函数试题（解析版）

专题L2函数

——上海最新真题模拟题60题精选

一、单选题

1.（2021・上海九年级其他模拟）已知双曲线y二七经过点（-2,1）,则k的值等于（）

x

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

试题分析：将点（・2,1）代入y工中得，1:与，解得k二・2,故选D.

x-2

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

2.（2021•上海普陀区-九年级一模）下列函数中，丁关于刀的二次函数是（）

、，1

A.y=cix+bx+cB.y=———

x~+]

C.y=x（x+l）D.y=（x4-2）2-x2

【答案】C

【分析】形如：尸加+辰+4"（）），则y是x的二次函数，根据定义逐一判断各选项即

可得到答案.

【详解】解：y=cvc2+bx+c,当4=0时，y不是X的二次函数，故A错误；

>=」一，y不是工的二次函数，故8错误；

x~+1

），=Mx+l）,即y=/+x,>是X的二次函数，故。正确；

J=（X+2）2-X2,即y=4x+4,），不是x的二次函数，故。错误；

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.

3.（2021♦上海浦东新区,九年级一模）下列y关于X的函数中，一定是二次函数的是（）

A.y=（k-i）x2+3B._y=^-+l

C.y=（x+l）（x-2）-x2D.y=2x2-lx

【答案】I）

【分析】形如：y=cuc+bx+c[a^^这样的函数，则丁是x的二次函数，根据定义逐一判

断即可得到答案.

【详解】解：y=（%-1）/+3,当攵=1时，丁不是x的二次函数，故A错误；

），=了+1,），不是］的二次函数，故A错误；

y=（A-+1）（^-2）-x2=x2-2x+x-2-x2=-X-2,丁不是X的二次函数，故C错误;

y=2x2-7x,符合》是工的二次函数的定义，故O正确；

故选：D.

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.

4.（2021•上海长宁区・九年级一模）己知二次函数y=aP+/"+c（aH。）的图象如图所示,

A.<2>0,c>0B.a>0,c<0C.aVO,c>0D.a<0,c<0

【答案】C

【分析】根据二次函数图象开口向下确定出。为负数，再根据二次函数图象与>轴的交点即

可确定出C的正负情况，答案可解.

【详解】解：・・•二次函数图象开口向下，

a<0,

•・•二次函数图象与y轴的正半轴相交，

c>0♦

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称

轴、与y轴的交点与系数的关系是解题的关键.

5.（2021•上海徐汇区•九年级一模）将抛物线），=2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下

平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）

A.y=2（x-2）2-2B.y=2（x-2）2+2

C.y=2(x+4)2-2I).y=2(x+4)2+2

【答案】A

【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得.

【详解】将抛物线），=2（x+l）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的

表达式是y=2（x+1-3尸-2,即y=2（x-2）2-2,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关

键.

6.（2021•上海金山区-九年级一模）下列各点在抛物线y=2/上的是（）

A.（2,2）B.（2,4）C.（2,8）D.（2,16）

【答案】C

【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否

在抛物线上.

【详解】解：A.2^2X4,故（2,2）不在抛物线上.

B.4X2X4,故（2,4）不在抛物线上.

C.8=2X4,故（2,8）在抛物线上.

D.16W2X4,故（2,16）不在抛物线上.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

7.（2021•上海金山区•九年级一模）已知二次函数y=（x-2『-l,那么该二次函数图像

的对称轴是（）

A.直线x=2B.直线X=-2C.直线1=1D.直线工=一1

【答案】A

【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴.

【详解】解：:二次函数的顶点式是），=（x—2『一1,

••・函数图象的对称轴是直线x=2.

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方

法.

8.（2021•上海宝山区-九年级一模）如图所示是二次函数），=。解+阮+《。工。）图像的一部

分，那么下列说法中不正确的是（).

A.ac<0B.抛物线的对称轴为直线x二l

C.a—Z?+c=OD.点(-2,y)和(2,%)在抛物线上，则%>y2

【答案】B

【分析】根据图象分别求出a、。的符号，即可判断小根据抛物线与君由的两个交点可判断出

该抛物线的对称轴不是尸1,即可判断4；把尸T代入二次函数的解析式，再根据图象即可判

断C；将广-2与尸2带入二次函数，可得出为与匕的值，即可判断〃.

【详解】解：:二次函数的图象开口向上，

.*.a>0.

