海南省某中学2025届高三年级上册第一次模拟考试数学试题

海南省文昌中学2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如果复数z满足：z+|z|=2+4i,那么z=（）

A.-3+4i

C.-5+4i

2.已知两个非零向量入B满足B+耳邛-牛则z+B在B上的投影向量为（）

A.-bB.b

3.设/，加是两条不同的直线，%夕是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）

A.若mlla,a110,nu0,则加〃〃B.若加//%加//a,〃//，，则a/〃？

C.若/_L冽，加ua,贝i"_LaD.若/_L回加_L回冽_Li,贝i"_La

4.如图，在直三棱柱4G中，所有棱长都相等，D,E,尸分别是棱4B,BC,BXCX

的中点，则异面直线。尸与所成角的余弦值是（）

5.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所

失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观

念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内按正”边形等分成“个等腰三角形（如图所示），当"

越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin6。的近

似值为（兀取近似值3.14）（）

试卷第1页，共6页

A.0.314B.0.157C.0.105D.0.052

A

6.在V/BC中，若sinC-sin8=cos2—,则V/3C是（）

2

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.若水平放置的平面四边形N08C按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中

AC1B'C,A'C'=l,O'B'=2,则以原四边形/OB。的边/C为轴旋转一周得到的几何

体的体积为（）

8.已知二面角c-加一"的平面角的大小为90°48为半平面a内的两个点，C为半平面"内

一点，且/C=8C=2g,若直线8C与平面a所成角为30。，。为3c的中点，则线段

长度的最大值是（）

4.而B.MC.浮D.理

二、多选题

9.已知复数2=注，则下列说法正确的是（）

A.|z|=V13B.z的虚部为-2i

C.z在复平面内对应的点在第四象限D.z的共辗复数为3+2i

10.函数/（x）=cos2xcose-sin2xsine（0<^<|）的图象的一个对称中心为］已，°）则

下列说法正确的是（）

试卷第2页，共6页

A.直线x=（兀是函数/⑺的图象的一条对称轴

B.函数/'（x）在（4,f上单调递减

C.函数/'（x）的图象向右平移展个单位可得到N=cos2x的图象

D.函数/（x）在［。目上的最大值为1

11.如图，在边长为4的正方体/BCD-44GA中，£,尸分别是棱用G，G2的中点，P是

正方形44GA内的动点，则下列结论正确的是（）

A.若。尸〃平面C£b,则点尸的轨迹长度为近

B.若=则点P的轨迹长度为］

C.二面角Z-跖-C的正切值为速

D.若尸是棱4月的中点，则三棱锥尸-CE尸的外接球的表面积是41兀

三、填空题

12.tan20°+tan40°+血an20°tan40°=

13.已知直四棱柱48cz）-44GA高为2,底面四边形4BC。中，/8=/。=90。，NN=60°,

AB=4,AD=5,则四棱柱外接球的表面积是.

14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边

所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部

一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角V/8C外接

圆的半径为4,且三条圆弧沿V/BC三边翻折后交于点尸.若48=6,贝IJ

ccs/P/C=；若/C:/5:BC=6:5:4,则P/+PB+PC的值

为.

试卷第3页，共6页

四、解答题

15.如图所示，A,B,C为山脚两侧共线的三点，在山顶尸处测得三点的俯角分别为夕，

P，Y.计划沿直线NC开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算：

(1)PB的长度

(2)隧道。石的长度.

acosyADEBBC

4573■

45°60°12-3^

5~r~T

16.正方体43CD-44GA的棱长为2,尸是线段42上的动点.

(1)求证：平面瓦犯圈，平面43G；

⑵PB、与平面43G所成的角的余弦值为立，求PB的长.

