河北省衡水市某中学2024-2025学年高二年级上册综合素质评价二数学试题（解析版）

2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二

数学学科

一、单选题（每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.请将正确

答案的序号填涂在答题卡上）

1.直线氐一〉一3=°的倾斜角为（）

兀兀兀2兀

A.-B.-C.-D.—

3643

【答案】A

【解析】

【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解.

【详解】设直线的后—y—3=0的倾斜角为。，且。式0,兀），

直线—y—3=0的斜率比=tana=，所以a=

故选：A

2.已知直线a的方向向量为£,平面a的法向量为下列结论成立的是（）

A.若£//£,则a//aB.若之,人则a_La

C若，则aJ_aD.若Z_LZ则a//a

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.

【详解】因为直线。的方向向量为平面a的法向量为

由£//£，可得a_La，所以A不正确，C正确；

对于B中，由可得a//a或aua,所以B、D都不正确；

故选：C.

3.已知圆。：/+/+机x+l=0的面积为兀，则加=（）

A.±2B.+272C.+472D.±8

【答案】B

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【解析】

【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.

【详解】因为圆。：/+/+加工+1=0,即[x+g[

2

所以S=兀7°=((-1)兀=兀，解得加=±2丁^.

故选：B.

4.己知两点2(-3,2),8(2,1),过点尸(0,-1)的直线/与线段N3(含端点)有交点，则直线/的斜率的

取值范围为()

A.1]U[1,+0°)B.[-1,1]C.[一叫一,]u[l,+oo)D.——,1

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线P/、网的斜率后可求直线/的斜率的范围.

故直线/的取值范围为O(1,+。)，

故选：A.

5.已知40,1,1),5(2,—1,0),。(3,5,7),。(1,2,4),则直线48和直线CD所成角的余弦值为()

A572205V22c2V22c2V22

66663333

【答案】A

【解析】

【分析】算得益=(2,-2,-1),西=(-2,-3,-3),结合向量夹角的坐标公式即可求解.

【详解】=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),

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\_阿。|_—4+6+35^/22

所以直线48和直线CD所成角的余弦值为cos（JB,CD

'|AS|-|CD|3,4+9+966

故选：A.

6.在棱长为2的正方体ABCD-Z0GA中，E，P分别为棱AA,,8片的中点，G为棱4以上的一

点，且4G=4（0<2<2）,则点G到平面AEE的距离为（）

C2同D.竽

B.V2

'3

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可.

【详解】以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，。。所在直线为N轴，DA所在直线为z轴，建立如图

则G(2,4,2),2(0,0,2),£(2,0,1),尸(2,2,1),

所以函=(—2,0,1),丽=(0,2,0),EG^(O,A,l).

n-ED1=—2x+z=0

设平面QEE的法向量为力=（x）,z）,贝卜

n-EF=2y=0

取x=l,得%(1,0,2),

EGn2245

所以点G到平面D[EF的距离为d=

故选：D.

7.若动点拉（西,%），N（%,y2）分别在直线x+,v+7=0与直线x+y+5=0上移动，则儿W的中点尸

到原点的距离的最小值为（）

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A.24>B.3GC.372D.2V2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出点尸的轨迹，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】解：由题意知，的中点尸的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为

x+y+6=0,

尸到原点的距离的最小值为d-5正一3,2.

故选：C

8.边长为1的正方体ABCD-451GA中，」E,厂分别是44i，4A中点，〃是。8靠近5的四等分

点，P在正方体内部或表面，DP-^EF+MF)=0,则丽的最大值是()

A.1B.—c.V2D.V3

2

【答案】D

【解析】

333

【分析】建立空间直角坐标系，设尸(x/,z),从而求得-+=再根据向量模长公式结合

0<x<l,0<y<l即可求解.

—R

【详解】

B

如图，建立空间直角坐标系，设尸

则£>(0,0,0),£]1,0,3；/13,0,1；河11,：川，

所以0,；1板=11,

则EF+A/F=,

1442)

因为丽•(而+/)=0,又赤=(x,y,2)

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所以一3x—3v+,z=0,即2=X+■,

4422

所以1词2=x2+j2+z2=x2+y2

又0<x<l,0<y<l,所以f+了2+[£|2]wi+i+1『]=3,当且仅当》=了=1,止匕时z=l

时，等号成立，

所以|加|的最大值是g.

