函数、一次函数、正比例函数压轴题八种模型全攻略（解析版）

专题17函数、一次函数、正比例函数压轴题八种模型全攻略

'丁工【考点导航】

目录

【典型例题】............................................................................1

【考点一用表格表示变量间的关系】.........................................................1

【考点二用关系式表示变量间的关系】.......................................................4

【考点三用图象表示变量间的关系】.........................................................6

【考点四动点问题的函数图象】.............................................................9

【考点五根据一次函数的定义求参数】......................................................12

【考点六求一次函数自变量或函数值】......................................................13

【考点七根据正比例函数的定义求函数的表达式】...........................................15

【考点八列一次函数解析式并求值】........................................................16

【过关检测】.........................................................................19

【典型例题】

【考点一用表格表示变量间的关系】

例题：（2023春•陕西汉中•七年级校考期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提

出概念所用时间x（分钟）之间的关系如下表：

提出概念所用时间（X）257101213141720

对概念的接受能力⑶）47.853.556.35959.859.959.858.355

⑴上表中反映的两个变量之间的关系，自变量是，因变量是；

⑵根据表格中的数据，提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力最强，分钟时，学生的

接受能力最弱；

⑶学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？

【答案】(1)提出概念所用时间；对概念的接受能力

(2)13；2

(3)学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱

【分析】(1)根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；

(2)根据表格中两个变量变化数据得出答案；

(3)提供变化情况得出结论.

【详解】(1)解：表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中"提出概念所

用时间”是自变量，"对概念的接受能力"为因变量；

故答案为：提出概念所用时间；对概念的接受能力.

(2)解：根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；提出概念

所用时间是2分钟时，学生的接受能力最弱；

故答案为：13；2.

(3)解：根据表格中的数据，学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱.

【点睛】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题

的关键.

【变式训练】

1.(2023春•陕西西安•七年级校考期中)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度〉(cm)与所挂物体质量

x(kg)之间有如下关系(其中x412)

x/kg012345

y/cm1010.51111.51212.5

下列说法不正确的是()

A.x与了都是变量，且x是自变量，了是因变量

B.弹簧不挂重物时的长度为10cm

C.所挂物体质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm

D.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为14.5cm

【答案】D

【分析】根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可.

【详解】解：4.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意；

B.弹簧不挂重物时的长度，即当x=0时〉的值，此时y=10cm,是正确的，因此该选项不符合题意;

C.物体质量x每增加1kg,弹簧长度了增加0.5cm,是正确的，因此该选项不符合题意；

D根据物体质量无每增加1kg,弹簧长度了增加0.5cm,可得出所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为

10+7x0.5=13.5cm,原选项错误，因此该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问

题的关键.

2.（2023春・陕西咸阳•七年级统考期中）心理学家研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时

间M分钟）之间有如下关系：（04xW20,y的值越大，表示接受能力越强）

提出概念所用的

01257101213141720

时间x（分钟）

对概念的接受能力y4345.547.853.556.35959.859.959.858.355

根据以上信息，回答下列问题：

⑴在表中描述的变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？

⑵当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是多少？

⑶当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？

⑷在什么时间范围内，学生对概念的接受能力在逐渐增强？在什么时间范围内，学生对概念的接受能力在

逐渐减弱？

【答案】⑴提出概念所用的时间x是自变量，学生对概念的接受能力了是因变量；

⑵学生的接受能力约是59；

⑶提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强；

⑷提出概念所用的时间为0分钟至13分钟之间时，y值逐渐增大，学生对概念的接受能力逐渐增强；在提

出概念所用的时间为13分钟至20分钟之间时，y值逐渐减小，学生对概念的接受能力逐渐减弱

【分析】（1）利用图表中数据得出答案；

（2）利用图表中数据得出答案；

（3）利用图表中数据得出答案；

（4）先根据图表可知：当x=13时，y的值最大是59.9,在13的左边，y值逐渐增大，反之y值逐渐减小,

从而得出答案.

【详解】（1）解：提出概念所用的时间X是自变量，学生对概念的接受能力y是因变量；

（2）解：当x=10时，y=59,

所以提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力约是59；

（3）解：当x=13时，y的值最大是59.9,

所以提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强；

（4）解:由表中数据可知：

在提出概念所用的时间为0分钟至13分钟之间时，y值逐渐增大，学生对概念的接受能力逐渐增强；

在提出概念所用的时间为13分钟至20分钟之间时，y值逐渐减小，学生对概念的接受能力逐渐减弱.