3

17.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形0/8C是等腰梯形，4(6,0),C(l，6)，点M

试卷第4页，共6页

⑴当点尸为线段BC中点时，将存绕原点。沿逆时针方向旋转75。到函的位置，求

点片的坐标;

⑵求NOCM的余弦值；

（3）是否存在实数2,使（方-彳痂），而？若存在，求出实数力的取值范围；若不存在,

请说明理由.

18.如图1,在矩形ABCD^,4B=1,BC=41,M是线段上（包括端点）的一动点,

如图2,将A48W沿着8〃折起，使点A到达点尸的位置，满足点Pe平面BCDM.

图1图2

PN

（1）如图2,当8。=2加0时，点N是线段PC上点的，DN//平面PBM,求正的值；

（2）如图2,若点P在平面3CDM内的射影E落在线段BC上.

①是否存在点M,使得平面PCM,若存在，求9的长；若不存在，请说明理由;

②当三棱锥E-PBM的体积最大值时，求点E到平面PCD的距离.

19.已知函数/（x）=2cos（ox+夕）+后（0＜。＜2,0＜夕＜.

请在下面的三个条件中任选两个解答问题.

①函数/（X）的图象过点（0,272）；

②函数/（x）的图象关于点对称；

③函数/（X）相邻对称轴与对称中心之间距离为1.

⑴求函数/（x）的解析式;

试卷第5页，共6页

⑵若"马是函数/a）的零点，求cos-；2）兀的值组成的集合;

⑶当。武-2,0）时，是否存在。满足不等式若存在，求出。的范围;

若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案ABDDCADAACDAC

题号11

答案BCD

1.A

【分析】设2=。+万(36©!<),即可表示出口，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解

得即可.

【详解】设2="+瓦(。,6©1<),则三=4-及，|z|=yja2+b2,

因为z+|z|=2+4i,即0+后""记+6i=2+4i，

UUl、la+Vi/2+b2=2fcn，fa=-3

所以〈，解得B〈，“，

b=4〔6=4

所以z=-3+4i.

故选：A

2.B

【分析】根据F+用=『-可，得£%=0,再根据投影向量的公式计算即可.

【详解】由题意口+31=,-坂『，a2+2a-b+b2^a2-2a-b+b2>解得Z%=0,

2

a+b\b石a-b+brr

所以2+5在B上的投影向量为MM，

故选：B.

3.D

【分析】对于ABC：根据正方体的结构特征，举反例说明即可；对于D：根据线面垂直的

性质和判定定理分析判断.

【详解】对于选项ABC：在正方体中48cz)-44GA，

答案第1页，共19页

例如4月〃平面48C。，平面/5CD〃平面,42u平面431CQ,

但44与4。相交，故A错误;

例如44〃。£,44〃平面。孰2。，eq〃平面4094

但平面CCQQn平面ADDXAX=DDX,故B错误；

例如48工/C,ZCu平面/BCD,但48u平面48cD,故C错误；

对于选项D：若贝1]/〃加，

且加_Ltz,所以/_La,故D正确；

故选：D.

4.D

【分析】利用平移法作出异面直线。尸与GE所成角，解三角形即可求得答案.

【详解】连接8月，因为在直三棱柱/3。-4月£中，E,尸分别是棱2C,4G的中点,

故G尸l|8E,C/=8E,,即四边形GEBE,为平行四边形，所以8FIIG&

则ND厂3即为异面直线D尸与所成角或其补角;

直三棱柱/8C-4耳G中，所有棱长都相等，设其棱长为2,连接EEDE,

则EF=2,EF\\BB{,BB{_L平面ABC,故EF_L平面ABC,DEu平面ABC,

答案第2页，共19页

故EhDE,。是棱的中点，i^DE=-AC=l,

2

则。尸=^EF"+DE-=曲，而BF=^EF'+BE1=75

DF?+BF?-DB。5+5-1_9

又DB=T,故在“DBF中，COSZDFB=

2DFBF-2.亚.下一10

由于异面直线所成角的范围(o(],故异面直线。尸与GE所成角的余弦值是亮，

\，1U

故选：D.

