沪科版九年级数学常见题型专练：图形的位似变换、测量与误差（解析版）

第09讲图形的位似变换、测量与误差

O【知识梳理】

一、位似的概念及性质

1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似

图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。

相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似

图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。

2）相似图形与位似图形的区别与联系：

区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；

②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。

联系：位似图形是特殊的相似图形。

3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。

L________________________________r4）、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。

;位似中心的位置：可能位于两I

i个图形之间，也可能位于两个图形I

i一侧，也可能位于两图形内。；

i位似中心的确定：根据"对应i

I点的连线都经过位似中心”的特点I

i确定位似中心的位置。i

二、利用位似变换作图（放大或缩小图形）

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1,则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于

1,则通过位似变换把原图形缩小。

画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延

长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。

三、以原点为位似中心的位似变换

在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为“，那么位似图形对应点的坐标的比等

于"（对应点在位似中心同侧）或者一H对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为（根,“），

则其位似图形对应点的坐标为（Am,如）或（-切z,-也）o

四.相似三角形的应用

（1）利用影长测量物体的高度.①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性

质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.②测量方法：在同一

时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度.

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）.①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”

型或“X”型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角

形.②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.

（3）借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三

角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.

W【考点剖析】

题型一：位似变换的应用

【解题技巧】掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的

关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小

的图形）.

例1.平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，贝k）

A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

B.将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

C.将各点横，纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似

D.将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以工，得到的鱼与原来的鱼位似

2

【答案】C

【解析】平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数A,得到的图形与原

图形关于原点成位似图形，位似比是|用.若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对

称.故选C.

【变式1】如图，ABC在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使4（2,3）,C（6,2）,并写

出3点坐标；（2）以原点。为位似中心，位似比为2,在第一象限内将..ABC放大，画出放大后的图形

NAB'C.

【答案】（1）见解析，5（2,1）；（2）见解析

【分析】（1）根据点A（2,3）,。（6,2）可确认出坐标原点。的位置，从而可建立平面直角坐标系，再根据

点B的位置即可得出其坐标；（2）根据位似的定义画图即可.

【解析】（1）由点A（2,3）,C（6,2）确认出坐标原点。的位置，由此画出x轴和y轴，建立平面直角坐标

系，如图所示：由点B在平面直角坐标系中的位置得：点B坐标为6（2,1）；（2）根据位似的定义，分别连

接OA,OB,OC,将它们分别延长至点A',B',C，使得OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC,然后顺次连

接点即可得到AA'5'C',如图所示：

【点睛】本题考查了建立平面直角坐标系、画位似图形，依据点A、C坐标正确建立平面直角坐标系是解题

关键.

【变式2］如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4)C(-

2,6).(1)画出△一(；绕点A顺时针旋转90°后得到的△ABQ；

(2)以原点0为位似中心，画出将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【分析】(1)由A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6),可画出△ABC,然后由旋转的性质,即可画出△AB3；

(2)由位似三角形的性质，即可画出AAzB2c2.

【解析】(1)如图：△AB3即为所求；(2)如图:△A2B2C2即为所求.

【变式3】如图,在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点的坐标分别为A(T,3),6(—3,1),C(—1,3),

请按下列要求画图：(1)将AABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到AA4C，画

出的四。］,并写出点3的坐标；(2)以点A为位似中心将A4BC放大2倍，得到A452c2,画出八4耳。2

并写出点B的坐标.

【答案】（1）详见解析4（1,V）；（2）详见解析为（—2,—1）

【分析】（1）根据题目中给出的平移方式，描点画图即可；（2）根据相似比找到对应点当和G即可.

【解析】（1）根据题意可得：二4（1,-4）

A

A：A2)C

//

//

\?

5-4-/\oL

B2■)

A

―£

（2）根据题意可得：为（一2,—1）

【点睛】本题主要考查了图形的平移变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

题型二：相似三角形的实际应用

【解题技巧】解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利

用相似及方程思想有效解决.

例2.如图，花丛中有一路灯AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE=3m,沿方向行走到达点G,

DG=5m,这时小明的影长G"=5m.如果小明的身高为1.7m,求路灯AB的高度.（精确到0.1m）

【答案】路灯AB的高度约为6.0m

DE)FGHG

【分析】根据AB_LBH,CD_LBH,FG_LBH,可得：△ABEsZ\CDE,则有—=---------和r---=

ABBD+DEABHG+GD+DB

而CD=FG,即可得---------=---------------，从而求出BD的长，再代入前面任意一个等式中，即可求出

BD+DEHG+GD+DB

AB.

