轨迹、路径类综合练习（基础）-2021年中考数学几何专项复习（解析版）

轨迹、路径类综合练习（基础）

选择题

I.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100c%,：15c加和IOCVM,/和8是这个台阶的两

个相对的端点，/点上有一只蚂蚁想到3点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（）

A.115cmB.125cmC.135cmD.145cm

【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算42,则根据两点之间线段最

短得到蚂蚁所走的最短路线长度.

【解答】解：展开图为：

则NC=100c加，5C=15X3+10X3=75cm,

在RtZUBC中，=yjAC2+BC2=125cm.

所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm.

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关

键.

2.如图，一个底面圆周长为24%,高为5〃?的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点/到点2所经过的最短路线

长为（）

<______>3

A.12mB.15mC.13mD.9.13m

【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短解答.

【解答】解：将圆柱体的侧面展开，连接/瓦如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24m,

1

则NO=24X]=12m.

又因为NC=5"?,

所以AB—V122+52=13m.

即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13m.

故选：C.

AD

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决此类问题，一般方法是先根据题意把立体图形展开

成平面图形，再确定两点之间的最短路径.通常情况是根据两点之间，线段最短的性质.本题将圆柱的

侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键.

3.正方体盒子的棱长为2,2c的中点为"，一只蚂蚁从/点爬行到M点的最短距离为()

A.V13B.V17C.5D.2+V5

【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点/和点/间的线段长，

即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3,利

用勾股定理可求得.

【解答】解：展开正方体的点M所在的面，

的中点为初，

1

所以MC=58C=1,

在直角三角形中/M=j22+(1+2)2=V13.

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关

键.

4.底面周长为12,高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从N点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）

'口

A.10B.8C.5D.4

【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答.

【解答】解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为12an,

1

则BC=nx-=6cm.

又因为NC=8C/M,

所以AB=V62+82=10cm.

故蚂蚁从点/出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm.

故选：A.

【点评】此题趣味性强，有利于培养同学们的学习兴趣，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题

的关键.

5.如图，8c是的直径，BC=4近,M、N是半圆上不与8、C重合的两点，且NMON=120°,AABC

的内心为£点，当点N在曲上从点M运动到点N时，点£运动的路径长是（）

27r47187116n

A-Tc-D.

【分析】如图，连接BE、CE,由NA4C=90°，E是内心，推出NB£C=135°，推出点E在以尸为圆

心的PC为半径的圆上运动（轨迹是GH）,求出尸G,NGP”即可解决问题.

【解答】解：如图，连接8E、CE,

VZBAC=90°,£是内心，

...N2EC=135°,

...点£在以P为圆心的尸C为半径的圆上运动（轨迹是侪1）,在。P上取一点〃'，连接BAT、CM',

则=180°-135°=45°,ZBPC=2ZM'=90°,

△8CP是等腰直角三角形，

V5C=4V2,

:.PB=PC=4,

11

ZHPC=2ZHBC=ZNBC=~ZNOC,同理/GPB=~Z.MOB,

1

AZHPC+ZGPB=~（ZNOC+ZMOB）=30°,

：.ZGPH=6Q°,

607T-44

；・点E运动的路径长是me=7Tt,

loUD

故选：B.

【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是正确寻找点£的运动轨

迹，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

6.如图，在矩形48co中，AB=®BC=l,把矩形/BCD绕点/顺时针旋转30°得到矩形/5C

D',其中点C的运动路径为CC',则图中阴影部分的面积为（)

B

。追-D空-逼

工A33B32C3233

【分析】如图连接，首先证明4、4、C共线.根据S阴=S扇形NC。-C,计算即可.

【解答】解：连接力。，

在矩形N8C。中，VZ5=90°,AB=W，BC=\,

BCV3

：.tanZBAC^—^—,

：.ZBAC=30°,

;旋转角为30°,

：.A,夕、C共线.

：.AC=7AB2+BC2=V3T7=2,

.；S阴=S扇形ice，_SUB，C>

30°X7TX4V3X1_ZEV3

••”=360°——~=3~T'

故选：B.