•••二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，

Ac<0,

ac<0选项A正确;

•・•由图像可看出，抛物线与x轴的交点一个为x=T,另一个在x=2和x=3中间，不关于x=l对称,

・•・抛物线的对称轴不是x=l选项B错误；

把x=T代入y=ax?+bx+c得：y=a-b+c,由图像可知，x=T时y=0,

/.a-b+c=O选项C正确；

把x=-2和x=2代入y=ax2+bx+c中，由图像可知，y)>0,y2<0,

/.y.>y2选项D正确;

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a、坟。之

间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型.

9.(2021•上海浦东新区•九年级一模)已知点A(l,2)、B(2,3)、C(2,1),那么抛物线

)，+/?X+1可以经过的点是()

A.点A、B、CB.点A、BC.点A、CD.点B、C

【答案】C

【分析】先把A。，2),C(2,l)代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：y=-x2+lx+\,

再判断8不在抛物线上，从而可得答案.

【详解】解：把4。，2）,C（Z1）代入抛物线的解析式,

〃+/?+1=2a+b-\

即:

46/4-2/7+1=12a+b=0

a=-\

解得：《

h=2

抛物线为：y=-x2+2x+\,

当工=2时，>'=-44-4+1=1^3,

4（2,3）不在抛物线），二一/+2工+1上，

抛物线y=ax2+bx+1可以经过的点是AC.

故选：C.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握

以上知识是解题的关键.

10.（2021•上海黄浦区•九年级一模）抛物线），二—丁+4工一3不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】求出抛物线的图象和x轴、y轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断

即可.

【详解】解：y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1,

即抛物线的顶点坐标是（2,1）,在第象限；

当y=0时，-x2+4x-3=0,

解得：Xi=1,X2=3

即抛物线与x轴的交点坐标是（1,0）和（3,0）,都在x轴的正半轴上，

当x=0时，y=-3

・••抛物线与y轴的交点坐标为（0,-3）

Va=-l<0,

，抛物线的图象的开口向下，

大致画出图象如下：

y

O/\K

即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限，

故选；B.

【点睛】本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x轴交点坐标就要令

y=0、求与y轴的交点坐标就要令x=0,求顶点坐标需要配成顶点式.

11.（2021•上海黄浦区-九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如

下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中停），那么这个被蘸上了

墨水的函数值是（）

X•♦•-10123•♦•

y•••停3430•••

A.-1B.3C.4D.0

【答案】D

【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结

论.

【详解】解：由表格可知：抛物线过（0,3）、（2,3）、（3,0）

・•・抛物线的对称轴为直线x二上「二1

2

・・・x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0

・••这个被蘸上了墨水的函数值是0

故选D.

【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键.

12.（2021•上海杨浦区•九年级一模）关于抛物线y=下列说法中，正确的是〔）

A.经过坐标原点B.顶点是坐标原点C.有最高点D.对称轴是直线为=1

【答案】A

【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果.

【详解】解：y=x2-x,

•・♦二次项前面的系数大于0,.••抛物线开口向上，有最低点，

•.•当x=0时，y=0,••・抛物线经过坐标原点，

（]丫]

,•*V=x~~X—x——，

I2）4

••・抛物线的对称轴为直线/二g,顶点坐标为（g，-1），

综上所述，B、C、D选项均不正确，只有A选项正确.

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶

点式判断是解决本题的关键.

13.（2021•上海普陀区•九年级一模）在下列对抛物线），=-*-1）2的描述中，正确的是1）

A.开口向上B.顶点在x地上

c.对称轴是直线x二—1D.与y轴的交点是（o,i）

【答案】B

【分析】根据函数y=a（x-n）?的性质逐项排查即可.

【详解】解：

・•・该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1,0）,顶点在x轴匕对称轴为直线x=l,与y轴交点

为（0,-1）,

所以A、C、D选项错误，B选项正确，

故选B.

【点睛】本题主要考查了函数y=a（x-h）2的性质，掌握根据函数解析式确定抛物线的开口方

向、而称轴和顶点坐标的方法成为解答本题的关健.

14.（2021•上海崇明区•九年级一模）抛物线），=a（x—R『+Z的顶点总在（）

A.第一象限B.第二象限C.直线丁=工上D.直线），二一工上

【答案】C

【分析】根据抛物线的顶点式可知其顶点坐标为（k,k）,再根据横坐标与纵坐标相等即可

得出结论.

【详解】•・•抛物线的解析式为y=a（x-k）2+k,

・•・抛物线的顶点坐标为（k,k）,

•・•顶点坐标的横坐标与纵坐标相等，

・•・抛物线的顶点坐标总在直线y=x上.