5.C

【分析】根据题意，将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为6。，再根据

这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积列等式，计算即可.

【详解】将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为6。.

因为这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，

1314

所以60义一xlxlxsin6。p兀乂仔，所以sin6°穴——«0.105.

230

故选：C.

6.A

【分析】根据条件，利用降暴升角公式及余弦的和差角公式，得到cos(C-5)=1,即可求出

结果.

【详解】因为sinC-sinS=cos23二上上0，整理得到

22

2sinC•sinB=1+cosA=l-cos(C+B)=1—cosCcosB+sinC•sinB,

即cosCcosB+sinC-sin5=cos(C-B)=l9

又0＜。＜兀,0＜8〈兀，得至Ij—兀＜。—8＜兀，所以C—5=0,即。=5,

故选：A.

7.D

【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥

的组合几何体的体积.

ff

【详解】由题意，HC7/。®,AC'_LB'C\AC=19O®=2,

O'A1=V2，

答案第3页，共19页

yt

o

所以原图形/03C中，ACHOB,OAVOB,AC=1,08=2,

AO=240,=2x拒=2收，

所以梯形M98。以边ZC为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体,

V=nOA2xOB--TtOA2x(OB-AC}=Ttx8x2--TcxSxl=—Tt.

3''33

故选：D.

8.A

【分析】作CO,小于。，根据已知条件可得48两点在以C。为高，C4cB为母线的圆锥

的底面圆周上，再根据余弦定理可得/£p=1572cos44。，从而判断出要使线段工。的长

度最大，则44CD最大，确定42两点的位置，再利用三角形知识求解即可.

作CO_L小于0,

因为二面角a-m-/的平面角的大小为90°,

根据面面垂直的性质定理可得CO_Lc,

因为NC=8C=2百，

所以43两点在以C。为高，C4cB为母线的圆锥的底面圆周上，

根据余弦定理：

AD2=AC2+CD2-2AC-CD-cosZACD=(2-J+(6y-2x2备<TcosZACD

=15-12cosZT4CD,

要使线段4D的长度最大，需要使得cosN/CD最小，即乙4CD最大,

所以当45两点运动到公共棱〃?上时，乙4co最大,则线段的长度最大.

因为直线8c与平面。所成角为30°,

答案第4页，共19页

所以NC8O=30°,

则。。=百,20=08=3，

12+12-36L

在△/C3中,根据余弦定理得:cosNNCD=

2X2A/3X2^-2

所以NO=J15—12cos//CD=15-12x=A/21

即线段AD长度的最大值是V21.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解得关键在于根据/C=3C=2后确定点43轨迹，然后结合圆锥

性质即可求解.

9.ACD

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,即可得到其共轨复数，再一一判断即可.

5+i(5+1)(1)—i+i-i2=3-2i

【详解】对于AD,m--

2

所以z=3+2i，贝U曰=粗。+2，=,故A正确，D正确；

对于B,z的虚部为一2,故B错误；

对于C,z在复平面内对应的点为（3,-2）,位于第四象限，故C正确.

故选：ACD

10.AC

【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得再根据三角函数

性质分别判断各选项.

【详解】由f(x)=cos2xcos-sin2xsin(p=cos(2x+o),

由是函数图象的一个对称中心,

13rt-兀兀,

RP2x—(p——Fku,左£Z,

62

JT

解得夕=Z+加，keZ,

0

又0＜夕＜；,所以0=],

所以/(x)=cos[2x+1)

答案第5页，共19页

对于A选项：令2%+巴=攵兀，keZ,解得x=—--+—,keZ,当左=1时，x=—,即直

612212

5兀

线五==是函数的一条对称轴，故A选项正确；

12

兀715兀

■X寸于B项：令2knW2xH—<兀+2^71,keZ,角星----Fkit«X«---Fku,keZ,

61212

jr5JTTT57r

即函数的单调递减区间为-不+优行+配,keZ,当左=0时，函数在-不，不单调递

I乙乙_L4J.乙

减，所以函数在,率-11]上单调递增，B选项错误；

对于C选项：函数〃无)的图象向右平移三个单位可得〉=COSC

选项正确;

7T,兀兀7兀一百

对于D选项:当xe0,-时,2x+—G,所以函数〃x)=cos2x+—

66，-6-I6eT万

即最大值为心，D选项错误;

2

故选：AC.