【点睛】此题主要考查了用表格表示变量间的关系，正确利用表格中数据得出结论是解题关键.

【考点二用关系式表示变量间的关系】

例题：（2023秋•湖北武汉•八年级校考阶段练习）等腰三角形周长为15,设腰长为x,底边长为V.

⑴用含x的式子表示V；

⑵若腰长是底边长的2倍，求此三角形三边长.

【答案】⑴N=15-2x

（2）此三角形三边的长分别为：6,6,3

【分析】（1）根据等腰三角形的周长为15,设腰长为x,底边长为y即可得出X、了的关系式，用含x的代

数式表示出了即可；

（2）根据腰是底的2倍可知x=2y,代入（1）中的关系式即可得出结论.

【详解】（1）解：・•・等腰二角形的周长为15,设腰长为x,底边长为V,

2x+y=15,

y=15-2x；

（2）•••腰是底的2倍,

x=2y,

,・・由（1）知，2x+y=15

5y=15,解得y=3,

..x=6,

此三角形三边的长分别为：6,6,3.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，函数关系式，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键.

【变式训练】

1.（2023春•四川成都•七年级成都实外校考期末）张大爷要围成一个长方形花园，花园的一边利用足够长的

墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，要围成的菜园是如图所示的长方形N3CZ）,设2c边的长

为x米，45边的长为了米，则丁与x的关系式是.（不需要写自变量取值范围）

y花园

B-------1-----------c

【答案】k-；x+13

【分析】根据"用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米”可以得出了与x的关系式.

【详解】解：•••用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，

:.x+2y=26,

.••y与x的关系式是：y=_gx+13,

故答案为：y=-1x+13.

【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，读懂题意，正确列出关系式是解题的关键.

2.（2023春・山东泰安•六年级统考期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高

度与碗的数量的关系如下表：

碗的数量（个）234

高度（cm）10.211.412.6

12.6cm⑴上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量?

⑵若把6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是多少？

⑶用x（个）表示这摞碗的数量，用〉（cm）表示这摞碗的高度，请表示出了与x的关系式；

⑷这摞碗的高度是否可以为22.2cm,如果可以，求这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由.

【答案】⑴图表中反映了碗的数量与高度之间的关系，碗的数量是自变量，高度是因变量；

⑵这摞碗的高度是15cm

⑶y=1.2%+7.8

⑷这摞碗的高度可以为22.2cm,此时这摞碗为12个

【分析】(1)根据自变量和因变量的概念进行判断即可得到答案；

(2)根据表格中两个变量的变化可知，每增加一个碗，高度增加1.2cm,据此即可得到答案；

(3)根据表格中两个变量的变化进行分析，即可得到关系式；

(4)根据题意得到1.2x+7.8=22.2,求解即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意可知，图表中反映了碗的数量与高度之间的关系，碗的数量是自变量，高度是因

变量；

(2)解：由表格可知，4个碗时高度为12.6cm,每增加一个碗，高度增加1.2cm,

6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是12.6+1.2+1.2=15cm；

(3)解：由表格可知，1个碗的高度为10.2-1.2=9cm,

y与x的关系式为:y=9+1.2(x-l)=1.2x+7.8；

(4)解：由题意可知，1.2%+7.8=22.2,

解得：x=12,

答：这摞碗的高度可以为22.2cm,此时这摞碗为12个.

【点睛】本题考查了变量与常量，函数的表示方法，理解相关概念，根据表格中变量的变化规律得出关系

式是解题关键.

【考点三用图象表示变量间的关系】

例题：(2023春•陕西西安•七年级校考期中)周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到

达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往

文华公园，如图是他们离家的路程s(km)与小明离家时间f(h)的关系图，请根据图回答下列问题：

⑴图中自变量是,因变量是；

⑵小明书城停留的时间为h，小明从家出发到达文化公园的平均速度为km/h；

⑶爸爸驾车经过多久追上小明？.此时距离文华公园多远？

【答案】（1）小明离家的时间，他们离家的路程

（2）1.7,7.5

（3）爸爸驾车经过与小时追上小明，此时距离文华公园10km.

【分析】（1）根据图像进行判断，即可得出自变量与因变量；

（2）根据图像中数据进行计算，即可得到时间、平均速度；

（3）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追及问题关系式即可解答.