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的顶点式得出其顶点横坐标与纵坐标相

等是解答此题的关键.

15.（2021•上海徐汇区•九年级一模）定义：国表示不超过实数x的最大整数例如：［1.7］=1,

［］］=（）,-2；=-3根据你学习函数的经验，下列关于函数y=［x］的判断中，正确的是

（）

A.函数），=卜］的定义域是一切整数

B.函数），=卜］的图像是经过原点的一条直线

C.点（2个2）在函数），=声］图像上

D.函数y=［x］的函数值）'随x的增大而增大

【答案】C

【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可.

【详解】A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误;

B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误;

C、由题意可知2|=2,则点（2|⑵在函数尸国图像匕故正确；

例咱川，［扑।

D、即当时，函数值均为＞=1,不是y随工的增大而

增大，故错误；

故选：c.

【点睛】本题考行函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关

键.

16.（2021•上海普陀区•九年级一模）如果点43,〃］）在上轴上，那么点8（〃7+2,相-3）所

在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先根据点4（3,〃。在x轴上可得m-0,然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在

的象限即可.

【详解】解：丁点43,㈤在％轴上

m=0

・・・伏2,-3),即点B在第四象限.

故答案为D.

【点睛】本题主要考查了平面百角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解

答本题的关键.

17.(2021•上海闵行区-九年级二模)在平面直角坐标系中，一次函数丫=1^^4)的图象如图所

A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0

【答案】C

【分析】根据•次函数的图象与系数的关系进行解答即可.

【详解】•・•一次函数产kx+b的图象经过一、二、四象限，

Ak<0,b>0,

故选C.

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(kWO)中，当kV

0,b>0时图象在一、二、四象限.

二、填空题

18.(2021•上海虹口区•九年级一模)如果抛物线y-(〃+l)/有最高点，那么女的我值范

围是•

【答案】k<-\

【分析】根据二次函数y=(Z+l)V有最高点，得出抛物线开口向下，即k+ivo,即可得出

答案.

【详解】解：•・•抛物线y=(Z+l)/有最高点，

・••抛物线开口向下，

Ak+l<0,

k<—1>

故答案为：k<-\.

【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方

向的特点.

19.（2021•上海奉贤区•九年级一模）如果二次函数y=〃a2+21+6-1的图像经过点P（l,2）,

那么m的值为.

【答案】g

【分析】把d（1,2）代入函数解析式，得出关于的m方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：•・•二次函数.尸如2+2》+〃一]的图象经过点尸0,2）,

〃z+2+/w—1=2，

解得："2=!，

2

故答案为：—.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象上点坐标的意义是解答此题的关键.

20.（2021•上海崇明区-九年级一模）函数y=2f+4x-5的图象与丁轴的交点的坐标为

【答案】（0,-5）

【分析】求与y轴的交点坐标，令x=0可求得y的值，可得出函数与y轴的交点坐标.

【详解】解：令x=0,代入〉=212+4]-5解得丫二5,

・•・二次函数），=2x2+4x-5的图象与y轴交点坐标是（0,5）.

故答案为：（0,5）.

【点睛】本题主耍考盒函数与坐标轴的交点坐标，掌握求出数与坐标轴交点的求法是解迦的关

键，即与x轴的交点令y=0求x,与y轴的交点令x=0求y.

21.（2021・上海九年级一模）抛物线），=2/一3在＞轴左侧的部分是.（填

“上升”或“下降”）

【答案】下降

【分析】抛物线），=2f一3的对称轴x=0,抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y随x的增

加而减小.

【详解】抛物线），=2/一3的对称轴x=0,抛物线开口网上，

・•・在对称轴左侧y随x的增加而减小,

故答案为：下降.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.

22.（2021•上海黄浦区•九年级一模）已知二次函数图像经过点（3,4）和（7,4）,那么该二

次函数图像的对称轴是直线.

【答案】x=5

【分析】根据抛物线的对称性可知：点（3,4）和（7,4）关于抛物线的对称轴对称，从而求出结

论.

【详解】解：・・•二次函数图像经过点（3,4）和（7,4）,

3+7

・•・该二次函数图像的对称轴是直线x:一「二5

2

故答案为：x=5.

【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对

称，求抛物线对称轴是解题关键.

23.（2021•上海徐汇区•九年级一模）已知二次函数），=。（l+期2-1的图像在直线*=一］

的左侧部分是下降的，那么。的取值范围是_____.

