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文档简介
2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二
数学学科
一、单选题(每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.请将正确
答案的序号填涂在答题卡上)
1.直线氐一〉一3=°的倾斜角为()
兀兀兀2兀
A.-B.-C.-D.—
3643
【答案】A
【解析】
【分析】先求出直线斜率,再根据倾斜角的范围即可求解.
【详解】设直线的后—y—3=0的倾斜角为。,且。式0,兀),
直线—y—3=0的斜率比=tana=,所以a=
故选:A
2.已知直线a的方向向量为£,平面a的法向量为下列结论成立的是()
A.若£//£,则a//aB.若之,人则a_La
C若,则aJ_aD.若Z_LZ则a//a
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,结合直线的方向向量和平面分法向量的关系,逐项判定,即可求解.
【详解】因为直线。的方向向量为平面a的法向量为
由£//£,可得a_La,所以A不正确,C正确;
对于B中,由可得a//a或aua,所以B、D都不正确;
故选:C.
3.已知圆。:/+/+机x+l=0的面积为兀,则加=()
A.±2B.+272C.+472D.±8
【答案】B
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【解析】
【分析】由题意确定圆的半径,结合圆的面积公式建立方程,解之即可求解.
【详解】因为圆。:/+/+加工+1=0,即[x+g[
2
所以S=兀7°=((-1)兀=兀,解得加=±2丁^.
故选:B.
4.己知两点2(-3,2),8(2,1),过点尸(0,-1)的直线/与线段N3(含端点)有交点,则直线/的斜率的
取值范围为()
A.1]U[1,+0°)B.[-1,1]C.[一叫一,]u[l,+oo)D.——,1
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线P/、网的斜率后可求直线/的斜率的范围.
故直线/的取值范围为O(1,+。),
故选:A.
5.已知40,1,1),5(2,—1,0),。(3,5,7),。(1,2,4),则直线48和直线CD所成角的余弦值为()
A572205V22c2V22c2V22
66663333
【答案】A
【解析】
【分析】算得益=(2,-2,-1),西=(-2,-3,-3),结合向量夹角的坐标公式即可求解.
【详解】=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),
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\_阿。|_—4+6+35^/22
所以直线48和直线CD所成角的余弦值为cos(JB,CD
'|AS|-|CD|3,4+9+966
故选:A.
6.在棱长为2的正方体ABCD-Z0GA中,E,P分别为棱AA,,8片的中点,G为棱4以上的一
点,且4G=4(0<2<2),则点G到平面AEE的距离为()
C2同D.竽
B.V2
'3
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,由点到平面的距离公式计算即可.
【详解】以。为坐标原点,D4所在直线为x轴,。。所在直线为N轴,DA所在直线为z轴,建立如图
则G(2,4,2),2(0,0,2),£(2,0,1),尸(2,2,1),
所以函=(—2,0,1),丽=(0,2,0),EG^(O,A,l).
n-ED1=—2x+z=0
设平面QEE的法向量为力=(x),z),贝卜
n-EF=2y=0
取x=l,得%(1,0,2),
EGn2245
所以点G到平面D[EF的距离为d=
故选:D.
7.若动点拉(西,%),N(%,y2)分别在直线x+,v+7=0与直线x+y+5=0上移动,则儿W的中点尸
到原点的距离的最小值为()
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A.24>B.3GC.372D.2V2
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点尸的轨迹,再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】解:由题意知,的中点尸的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线,故其方程为
x+y+6=0,
尸到原点的距离的最小值为d-5正一3,2.
故选:C
8.边长为1的正方体ABCD-451GA中,」E,厂分别是44i,4A中点,〃是。8靠近5的四等分
点,P在正方体内部或表面,DP-^EF+MF)=0,则丽的最大值是()
A.1B.—c.V2D.V3
2
【答案】D
【解析】
333
【分析】建立空间直角坐标系,设尸(x/,z),从而求得-+=再根据向量模长公式结合
0<x<l,0<y<l即可求解.