故选：D.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）

9.如图，四棱柱ABC。—481GA中，/为的中点，。为上靠近点4的五等分点，则（）

—•—-1—-1—.

AAM=AB+-AD+—AA,B.2AM=AB+2AD+AA

.321X

—■1—■3—•3—

C.AQ=-AB+-AD+-AA.D.5AQ=^B+AD+AAA

5451i

【答案】BD

【解析】

【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.

【详解】AM=AB+BC+CM=AB+AD+^^CD+CC^

—AB+AD—ABH—AA,——AB+AD—441，

221221

即2标=75+27万+石，故A错误、B正确；

AQ=AAl+A^Q=AAl+^A^C=AAl+j^Di+D^Cl+qC)

—(■1/—>—>—*\1—*1—*4—*

^AA+-\AD+AB-AAA^-AB+-AD+-AA,

15V"555i

即5而=75+石+4数，故C错误，D正确.

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故选：BD.

10.已知两条直线4的方程分别为3x+4y+12=0与办+8〉—11=0,下列结论正确的是（）

7

A.若〃/乙，则a=6B,若IJh，则两条平行直线之间的距离为a

32

C.若4J_，2，则。=彳D.若aw6,则直线4一定相交

【答案】AD

【解析】

【分析】根据两直线平行求出。的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直

线垂直求出。的值，可判断C选项；根据两直线相交求出。的范围，可判断D选项.

【详解】两条直线4，4的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0,它们不重合，

若/J4，贝44a=3x8,得。=6,检验符合，故A选项正确；

若1加2,由A选项可知，I2：6x+8v-ll=0,直线4的方程可化为6x+8y+24=0,

111+2417

故两条平行直线之间的距离为＞।=一,故B选项不正确；

V36+642

32

若4JL/2,则3a+4x8=0,得。=一§,故C选项不正确；

由A选项知，当a=6时，所以若则直线4一定相交，故D选项正确.

故选：AD.

11.如图，在多面体Z8CDES中，5/，平面25。）,四边形Z3CD是正方形，旦DEIISA,

SA=AB=2DE=2,M,N分别是线段8C,S3的中点，。是线段。C上的一个动点（含端点

D,C）,则下列说法正确的是（）

S

A.存在点。，使得NQJ_S8

B.存在点0,使得异面直线N。与双所成的角为60°

2

C.三棱锥体积的最大值是］

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D.当点。自。向。处运动时，直线。。与平面。MN所成的角逐渐增大

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设出点。的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A,利用异面直线的向量

夹角公式计算判断B,连接AQ,AM,AN,结合锥体体积公式，利用等体积法判断C,利用向量的坐标运

sin，

算表示线面角的正弦值,然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D.

【详解】以A为坐标原点，彳瓦石，乐正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,Z）（0,2,0）,£（0,2,1）,5（0,0,2）,N（l,0,l）,"（2,1,0）；

对于A,假设存在点。（机,2,O）（O＜机＜2）,使得N0LS5,

则而=（切—1,2,—1）,又豆=（2,0,—2）,

所以福•豆=2（掰—1）+2=0,解得机=0,即点0与。重合时，NQLSB,A正确;

对于B,假设存在点0（m,2,0）（0〈机W2）,使得异面直线N。与双所成的角为60°,

因为而=（m—1,2,—1）,S4=（O,O,-2）,

1

所以cosN0,SZ=--方程无解；所以不存在点。，B错误;