【答案】a>（）

【分析】根据二次函数的增减性即可得.

【详解】•・•二次函数），=破1十万）2-1的图象在直线1二-万的左侧部分是下降的，

3

即在直线x=--的左侧部分，y随X的增大而减小，

2

故答案为：a>0.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键.

24.（2021•上海闵行区•九年级二模）已知函数/（力==，那么/（3）=.

【答案】3

【分析】将x=3代入原函数求解即可.

【详解】当x=3时，/（3）=尸=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考杳根据自变量的值求函数值，理解函数值的概念是解题关键.

25.（2021•上海杨浦区•九年级一模）抛物线4户3与若由交于4B,与j轴交于。，则

△力式的面积=_.

【答案】3

【分析】先根据题意求出AB的长。再得到C点坐标，故可求解.

【详解】解：y=0时，0=?-4x+3,

解得汨=3,照=1

・•・线段45的长为2,

•・•与用I交点。（0,3）,

:.以月妫底的△月阳的高为3,

=

:.S（\ABC~-X2X33,

2

故答案为：3.

【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知函数与坐标轴交点的求解方

法.

26.（2021•上海嘉定区•九年级一模）如果抛物线广加+版+4"。）的对称轴是直线X=l,

那么2。+〃0.（从＜,=,＞中选择）

【答案】=

【分析】根据对称轴公式得工=-3=1,即可求出结果.

2a

【详解】解：•・•抛物线对称轴是直线犬=-2=1,

la

b=—2a,即2。+〃=0.

故答案是：二.

【点睛】本题考查二次函数图象的对称轴，解题的关键是掌握抛物线的对称轴公式.

27.（2021•上海嘉定区♦九年级模）如果抛物线），=（）十,〃J十左-2的顶点在为轴上，那

么常数4为______.

【答案】2

【分析】抛物线的顶点在*轴上，所以h2=0,解出质|J可.

【详解】根据题意结合抛物线的顶点式可知4-2=0,所以公2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查抛物线的顶点式的特点.正确理解题意正确解答本题的关键.

28.（2021•上海普陀区•九年级一模）如图，已知二次函数丁=0?+法的图像经过点

A（l,0）,那么_______0.（填“或“二”）

【分析】根据图象与X轴的交点，判断其对称轴的位置，再结合抛物线的对称性解题即可.

【详解】由图象可知，二次函数的对称轴在把0至0.5之间，二次函数经过点A(l,o),故二次

函数在x轴上的另一个点在-0.5至0之间，故

故答案为：〉.

【点睛】本题考查二次函数的性质，涉及二次函数图象与x轴的交点，是重要考点，难度较易,

掌握相关知识是解题关键.

29.(2021•上海九年级专题练习)如果抛物线)，=(〃?+4)/+〃?经过原点，那么该抛物线的

开口方向______.(填“向上”或“向下”)

【答案】向上.

【分析】把原点(0,0)代入函数解析式，先求解抛物线的解析式)，=4/,再根据，的值判断

开口方向即可得到答案.

【详解】解：•••抛物线y=(〃?+4)d+/〃经过原点，

.・.(0,0)在抛物线上，

:.m=0,

•••抛物线为：j=4x2.

由。=4>(),

二抛物线的开口向上.

故答案为：向上.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，掌握以二知识

是解题的关键.

30.(2021•上海浦东新区-九年级一模)如果将二次函数的图像平移，有一个点既任平移

前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”.现将抛物线G：

),二(工一1)2一1向右平移得到新抛物线如果“平衡点”为(3,3),那么新抛物线C2的表

达式为______.

【答案】y=(x-5)2-l.

【分析】先求抛物线G：＞=5-1)2-1向右平移火(々＞0)个单位的函数解析式，再把(3,3)

代入平移后的解析式，求解女即可得到答案.

【详解】解：抛物线C：y=*-l)2-l向右平移〃(k＞0)个单位可得：

G:y=(x-\-k)2

把(3,3)代入y=(%——

.\3=(3-l-Z:)2-l,

「.2-攵=2或2-攵=-2,

=0或攵=4,

经检验：2=0不合题意，取2=4.

2

/.C2：J=(X-5)-1.

故答案为：y=(x-5)2-!.

【点睛】本题考直的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次

函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键.

31.(2021•上海黄浦区•九年级一模)如果抛物线y=f+3+3)x+2。的顶点为色。)，

那么该抛物线的顶点坐标是________.