【解析】由题意，得CDYBH,FGLBH,

CDDE

：.CD//AB.ACDE^AABE.：.——=------------.①

ABBD+DE

FGHG

同理，XFGHsMBH,：.—.②

ABHG+GD+DB

DEHG

又•.,CD=FG=1.7,.^.由①，②可得

JBD+DE-HG+GD+BD'

即---——，解得50=7.5.

BD+35+5+BD

将BD=7.5代入①，得AB=5.95工6.0.故路灯AB的高度约为6.0m.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问

题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出.

【变式】为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射

定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）

8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=3.2

米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度.

分析：先过E作EFLBD于点E,再根据入射角等于反射角可知，Z1=Z2,故可得出/DEC=NAEB,由CD,

BD,ABLBD可知NCDE=/ABE,进而可得出△CDEs^ABE,再由相似三角形的对应边成比例即可求出大树AB

的高度.

【解析】过点E作EF_LBD于点E,则/1=N2,VZDEF=ZBEF=90°,AZDEC=ZAEB,

DECD

VCD±BD,AB±BD,ZCDE=ZABE=90°，AACDE^AABE,；.——=——，

BEAB

4216

：DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，；.—=—,解得AB=4.2（米）.

8.4.IB

答：树AB的高度为4.2米.

:尸

点睛：此题主要考查了相似三角形的应用，解题关键是根据题意得出△CEDs^AEB,再根据相似三角形的对

应边成比例得出结论.

题型三：相似三角形中的动态问题

例3.如图，在矩形。4HC中，。。=8,。4=12,B为CH中点、,连接A3.动点M从点。出发沿。4

边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点5运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度,

超姜CM,CN,MN,设运动时间为/(秒)(0<?<10).贝旷=时，A&VCV为直角三角形

【答案】■上浮

【分析】ZXCMN是直角三角形时，有三种情况，一是/CMN=90。，二是/MNC=90°,三是/MCN=90°,然后

进行分类讨论求出t的值.

【解析】解：过点N作0A的垂线，交0A于点F,交CH于点E,如图1,

cBEH

OA

图1

TB点是CH的中点，.-.BH=-CH=-0A=6,VAH=0C=8,二由勾股定理可求：AB=10,

22

.BNEN

AN=t,BN=10-t,NE〃AH,ABEN^ABHA,

*AB~AH

10-tEN4(10-r)4

・•・-------=——，AEN=-----------.\FN=8-EN=-r

10855

3

当NCMN=90°,由勾股定理可求：AF=-r,

38

V0M=t,・・・AM=12—t,AMF=AM-AF=12-t-,

55

VZ0CM+ZCM0=90°,ZCM0+ZFMN=90°,AZ0CM=ZFMN,

OCOM———7

VZ0=ZNFM=90°o，/.AACOM^AAMFN,/.——=-------，.•i84..t=一，

MFFN12-7-t2

4483

当lz/MNC=90°o，FN=-Z.\EN=8o-—tVMF=12--t.\CE=0F=0M+MF=12--t

5555

'：ZMNF+ZCNE=90°ZECN+ZCNE=90°,AZMNF=ZECN,

,CEEN

ZCEN=ZNFM=90°AACEN^ANFM,

FNMF

34

12--?8--Z

.士囱,V0<t<5,.•.一I-国

5=5

4-8

-t12--t44

55

当/NCM=90°,由题意知：此情况不存在,

综上所述，ACMN为直角三角形时，t=Z或电二叵I

24

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性.

【变式1】如图所示，在等腰△/回中，A8=AC=U)c瓜,BC=\6cm.点〃由点/出发沿加方向向点6匀速

运动，同时点£由点8出发沿6c方向向点C匀速运动，它们的速度均为IcWs.连接用设运动时间为t

(s)(0<t<10),解答下列问题：(1)当力为何值时，△〃力的面积为7.5c渭；(2)在点〃£的运动中，

是否存在时间t,使得△皿应与△Z6C相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由.

D

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形瓦厉边龙的高即可求解;

（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可.

【解答】解：（1）分别过点心/作班L8GAGVBC,垂足为KG；

，百DFBD

如图；J.DF//AG,一=一'：AB=AC=\Q,BC=\6：.BG=8,：.AG=6.