【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，学会利用分割法求阴影部分面积.

7.如图，是。。的直径，C是弧上的三等分点，E、尸是弧N5上的动点，ZEOF=6Q°,线段/£、

2尸相交于点。，M是线段2。的中点.当点£从点2运动到点。时，则”、E两点的运动路径长的比

是（)

DE

AV3V2TT7

AB.------D.叵

-T88

【分析】先求出点河的运动轨迹，再分别求出点E,点河的运动路径长，即可求解.

【解答】解：设。。的半径是小

•・•点E从点5运动到点C,

120°X7rxr2nr

・••点E的运动路径长为

180°3

VZEOF=60°,

AZAOF+ZBOE=i20°,

AZEAB+ZABF=60°，

：.ZADB=nO°,

如图，作△45。的外接圆圆连接。“，AH,BH,OH,取8”中点G,连接OG,MG,

VZADB=120°,

AZAHB=2X(180°-/ADB)=2(180°-120°)=120°，

•:AH=BH,AO^BO.

：.OH.LAB,/HBO=30°,

OB

=<.BHW

,OH-33

•・,〃是中点，G是中点,

1V3

:・MG=~DH=­r,

乙3

・••点M在以点G为圆心，MG为半径的圆上，

•・,点E从点B运动到点C,

点D从点B运动到点4,

・••点M从点5运动到点。，

•：NBOH=90°,GH=BG,

：.OG=BG=GH,

：.ZOBH=ZGOB=30°,

AZBGO=120°,

点M的运动路径长为I2。。*兀x.r=竽他，

18009

:.M、E两点的运动路径长的比=亨，

故选：C.

【点评】本题考查了轨迹，圆的有关知识，弧长公式，确定点河的运动轨迹是本题的关键.

8.如图，矩形4BCD中，48=3,40=4,点E在边4D上，且/E：ED=1：3.动点P从点”出发，沿

N8运动到点8停止.过点£作£尸，尸£交射线8c于点尸，设M是线段E厂的中点，则在点尸运动的整

个过程中，点/运动路线的长为（）

A.3B.4C.-D.5

【分析】如图，当P与N重合时，点尸与K重合，此时点河在，处，当点尸与8重合时，点尸与G重

合，点河在N处，点M的运动轨迹是线段求出KG的长即可解决问题.

BK

当2与4重合时，点厂与K重合，此时点M在H处，当点尸与8重合时，点厂与G重合，点M在N

处，点”的运动轨迹是线段

AE：ED=1：3,

：.AE=\,DE=3,

在RtZXZEB中，AE=\,AB=3,

:.BE=7AE2+z#=VTT^=VTo,

,:AD〃BC,

：./AEB=/EBG,

又•：NA=/BEG=90°,

AAEBsAEBG,

.BEAE

••丽=靛’

3邈产=10,

1

*：BK=AE=\,

:・KG=BG-BK=9,

19

.\HN=~^KG=~,

9

二点初的运动路径的长为

故选：C.

【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确

寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

—.填空题

9.如图，圆锥的轴截面是边长为6c加的正三角形/3C,P是母线/C的中点.则在圆锥的侧面上从2点到

尸点的最短路线的长为_3V5_.

【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以N3为一边，将圆锥展开，就得到一个以/为圆心，以为半径

的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后NR4C=90°,连接8P,根据勾股定理求

出3尸即可.

【解答】解：圆锥底面是以8c为直径的圆，圆的周长是8Cir=6n,

以4B为一边,将圆锥展开，就得到一个以4为圆心，以N3为半径的扇形，弧长是/=6m

TZTTX6

设展开后的圆心角是,则二口八.=6ir,

loU

解得：H=180,

1

即展开后/B4C=5X180°=90°,

1

AP=~AC—3,AB—6,

则在圆锥的侧面上从B点到尸点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，

2

由勾股定理得：BP=VXB2+Api=V62+3=3V5,

故答案为：3事）.