【答案】(-1,1)

【分析】根据抛物线顶点坐标公式即可列出方程组，从而求出b和c的值，即可求出结论.

"3

T7T=b®

【详解】解：根据题意可得：

解①，得b=-l

将b=-1代入②，解得：c=l

・••该抛物线的顶点坐标是(-1,1)

故答案为：(-1,1).

【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点坐标公式是解题关键.

32.(2021•上海杨浦区•九年级一模)已知抛物线y=(l—。)/+1的开口向上，那么a的

取值范围是.

【答案】a＜\

【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行求解.

【详解】解：由抛物线）=（1-。）/+1的开口向上，可得：

1一4＞（）,解得：

故答案为。＜1.

【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关

键.

33.（2021•上海长宁区•九年级一模）已知抛物线y=V—2x+c经过点A（—l,y）和B（2,%），

比较M与％的大小：M%（选择或或“二"填入空格）.

【答案】＞

【分析】把点A、B的坐标分别代入己知抛物线解析式，并分别求得,与力的值，然后比较它

们的大小即可.

2

【详解】•・•抛物线y=x-2x+c经过点A（Ty）和B（2,y2）,

.・.y=3+c,y2=c,

・•・））＞%，

故答案为：＞.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点关于对称轴对称，且都满

足函数关系式.

34.（2021•上海杨浦区•九年级一模）已知抛物线），=_?,把该抛物线向上或向下平移，

如果平移后的抛物线经过点A（2,2）,那么平移后的抛物线的表达式是

【答案】y=x2-2

【分析】设所求的函数解析式为y=x2+h,然后将点A坐标代入求得k即可.

【详解】解：设所求的函数解析式为y=x?+h

将点A坐标代入得：2=22+h,解得h=-2

所以平移后的抛物线的表达式是y=x?-2.

故答案为y=x2-2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移问题，上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标,

只改变顶点的纵坐标，上加下减.

35.（2021•上海静安区-九年级一模）函数/*）=染、的定义域为—.

\l2-x

【答案】x<2

【分析】根据二次根式和分式的性质求出该函数的定义域.

【详解】解：根据二次根式和分式的性质，

5/2-工工0,且2-12（）,

解得x<2.

故答案是：x<2.

【点睛】本题考杳函数的定义域，解题的关键是掌握函数定义域的求法.

36.（2021•上海闵行区•九年级二模）已知点A（x，x）和8（9,%）均在反比例函数

）,二与攵>0）的图像上，且9>玉>0,那么必v2（填V,>或=）

X

【答案】>

【分析】根据反比例函数的性质，当4>0时，在同一象限内，通x的增大而减小，判断即可.

【详解】•・•反比例函数y二人中，k>o,

X

・•・在同一象限内，必道X的增大而减小，

•・•x2>X）>0,

，月<Ji，

•二到>必，

故答案为：>

【点睛】本题考查了反比函数的图像分布及其性质，熟练掌握在同一象限内，函数的性质变

化是解题的关键.

37.（2021•上海普陀区•九年级一模）沿着x轴正方向看，如果抛物线>=（〃-2）/在对

称轴左侧的部分是下降的，那么。的取值范围是.

【答案】。>2

【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则。-2>0,然后解不等式即可.

【详解】•・•抛物线y=3-2）/在对称轴左侧的部分是下降的，

・•・抛物线开口向上，

-2>0,解得〃>2.

故答案为：〃>2.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大

小.当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口.

38.(2021•上海普陀区•九年级一模)如图，己知二次函数y=以的图像经过点4(1,0),

那么/(-I)__________0.(填“>”、“<”或“=”)

【分析】根据二次函数的图象得出对称轴的范围，再根据对称性即可得出答案.

【详解】解：由题可知，因为二次函数的对称轴在。和0.5之间，且二次函数经过A(LO)

二.二次函数在x轴的另一点在0和-0.5之间，

Af(-l)>0,

故答案为：>.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂二次函数的图是解题的关键.

39.(2021•上海奉贤区•九年级一模)当两条曲线关于某直线/对称时，我们把这两条曲线

叫做关于直线I的对称曲线，如果抛物线G：)'=/-2x与抛物线C2关于直线x=-1的对称

曲线，那么抛物线C2的表达式为.

2

【答案】J7=(X+3)-1

【分析】先把抛物线G的解析式写成顶点式得到顶点坐标，根据对称的关系得到c2的顶点坐

标，从而得到c2的解析式.