【详解】（1）解：解：由图像可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程.

故答案为：小明离家的时间，他们离家的路程

（2）解：由图像可得，小明在书城逗留的时间为2.5-0.8=1.7（h）,小明从家出发到达文华公园的平均速度

为：30^4=7.5（km/h）.

故答案为：1.7,7.5；

（3）解：由图像可得，小明从书城到公园的平均速度为皂］=12（km/h）,

in

小明爸爸驾车的平均速度为1^=30（5/11）,

3.5—2.5

122

爸爸驾车经过右追上小明，

3U—12j

2

30-30x-=10（km）；

即爸爸驾车经过;小时追上小明，此时距离文华公园10km.

【点睛】本题考查了函数的图像，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图像的

意义.

【变式训练】

1.（2023秋・湖北武汉•七年级统考开学考试）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，

小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸.下面正确反映出浴缸水位变

化情况的图是（）

,水的高度，水的高度）水的高度八水的高度

A.,、B.\____/C...D.

lx,‘1/~./

°时间°时间°普间°普间

【答案】c

【分析】根据0-10分钟，浴缸水位上升，10-23分钟，浴缸水位保持不变，23分钟后，水位略下降，进行

判断作答即可.

【详解】解：由题意知，0-10分钟，浴缸水位上升，10-23分钟，浴缸水位保持不变，23分钟后，水位略

下降，

故选：C.

【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系.解题的关键在于理解题意.

2.(2023春•四川达州•七年级校考期中)如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，04与8c分别表示

它们与甲地距离，(千米)与时间，(小时)的关系，贝U：

⑴摩托车每小时走千米，自行车每小时走千米;

⑵摩托车出发后多少小时，它们相遇?

⑶摩托车出发后多少小时，他们相距20千米?

【答案】⑴40,10；

(2)1；

(3)摩托车出发后g或g或3小时，他们相距20千米

【分析】(1)根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可；

(2)设摩托车出发后x小时，它们相遇，根据相遇问题的特点列出方程求解即可；

(3)设摩托车出发后/小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方

程求解即可.

【详解】(1)摩托车每小时走：80+(5-3)=40(千米)，

自行车每小时走：80+8=10(千米).

故答案为：40,10；

(2)设摩托车出发后x小时，它们相遇，

10(x+3)=40x,

解得尤=1.

所以摩托车出发后1小时，它们相遇；

(3)设摩托车出发后/小时，他们相距20千米；

①相遇前：10。+3)-40:20,解得仁;

②相遇后：40?-10(Z+3)=20,

解得："g

③摩托车到达终点后，10。+3)=60,解得/=3；

综上，摩托车出发后g或(或3小时，他们相距20千米.

【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解

题的关键.

【考点四动点问题的函数图象】

例题：(2023秋•安徽合肥・九年级校考期中)如图，点"和点N同时从正方形/BCD的顶点A出发，点、M

沿着运动，点N沿着/Df。。运动，速度都为2c%/s,终点都是点C.若AB=4cm,贝|

的面积S(cm?)与运动时间f(s)之间的函数关系的图象大致是()

2

【分析】当0W/W2时,SAANM=-x2/x2/=2f；当2VlV4时,SJNM=S«BCD一S»BM一,结合

图形，即可求解.

【详解】解：当0V/V2时，如图,

・，.AM=2t9AN=2t9

=^-x2fx2f=2f2,此时抛物线开口向上.

当24/44时,如图，

BM=Item,AN+DN=2;cm,

•••4B=4cm,四边形/BCD是正方形，

AD=4cm,

DN=(2t-4)cm,BM=(It—4)cm,

CN=4-DN=(8-2?)cm,CM=4-BM=(S-2t)cm

S^ANM=S4BCD-S“AND_S“ABM-S&CNM

11,

=4x4-2x-x4x(2^-4)--(8-2/y=-2Z2+8/,此时抛物线的开口向下.

综上，选项/符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获

取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.解决本题的关键是利

用分类讨论的思想求出S与/的函数关系式.

【变式训练】

1.(2023秋•湖北武汉•九年级校考阶段练习)如图，正方形/BCD的边长为3cm,动点P从2点出发以3cm/s

的速度沿着边运动；另一动点。同时从8点出发，以1cm/s的速度沿着边A4向/点运动

(s),ABP。的面积为兴cm?),则＞关于x的函数图象是()

AD

【分析】首先根据正方形的边长与动点尸、0的速度可知动点0始终在48边上，而动点P可以在3C边、

CD边、边上，再分三种情况进行讨论：①04x41；②K42；③2<x43；分别求出y关于x的

函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解.

