构造等腰三角形-初中数学常见的模型方法

构造等腰三角形

模型一：角平分线+平行线

【例题1】

1.如图，△ABC中，NABC与NACB的平分线交于点R过点F作DE//BC交AB

于点。，交AC于点E,那么下列结论：①△BD/和△CM都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；③△AOE的周长等于AB与AC的和；@BF>CF；⑤若NA=

80°,则NB5C=130。.其中正确的有一.（填正确的序号）

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求

解.

【详解】①：BF是NABC的角平分线，CF是NACB的角平分线，

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

VDE/7BC,

.\ZCBF=ZBFD,ZBCF=ZEFC（两直线平行，内错角相等），

.".ZABF=ZBFD,ZACF=ZEFC,

，DB=DF,EF=EC,

...ABDF和ACEF都是等腰三角形，

•••①选项正确，符合题意；

②•；DE=DF+FE,DB=DF,EF=EC,

/.DE=DB+CE,

.二②选项正确，符合题意；

③MADE的周长为=人口+口£,

VDE=DB+CE,

/.AADE的周长为=人口+口8+人£+©£=人8+人（2,

1

...③选项正确，符合题意；

④根据题意不能得出BF>CF,

...④选项不正确，不符合题意；

⑤•..若NA=80。，

.,.ZABC+ZACB=180o-ZA=180o-80o=100°,

VZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

Z.ZCBF+ZBCF=—xl00。=50。，

2

工ZBFC=180°-ZCBF-ZBCF=180°-50°=130°,

⑤选项正确，符合题意；

故答案为：①②③⑤.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利

用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利

用是解答本题的关键.

变式1

2.如图，在△ABC中，NABC和NACB的平分线交于点E,过点E作“交

A8于交AC于N,若△ABC、周长分别为13cm和8cm.

（1）求证：为等腰三角形；

（2）线段BC的长.

【答案】（1）详见解析；（2）5cm

【解析】

【分析】（1）由BE平分NABC,得ZMBE=NEBC,再由MN〃BC得NMEB=NEBC,

所以/MBE=NMEB,由等角对等边可得MB=ME；

（2）同理可证NE=NC,AABC的周长为AB+AC+BC,通过等量代换可得

△AMN的周长为AB+AC,两者之差即为BC的长.

【详解】解：（1）：BE平分NABC

二NMBE=NEBC,

2

VMN^BC

/.NMEB=NEBC

AZMBE=ZMEB,

AMB=ME

为等腰三角形

(2)同理可证NE=NC,

・•・AAMN的周长=AM+ME+EN+AN=(AM+MB)+(NC+AN尸AB+AC=8cm

又〈△ABC的周长=AB+AC+BC=13cm

/.BC=13-8=5cm

【点睛】本题主要考查等腰三角形的证明，熟练运用角平分线性质和平行线的性质

推出角相等是本题的关键.

模型二：角平分线+垂线

【例题2】

3.如图，AB=AC,N1=N2.AE_LCO交于凡交BC于点E,求证：AB=CE.

【答案】见详解

【解析】

【分析】先证明AFCgAEFC,进而即可得到结论.

【详解】证明：在\瓯和AEFC中，

21=Z2

\cF=CF,

ZAFC=NEFC

：.AAFC以AEFC,

.*.AC=EC,

VAS=AC,

；.AB=CE.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握AS4证明三角形全等，是

解题的关键.

3

变式1

4.已知：如图，在AABC中，ZBAC=9Q°,AB^AC,8。平分/ABC,交AC于

D,AE±BD^-F,交BC于E.求证：

(1)AB=BE；

(2)ZCAE=yZABC；

(3)AD=CE；

(4)CD+CE^AB.

【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)见详解；(4)见详解

【解析】

【分析】(1)3。平分NABC,AE±BD,BF为公共边,可证得△ABb之△班/，可

证得结论；

(2)ZBAC=90°可得NC4E+N3A尸=90°,而乙BA/+NA8广=90°,所以

NCAE=；NABC；

(3)连接OE,则可证得所以AO=DE,且NDEC=90°,AB=

AC,所以NC=45°,所以CE=OE,所以可得AD=CE；

(4)由(3)可得AO=CE,所以CD+AD=CD+CE=AC=AB.