【详解】解：G：y=x2_2x=(x—1)2—1,

，顶点坐标是P(l,—1)，

点尸(1,一1)关于直线x=—1对称的点是^(-3,-1),

C2:j=(x+3)--1.

故答案为：>'=(x+3)2-1.

【点睛】本题考杳二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质.

40.（2021•上海闵行区•九年级一模）抛物线），=-/一3x在对称轴的右侧部分是一

的（填“上升”或“下降”）.

【答案】下降

【分析】先将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答.

3Q

【详解】・.・）,=一X2一3工==—（工+一尸+一，

,24

3

・•・抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-三，

2

・•・在对称轴右侧部分y随着x的增大而减小,

故答案为：下降.

【点睛】此题考查抛物线的性质：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减，

熟记抛物线的性质是解题的关键.

41.（2021•上海闵行区•九年级一模）将抛物线y=V+2x向下平移1个单位，那么所得抛

物线与y轴的交点的坐标为________.

【答案】（。,一1）

【分析】先确定抛物线y=』+2x的顶点坐标为（-1,-1）,再利用点平移的坐标规律写出

平移后顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式即可求得结论.

【详解】解：:抛物线y=f+2x=（x+l）2-l

，顶点坐标为（-1,-1）»

・••点（7,-1）向下平移1个单位所得对应点的坐标为（-1,-2）,

所以平移后的抛物线的表达式为y=V+-i.

令x=0,则y=-L

・••抛物线与y轴的交点的坐标为（0,-1）

故答案为：（0,-1）.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所

以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐

标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

42.（2021•上海九年级一模）二次函数），=/+2x+小图像上的最低点的横坐标为

【答案】T

【分析】将二次函数y=V+2x+〃z用顶点式表示出来，再根据函数图像开I」向上，即可求

得最低点的横坐标.

【详解】解：二次函数），=/+2x+,〃可化为），=（工+17+加一1,因为二次项系数为1,大于

零，所以函数图像开U向上，所以最低点为顶点，横坐标为-1，故答案为-1.

【点睛】本题考查函数的最值问题，用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式是解决本题

的关键.

43.（2021•上海静安区•九年级一模）在二次函数），=/-2工+3图像的上升部分所对应的

自变量x的取值范围是—.

【答案】x>\

【分析】先将函数解析式化为顶点式形式，根据函数的增减性解答.

【详解】y=x2-2x+3=（x-\）2+2,

・•・对称轴为直线x=l,

Vl>0,图象开口向上,

・••当x〈l时，y随着x的增大而减小;当x〉l时，y随着x的增大而增大,

故答案为：x>l.

【点睛】此题考杳二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当水0时，对称轴左增右

减.

44.（2021•上海金山区-九年级一模）抛物线），=-2犬沿着x轴正方向看，在》轴的左侧

部分是______.（填“上升”或“下降”）

【答案】上升

【分析】根据二次函数的增减性即可解答.

【详解】解：•・•当xVO时，y随x的增大而增大

・•・在y轴的左侧部分是上升的.

故填：上升.

【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键.

三、解答题

45.（2021•上海松江区•九年级一模）用配方法把二次函数），=3/-6x+5化为

），=。@+〃?）2+攵的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【答案】化为y=3（x—l）2+2,开口方向：向上；对称轴：直线x=l；顶点坐标：尸（1,2）

【分析】先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、

对称轴和顶点坐标.

【详解】解：片3/-6户5=3（犷-2肝1）+2=3（『1）2+2,二抛物线开口向上，对称轴为直

线产1,顶点U（l,2）.

【点睛】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数

的性质是解题的关键.

46.（2021•上海浦东新区-九年级一模）已知抛物线J=/+2X+〃L3的顶点在第二象限，

求，〃的取值范围.

【答案】m>l

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（T，m-1）,再利用第二象限点的坐标特征得

到m-1>0,然后解不等式即可.

H?：Vy=x2+2x+m=（x+l）2+m-l,

••・抛物线的顶点坐标为（-1,m-1）,

•・•抛物线y=x2+2x+m顶点在第二象限，

Am-l>0,

Am>l.

故答案为m>l.

【点睛】本题考查了配方法，以及二次函数尸a（广力严+处分。为常数，&W0）的性质，熟练

掌握二次函数尸以尸方）％〃的性质是解答本题的关键.片以厂扮2+女是抛物线的顶点式，a决定

抛物线的形状和开口方向，其顶点是（方，幻,对称轴是产力.