11.BCD

【分析】对于A,作出对应图形，先证明面跖VD3//面CEV,再结合给定条件确定动点轨

迹，求解长度，对于B,利用给定条件确定动点轨迹，求解长度，对于C,作出二面角的平

面角，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求解正切值，对于D,先找到球心，利用

勾股定理得到半径，求解球的表面积即可.

【详解】对于A,如图，取42,44中点星〃，且连接用

因为E,尸分别是棱用G，CQ的中点，由中位线定理得MV//"，，EFHBR,

所以MN//EF，而8。=BQ、,BB[=DDi,所以四边形BBQ、D是平行四边形,

所以AD//42，所以BD//EF,因为CO=NE,ND=CE,

答案第6页，共19页

所以四边形MX为是平行四边形，所以ND//CE,因为柳（2面CEb,

CEu面CEF,所以ND7面CEF,因为BDcZ面CEF,

EFu面CE尸，所以助〃面CE尸，而5。门沏=。，

所以面MNDB//面CEV,又P是正方形4片弓。内的动点，

且。尸〃平面C£尸，面跖W3和面CEF相交，MN,EF是交线,

所以尸的轨迹为线段ACV,由勾股定理得肱V=HZ=20，故A错误,

对于B,如图，若AP=厉，此时44，面431clz）],

所以P的轨迹为在面4耳内，以4为圆心，1为半径的;圆弧,

所以P的轨迹长度为：1、2兀=71:，故B正确，

42

对于C,如图，作ETL8C,连接4GcM=S,连接/及工厂,幺。，4尸,/邑44]?，

因为正方体ABCD-44G〃，E,F分别是棱4G,G。的中点,

也把4G的中点记为广,所以此是ACQ4的中位线，

所以EF〃RB1,而。百，4C，

所以斯，4G,而由正方体性质得eg±面4用。4,

所以CC|_L跖，而CGc/£=G，CG，4Gu面4Ncq,

答案第7页，共19页

故所EFLAS,EFA-CS,

而由勾股定理得4尸=/T=2遥，AF=AE=6,

由三线合一性质得S是跖的中点，故S是CJ的中点,

即S是4G靠近£的四等分点，所以由勾股定理得/5=4记=扇，CS=5T?=3五,

/C=J16+16=4x[2,

而EF_L/S,EFICS,面/E尸c面CEF=EF,

所以N/SC是二面角/-防-。的平面角，且设该角为6,

18+34-32205

在ANSC中,由余弦定理得cos6=

2南x3近12旧-51

易得。«0,可，所以sinONO,而（评了+如2夕=1,

_89

解得sin6='回（负根舍去），所以121!。=吗=7^=哆，

51cos。5J175

51

所以二面角/-斯-。的正切值为逑，故C正确，

5

对于D,如图，取尸尸的中点G,/C的中点连接PE,G〃,EP,

因为尸是棱4月的中点，E,F分别是棱耳G，G，的中点,

所以CL=QE=B\E=BF=2,由勾股定理得所=PE=2叵,

而尸尸=4,所以EF=PE?=PF?，所以跖_LPE,

而GE=；FP=2,所以点G到E,F,P的距离相等，

因为GH//AA,,由正方体性质得AAX，面尸£尸，

所以G"，面PEF,所以三棱锥P-CEF的外接球的球心在GH上,

答案第8页，共19页

设球心为。，GO=t,则〃0=47,又GP=2,CH=2C，

设三棱锥P-CEF的外接球的半径为R,则尸O=CO=R,

在直角三角形8CO中，由勾股定理得及2=8+(4-。2,在直角三角形尸GO中，

57541

由勾股定理得斤=4+/,解得f=［，4=9+4=；,

244

41

所以三棱锥P-CEF的外接球的表面积为二X4兀=41兀，故D正确.