【点评】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆

锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就

是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

10.如图，一个圆柱形水杯深20cm,杯口周长为36c〃?，在杯子外侧底面/点有一只蚂蚁，它想吃到杯子

相对的内壁上点8处的蜂蜜，已知点8距离杯子口4°加，不考虑杯子的厚度，蚂蚁爬行的最短距离为

30c冽

.B

【分析】将杯子侧面展开，建立8关于E尸的对称点皮，根据两点之间线段最短可知夕/的长度即为

所求.

【解答】解：如图:

将杯子侧面展开，作5关于跖的对称点夕

连接3'A,则4/即为最短距离，B'A=7AC2+B'C2=>242+182=30c加.

故答案为：30cm.

【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计

算是解题的关键.

11.如图，圆柱形容器高为18cro,底面周长为24CTW,在杯内壁离杯底4cm的点2处有一滴蜂蜜，此时一

只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点/处，则蚂蚁从外壁/处到达内壁B处的最短距离

【分析】将杯子侧面展开，作/关于E尸的对称点H,根据两点之间线段最短可知H8的长度即为所

求.

【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作/关于跖的对称点H,

连接卬B,则卬3即为最短距离，

在直角中，由勾股定理得

A'B=y/A'D2+DB2=V122+162=20(cm).

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是

解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

12.如图，在菱形N5CD中，//=120°,AB=2,点£是48边上的动点，过点3作直线CK的垂线，垂

足为尸，当点£从点/运动到点8时，点尸的运动路径长为

【分析】因为/CEB=90°,推出点尸的运动轨迹是以2C为直径的，圆弧BAf,求出圆心角N30M即

可解决问题.

【解答】解：如图，取8c的中点。，连接NC,BD交于点、M,连接(W.

•..四边形/BCD是菱形,

J.ACLBD,N/8C=180°-/BAD=60°,AM=CM,

当点£与/重合时，点尸与NC中点M重合，

"：ZCFB=90°,

点厂的运动轨迹是以2C为直径的，圆弧

:点。是3c中点，AM=CM,

；.3O=OM=1,OM//AB,

：.ZBOM=nO°,

2

故答案为铲.

【点评】本题考查轨迹，菱形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所

以中考常考题型.

13.在平面直角坐标系中，A(-2,0)、B(4,0),如图C在x轴上，BC=2,。从。向C运动，以/0、

2。为边作等边△/E0、等边△EB0.连接斯，点尸为£尸中点，则P点运动的路径长为1.

【分析】如图所示，延长BF交于点、H,则为等边三角形，再由三角形NE0与三角形BG尸

为等边三角形，得到两对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到K0与平行，EQ与BH平行,

进而确定出四边形尸，为平行四边形，根据尸为所的中点，得到P为的中点，随着点0从。点

向。点运动，点P也由尸1运动到P2,利用中位线定理求出P点运动的路径长即可.

【解答】解：如图所示，延长ZE,BF交于点、H,则■为等边三角形，

LAEQ与△2F0都为等边三角形，

AZEAQ=ZFQB=60°,ZAQE=ZQBF=60°,

：.FQ//AH,EQ//BH,

...四边形EQFH为平行四边形，

•尸为EF的中点，

尸为，0中点，

'：A(-2,0),B(4,0),BC=2,

：.OC=2,

随着点。从。点向C点运动，点P也由Pl运动到22，

1

：.PiP2=-OC=\,

即P运动的路径为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的判定与性质，坐标与图形性质，中位线定理，熟练掌

握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

14.如图，△48C是边长为4的等边三角形△A8C,将绕边48的中点。逆时针旋转60°,点C的运动路

径为C?,则图中阴影部分的面积为，s二百.

A'

aB'C

【分析】如图，连接OC,OC,设NC于。。交点为。，由等边三角形的性质和旋转的性质可求。。=

OC=2V3,ZCOC=60°,由三角形内角和定理可求/NZ）O=90°,由面积的和差关系可求解.