47.（2021•上海黄浦区•九年级一模）将二次函数），=V+2x+3的图像向右平移3个单位，

求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x在什么取值范围内时，

上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的.

【答案】y=.r2-4.r+6,-1"42一

【分析】由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，

利用图像可得答案.

【详解】解.：把二次函数j=f+21+3的图像向右平移3个单位可得：

y=（x-3）~+2（x-3）+3,

y=x2-4x+6,

又y=犬+2X+3=（X+1/+2,

・•・函数图像的顶点坐标为：（一1,2）,

T®y=x2-4^+6=（^-2）2+2,

二•函数图像的顶点坐标为：（2,2）,

函数y=f+2x+3与y=f-4x+6的图像如图示；

由图像可得：当一时，函数y=V+2x+3的函数图像是上升的，而函数

y=x2-4x+6的函数图像是下降的.

【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的

关键.

48.（2021•上海杨浦区•九年级--模）已知一个二次函数的图像经过点A（-1,O）、Bi0,3）,

C（2,3）.

（1）求这个函数的解析式及对称轴；

（2）如果点尸（王,）［）、。（刍,%）在这个二次函数图像上，且再<°，那么M）'2•（填

或者">”）

【答案】（1）y=-x2+2x+3,x=l；（2）<

【分析】（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；

（2）通过判断二次函数增减性可得出结果.

【详解】解：（1）设二次函数的表达式为），=办2+法+以

已知二次函数经过A、B、C三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，

a-b+c=0{a=-\

，c=3,可得，h=2,

4〃+2b+c=3c=3

则这个函数的解析式为），=-X2+2X+3,

其对称轴为直线x=-3=1；

2a

（2）・.・av0,抛物线开口向下,

•・•对称轴为直线x=l,••.XV时，y随x的增大而增大,

又•・,本题X<x2v0，♦♦•X<%-

故答案为：<.

【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，包括求解析式，求对称轴以及二次函数增减性，

属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键.

49.(2021•上海普陀区•九年级一模)在平面直角坐标系xQv中，反比例函数y=9的图

x

像与一次函数y=辰-1的图像相交于横坐标为3的点A.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)如图，已知点/在这个一次函数图像上，点C在反比例函数y=9的图像.上，直线

x

轴，且在点A上方，并与y轴相交于点D.如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标.

【答案】(1)y=x-1-(2)8(4,3)

【分析】(1)先将点A的坐标求出来，然后代入一次函数表达式求解即可；

(2)根据题意设出C、B两点的坐标，将B点坐标代入一次函数中即可求出最终结果.

【详解】解：(1)•・•点A在反比例函数图像上且横坐标为3,则A(3,2),

由题意，得弘一1二2,

「.&=1,

「•・次函数解析式y=x-i；

(2)设C

」2二)，

又点3在一次函数图像上，

x

3

解得x=2或工=一大(舍去).

2

二•8（4,3）.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合题，难度一般，熟练掌握一次函数与反比例函

数综合题的处理方法，能够设出点通过未知数求解是解决本题的关键.

50.（2021・上海九年级专题练习）已知在平面直角坐标系中，抛物线尸Zu52经过点

4（-3,-6）、8（6,0）,与谢交于点C

（1）求抛物线的表达式;

（2）点〃是抛物线上的点，且位于线段及7上方，联结切.

①如果点。的横坐标为2.求cotNOQ?的值:

②如果NZCT=2N。。求点用勺坐标.

2

【答案】（1）y=-1x+|r+^:（2）①J；②。卜.与

【分析】（1）根据点A,4的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点3、C、。的坐标，根据坐标系中两点

间距离公式求出04、BC、QC的值，证明三角形为百•角三角形，进而求出colNW3的值：

②过C作x轴的平行线，过。作V轴平行线交于〃，根据平行线的性质推导出

NDCH=NCBO,从而得出三角形相似，利用相似比求出点〃的坐标.

【详解】（1）将A（—3,-6）、8（6,0）代入

（9"3〃+2=-6

得，，

36^4-6/7+2=0

解得：

・•・抛物线的表达式为丁=一:/+：工+2；

JJ

(2)①当x=2时，＞'=--x22+-x2+2=4,

33

当x=0时，y=2,

・・・D(2,4),C(0,2),3(6,0),

JDB=J(2-6『+(4-0)2=4s/2，

BC=7(6-0)2+(0-2)2=2710,

DC=7(2-0)2+(4-2)2=272,

..BD1+CD2=BC\

.♦口8DC为直角三角形，其中NO=90。，

②过。作x轴的平行线，

过。作)'轴平行线交于〃，

设点D坐标为(八一；〃「+:"7+2),则

，、“125

Dri=----〃厂H—〃i，

33

•・•ZDCB=2/CBO=2/BCH=2ZDCH，

・•・/DCH=NCBO,

・；NCHD=NBOC=90。、

.•.△CHDMBOC,

•.•C(O,2),8(6,0),

/.OC=ZOB=6,

.DHCO

••==-9

CHBO3

125

——tn+-.