【详解】解：由题意可得80=x.

①04x41时，尸点在边上，

则AB尸。的面积=；8P

13

解y=5,3k工=5/；故/选项错误；

②1<XV2时，尸点在C£>边上，

则上尸。的面积=B08C,

13

即>=5，,3=5工，故3选项错误；

③2<xW4时，P点在边上，

则人8尸。的面积

1320

M^=-（9-3x）.x=-jx+jx;故。选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解

题的关键.

2.（2023春•吉林长春•八年级统考期中）如图1,在长方形/BCD中，动点R从点C出发，沿C—Dr4TB

方向运动至点8处停止，在这个变化过程中，变量x表示点及运动的路程，变量y表示阴影部分△8CR的

【答案】20

【分析】先根据函数图象得出CD=4,AD=5,再根据长方形的面积公式计算，即可.

【详解】解：,•,0<x«4时，点及从。到达点。，

・・.CZ）=4,

,••4<xV9时，此时点R从。到达点4,且长方形48C。的面积开始不变，

AD=5,

长方形ABCD的面积为CD"£>=4x5=20.

故答案为：20

【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解题的关键是根据题意得出。=4,AD=5.

【考点五根据一次函数的定义求参数】

例题：（2023春・重庆北倍•八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）已知y=（左-2）PT+2是关于%的一次函

数，则人的值为.

【答案】-2

【分析】根据一次函数的定义，形如了=丘+以发W0）的式子是一次函数解答.

上一220

【详解】解：根据题意,

冏-1=1'

解得左=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题主要考查一次函数的解析式的形式的记忆，熟记一次函数解析式的形式，特别是对系数的限

定是解本题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋•全国•八年级专题练习）若了=（%-2）/一"+优-4为一次函数，则加=.

【答案】0

冽一2w0

【分析】利用一次函数的定义可得|.-i|=r求解即可・

加一2w0

【详解】解：由题意得:

|m-l|=1

加w=20或1\加m^=22

解得:（舍去）,

:.m=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.（2023秋•全国•八年级专题练习）己知函数y=（加-1）尤+〃?2-1.

⑴当加为何值时，y是x的一次函数？

⑵当加为何值时，y是x的正比例函数？

【答案】⑴加力1

⑵m=—\

【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；

（2）利用正比例函数定义进行解答.

【详解】（1）解：由题意得：m-l#0,

解得：加片1；

（2）解：由题意得：加2-1=0且,

解得：m=-l.

【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如〉=履（左是常数，且左力0）的函

数叫做正比例函数；形如》=履+6（左、6是常数，且左二。）的函数叫做一次例函数.

【考点六求一次函数自变量或函数值】

例题：（2023秋•全国•八年级专题练习）若点P（%b）在直线＞=2x+l上，则代数式1-40+2b的值为（）

A.3B.-1C.2D.0

【答案】A

【分析】把点尸S⑼代入＞=2x+l,得出2a-6=-l,将其代入1-4〃+2b进行计算即可.

【详解】解：把点尸（。力）代入》=2x+l得6=2a+l,

整理得：2a-b=-l,

.•.l-4a+26=l-2（2a-b）=l-2x（-l）=3,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象

上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号.

【变式训练】

1.（2023秋•安徽滁州•八年级校联考阶段练习）已知直线＞=5工-4经过（加,〃），贝U3机-2〃的值为.

【答案】8

【分析】把（见〃）代入直线＞=；x-4可得2〃-4=〃，从而可得答案.

【详解】解：•.・直线歹=4经过（加,〃），

34

：.-m-4=n,

2

・•・3m-8=2HBP3m-2H=8,

故答案为：8

【点睛】本题考查的是一次函数的性质，理解一次函数图象上点的坐标含义是解本题的关键.

2.（2023秋•全国•八年级专题练习）若点尸（私”）在函数y=gx+l的图象上，则代数式5〃-帆的值

为.

【答案】5

【分析】把点（""）代入函数y=：X+1得到〃=g机+1,再利用等式的基本性质变形即可得出结论.