AGAB

DF10-t3

■:AMBE=t,:-t,：.—=----解得DF=q（10-t）

6105

i3

:必敏=十陟如=7.5，一（10-力・方=15解得方=5.答：［为5秒时，△应后的面积为7.5。/9

N5

（2）存在.理由如下：

〜,BEBDt10-t3…50

①当BE=DE聃，MBDEsXBCA,—=—即—=----，斛得t="，

ABBC101613

②_当劭=庞时，ABDEsABAC,一BE=—BD即一t=-1-0--t,解得t=骂on.

BCAB161013

答：存在时间t为史或四秒时，使得△及应与△46。相似.

1313

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成

不同的等腰三角形.

【变式2】如图，Rt△四GNC=90°,4c=10an,BC=8cm.点?从点。出发，以2c勿/s的速度沿。向点

/匀速运动，同时点0从点6出发，以lc〃/s的速度沿况向点。匀速运动，当一个点到达终点时，另一个

2

点随之停止.（1）求经过几秒后，△尸，的面积等于面积的g?

（2）经过几秒，△尸，与△/女?相似？

【分析】（1）设经过X秒，△户总的面积等于△力暖面积的|,根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程

的解即可；（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出？即可.

2

【解答】解：（1）设经过x秒，△尸&的面积等于面积的J

112

--2%•（8—%）=-X10X8X解得：%=/2=4,

225

2

答：经过4秒后，△〃口的面积等于△/回面积的J

（2）设经过方秒，△尸攵与△/回相似，因为NC=NG所以分为两种情况：

…PCCQ2t8-tEg16

①葭=就‘后=GT触得：仁

^PCCQ2t8-t5/口40

②一=—,—=—，解得：t=罂;

ACBC10813

答：经过齐或工秒时，△,8与相似.

【点评】本题考查了三角形的面积，直角三角形，相似三角形的判定等知识点，能得出关于x的方程是解

（1）的关键，能求出符合的所有情况是解（2）的关键.

题型四：相似三角形中的综合问题

例4.如图，在aABC中，AB=AC=10,点D是边BC上一动点（不与B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于点E,且cosa=不下列结论：①△ADESAACD；②当BD=6时，Z\ABD与4DCE全等；

25

③4DCE为直角三角形时，BD为8或上；④0CCEW6.4.其中正确的结论是.（填序

2

号）

【答案】①、②、③、④.

【解析】①：AB=AC,，/B=/C,又；NADE=NB；./ADE=NC,AAADE^AACD；故①正确,

44

②AB=AC=10,ZADE=ZB=a,cosa=-,/.BC=2ABcosB=2X10X-=16,VBD=6,.*.06=10,.\AB=DC,

55

在AABD与ADCE中，/BAD=/CDE/B=/CAB=DC/.△ABD^ADCE(ASA).故②正确，

③当NAED=90°时，由①可知：△ADEsaACD,；./ADC=NAED,：NAED=90°,：.ZADC=90°,即AD_LBC,

VAB=AC,；.BD=CD,；.NADE=/B=a且cosa=4,AB=10,BD=8.

7

4

当NCDE=90°时，易△CDEs/^BAD,VZCDE=90°,ZBAD=90°,：/B=aJ.cosa=-.AB=10,

5

AB425

cosB=---=—BD=——.故③错它.

BD52

④易证得△CDEs/^BAD,由②可知BC=16,设BD=y,CE=x,—=—/.10=—

DCCE16-yx

整理得：y2-16y+64=64-10x,即(y-8)?=64-10x,；.0<xW6.4.故④正确.

考点：(1)、三角形全等；(2)、三角形相似.

【变式1】己知，如图1,在朝6(%中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：

△ADE^ABFE；(2)如图2,点G是边BC上任意一点(点G不与点B、C重合)，连接AG交DF于点H,连接

HC,过点A作AK〃HC,交DF于点K.①求证：HC=2AK；②当点G是边BC中点时，恰有HD=n・HK(n为正整

【分析】此题涉及的知识点是两三角形全等的判定，平行四边形的性质点的综合应用，解题时先根据已知条

件证明△ADE04BFE,再根据两三角形相似的判定，等量代换得出边的大小关系

【解析】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，，AD〃BC,ZADE=ZBFE,ZA=ZFBE,

，ZADE=ZBFE

在AADE和ABFE中，，NAED=/BEF，/.AADE^ABFE；

AE=BE

(2)如图2,作BN〃HC交EF于N,

D

图2

VAADE^ABFE,.*.BF=AD=BC,/.BN=—HC,

2

由(1)的方法可知，^AEK丝△BEN,；.AK=BN,.,.HC=2AK；

(3)如图3,作GM〃DF交HC于M,

.MGCG1

.".△CMG^ACHF,

"HFCF7

.".△AHD^AGHF,.•鲤二典二^=2,旦

VAD/7FC,

HFHGFG3DH8

uvAH9UK1

VAK/7HC,GM〃DF,AAAHK^AHGM,即HD=4HK,.\n=4.