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对于C,连接NQMM/N,设。。=加(04机42),

因为S"MQ~S口ABCD-S“BM~^QCM~^ADQ=2一彳，

所以当加=0,即点。与点。重合时，取得最大值2；

又点N到平面AMQ的距离d=工£4=1,

2

所以(VQ-AMN)max=^N-AMQLx='2X1=g,C正确；

对于D,由上分析知：NQ=(m-l,2,-l),2W=(1,1,-1),

/、[m-NO=(m-l)x+2y-z=0

若应=(x,y,z)是面NMQ的法向量，则一.二,)•

in-NM—x+y—z=0

令i=1,则成=(1,2-加,3-加)，

因为反=（2,0,0）,设直线。C与平面所成的角为。，0,|

1「1

所以M-H11+（2-加『+（3—加）2（,_目\!，

当点。自。向C处运动时，机的值由0到2变大，此时sin。也逐渐增大,

兀

因为y=sinx在0,-为增函数，所以。也逐渐增大，故D正确.

故选：ACD

三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.）

12.已知点尸（4,-2）,点A为圆工2+/=4上任意一点，则PN连线的中点轨迹方程是—

【答案】（X-2）2+（y+l）2=l

【解析】

【分析】首先设中点坐标为0（x，N），再设出相关点A的坐标，代入圆的方程，即可求解.

【详解】设尸/连线的中点为。（X,力,则幺（2x—4,2>+2）,

则（2x-4）2+（2y+2）2=4,即（x—2）2+（v+l）2=1.

故答案为：（x—2y+（y+iy=1

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13.已知点尸(-2,-1)和直线7:(1+22)x+(1-32)y+2—2=0,则点尸到直线/的距离的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】先求得直线/的定点，进而求得点P到直线/的最大距离，然后检验点尸(-2,-1)是否可能在直线/

上即可

【详解】/:(1+2几)%+(1—+X—2=0可化为：x+y—2+(2x—3y+1)几=0

x~\~y—2—0

设直线/的定点为A,点P到直线/的距离为d,则有：〈

2x-3y+1=0

可得：2(1,1)为直线/的定点

则有：附=，32+22=岳,此时上训为点p到直线/的最大距离

若尸(一2,-1)在直线/上，则有：—2—1—2+(—4+3+1)4=0,即—5=0

可得：尸(-2,-1)不可能在直线/上，则有：d>0

综上可得：

故答案为：(0,历］

14.如图，已知点A是圆台的上底面圆。上的动点，民C在下底面圆。上，AOX=1,0a=2,

BO=3,BC=2#，则直线NO与平面Q8C所成角的正弦值的最大值为.

【答案】—

10

【解析】

【分析】以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求

线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.

【详解】解：连接。C,过C点作CH垂直于8。的延长线于点〃，以O为坐标原点，建立空间直角坐

标系如下所示：

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故c°sB=OB』C2-OC2=9+20?=g

20BBC2x3x2石3

则B"=BCcos8=

则CH=^BC2-BH2=,20—；=；,

OH=BH-OB=-,

3

故点c1—；,半,o]，又0(0,0,0),a(0,0,2),8(3,0,0),

I33J

设点2(根,%2),m,we[-l,l],由。/=1,可得加？+〃2=i，

BC=-,BOX=(-3,0,2),

设平面OXBC的法向量访=(x,y,z),

104A/5

m-5C=0-■-XH---J-=0

则—.，即33

、

m-BO—0—3x+2z—0

取天=石，则x=2,z=3,

故平面QBC的法向量成=(2,百,3卜

又OA=(m,小2),

7T

设直线NO与平面Q8C所成角为。，0,-

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2m+y[5n+6|

7T；-I和OA2m+y[Sn+6

则sin0=cosQ4,M=।J_>1

|m|tM3y/2xy/m2+H2+43V10

因为加,〃£[―1,1],且加2+〃2=],

故令加=cos。，n=sina,aw（0,2»），

则2加+君〃+6=君5也1+2（：05<2+6=35111（（2+0）+6,tancp=,（p&

又ae(0,2〃)，所以sin(a+9)e[-l,l],

3sin(«+^)+6e[3,9],即2机+&n+6G[3,9],

所以sin0的最大值为一T==3^^.

3V1010

故答案为：巫.

10

四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.在区14幺8。中，ZBAC=90°,8c边上的高幺。所在直线的方程为x—2y+2=0,//的平分线

所在直线的方程为＞=0,点2的坐标为(1,3).