【详解】解：•••点代入函数v=：x+l的图象上，

1,

/.n=-m+1,

5n=m+5,

:.5n—m=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用到整体代入思想.熟知一次函数图象上各点的

坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

【考点七根据正比例函数的定义求函数的表达式】

例题：（2023春•甘肃庆阳•八年级校考阶段练习）已知了与x+2成正比例，且当x=l时，y=6.

⑴求V与x之间的函数关系式；

⑵若点（加，1）在这个函数图象上，求加.

【答案】⑴>=2x+4；

3

（2）m=--.

【分析】（1）设》=左口+2）,待定系数法求出函数解析式即可；

（2）将（加，1）代入解析式,进行求解即可.

【详解】（1）解：设y=《（x+2）,

•.•当x=l时，y=6,

[6=左（+2）,

・,・左=2,

歹=2（%+2）=2x+4；

（2）解：•.•点（加1）在这个函数图象上,

・•・1=2m+4,

3

m=——.

2

【点睛】本题考查正比例函数的定义，求一次函数的解析式，以及求自变量的值.解题的关键是利用待定

系数法求出函数解析式.

【变式训练】

1.（2023秋•安徽淮北•八年级校联考阶段练习）己知了+1与x-3成正比例，当x=l时，y=7.

⑴求〉与x之间的函数关系式；

（2）当x=-2时，求y的值.

【答案】⑴了=-4x+ll

⑵19

【分析】（1）设>+l=Mx-3）（左为常数，左片0）,把x=i,y=7代入求出左即可；

（2）把x=-2代入y=-4.x+ll,即可求出答案.

【详解】(1)解：“+1与x-3成正比例，

.•.设y+l=4(x-3)(左为常数，左/0),

把x=l,F=7代入得:7+1=入(1-3),

解得：左=-4,

即y=-4x+11,

与x之间的函数关系式是V=-4x+ll；

(2)当x=-2时，

y=-4x(-2)+ll=19.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式等知识

点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键.

2.(2023春•吉林松原,八年级统考期末)已知V-4与x成正比，当尤=1时，y=2.

⑴求了与x之间的函数关系式；

(2)当x=-g时，求函数了的值.

［答案］⑴昨-2X+4

(2)5

【分析】(1)设了-4=船，将x=l,>=2代入求出发的值，即可解答；

(2)将无=-g代入函数关系式求解即可.

【详解】(1)设了一4=船

•・•当x=l时，丁=2

2-4=4,解得k=-2

-4=-2x

歹与工之间的函数关系式为歹=-2X+4；

(2)当工=时，k-2x(-£|+4=5.

【点睛】本题考查了正比例函数的定义，求函数值，正确把握正比例函数的定义是解题的关键.

【考点八列一次函数解析式并求值】

例题：(2023•全国•八年级假期作业)下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信

公司手机的A类收费标准如下:不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2

元/min计.8类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计.

⑴根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间x和手机话费丁，请写出A,8两种计

费方式分别对应的函数表达式.

⑵月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？

⑶若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由.

【答案】⑴A类：y=0.2x+12,B类:y=0.25x

⑵240min

（3）A类，理由见解析

【分析】（1）直接根据题意列代数式即可；

（2）将两解析式联立求解即可；

（3）分别将x=300代入解析式求出y的值比较即可.

【详解】（1）由题意可知，A类：y=0.2x+n,B类:y=0.25x

（2）因为0.2x+12=0.25x,解得x=240

所以当通话时间等于240min时，两类收费方式所缴话费相等；

（3）当x=300时，y=0.2x+12=72,y=0.25x=75

因为72<75,所以应该选择A类缴费方式.

【点睛】本题考查了列一次函数解析式并求值，正确列出两解析式是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023春•河南郑州•八年级校考期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活

用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点.按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资,

且必须装满.请根据下表信息，回答问题：

物资种类食品药品生活用品

每辆汽车运载量（吨）654

每吨所需运费（元）120160100

⑴设装运食品的车辆数为x,装运药品的车辆数为乃求〉与x之间的函数表达式；

⑵若装运食品的车辆数不少于5,装运药品的车辆数不少于4,那么车辆的安排有几种方案?

【答案】⑴>=-2X+2。

⑵安排方案有4种，见解析

【分析】(1)先表示出装运生活用品的车辆数为(20-x-y),再结合表格中的数据解答即可；

(2)先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案.