4

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定球心的位置，然后利用勾股定理

求出球的半径，得到所要求的表面积即可.

12.V3

【分析】利用60。=20。+40。，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值.

【详解】因为tan60。=tan(20°+40。)=Jan20；：tan黑=g

1-tan20tan40

所以班-班tan20°tan40°=tan20°+tan40°,

所以tan20°+tan40°+6tan20°tan40°=正

故答案为：V3.

13.32K

【分析】由已知可得底面四边形的外接圆圆心及为的外接圆圆心，根据余弦定理及

正弦定理可得底面外接圆半径，进而可得四棱柱外接球半径，即可得外接球表面积.

【详解】如图所示，

答案第9页，共19页

所以四边形4BCD的外接圆圆心即为△/AD的外接圆圆心，在/C中点,

连接3D,又//=6(F,AB=4,AD=5,

所以在中，由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosA=16+25-2x4x5xL21,

2

即5。="F，

-----B--D---

所以四边形4BCD及△NAD的外接圆半径—2sinN

设四边形ABCD的外接圆圆心为a,四边形4耳的外接圆圆心为Q，

则。。2=2,OXA=r=y/1,

直四棱柱的外接球球心为002中点。，即。。=gaa=l,且00|，0/,

所以外接球半径R=Joq2+Q/2=2后，

所以外接球表面积S=乐晓=32%.

故答案为：327t

323

14.-/0.75——

42

3

【分析】第一空：由正弦定理求得sin//CB==,利用三角形垂心性质结合三角形诱导公

式推得cos/P/C=sin//C8,即得答案；第二空:设/CAB=e,/CBA=a,/ACB=。,

由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出

PA+PB+PC=8(cos0+cosa+cos^),即可求得答案.

【详解】设外接圆半径为R,则R=4,

AB

由正弦定理，可知——-——=2R=8,

smZACBsmZACB

即sin//CB=g,由于N4C8是锐角，故css/ACB也

44

TT

又由题意可知P为三角形/2C的垂心，即APLBC,故/尸NC=]-N/C8,

所以cosNPAC=cosNNC2J=sin//CB=|-；

设ZCAB=9,ZCBA=a,/ACB=/3,

jrjrjr

则NPAC=--^,ZPBA=--6>,ZPAB=--a,

答案第10页，共19页

由于/C:48:5C=6:5:4,不妨假设AC=6k,AB=5k,BC=4k,k>Q,

由余弦定理知

八36/+25/—16左2316/+25^-26r1°16^+36^-25r9

cost/=------------------------=—,cosa二---------------=-yCOSp=------------------------=-

2x6kx5k42x4左x5左82x4左x6左1€

ITTT

设AD,C£,2尸为三角形的三条高，由于/EC2+/EBC=5，NPCZ)+NCPD=5,

故NEBC=NCPD,

贝!J得NAPC=TI-ZCPD=TI-ZEBC=n-NABC,

=2R=8

所以.(兀「I一•(兀Q—sinZAPC~sinZABC

—兽―v=———=———=27?=8

同理可得smge-mN"smN/C2

(2J

故答案为：43；23

【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵

活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.

15.(1)673

(2)9

4

【分析】(1)由cos/=，求出sin/,从而可求出sm(60。-7),然后在APBC中利用正弦定理

可求出PB；

(2)在AP48中利用正弦定理求出,从而可求出。£.