【解答】解：如图，连接OC,OC,设/C与。。交点为。，

A4BC是边长为2的等边三角形，

:.NB=NBAC=60°,AB=BC=4,

丁点。是N2的中点，

1

：.AO=~AB=2,OCLAB,

；./BOC=N4OC=90°,

：.OC=BC-sin600=2展，

将△ZBC绕边48的中点。逆时针旋转60°,

二。。=0。=2打，/。。。=60。,

：.ZAOC^ZAOC-ZCOC=30D,

：.ZADO=1SO°-ZAOC-ZBAC=90°,

AD=AO9sin30°=1,

2

.60°X7TX（2V3）1厂1「r-

・・S阴影=Szuoc+S扇形coc-S^AOC=^77^+7x2近x1x2X2V3=2n—V3，

DOU乙乙

故答案为：2n—

【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，旋转的性质，扇形的面积公式，求出的长是本题的

关键.

15.如图，有一条长度为1的线段其端点E、尸分别在边长为3的正方形N3CD的四边上滑动.当EF

绕着正方形的四边滑动一周时，跖的中点M形成的路径所围成的图形面积是」二不一.

11

【分析】先分析点£在N8上，点厂在3C上的情况，根据直角三角形的性质得到8M=万£/=5,根据

圆的面积公式、正方形的面积公式计算即可.

【解答】解：当点£在上，点尸在5c上时，连接的心

在Rt/XEBF中，NB=90°，点河是小的中点，

11

：.BM=~EF=~,

1

.,.点M的轨迹是以3为圆心、以万为半径的圆弧，

11cl

圆面的面积=ZXTtX(―)2=y^Tt,

当E、尸在同一条边上时，点M也在这条边上，

C11

的中点”形成的路径所围成的图形面积=32—正TTX4=9—不，

【点评】本题考查的是点的轨迹、正方形的性质、直角三角形的性质，根据题意正确表示出跖的中点M

形成的路径轨迹是解题的关键.

16.如图，在中，AC=4,8C=2,点M为/C的中点.将△48C绕点M逆时针旋转90°得到△

DEF,其中点8的运动路径为曲，则图中阴影部分的面积为2冗-3.

【分析】连接氏饮、EN,由题意可知4BME=90°,BC=CM=2,BM=&BC=2例,DFLAC,可求

90XTT（，2V2'）211

MN为ADEF的中位线，则有S阴影=S扇形-S^F.MN-S^BMH=TTT5x2x2——xlx2=2it-

360ZZ

3.

【解答】解：连接8"、EN,由题意可知/AWE=90°,BC=CM=2,BM=y[2BC=2-^2,DFLAC,

：.MN//EF,〃r为OF的中点,

MV为△。斯的中位线，

11

：.MN=~EF=1,MF=~DF=2,

S阴影=S序形-SAEMN-SABMH=777—x2x2——xlx2=2n-3.

【点评】本题考查扇形的面积，旋转的性质；熟练掌握扇形的面积公式和三角形面积公式是解题的关

键.

三.解答题

17.如图，把Rt4/BC的斜边放在直线/上，按顺时针方向在1上转动两次，使它转到△/"2"C"的

位置，若2C=1,AC=43,则当点/转动到点/"的位置时，求点/两次转动所经过的路程.

【分析】根据旋转的性质和弧长公式即可求出点“两次转动所经过的路程.

【解答】解：'：BC=1,AC=<3,

AC「

/.tanZABC==v3,

DC

：.ZABC=60°,

.\ZC45=30°,

；.4B=2BC=2,

点A两次转动所经过的路程为：

120X7TX290X7TXV3

180+-180―

4兀V37T

3十2・

答：点/两次转动所经过的路程为h47T+wApi.jr

JZ

【点评】本题考查了轨迹、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质.

18.一块等边三角形木块，边长为1,如图所示，现将三角形木块沿水平线翻滚五次，那么点8从开始至结

束所走过的路径长是多少？

【分析】根据正三角形的性质及弧长公式求出点8绕点C、点/、点C旋转的三段弧长相加即可.