GMHG3HD4

【点睛】此题重点考察学生对于三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质的综合应用能力，熟练

掌握判定条件和性质是解题的关键.

【变式2】如图1,在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=-AB,连接

2

DE.将4ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为9.

BEBE

（1）问题发现①当。=0°时，-----；②当。=180°时，----=.

CD------CD------

BE

（2）拓展探究试判断：当0°6<360°时，——的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

CD

（3）问题解决①在旋转过程中，BE的最大值为；②当4ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的

长为.

【答案】（1）①/②0;（2）无变化，证明见解析；（3）①2及+2,②6+1或相-1.

【分析】（1）①先判断出DE//CB,进而得出比例式，代值即可得出结论；②先得出DE//BC,即可得出,

AEAD

—=—，再用比例的性质即可得出结论；（2）先/。氏/以£,进而判断出旗即可得出结论;

ABAC

（3）分点，在班'的延长线上和点，在座上，先利用勾股定理求出劭，再借助（2）结论即可得出切.

【解析】解：(1)①当6=0°时，在RtZkABC中，AC=BC=2,/.ZA=ZB=45°,AB=20,

1厂.CDBE

VAD=DE=-AB=V2＞，/AED=NA=45°,AZADE=90°,；.DE〃CB,

'~AC~~AB

CDBE‘五BE=行r-’故答案为夜r-'

②当9=180°Ht,如图1,

,,里=型=巫坨故答案为应；

CDAC2

BE

（2）当0°W。＜360°时，——的大小没有变化,

CD

理由：VZCAB=ZDAE,AZCAD=ZBAE,

..ADAEAB

.'.△ADC^AAEB,.BE

.ACAB,CDAC2

（3）①当点E在BA的延长线时，BE最大，在RtzXADE中，AE=0AD=2,；.BE最大=AB+AE=20+2；

②如图2,

E

图2

当点E在BD上时，VZADE=90°，NADB=90

在RtAADB中，AB=20,AD=0,根据勾股定理得，BD=JAB2-AD2"A/6>

.-.BE=BD+DE=76+V2）由（2）知,

如图3,

当点D在BE的延长线上时,

在RtAADB中，AD=&,AB=20,根据勾股定理得，BD=SJAB--AD1=V6，

；.BE=BD-DE=#-0,

由（2）知，---=y/2,CD=-1•故答案为\/3+1或y/3-1.

CDV2V2

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和

性质，比例的基本性质及分类讨论的数学思想，解（1）的关键是得出DE//BC,解（2）的关键是判断出△加人

sXAEB,解（3）关键是作出图形求出劭，是一道中等难度的题目.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023・安徽淮北•校考一模）如图，在平面直角坐标系中，A8C'与，ABC位似，位似中心为原点。,

已知点C（T,-1）,AC=6,则点C'的坐标为（）

C.(6,2)D.(8,2)

【答案】D

【分析】根据A（T，T）,C（-4-1）,求出AC的长度，结合位似，得到相似比，即可得到答案;

【详解】解：0A(-1,-1),CM,-1),

EI.A'3'C'与ABC位似，AC=6,

0.AB'C与.ABC的相似比为2:1,

0C(-4,-l),

团C'(8⑵，

故选：D.

【点睛】本题考查位似，解题的关键是根据线段比得到位似比，再根据位似性质求解.

2.（2022秋•安徽滁州•九年级校考阶段练习）如图，已知0ABe和团EOC是以点C为位似中心的位似图形,

且和aEZJC的位似比为1：2,aEZJC的周长为8,则0ABe的周长是（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根据三角形的位似比等于相似比，和相似三角形的性质计算即可;

【详解】回0ABe和回即C的位似比为1：2,

EHABC和回即C的相似比为1：2,

又EBEDC的周长为8,

C^ABC_C^ABC_]

EBABC的周长为4.

故选B.