43

【详解】(1)因为COS7=M，/为锐角，所以sin7=1,

所以sin(60°-7)=sin60°cosy-cos60°sin/

V34346-3

—X-----------X—=-----------

252510

答案第11页，共19页

在人PBC中，/BPC=60°-y,/PCB=y,BC=\2-36,

PBBC

所以由正弦定理得

sinZPCBsin/BPC

BCsiny

所以必=

sin(60°-7)

血+而

(2)H^Jsin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin30°=

4

在APAB中，NPAB=45°,NAPB=75°,PB=66,

ABPB

所以由正弦定理得

sinZAPBsinZPAB

+

6国瓜5

尸5sin75。

贝UAB=4=9+373,

sin45°

2

所以DE=4B-4D-EB=9+3G--=9,

22

所以隧道OE的长度为9.

16.(1)证明见解析

⑵血

【分析】(1)根据题意可得4GLDDi，4G，B、D、,进而可证4G±平面BDD、B,,即可

得结果；

(2)设4在平面48cl上的射影点为E,连接EP,E耳，利用等体积法可得£月=毡，结

3

合线面夹角可得尸4=6,再利用余弦定理计算可得.

【详解】(1)证明：因为。2,平面44G2,且平面可得

四边形44GA为正方形，则4G-LBQ、,

且BRnDDt=2,BR,DD{u平面BDD^,所以4G平面BDDXBX,

又4Gu平面48G,所以平面BDD^1平面Ag.

(2)设片在平面43cl上的射影点为£,连接ERE区,

答案第12页，共19页

可知V48G是以边长为26■的等边三角形，则S-G=^x2&X2也=26,

因为/「4明=心型©，BP|X2A/3XJES1=|X|X2X2X2,解得£4=毡，

3323

设PBX与平面48G所成的角的大小为0，

因为cos。=—，贝!|sin。=Vl-cos26=，

33

空_

贝％n〃_6.—丁‘可得PB1=6,

3PB{PBi

在ABPB、中，由余弦定理得PBj=BB；+PB2-2BB、xPBxcos?

即2=4+必2_2血尸g,解得尸B=

17.⑴、

⑵立

14

「12、

(3)存在，2e(-8,-12］口—,+«?I

【分析】(1)根据题意的?(3,g)也(3,0),3(5,回，。勺=26,根据在三角形中可求得答案;

(2)根据三角形中余弦定理运算公式可求得答案；

(3)设尸化百)，其中1V/V5,根据(刀-彳丽).07=0，可得12=(2/3)2,分类讨论可

求得的范围.

【详解】(1)因为0/3C是等腰梯形，/(6,0),C(l,6),西=；万，点P为线段5c中

点

所以尸(3,®M(3,0),B(5,我，则0「=3"717=2后/尸(W=30°，将丽绕原点。沿逆

时针方向旋转75。到函的位置，如图所示.作轴于点。,。耳=26,/尸。々=75°,

答案第13页，共19页

可得4DOP\=30°+75°-90°=15°,

cos/DOR=cosl50=cos(45°-30°)=x义；=指+亚

4

sin/OOq=sinl5°=sin(45°-30°)=—x—-—x--指一行

22224

8=0…2A冷L

DP、=OPXxsinZDO^=26x瓜=3m&,

(2)在AOCM中，OM=3,OC=y/m2,CM=驷川+0-6丫=近，

0c2+。"2_°“24+7-9_6

所以cos/OCM=

2xOCxCM2x2xV7-14

因此/OCM的余弦值也；

14

(3)设P(t,5,其中1V/V5.

OA=(6,0),AOP=(At,V3A),O4-/ldP=(6-Az,-V3/l),CM=(2,-73)

若⑨-及为_L07，则的一70M07=0,

即2x(6-加)+百x百/1=0-12-2力+3/1=0,可得12=(2l-3)2.