(1)求直线8c的方程；

(2)求直线ZC的方程及点。的坐标.

【答案】⑴2x+y-5=0

(2)直线/C的方程为：y=-X-2,C(7,-9)

【解析】

【分析】(1)根据垂直的位置关系，算出直线5c的斜率为-2,利用直线方程的点斜式列式，化简整理

即可得到直线8c的方程；

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(2)由8c边的高所在直线方程和y=0,解出4-2,0),从而得出直线48的方程.由直线NC、AB

关于直线V=0对称，算出ZC方程，最后将ZC方程与8c方程联解，即可得出点C的坐标.

【小问1详解】

由于所在直线的方程为x—27+2=0,故幺。的斜率为

2

•••BC与AD互相垂直，，直线BC的斜率为k=-2,

结合8(1,3),可得8C的点斜式方程：j-3=-2(x-l),

化简整理，得2x+y-5=0,即为所求的直线8c方程.

【小问2详解】

由x—27+2=0和了=0联解，得/(-2,0)

由此可得直线48方程为：匕9=叶2,即y=x+2,

3-01+2

AB,ZC关于角A平分线x轴对称，

・・•直线ZC的方程为：y=-x-2,

•：直线BC方程为j=-2x+5,

.,.将ZC、8c方程联解，得x=7,y=-9,

因此，可得C点的坐标为(7,-9).

16.如图，在直四棱柱4BCD—451GA中，底面4BCD为矩形，且/&=4B=2ZQ,E,尸分别为

的中点.

(1)证明：/尸〃平面&E5.

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

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【解析】

【分析】(1)不妨设2。=1,建立空间直角坐标系，求出平面4助的法向量前，由静晶=0,得到

AFlm-即可得证；

(2)求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

不妨设ZD=1,则幺4=25=2,如图建立空间直角坐标系,

则4(1,0,2),5(1,2,0),£(0,1,2),4(100),尸(0,0,1),D(0,0,0),

所以醒=(—1,1,0),福=(0,2,—2),AF=(-1,0,1),

设访=(x,y,z)是平面AXEB的一个法向量,

m-AyE=-x+y=0

则一.,取％=1,则y=z=l,

mA]B=2y-2z=0

所以平面4班的一个法向量成=(1,1,1),

又彳斤五=0,所以衣_L而，因为“尸0平面4助，所以/尸〃平面4E5.

【小问2详解】

因为D4J_平面AA^B,所以5N=(1,0,0)是平面AB]B的一个法向量,

m-DA_1V3

又因为cos(应,D1)

同03

所以平面4片8与平面4BE夹角的余弦值为YL

3

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17.已知直线（：气一y—3—4左=0（keR）过定点尸.

（1）求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线4方程；

（2）若直线4交x轴正半轴于点A,交N轴负半轴于点8,V48C的面积为S（。为坐标原点），求S的

最小值并求此时直线4的方程.

【答案】⑴x+〉T=0或尤->-7=0或3x+4y=0

（2）最小值为24,直线4:3x—4y—24=0

【解析】

【分析】（1）求出直线4过的定点，分。工0,6/0和。=6=0两种情况，当。工0,670时，设/的方

程为二+¥=1,根据。点（4,-3）在直线上求出直线方程，若求出直线方程，若。=-6,求出直

线方程，当a=6=0,根据直线过原点，且过点（4,-3）求出直线的方程；

（2）求出直线6交x轴的正半轴的点，交N轴的负半轴的点，求出VZ08的面积，根据基本不等式求出

S的最小值时上的值.