—R
【详解】
B
如图,建立空间直角坐标系,设尸
则£>(0,0,0),£]1,0,3;/13,0,1;河11,:川,
所以0,;1板=11,
则EF+A/F=,
1442)
因为丽•(而+/)=0,又赤=(x,y,2)
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所以一3x—3v+,z=0,即2=X+■,
4422
所以1词2=x2+j2+z2=x2+y2
又0<x<l,0<y<l,所以f+了2+[£|2]wi+i+1『]=3,当且仅当》=了=1,止匕时z=l
时,等号成立,
所以|加|的最大值是g.
故选:D.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.)
9.如图,四棱柱ABC。—481GA中,/为的中点,。为上靠近点4的五等分点,则()
—•—-1—-1—.
AAM=AB+-AD+—AA,B.2AM=AB+2AD+AA
.321X
—■1—■3—•3—
C.AQ=-AB+-AD+-AA.D.5AQ=^B+AD+AAA
5451i
【答案】BD
【解析】
【分析】运用空间向量的基底表示,结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.
【详解】AM=AB+BC+CM=AB+AD+^^CD+CC^
—AB+AD—ABH—AA,——AB+AD—441,
221221
即2标=75+27万+石,故A错误、B正确;
AQ=AAl+A^Q=AAl+^A^C=AAl+j^Di+D^Cl+qC)
—(■1/—>—>—*\1—*1—*4—*
^AA+-\AD+AB-AAA^-AB+-AD+-AA,
15V"555i
即5而=75+石+4数,故C错误,D正确.
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故选:BD.
10.已知两条直线4的方程分别为3x+4y+12=0与办+8〉—11=0,下列结论正确的是()
7
A.若〃/乙,则a=6B,若IJh,则两条平行直线之间的距离为a
32
C.若4J_,2,则。=彳D.若aw6,则直线4一定相交
【答案】AD
【解析】
【分析】根据两直线平行求出。的值,可判断A选项;利用平行线间的距离公式可判断B选项;根据两直
线垂直求出。的值,可判断C选项;根据两直线相交求出。的范围,可判断D选项.
【详解】两条直线4,4的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0,它们不重合,
若/J4,贝44a=3x8,得。=6,检验符合,故A选项正确;
若1加2,由A选项可知,I2:6x+8v-ll=0,直线4的方程可化为6x+8y+24=0,
111+2417
故两条平行直线之间的距离为>।=一,故B选项不正确;
V36+642
32
若4JL/2,则3a+4x8=0,得。=一§,故C选项不正确;
由A选项知,当a=6时,所以若则直线4一定相交,故D选项正确.
故选:AD.
11.如图,在多面体Z8CDES中,5/,平面25。),四边形Z3CD是正方形,旦DEIISA,
SA=AB=2DE=2,M,N分别是线段8C,S3的中点,。是线段。C上的一个动点(含端点
D,C),则下列说法正确的是()
S
A.存在点。,使得NQJ_S8
B.存在点0,使得异面直线N。与双所成的角为60°
2
C.三棱锥体积的最大值是]
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D.当点。自。向。处运动时,直线。。与平面。MN所成的角逐渐增大
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,设出点。的坐标,利用向量垂直的坐标运算判断A,利用异面直线的向量
夹角公式计算判断B,连接AQ,AM,AN,结合锥体体积公式,利用等体积法判断C,利用向量的坐标运
sin,
算表示线面角的正弦值,然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D.
【详解】以A为坐标原点,彳瓦石,乐正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
4(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),Z)(0,2,0),£(0,2,1),5(0,0,2),N(l,0,l),"(2,1,0);
对于A,假设存在点。(机,2,O)(O<机<2),使得N0LS5,
则而=(切—1,2,—1),又豆=(2,0,—2),
所以福•豆=2(掰—1)+2=0,解得机=0,即点0与。重合时,NQLSB,A正确;
对于B,假设存在点0(m,2,0)(0〈机W2),使得异面直线N。与双所成的角为60°,
因为而=(m—1,2,—1),S4=(O,O,-2),
1
所以cosN0,SZ=--方程无解;所以不存在点。,B错误;
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对于C,连接NQMM/N,设。。=加(04机42),
因为S"MQ~S口ABCD-S“BM~^QCM~^ADQ=2一彳,
所以当加=0,即点。与点。重合时,取得最大值2;
又点N到平面AMQ的距离d=工£4=1,
2
所以(VQ-AMN)max=^N-AMQLx='2X1=g,C正确;
对于D,由上分析知:NQ=(m-l,2,-l),2W=(1,1,-1),
/、[m-NO=(m-l)x+2y-z=0
若应=(x,y,z)是面NMQ的法向量,则一.二,)•
in-NM—x+y—z=0
令i=1,则成=(1,2-加,3-加),
因为反=(2,0,0),设直线。C与平面所成的角为。,0,|
1「1
所以M-H11+(2-加『+(3—加)2(,_目\!,
当点。自。向C处运动时,机的值由0到2变大,此时sin。也逐渐增大,
兀
因为y=sinx在0,-为增函数,所以。也逐渐增大,故D正确.