【详解】(1)解：根据题意，装运食品的车辆数为x,装运药品的车辆数为修那么装运生活用品的车辆数

为(20-x-y),

则有6x+5y+4(20—x—>>)=100,

整理得，y=-2x+20,

.■.y与x之间的函数表达式为y=~2x+20；

(2)由(1)知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x,(20-2x),尤，

由题意,得［2。-2xI,

解这个不等式组，得5VxV8,

因为x为整数，所以x的值为5,6,7,8.

所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品

8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4

辆，生活用品8辆.

【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数

关系式和不等式组是解题的关键.

2.(2023秋•全国•八年级专题练习)尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动

中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品.某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢

笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费.已知每支钢

笔定价为15元，每本笔记本定价为4元.该班班长准备购买无支钢笔和(x+10)本笔记本，设选择第一种方

案购买所需费用为必元，选择第二种方案购买所需费用为力元.

⑴请分别写出必，力与x之间的关系式；

⑵若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优

惠.

【答案】⑴乃与x之间的关系式为M=15X+40,%与X之间的关系式为%=62X+32

(2)选择方案②更为优惠

【分析】(1)分别根据方案①和方案②列出关系式即可；

（2）将x=10分别代入必、外求出结果比较大小即可.

【详解】（1）解：方案①：%=15x+4x（x+l。-x）=15x+4。，

方案②：y2=[15x+4（x+10）]x80%=15.2x+32,

必与x之间的关系式为必=15x+40,%与x之间的关系式为%=15.2X+32；

（2）当x=10时，yx=15x10+40=190；y2=15.2x10+32=184.

v190>184,

••・选择方案②更为优惠.

【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023秋•安徽蚌埠•八年级统考阶段练习）下列图象中，表示y是X的函数的是（）

【答案】B

【分析】在一个变化过程中有两个变量x与乃对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么

就说〉是x的函数，由此即可判断.

【详解】解：4（）»表示y不是X的函数，该选项不符合题意的;

\O\Jx

【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义.

2.（2023春•河南商丘•八年级校联考期末）若y关于x的函数>=（〃Ll）x+"是正比例函数，则〃?，〃应满

足的条件是（）

A.加工1且〃片0B.7〃=1且〃*0C.力？=1且〃=0D.且"=0

【答案】D

【分析】正比例函数的解析式为》=履，其中左*0,据此求解.

【详解】解：•.,>=（加-l）x+〃是正比例函数，

加一1。0且几=0,

•••加w1且〃=0.

故选D.

【点睛】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0,无

常数项.

3.（2023春・福建三明•七年级校考期中）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（人）与下

滑的时间。）的关系如下表:

支撑物高〃（cm）1020304050

下滑时间《s）3.253.012.812.662.56

以下结论错误的是（）

A.当〃=40时，f约2.66秒B.随高度增加，下滑时间越来越短

C.估计当〃=80cm时，f一定小于2.56秒D.高度每增加10cm,时间就会减少0.24秒

【答案】D

【分析】根据表格的数据，逐项分析即可得到答案.

【详解】解：/、由表格可知：当〃=40时，f约2.66秒，故N选项正确，不符合题意；

B、由表格可知：当力由10逐渐增大到50时，，的值由3.25逐渐减小到2.56,因此随高度增加，下滑时间

越来越短，故2选项正确，不符合题意；

C、由8可知：随高度增加，下滑时间越来越短，且当人=50时，（=2.56,所以估计当7z=80cm时，t一定

小于2.56秒，故C选项正确，不符合题意；

。、由表格可知：时间的减少是不均匀的，故。选项错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键.

4.Q023春•河北保定,七年级校考期中）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了保定市春季某一天的气温7

随时间f的变化而变化的情况，下列说法错误的是（）

A.这一天凌晨4时气温最低B.这一天14时气温最高

C.这一天气温呈先上升后下降的趋势D.从4时至14时气温呈上升状态（即气温随时间的增

加而上升）

【答案】C

【分析】根据气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案.

【详解】解：A.这一天凌晨4时气温最低为-3℃,故本选项正确；

B.这一天14时气温最高为8℃,故本选项正确；

c.这一天气温呈先下降，再上升，最后下降的趋势，故本选项错误；

D.从4时至14时气温呈上升状态，故本选项正确；

故选C.

【点睛】本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键.