【解答】解：•••点3所经过的这三段弧所在圆的半径为1,所对圆心角均为120度

120

，点B所经过的路线长为3**严乂1=2TT.

n

【点评】本题主要考查了正三角形的性质及弧长公式/=诉口.熟记弧长的公式是解题的关键.

loU

19.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中4S=18cm,BC=ncm,5F=10c〃?，点四在棱48上，且

点N是尸G的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最

短路程是多少？

Oc

【分析】利用平面展开图有两种情况,画出图形利用勾股定理求出的长即可.

【解答】解：如图1,

AB—lScm,BC—GF—12cm,BF—10cm,

.*.W=18-6=12,8N=10+6=16,

MN—V122+162=20(cm)；

如图2,

"."AB=IScm,BC=GF=12cm,BF=l0cm,

：.PM=1S-6+6=18,7Vp=10,

MN—V182+102=2v106(cm).

如图3中，

图3

MN-V222+62=2V130Cem),

V20<2VT06<2VT30,

.•.蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20c"?.

图1

【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得

出是解题关键.

16

20.如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径48=—,高BC=12cm,在2c的中点尸处有一块蜂蜜，聪明

n

的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从/点爬到P点的最短距离.

【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即

可.

【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：

C

m

I---i-----

4B

11161

底面周长=5xnx蔡=8(cm),AP=~BC=6(cm),

所以AP=，82+62=10(cm),

故蚂蚁从/点爬到P点的最短距离为10cm.

【点评】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常

用求解方法.

21.问题探究：

(1)如图①，已知等边△4BC,边长为4,则△N2C的外接圆的半径长为_|\月_.

(2)如图②，在矩形/BCD中，48=4,对角线AD与边3c的夹角为30°,点E在为边2C上且8£=

1

了C,点尸是对角线5D上的一个动点，连接PE,PC,求△PEC周长的最小值.

问题解决：

(3)为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演.其中一个镭射灯距城墙30米，镭

射灯发出的两根彩色光线夹角为60。，如图③，若将两根光线(AB,AC)和光线与城墙的两交点的连

接的线段(BC)看作一个三角形，记为34BC,那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值,

角定理求出NO=NC=60°,解直角三角形求出即可.

(2)△尸EC周长的最小实质是PE+PC,转化为将军饮马模型求出尸点，然后利用勾股定理即可求出。

C即可解答，

(3)先由定角定高可知2c的最小值为三角形是等腰三角形N3=ZC时，8c最小，而求N8+/C,可以

先将A点沿3c方向平移BC,构造平行四边形将AB转化为长，则AB+AC最小转化为AC+CD最小，

作N点对称点H,连接D,与交点与C重合，此时8C、NB+4C同时取最小值，即可知三角形

周长有没有最小值.

【解答】解：(1)如图，作三角形外接圆OO,作直径/O,连接8。，

\,等边△45C内接于O。，40为直径,

.\ZC=60°=Z£>,ZABD=90°,

ABV3

VsinZjD=^=

2AB28V3

•••OO的半径是”.

4Vs

故答案为：§

(2)如图2,作点E关于AD的对称点E',连接皮C交BD于P,连接尸E,此时△PEC周长周长最

小.

连接,过£'作E'HLBC,

VZD5C=30°,AB=CD=4,

."C=4禽，

1

又■:BE-BC.

4

:.BE=W

.点£'是关于2。的对称点E

:./E'277=60°,BE1=BE=V3,

V3,3

=E'H=~,

乙乙

7一

：.HC=~y/3,

：.E'C=y/E'H2+HC2=J(|)2+(|V3)2=V39

"?APEC周长=PC+PE+EC=PE'+EC=V39+3V3

(3)如图3,VZBAC=60°,4H=30米,

.•.当N8=/C时，边3c取最小值，

此时2。=/。=20a，

作口/BCD,作/点关于直线8C的对称点,连接HD,AB+AC^CD+A'C,

当⑷，C,。在一条直线上时，/8+/C最小，

此时，Zk/BC应为等边三角形，N3+/C=40禽

'：AB+AC^\BC的最小值能够同时取到，

故△NBC的周长最小值为60V3.

【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟知

两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.

22.如图，在平面直角坐标系中，点/、B、C的坐标分别是(0,禽)、(V3+1,1)、(1,0