故选:ACD
三、填空题(本题共3小题,每题5分,共15分.)
12.已知点尸(4,-2),点A为圆工2+/=4上任意一点,则PN连线的中点轨迹方程是—
【答案】(X-2)2+(y+l)2=l
【解析】
【分析】首先设中点坐标为0(x,N),再设出相关点A的坐标,代入圆的方程,即可求解.
【详解】设尸/连线的中点为。(X,力,则幺(2x—4,2>+2),
则(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x—2)2+(v+l)2=1.
故答案为:(x—2y+(y+iy=1
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13.已知点尸(-2,-1)和直线7:(1+22)x+(1-32)y+2—2=0,则点尸到直线/的距离的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】先求得直线/的定点,进而求得点P到直线/的最大距离,然后检验点尸(-2,-1)是否可能在直线/
上即可
【详解】/:(1+2几)%+(1—+X—2=0可化为:x+y—2+(2x—3y+1)几=0
x~\~y—2—0
设直线/的定点为A,点P到直线/的距离为d,则有:〈
2x-3y+1=0
可得:2(1,1)为直线/的定点
则有:附=,32+22=岳,此时上训为点p到直线/的最大距离
若尸(一2,-1)在直线/上,则有:—2—1—2+(—4+3+1)4=0,即—5=0
可得:尸(-2,-1)不可能在直线/上,则有:d>0
综上可得:
故答案为:(0,历]
14.如图,已知点A是圆台的上底面圆。上的动点,民C在下底面圆。上,AOX=1,0a=2,
BO=3,BC=2#,则直线NO与平面Q8C所成角的正弦值的最大值为.
【答案】—
10
【解析】
【分析】以。为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得对应点的坐标,设出未知点的坐标,利用向量法求
线面角正弦值的最大值,再求余弦值的最小值即可.
【详解】解:连接。C,过C点作CH垂直于8。的延长线于点〃,以O为坐标原点,建立空间直角坐
标系如下所示:
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故c°sB=OB』C2-OC2=9+20?=g
20BBC2x3x2石3
则B"=BCcos8=
则CH=^BC2-BH2=,20—;=;,
OH=BH-OB=-,
3
故点c1—;,半,o],又0(0,0,0),a(0,0,2),8(3,0,0),
I33J
设点2(根,%2),m,we[-l,l],由。/=1,可得加?+〃2=i,
BC=-,BOX=(-3,0,2),
设平面OXBC的法向量访=(x,y,z),
104A/5
m-5C=0-■-XH---J-=0
则—.,即33
、
m-BO—0—3x+2z—0
取天=石,则x=2,z=3,
故平面QBC的法向量成=(2,百,3卜
又OA=(m,小2),
7T
设直线NO与平面Q8C所成角为。,0,-
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2m+y[5n+6|
7T;-I和OA2m+y[Sn+6
则sin0=cosQ4,M=।J_>1
|m|tM3y/2xy/m2+H2+43V10
因为加,〃£[―1,1],且加2+〃2=],
故令加=cos。,n=sina,aw(0,2»),
则2加+君〃+6=君5也1+2(:05<2+6=35111((2+0)+6,tancp=,(p&
又ae(0,2〃),所以sin(a+9)e[-l,l],
3sin(«+^)+6e[3,9],即2机+&n+6G[3,9],
所以sin0的最大值为一T==3^^.