【小问1详解】

直线4：歹+3=左卜一4）,则直线4过定点尸（4,-3）,

①当QW0,时，设/的方程为一X+?V=：!.

ab

。点（4,一3）在直线上，.•.3+口=1.

ab

若a=b,则Q=6=1,

直线的方程为x+y=1,

若a=-b,则〃=7,Z?=-7,

・・•直线的方程为％—V=7；

②当。=6=0时，直线过原点，且过点（4,一3）,

•・•直线的方程为3x+4y=0,

综上所述，所求直线/的方程为》+>-1=0或工-》-7=0或3x+4y=0；

【小问2详解】

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4左+3

令V=0,则x=-------；令x=0,则y=-4k-3,

k

4左+3、

直线4交x轴的正半轴于点/—^,0,交歹轴的负半轴于点5(0,—4后—3),k>0,

。为坐标原点，设VZ08的面积为S,

11+31（16左+24+,>1-24+2-J16k3、

则S=—・04-05=------------（4左+3）=—=24,

22左2

93

当且仅当16左=—时，即左=—时取等号,

k4

3

故S的最小值为24,此时y

直线:3%-4j-24=0.

18.如图，在四棱锥P—4BC。中，平面尸40J_平面48CD,PALPD,AB1AD,PA=PD,

AB=\,AD=2,AC=CD=45

(1)求证：尸。，平面尸45.

(2)求直线与平面尸CD所成角的正弦值.

⑶在棱族上是否存在点使得四〃平面尸⑵？若存在，求出*的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑶存在；；

【解析】

【分析】(1)根据面面垂直的性质可得48,平面尸Z。，进而得Z81P。，再结合线面垂直的判定定理

进行证明即可;

(2)建立空间直角坐标系，求出平面尸CD的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行

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求解即可；

(3)要使5M7/平面尸CD,则瓦？.1=(),由此列式求解/可得.

【小问1详解】

・•・平面PAD1平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

且48_L40,ABu平面ABCD,

.•.48,平面尸40,

・•・PQu平面0AD,••.A81产。，

又PDLPA,且尸Zn48=Z,尸448u平面尸45,

••.尸。，平面尸4§；

【小问2详解】

取40中点为。，连接C0,尸。，

X--PA=PD,：.POLAD.则4。=尸。=1,

■.-CD=AC=45>..COLAD,则C0=Jzc?—。幺2=^T7=2,

以。为坐标原点，分别以双,力,而所在直线为x/,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,

则尸(0,0,1),5(1,1,0),Z)(0,-1,0),C(2,0,0),

则丽=(1,1,一1),PD=(O,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),

设元=(久,y,z)为平面PCD的一个法向量，

n-PD=0\-y-z=0(1、

则由<_，得:令z=l,贝牖=不—1」.

n-PC=012x-z=0<2)

设PB与平面PCD的夹角为0,

--1-1

则sin6^=|cos/?,Ps|=n-PB—2=在

宿而g+1+lx百

【小问3详解】

假设在棱P4上存在点M点，使得加0〃平面PCD.

设而=4而北［0,1］，

--»uu

由⑵知,/(0,1,0),5(1,1,0),尸(0,0,1),则幺尸=(0,-1,1),区4=(-1,0,0),

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BM=BA+AM=BA+AAP=(-1,0,0)+(0,-2,2)=(-1,-2,2),

由(2)知平面PCD的一个法向量H=

——■—11

若BMII平面PCD，则BM-n=----+X=24=0,

22

解得几=」，又平面PCD,

4

故在棱P4上存在点村点，使得2M〃平面尸Q?,此时

AP4

19.在空间直角坐标系。-孙z中，已知向量权=(。,仇。)，点6(Xo，%),Zo)若直线/以1为方向向量且经过

点4,则直线/的标准式方程可表示为三口=匕比(abcwO)；若平面a以£为法向量且经

abc

过点4,则平面a的点法式方程表示为a(x-Xo)+b(y-yo)+c(z-Zo)=O.

(1)已知直线/的标准式方程为=3,平面内的点法式方程可表示为氐+y-2+5=0，

1—V32

求直线I与平面名所成角的余弦值；

(2)已知平面的的点法式方程可表示为2x+3y+z-2=0,平面外一点尸(1,2,1),点p到平面里的距

离；

(3)(i)若集合〃={(工4/)|忖+,区2,匕归1},记集合M中所有点构成的几何体为S,求几何体S

的体积：

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+H<2,|j|+|z|<2,|z|+|x|<2).记集合N中