5.(2023春,湖南岳阳•八年级统考期末)定义：对于给定的一次函数>="+方(°、6为常数，且•*()),

\ax+b(x>Q}

把形如了=1的函数称为一次函数了=。工+6的"衍生函数"，已知一次函数y=2x-l,若点

PL2,m)在这个一次函数的"衍生函数"图象上，则加的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】找出一次函数y=2x-l的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出入的值.

2x-l(x>0)

【详解】由定义知，一次函数N=2x-1的"衍生函数"为

・・•点尸(-2,〃?)在一次函数的"衍生函数"图象上，》=-2<0

m=—2x(—2)—1—3.

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据"衍生函数"的定义，找出一次函数>=2x-l的"衍

生函数”是解题的关键.

二、填空题

6.(2023・广东深圳•校考一模)若一次函数V=x+b的图像过点贝—.

【答案】-2

【分析】根据一次函数图像与性质，根据题意，将工(1,-1)代入一次函数>=x+b得到关于b的一元一次方

程，求解即可得到答案.

【详解】解：把点N(1,T)代入一次函数7=x+6,

1=1+6,解得6=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查一次函数图像与性质，理解一次函数y=x+b的图像过点/(1,T),就是4(1,-1)坐标满足

一次函数表达式是解决问题的关键.

7.（2023秋•全国•八年级专题练习）若一次函数y=2x-5的图像过点（a,6）,贝l]b-2a+l=.

【答案】-4

【分析】先把点（凡6）代入一次函数y=2x-5,得到b=2a-5,然后代入代数式计算即可.

【详解】解：•••一次函数>=2》一5的图像过点（a,b）,

**•b—2a—5,

・,.b—2a+1=2a-5-2a+1=-4.

故答案为：-4.

【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点、代数式求值等知识点，掌握凡是函数图像经过的

点必能满足解析式是解答本题的关键.

8.（2023春•陕西渭南•八年级统考期末）某超市"6.18”期间做促销优惠活动，凡一次性购物超过100元以上

者，超过100元的部分按8.5折优惠.小字在此期间到该超市为单位购买单价为60元的办公用品x件

（x>2）,则应付款丁元（元）与商品件数x的关系式是.

【答案】J=51x+15/y=15+51x

【分析】根据题意可得V>100,所以应付货款超过100的部分按8.5折优惠，进行计算即可得到答案.

【详解】解：门>2,

/.y>100,

.-.y=100+0.85（60x-100）=51x+15,

；・应付款了元（元）与商品件数x的关系式是：y=51x+15,

故答案为：y=5b+15.

【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系.

9.（2023春・上海宝山•八年级校考阶段练习）已知函数》=（左-1八同+3是一次函数，则

k=.

【答案】-1

【分析】根据一次函数的定义可得人-1W0,附=1,然后计算求解即可.

【详解】解：由题意得，左-1W0,网=1,

解得左=一1,

故答案为：T.

【点睛】本题考查了一次函数的定义.解题的关键在于根据一次函数的定义列等式和不等式.

10.（2023•浙江衢州•校考一模）小明早上步行去车站，然后坐车去学校.如图象中，能近似的刻画小明离

学校的距离随时间变化关系的图象是.（填序号）

【答案】④

【分析】根据题意小明是在上学的路上，可得离学校的距离越来越近，根据开始是步行，可得距离变化慢,

后来是坐车，可得距离变化快，根据速度和距离的变化情况即可解题.

【详解】①距离越来越远，选项错误；

②距离越来越近，但是速度前后变化快慢一样，选项错误；

③距离越来越远，选项错误；

④距离越来越近，且速度是先变化慢，后变化快，选项正确；

故答案为：④.

【点睛】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键.

三、解答题

11.（2023春・云南怒江•八年级校考期末）已知y与x成正比例，且x=2时，y=4

⑴求y关于x的函数表达式；

⑵当x=-g时，求y的值.

【答案】（l）y=2x

⑵-1

【分析】（1）设出解析式，待定系数法求解即可；

（2）将x的值代入解析式计算即可.

【详解】（1）解：设^=点（麻0）,

把x=2,y=4代入得：4=2左，

解得：k=2f

即丁与x的函数关系式为丁=2x；

(2)解：把无=-；代入y=2x得：y=-1.

【点睛】本题考查正比例函数的解析式.用待定系数法求出解析式是解题的关键.