【点睛】本题主要考查了位似图形和相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键.

3.（2021秋・安徽阜阳•九年级校考阶段练习）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高18”，他在地面上的

影长为2.L”.若小芳身高只有1.2m,则她的影长为（）

【答案】B

【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可得出结果.

【详解】解：设小芳的影长为xm.

1Q1O

根据在同一时刻身高与影长成比例可得：三=三，

2.1x

解得：x=1.4.

经检验，符合题意，

故选民

【点睛】本题考查了相似三角形的应用；根据同一时刻身高与影长成比例得出比例式是解决问题的关键.

4.（2023春・安徽合肥・九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A.两个多边形相似，则它们一定是位似图形B.两个位似图形的位似中心可能不止一个

C.位似图形一定是相似图形D.两个多边形相似，面积比一定是相似比

【答案】C

【分析】根据位似图形的概念和相似多边形的性质判断即可.

【详解】A.两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误；

B.两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误；

C.位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确；

D.两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误；

故选：C.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对

应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键.

5.（2022秋•安徽亳州,九年级统考期末）如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备

用.在0ABC中，8C=120,高AO=80,正方形EFGH的边GH在边上，E,尸分别在边AB,AC上，

则正方形EBGH的边长为（）

A.36B.42C.48D.54

【答案】C

【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即ABEHsABAD,从而

得出边长之比M=AEEHBE,sEFEHAEBE

——，得至lj——+——=——+——进而求出正方形的边长.

BCBABCADABBA

【详解】解：设正方形零件的边长为x

在正方形EFGH中，EF//BC,EH//AD

：.ZAEF=^\ABC,BEAF=^\BAC；BBHE=^\BDAf

：.AAEF^AABC,XBEHSXBAD

.EFAEEHBE

••拓一耘'而一M

.EFEHAEBE.

"BCAD~ABBA~

解得：尤=48

即：正方形零件的边长为48；

故选：C.

【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，掌握相似三角形的判定和性质

是解题的关键.

6.（2022秋•安徽合肥,九年级合肥寿春中学校考期中）如图，身高为1.6m的小明想测量一下操场边大树的

高度，他沿着树影54由8到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得

于是得出树的高度为（）

4.8mC.6.4mD.8m

【答案】B

【分析】求出A2的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可.

0BC=1.4m,C4=0.7m,

0AB=AC+BC=0.7+1.4=2.1m,

国小明与大树都与地面垂直,

0ACEsABD,

广CEAC

团---=----

BDAB

即生二22

BD2.1

解得3。=4.8,

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是

解题的关键.

7.（2020•安徽合肥•合肥市第四十二中学校考一模）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得

到五边形AB'CDE,已知0A=10cm,OA'=20cm,则五边形ABCOE的周长与五边形AbCDE的周长比

【答案】A

【分析】由以点。为位似中心，将五边形A8COE放大后得到五边形OA=Wcm,OA'=

20cm,可得五边形ABCDE的周长与五边形AbCDE的位似比为：10：20=1：2,然后由相似多边形的

性质进一步求解即可.

【详解】回以点O为位似中心，将五边形A8CDE放大后得到五边形AbCOE,OA=Wcm,OA'=20cm,

国五边形ABCDE的周长与五边形A'B'C'D'E的位似比为：10：20=1：2,

团五边形ABCDE的周长与五边形A'8'C'OE的周长比是：1：2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

8.（2022秋•安徽宿州•九年级统考期末）如图所示，王华晚上由路灯A下的8处走到C处时，测得影子

C。的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么

路灯A的高度等于（）

【答案】B

【分析】根据同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三

者构成的两个直角三角形相似解答.

【详解】解：如图所示，GCBiBC,ABS\BC,

A

王华的身高=路灯的高度

王华的影长路灯的影长

当王华在CG处时，Rf3\DCG3\R^\DBA,BP—=—

DBAB

当王华在即处时，R^FE^FBA,即齐先写

CDEF

团---=----

BDBF

团CG=EH=1.5米，8=1米，CE=3米，E尸=2米,

设A3=x,BC=y,

12

团kR'

解得y=3,

则丫:，

X4

解得，x=6米.

即路灯A的高度42=6米.

故选：B.

【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用.解题的关键是利用中心投影

的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的

长度.