••33J

m3

解得：〃?=4,m=0（舍），

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距

离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是

熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线.

51.（2021•上海徐汇区-九年级一模）己知二次函数丁=。*-2内+。+4（。＜0）的大致图

像如图所示，这个函数图像的顶点为点D.

（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点。的坐标；

（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点C,与工轴正半轴交于点4,图像的对称轴与x轴交

于点A,如果DCLBC,tanZDBC=1,求该二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为山＞1）,

25

如果AACM的面积是？，求点M的坐标.

O

)•

【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,顶点。（1,4）；（2）y=-x2+2x+3；

⑶点”的坐标为gj

【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标;

（2）过点D作DEJ_j轴，即可判断出△CDEs^BCO,然后结合tanN力8C一?，可推出02-』，

3BC3

从而通过相似三角形的性质列式求解&即可得出解析式；

（3）首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐标，进而

利用割补法建立关于面积的等式，求解出r的值即可.

【详解】（1）-a<0,

，抛物线开口向下，

根据对称轴公式可得：A=—-2^a=l,

-2a

当x=l时，），=4,则顶点。（1,4）,

・•・抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,顶点。。,4）；

（2）如图所示，作DEJLy轴,

由⑴可知顶点。（1,4）,则OA=ED=L

VDC1BC,

AZDCE+ZBC0=90o,

XVZDCE+ZCDE=90°,

:.ZCDE=ZBCO,

/.△CDE^ABCO,

.EDCD

'~OC~~BCy

,?tanNDBC=-

3

CD1

•*•---=一

BC3

当工=()时'y=4+4,即点C的坐标为(0,a+4)

:.OC=。+4,

解得：67=—1,

经检验a=T是方程的解，

・••抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3x

(3)在(2)的条件下，如图所示，连接MC,M的坐标为(乙一产+2f+3),

此时设直线CM的解析式为：y=k.x+bt

将C,M的坐标代入得：

b=3[k=-t+2

力+人-/+2/+3'解得：%=3，

即：直线CM的解析式为：J=(T+2)X+3,

设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为(1,一/+5),AP=T+5,

I7———、J25

,,S、=—APJ(X-xj=-t[-t+5)=—,

AMCZLMco

解得：/=?,

2

57

将，二1代入抛物线解析式得：y=-f

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，相似三角形的判定与性质，正切函数的定义

等，熟悉二次函数的性质，灵活构造相似三角形并运用其性质是解题关键.

52.（2021・上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线x=T的抛物线y="+3

与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为（1,0）.

（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；

（2）记抛物线的顶点为P,对称轴与线段3c的交点为。，将线段夕。绕点Q,按顺时针方

向旋转120。，请判断旋转后点尸的对应点P，是否还在抛物线上，并说明理由；

（3）在x轴上是否存在点M，使△WOC与口86相似？若不存在，请说明理由；若存在请

直接写出点M的坐标（不必书写求解过程）.

【答案】（1）8（-3,0），＞=—d—2x+3；（2）户在弛物线上，理由见解析；（3）存在;

M（1,（））或（9,0）或（一1,（））或（一9,0）

【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B的

坐标，用待定系数法求得函数解析式.

（2）求出直线BC的解析式，计算得出线段PQ的长度，过产作PZ）平行于x轴，交勉物线

对称轴于点D,根据旋转角度解直角三角形，得出P'的坐标，将P'的横坐标代入抛物线的解

析式，计算并判断即可得出答案.

（3）根据勾股定理可得出：]3cp是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M

的坐标.

【详解】解：（1）・・・A、B是关于直线x=—l轴对称图形的两点，点A的坐标为（L（））,

:,点B的横坐标为一1一口一（-1）]=-3,

・••点B的坐标为（-3,0）；

将A、B两点坐标值代入y=o?+法+3可列方程组：

0=。+"3

’0=94-3力+3

叫Ia=—\

・•・抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3.

（2）・・•点P为抛物线顶点，直线x=-l为抛物线的时称轴，

:.点