12.(2023秋•安徽阜阳•八年级校考阶段练习)已知函数了=(5〃?-3)尤2-"+(加+"),

(1)当相、〃为何值时，此函数是一次函数？

(2)当加、〃为何值时，此函数是正比例函数？

3

【答案】⑴〃=1，根

(2)〃=1,m--1

【分析】(1)根据一次函数的定义知2-〃=1,且5m-3/0,据此可以求得加、〃的值；

(2)根据正比例函数的定义知2-〃=1,%+”=0,据此可以求得加、”的值.

【详解】(1)解：当函数y=(5加-3)针"+(心+力)是一次函数时,

2—H=1,且5加—3。0,

3

解得，n=\,

(2)解：当函数y=(5加-3)/〃+(冽+〃)是正比例函数时，

‘2-〃=1

＜加+〃=0,

5加一3w0

解得，〃=1,m=-\.

【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊

形式.

13.(2023春•贵州•七年级统考期末)如图，的高/D=6cm,8c=9cm,点E在AD上，连接4E.设

CE的长为x(cm),的面积为'(cm?),解答下列问题：

⑵若CD=4cm,当x为多少时，A/AE1的面积比V/OE的面积大3cm°?

【答案】⑴N=27-3x

(2)6cm

【分析】（1）由8C=9cm,CE的长为x（cm）可得2E=（9-x）（cm）,再由三角形的面积公式即可得到了与x

之间的关系式；

（2）表示出V4DE的面积为（3x-⑵（cm?）,再根据“郎的面积比VADE的面积大3cmz得到

27-3x-（3x-12）=3,再解方程即可得到答案.

【详解】（1）解：BC=9cm,CE的长为x（cm）,

BE^BC-CE=（9-x］（cm）,

“BC的高AD=6cm,

，AABE的面积y=3BE,AD=—（9—x）x6=（27—3x）^cm2）,

・•.y与x之间的关系式为：V=27-3%；

（2）解：,/CD=4cm,

,DE=C£-CO=（x-4）（cm）,

;V/OE的面积=・ND=；（x-4）x6=（3尤-12乂cn?）,

AABE的面积比V4DE的面积大3cm2

二.27-3x-（3x-12）=3,

解得：x=6,

.,.当x=6时，ANAE1的面积比V/OE的面积大3cm2.

【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系,

是解题的关键.

14.（2023春•重庆南岸•七年级统考期末）周末，张老师8时从家骑自行车出发，到附近的景点游玩，下午

16时回到家里.他离家的距离s（千米）与时间f（时）之间的函数关系可以用如图所示的折线表示.请根

据图象，解答下列问题：

⑴请填表格:

时间（时）910111213141516

离家的距离（千米）10200

（2）张老师返回时，骑车的平均速度是多少？

【答案】⑴10,25,25,30,15

⑵张老师返回时，骑车的平均速度是15千米/时

【分析】（1）根据图象中的数据即可求解；

（2）结合图象，根据速度=路程+时间即可求解.

【详解】（1）解：由图象可知：

时间（时）910111213141516

离家的距离（千米）102020252530150

故答案为：10,25,25,30,15；

（2）由图象可知：

张老师返回时，骑车的平均速度是30+（16-14）=15（千米/时）

答：张老师返回时，骑车的平均速度是15千米/时.

【点睛】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

15.（2023春・四川达州•七年级统考期末）如图1,Z5=ZC=90°,=2CD,点尸以每秒1c%的速度从2

点出发，沿C—。路线运动，到。停止.如图2,反映的是尸的面积S（cm2）与点尸运动时间x

（秒）两个变量之间的关系.

⑴指出CD的长度，并求加的值；

⑵当点尸在线段BC上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系.

【答案】⑴CD=2cm,7〃=12

⑵S=2x（0<x<6）

【分析】（1）根据图2可得点尸在2c上运动了6秒，在CD上运动了2秒，进而求出8。=6,。=2,再

根据机求解即可；

(2)根据三角形的面积公式解答即可.

【详解】(1)根据图2可得：点尸在2C上运动了6秒，在。。上运动了2秒，

•••点尸以每秒1cm的速度从8点出发的，

.-.BC=6,CD=2,

AB=2CD=4,

•1•M=S.ABC=1x4x6=12；

CD=2cm,加=12；

(2)当点尸在线段2C上运动时，即当0<xV6时，S===

【点睛】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是关键.

16.(2023春•辽宁沈阳•七年级统考