9.（2022秋•安徽蚌埠•九年级校考期中）如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆A2,从木杆

的顶端2观测井水水岸。，视线8。与井口的直径C4交于点E,若测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4

米，则水面以上深度8为（）

B

A.4米B.3米C.3.2米D.3.4米

【答案】B

【分析】由题意可得ABEjCDE,然后根据相似三角形对应边成比例列式即可求得C£）.

【详解】解：由题意可知：AB//CD,

团ABEs-CDE,

ABAE

团---=---,

CDCE

团=1米，AC=L6米，AE=0.4米,

10.4

团---=-------,解得CD=3,

CD1.6-0.4

国水面以上深度CD为3米.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出ABES_CDE是解决问题的关键.

10.（2021秋•安徽阜阳•九年级统考阶段练习）如图四个图中，一ABC均与一A8C'相似，且对应点交于一

点，则ABC与‘A'3'C'成位似图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案.

【详解】解：图1中，一ABC与一AEC成位似图形；

图2中，I3AB与A8不平行，AC与AC不平行，回」1BC与A'3'C'不成位似图形；

图3中，ABC与‘A'3'C'成位似图形；

图4中，ABC与，A'3'C'成位似图形；

综上，A5C与11Abe'成位似图形的有图1、图3、图4,共有3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交

于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似

中心.

二、填空题

11.（2021秋•安徽安庆•九年级统考期中）如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔

4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点尸处，正

好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是米.

f北岸>f

三二

三三三

至

三三

、?S6%

、

二

二

、

二二

三三

二

、

三

三

W三三

、

三

一二S

、

11登

；

三

、

三

月垂

三

、

二S

、

、S

」~

\/南岸

\\//

P

【答案】36

【分析】根据题意，利用相似三角形的判定定理可得再由其性质：相似三角形高的比等

于相似比进行求解即可得.

【详解】解:如图,

回北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，

/.AS=16m,DC=80m,

-AB//CD,

・•・^ABP〜”CP,

ABPE

~DC~~PF"

vAB=16m,尸到A5的距离即P石=9m,

16_9

，，80-9+EF?

解得：EF=36m,

团河宽为36米，

故答案为：36.

【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关

键.

12.（2022秋•安徽马鞍山•九年级马鞍山八中校考期中）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕

。点旋转到AC位置，已知AB_LBD,BD足分别为5,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=\m,则栏杆C

端应下降的垂直距离CD为.

2

【答案】0.4m/ym

AnAR

【分析】由Z4BO=NCDO=90。，NAQB=NCOD知AABOsACDO,据此得而=而，将已知数据代入

即可得.

【详解】解：ABLBD,CDLBD,

:.ZABO=ZCDO=90°,

又二ZAOB=NCOD,

皿AOA3

贝U—二—，

COCD

AO=4m,AB=1.6m,CO=Im,

4_1.6

T-CD*

解得：CD=0.4,

••・栏杆C端应下降的垂直距离CO为0.4机.

故答案为：0.4m.

【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

13.（2022秋•安徽宿州•九年级统考期末）如图，A3表示一个窗户的高，AM和表示射入室内的光线,

窗户的下端到地面的距离3C=lm.已知某一时刻5C在地面的影长CN=1.5m,AC在地面的影长CM

4.5m,则窗户的高度为.m.

【答案】2

【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线5N与AM仍然平行，由

此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出A5的长，即窗户的高度.

【详解】解:BN//AM,

.NBNSNCAM,

BCCN

CN=1.5,CM=4.5,BC=1,

1_1.5

AC-45

AC=3,

:.AB=AC-BC=2(m),

答：窗户的高度A3是2m.

故答案为：2.

【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建

立适当的数学模型来解决问题.

14.（2022秋•安徽安庆•九年级统考期中）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，8时又测

得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米.

4时

5时

【答案】473

FDFC

【分析】根据题意,画出示意图,可得Rt.DECsRtCEF,进而可得耘=而’代入数据可得答案.

【详解】解：如图，根据题意得：“CF=90。,ED=4,FE=12,CE±DF,

d时

8时支

0NCED=ZZCEF=90°,ZDCE+NFCE=90°,

SZDCE+ZCDE=90°,

SZFCE=ZCDE

HRtDECRtCEF,

EDEC

El----=-----,

ECEF

4EC

即Hn——=——,

EC12

解得：EC=46,

答：树的高度为4石米.

故答案为：4A万.

【点睛】本题考查了通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的

应用，难度适中.掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

15.（2022秋•安徽宣城•九年级统考期末）如图是小孔成像原理的