3V1010
故答案为:巫.
10
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.在区14幺8。中,ZBAC=90°,8c边上的高幺。所在直线的方程为x—2y+2=0,//的平分线
所在直线的方程为>=0,点2的坐标为(1,3).
(1)求直线8c的方程;
(2)求直线ZC的方程及点。的坐标.
【答案】⑴2x+y-5=0
(2)直线/C的方程为:y=-X-2,C(7,-9)
【解析】
【分析】(1)根据垂直的位置关系,算出直线5c的斜率为-2,利用直线方程的点斜式列式,化简整理
即可得到直线8c的方程;
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(2)由8c边的高所在直线方程和y=0,解出4-2,0),从而得出直线48的方程.由直线NC、AB
关于直线V=0对称,算出ZC方程,最后将ZC方程与8c方程联解,即可得出点C的坐标.
【小问1详解】
由于所在直线的方程为x—27+2=0,故幺。的斜率为
2
•••BC与AD互相垂直,,直线BC的斜率为k=-2,
结合8(1,3),可得8C的点斜式方程:j-3=-2(x-l),
化简整理,得2x+y-5=0,即为所求的直线8c方程.
【小问2详解】
由x—27+2=0和了=0联解,得/(-2,0)
由此可得直线48方程为:匕9=叶2,即y=x+2,
3-01+2
AB,ZC关于角A平分线x轴对称,
・・•直线ZC的方程为:y=-x-2,
•:直线BC方程为j=-2x+5,
.,.将ZC、8c方程联解,得x=7,y=-9,
因此,可得C点的坐标为(7,-9).
16.如图,在直四棱柱4BCD—451GA中,底面4BCD为矩形,且/&=4B=2ZQ,E,尸分别为
的中点.
(1)证明:/尸〃平面&E5.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
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【解析】
【分析】(1)不妨设2。=1,建立空间直角坐标系,求出平面4助的法向量前,由静晶=0,得到
AFlm-即可得证;
(2)求出平面的法向量,利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
不妨设ZD=1,则幺4=25=2,如图建立空间直角坐标系,
则4(1,0,2),5(1,2,0),£(0,1,2),4(100),尸(0,0,1),D(0,0,0),
所以醒=(—1,1,0),福=(0,2,—2),AF=(-1,0,1),
设访=(x,y,z)是平面AXEB的一个法向量,
m-AyE=-x+y=0
则一.,取%=1,则y=z=l,
mA]B=2y-2z=0
所以平面4班的一个法向量成=(1,1,1),
又彳斤五=0,所以衣_L而,因为“尸0平面4助,所以/尸〃平面4E5.
【小问2详解】
因为D4J_平面AA^B,所以5N=(1,0,0)是平面AB]B的一个法向量,
m-DA_1V3
又因为cos(应,D1)
同03
所以平面4片8与平面4BE夹角的余弦值为YL
3
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17.已知直线(:气一y—3—4左=0(keR)过定点尸.
(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线4方程;
(2)若直线4交x轴正半轴于点A,交N轴负半轴于点8,V48C的面积为S(。为坐标原点),求S的
最小值并求此时直线4的方程.
【答案】⑴x+〉T=0或尤->-7=0或3x+4y=0
(2)最小值为24,直线4:3x—4y—24=0
【解析】
【分析】(1)求出直线4过的定点,分。工0,6/0和。=6=0两种情况,当。工0,670时,设/的方
程为二+¥=1,根据。点(4,-3)在直线上求出直线方程,若求出直线方程,若。=-6,求出直
线方程,当a=6=0,根据直线过原点,且过点(4,-3)求出直线的方程;
(2)求出直线6交x轴的正半轴的点,交N轴的负半轴的点,求出VZ08的面积,根据基本不等式求出
S的最小值时上的值.