【详解】证明：(1):台。平分/ABC,AELBD,

：.ZABF=ZEBF,NAFB=NEFB=90°,

在△ABE和△EBb中，

ZABF=NEBF

<BF=BF,

ZAFB=ZEFB

.,.△ABF义AEBF(ASA),

：.AB=BE；

(2)'：ZBAC=90°,

：.ZCAE+ZBAF=90°,而/48/=90°,

4

ZCAE=ZABF=-j-ZABC；

(3)连接DE,

在△AB。和△EBD中

AB=BE

■：JZABF=ZEBF,

BD=BD

:AABD义AEBD(SAS),

：.AD=DE,NDEC=NBAC=90°,

VZBAC=90°,AB=AC,

AZC=45°,

：.CE=DE,

：.AD=CE；

(4)由(3)可得AO=CE,

：.CD+CE=CD+AD=AC=AB.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，注意观

察所求线段或角之间的关系，找到所在的两个三角形，证明全等即可解决.

模型三：等边三角形中含定角问题

例题3]

5.等边三角形A3C中，只要满足5。=。石，连接A。、BE交于点、F,则么A尸E是

定值.

5

【解析】

【分析】由SAS证得△A3。/ABCE,得出NBAD=NEBC,由三角形外角性质得出

ZAFE=ZABF+ZBAF,即可推出NAPE=NA5歹+NE8C=NA8C=60°.

【详解】•••△ABC是等边三角形，

/.ZABD=ZC=60°,AB=BC,

在△A8D和△BCE中，

AB=BC

<ZABD=ZC,

BD=CE

：.AABD^ABCE(SAS),

：.ZBAD=ZEBC,

,：NAFE=ZABF+NBAF,

：.ZAFE=ZABF+ZEBC=ZABC=60°,

•••/AKE是定值.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角

的性质，推出△A8D也△BCE是解题的关键.

变式1

6.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、边上的两个动点，且总使8。

=CE,AE与CD交于点F,AG_1CD于点G,则以下结论：(1)

△ACE义ACBD；(2)ZAFG=60°；(3)AF=2FG；(4)AC=2CE.其中正确的

结论有()个

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】(1)由△ABC是等边三角形，可得AC=CB,ZACE=ZB=60°,又由

=CE,即可证得AACE之△CBO；(2)由AACE之△CBO,可得NCAE=NBCD,然

6

后由三角形外角的性质，求得NA月G=ZACF+ZCAE=ZACF+ZBCD=ZACE=

60°；(3)由NA/G=60°,AGLCD,可得NE1G=3O°,即可证得AN=2bG；(4)

由AC=BC,且BC不一定等于2CE,可得AC不一定等于2CE.

【详解】解：(1)「△ABC是等边三角形，

：.AC=CB,ZACE=ZB=60°,

在△ACE和△C8D中，

AC=CB

'：JZACE=ZB,

CE=BD

.,.△ACE义ACBD(SAS),故正确；

(2)VAACE^ACBD,

：.ZCAE=ZBCD,

：.ZAFG=ZACF+ZCAE^ZACF+ZBCD=ZACE=60°；故正确；

(3)VZAFG=60°,AGLCD,

4G=30°,

.,.AF=2FG；故正确；

(4)-：AC=BC,且BC不一定等于2CE,

.•.AC不一定等于2CE；故错误.

故选：B.

【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30。角

的直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

变式2

7.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、边上的两个动点，且总使

=BE,AE与CD交于点RAGLCO于点G,则NE1G=°.

【答案】30°

7

【解析】

【分析】先根据等边三角形的性质得到AC=CB=AB,NAC3=N8=60°,则由AD

=BE得到BD=CE,再根据“SAS”可判断△ACE之根据三角形外角性质

得到NA/G=NBCD+,而乙43/=90°,利用三角形内角和

定理即可求出ZFAG的度数.

【详解】解：:△ABC为等边三角形，

：.AC=CB=AB,ZACB=ZB^60°,

\"AD=BE,

：.BD=CE,

•在△4CE和△CB。中

AC=CB

•：JNACE=NB,

CE=BD

:.LACE经ACBD(SAS),

：.ZCAE=ZBCD,

,/ZAFG=ZCAF+ZACF,

：.ZAFG=ZBCD+ZACF=ZACB=60°,

'JAGLCD,

：.ZAGF=90°,

NE4G=90°-60。=30°.

故答案为30°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有

“SSS”、“SAS”、“ASA”、“A4S”；全等三角形的对应角相等.也考查了等

边三角形的性质.

模型四：直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线

例题4】

8.如图，已知Rt^ABC中,NACB=9(T,CD，AB于D,NBAC的平分线分别交

BC、CD于E、F.试说明ACEF是等腰三角形.

8

【答案】说明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：要证明4CEF是等腰三角形，需证明有两角相等即可.利用角

平分线、直角三角形及三角形外角的性质，进行等量代换，可求证.

解：VZACB=90o,

,,.ZB+ZBAC=90°.

VCDXAB,

ZCAD+ZACD=90°..*.ZACD=ZB.

：AE是NBAC的平分线