8,计算出一个长方形的面积.

【详解】(1)只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三

棱柱；

(2)这个几何体的侧面积为3x8x3=72(平方厘米).

4.(22-23九年级上•山东日照・期末)如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图.

①②

(1)在图②的横线.上填写出两种视图的名称；

(2)根据两种视图中的数据(单位：cm),计算这个组合几何体的表面积.

【答案】(1)主，俯

(2)132+24万(cm2)

【知识点】判断简单组合体的三视图、已知三视图求侧面积或表面积

【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键.

(1)根据三视图的定义判断即可；

31

(2)根据图中数据，该几何体的表面积由一个长方体和一个圆柱组成，根据表面积计算公式进行计算即可.

【详解】(1)解：根据三视图的定义，第一个为主视图，第二个为俯视图；

(2)解：2(8x5+8x2+5x2)+4^x6

=132+24)(cm2).

题型五由三视图求小立方体的个数

例题：(23-24七年级上•江苏盐城•期末)在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成

的一个几何体，如图所示.

主视图左视图俯视图

(1)请画出这个几何体的三视图.

(2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加一个小正方体.

(3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆(接触地面部分不喷漆)，则喷漆面积是cm2.

【答案】(1)画图见解析

(2)6

(3)29

【知识点】画简单组合体的三视图、求小立方块堆砌图形的表面积、由三视图，判断小立方体的个数

【分析】本题考查了三视图的画法.主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到

的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示.注意涂色面积指组成几何体的外表面积.

(1)根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；

(2)主视图和左视图不变，构成图形即可解决问题；

(3)求出这个几何体的表面积即可解决问题.

主视图左视图俯视图

32

(2)最多可以加六个小正方体，具体放的方式，通过俯视图来展示，如下图:

放一个

故答案为：6；

(3)根据8个小正方体摆放的位置可以发现，从左看与从右看看到的面一样多为6个，从前看和从后看看

到的面也一样多为6个，俯视图看到的面是5个，

二需要喷漆的面