【小问1详解】
直线4:歹+3=左卜一4),则直线4过定点尸(4,-3),
①当QW0,时,设/的方程为一X+?V=:!.
ab
。点(4,一3)在直线上,.•.3+口=1.
ab
若a=b,则Q=6=1,
直线的方程为x+y=1,
若a=-b,则〃=7,Z?=-7,
・・•直线的方程为%—V=7;
②当。=6=0时,直线过原点,且过点(4,一3),
•・•直线的方程为3x+4y=0,
综上所述,所求直线/的方程为》+>-1=0或工-》-7=0或3x+4y=0;
【小问2详解】
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4左+3
令V=0,则x=-------;令x=0,则y=-4k-3,
k
4左+3、
直线4交x轴的正半轴于点/—^,0,交歹轴的负半轴于点5(0,—4后—3),k>0,
。为坐标原点,设VZ08的面积为S,
11+31(16左+24+,>1-24+2-J16k3、
则S=—・04-05=------------(4左+3)=—=24,
22左2
93
当且仅当16左=—时,即左=—时取等号,
k4
3
故S的最小值为24,此时y
直线:3%-4j-24=0.
18.如图,在四棱锥P—4BC。中,平面尸40J_平面48CD,PALPD,AB1AD,PA=PD,
AB=\,AD=2,AC=CD=45
(1)求证:尸。,平面尸45.
(2)求直线与平面尸CD所成角的正弦值.
⑶在棱族上是否存在点使得四〃平面尸⑵?若存在,求出*的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
⑶存在;;
【解析】
【分析】(1)根据面面垂直的性质可得48,平面尸Z。,进而得Z81P。,再结合线面垂直的判定定理
进行证明即可;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面尸CD的一个法向量,再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行
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求解即可;
(3)要使5M7/平面尸CD,则瓦?.1=(),由此列式求解/可得.
【小问1详解】
・•・平面PAD1平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,
且48_L40,ABu平面ABCD,
.•.48,平面尸40,
・•・PQu平面0AD,••.A81产。,
又PDLPA,且尸Zn48=Z,尸448u平面尸45,
••.尸。,平面尸4§;
【小问2详解】
取40中点为。,连接C0,尸。,
X--PA=PD,:.POLAD.则4。=尸。=1,
■.-CD=AC=45>..COLAD,则C0=Jzc?—。幺2=^T7=2,
以。为坐标原点,分别以双,力,而所在直线为x/,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,
则尸(0,0,1),5(1,1,0),Z)(0,-1,0),C(2,0,0),
则丽=(1,1,一1),PD=(O,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),
设元=(久,y,z)为平面PCD的一个法向量,
n-PD=0\-y-z=0(1、
则由<_,得:令z=l,贝牖=不—1」.
n-PC=012x-z=0<2)
设PB与平面PCD的夹角为0,
--1-1
则sin6^=|cos/?,Ps|=n-PB—2=在
宿而g+1+lx百
【小问3详解】
假设在棱P4上存在点M点,使得加0〃平面PCD.
设而=4而北[0,1],
--»uu
由⑵知,/(0,1,0),5(1,1,0),尸(0,0,1),则幺尸=(0,-1,1),区4=(-1,0,0),
第16页/共19页
BM=BA+AM=BA+AAP=(-1,0,0)+(0,-2,2)=(-1,-2,2),
由(2)知平面PCD的一个法向量H=
——■—11
若BMII平面PCD,则BM-n=----+X=24=0,
22
解得几=」,又平面PCD,
4
故在棱P4上存在点村点,使得2M〃平面尸Q?,此时
AP4
19.在空间直角坐标系。-孙z中,已知向量权=(。,仇。),点6(Xo,%),Zo)若直线/以1为方向向量且经过
点4,则直线/的标准式方程可表示为三口=匕比(abcwO);若平面a以£为法向量且经
abc
过点4,则平面a的点法式方程表示为a(x-Xo)+b(y-yo)+c(z-Zo)=O.
(1)已知直线/的标准式方程为=3,平面内的点法式方程可表示为氐+y-2+5=0,
1—V32
求直线I与平面名所成角的余弦值;
(2)已知平面的的点法式方程可表示为2x+3y+z-2=0,平面外一点尸(1,2,1),点p到平面里的距
离;
(3)(i)若集合〃={(工4/)|忖+,区2,匕归1},记集合M中所有点构成的几何体为S,求几何体S
的体积:
(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+H<2,|j|+|z|<2,|z|+|x|<2).记集合N中
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