3

若则彳不存在,

什3贝1J2=e|u[^,5，故；le(一力，-12]u

右t,

22%—32J\2

PN

18.(z1)----

PC2

(2)①存在，PM=6，②g

【分析】(1)取3C的中点尸，连接DF,FN,则由面面平行的判定定理可证得平面£WF〃

平面PAW,再利用面面平行的性质可得网从而可求得结果；

答案第14页，共19页

(2)①当点M与点。重合时，AP_L平面PCM,由已知条件可证得CM_L平面PBC,则

CM1PB,再利用线面垂直的判定定理可证得结论；

②在矩形4BCD中作于。，延长20交8c于点G,折起后得P0_LW,设

AM—PM—x,由AABMs/\BGA,可得BG=—,

X

在Rt/XPBE中，表示出PE,然后表示出％PBM=%BEM=gs.BEM•PE,利用基本不等式可

求出其最大值，从而可点£到平面尸CD的距离.

【详解】(1)取BC的中点尸，连接DF,FN,

因为3C=2MD,所以BF=FC=DM,

因为所以四边形必为平行四边形，

所以。尸〃BW,

因为DFN平面PAW,平面尸2W,

所以。尸〃平面尸3”,

因为ZW〃平面P2W,DFCDN=D,DF,DNu平面DNF,

所以平面DNF//平面PBM,

因为平面。入万门平面P5C=NF,平面尸BWc平面P5C=PB,

所以FN〃PB,

PNBF1

因为歹是8C的中点，所以?=能=

PCBC2

(2)①存在点M,当点M与点。重合，即尸M=应时，尸3,平面尸CM,

理由如下：当点”与点。重合时，则CMLBC,

因为PE_L平面BCD,CA/u平面BCD,所以PE_LCM,

因为8CcPE=E,8C,PEu平面尸3C,

所以CM_L平面尸BC,

因为P3u平面尸3C,所以CM,必，

因为P3_LBW,PMC\MC=M,PM,MCu平面PAC,

所以P3_L平面PCM,

答案第15页，共19页

即当点M与点。重合，尸加=血时，必，平面PCM；

②在矩形45C。中作NOLBW于。，延长/。交3C于点G,折起后得POL8M,

设AM=PM=x,则BM=Jl+x~,AO=/,

Vl+x2

因为AABM+NMBG=90°,ZABM+ZBAG=90°,

所以/AfflG=/A4G,

因为=所以/B4G=/4MB,

因为NBAM=ZABG=90°,

所以A/BMs/iBG/,得空=变，即工=也，得8G=L,

AMABx1x

一IFxi

所以OG=AG—AO=JlT—T----/—/，

因为PO1BM,OG1BM,OPC\OG=O,OP,OGu平面POG,

所以平面尸OG,

因为PGu平面尸OG,所以氏W_LPG,

因为尸£_L平面8coM,Wu平面8cDM,所以

所以点E与点G重合,

因为要使得点P的射影落在线段3C上，所以49>OG,

X1

则不二,商,解得工£(1,@,

+x2

在RtZXPBE中，尸£=/1一二

所以YE-PBM%—BEM="EM，PE

11J1xlxjY

=—X—X

32XX'

1

max12

答案第16页，共19页

当=应时，PE=jl一与=也,BE=EC=—,则E是3。的中点，

\x222

所以点E到平面尸CD的距离为工82=工

22

【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查点面距离的求

法，解题的关键是要弄清折叠前后的边角面的关系，考查推理能力和计算能力，属于较难题.

19.（1）f—2cos（—x+—）+-\/2；

⑵{TO」}

35

（3）存在；一7＜〃＜一/.

26

【分析】（1）选择①②，将点（0,2夜）代入，结合0＜°＜方可求9=?,由/（x）的图象关于

点亚］对称可得+?=g+（后eZ）,结合0＜。＜2,可得0=?,即可解出函数解

析式；选择①③：将点（0,20）代入，结合0＜。＜］可求0=7，由函数/（x）相邻对称轴

T