高中数学专项复习：平行问题的证明（解析版）

第三篇立体几何

专题01平行问题的证明

常见考点

考点一线面平行的判定

典例1.如图所示，在三棱柱ABC-ABG中，。为AC的中点，求证：A与〃平面

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

连接交BG于。，连接OD,则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得

OD//AB,,然后利用线面平行的判定定理可证得结论

【详解】

证明：如图，连接8。交BG于。，连接0£),

四边形BCCA是平行四边形..♦.点。为qC的中点.

为AC的中点，,OD为VAB。的中位线，/.OD//AB,.

•；ODu平面BCQ,4月。平面BCQ,，4与〃平面BCQ.

变式1-1.如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个

直角梯形ACDE,其中AE//CD,AE=^CD=^AC,NE4c=90。，现将直角梯形

ACDE沿边AC折起，使得AE，A8,连接BE、BD,设线段8c的中点为足

求证：AF//平面BDE；

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

取的中点G,连接EG、FG,利用平行四边形证A尸〃EG,由线面平行的判定可

证A尸〃面BDE.

【详解】

证明：取8。的中点G,连接EG、FG,由尸为BC的中点，

FGHDC且FG=|CD,又AE//CD且CD=2AE,

：.AE//FGRAE=FG,即四边形AFGE为平行四边形，

.'.AF//EG,又EGu面BDE,AF<z[f]BDE,

〃平面BDE.

变式1-2.如图，四棱锥P-ABCD中，点M、N分别为直线上的点，且满足

PMPN

—,求证：〃平面ABCD

p

B乜

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

通过线线平行来证得MN//平面ABCD.

【详解】

连接

..PMPN

PB一方,MN//BD,

平面ABCD,BDu平面ABCD,

AW〃平面ABCD

变式1-3.如图所示，已知正方形ABCD.E、尸分别是A3、。的中点，将VAZ）后沿

DE折起.证明3P//平面ADE.

【答案】证明见解析.

【解析】

通过证明切7〃即，证得3尸〃平面ADE.

【详解】

E、尸分别为正方形A3CO的边AB、C。的中点，

/.EB//FD,且EB=FD,二四边形£B/Z）为平行四边形，

ABF//ED,：EDu平面ADE,而8尸N平面ADE,3/〃平面ADE.

考点二面面平行的判定

典例2.如图，在四棱锥P-ABCD^,E,F,G分别是PC,PD,的中点，DC//AB,

求证：平面B4B//平面EFG

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据面面平行的判定定理进行证明.

【详解】

由于分别是PC,尸。的中点，

所以的是三角形PCD的中位线，

所以EF//DC,

由于DC〃AB,所以EF7/AB,

由于EFU平面丛B,ABI平面E4B,

所以瓦7/平面E4B.

由于E,G分别是PC,8C的中点，

所以EG是三角形P3C的中位线，

所以EG//PB,

由于EG<Z平面PAB,PBu平面

所以EG//平面R4B.

由于所IEG=E,

所以平面力B//平面EFG.

变式2-1.已知棱长为1的正方体ABC。一ALB/C/D中，E,F,M分别是A/Q,AiD

和BA上任意一点.求证：平面AEF〃平面印WC.

3------------------=-G

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

通过证明平面\C.DH平面BtAC来证得平面\EFII平面BtMC.

【详解】

根据正方体的性质可知\DIIB\C,

由于A。＜2平面瓦AC,4Cu平面耳AC,

所以4。〃平面耳AC.

同理可证得4G〃平面AAC,

由于AOcAG=A,

所以平面AG。〃平面B|AC,

所以平面A.EFH平面BMC.

百世2-2.如图，在斜三棱柱ABC-48/G中，点、D,。分别在AC,4G上，那么

当点。在什么位置时，平面BC/。〃平面

【答案】。为AC的中点

【解析】

【分析】

根据面面平行的性质定理即可求解.

【详解】

连接交于点0,连接0D,由平面BC/D〃平面ABD,

且平面A/BCm平面BDCi=BCi,平面A/BCn平面ABiDi=DiO,

同理AD〃。，,

所以^二能42DC

2G—AD

AODC

又因为甯=1，所以而=1，即。为AC的中点.

UD

变式2-3.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，棱尸。与EC均垂直于底面

ABCD,PD=2EC,求证：平面£BC〃平面尸/M.

【答案】见解析

【解析】

由正方形的性质得出3C//AD,可得出3c〃平面尸但，由线面垂直的性质定理得出

CEIIPD,可得出CE〃平面PZM,再利用面面平行的判定定理可证得结论.

【详解】

由于四边形ABC。是正方形，，3C//AD,

Q5C（Z平面HM,ADu平面PZM,BC7/平面PZM,

（3尸£），平面430CEL平面A8CD,-.-CEIIPD,

QCE<Z平面PZM,PDu平面PO4,；.CE〃平面PDA,

QBCICE=C,•・平面EBC〃平面尸/M.

【点睛】

本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.

考点三线面平行的性质

典例3.如图，在四棱锥P-ABCD中，24,平面ABCD,四边形ABCD是正方形,

AB=2PA=4,点E在棱以上，PC〃平面

求证：E为丛的中点；

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

连接AC交于点。，连接。E,根据线面平行的性质可得PC//OE,结合正方形的

性质易知。是AC的中点，即0E是中位线，即可证结论.

【详解】

证明：连接AC,交BD于点、0,连接。E.

：PC7/面3DE,面BDEc面丛C=OE,PC<Z^BDE,PCu面PAC,

二PC//OE.

:四边形ABCD是正方形，BD^AC=O,即。是AC的中点.

.•.△尸4。中。£是中位线，故E为上4的中点.

变式3-1.四面体ABCD如图所示，过棱48的中点E作平行于AO,BC的平面，分

别交四面体的棱8。，DC,C4于点尸，G,H.证明：四边形EFG〃是平行四边形.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

根据线面平行的性质定理，分别证得E"//8CrG//3C,所以FG//EH,同理证得

£F//"G.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得结论.

【详解】

由题设知，〃平面EFG”,

又平面EFG“八平面&)C=FG,平面EFG"R平面

/.BC//FG,BC//EH,：.FG//EH.

同理E尸〃AD,HG//AD,EF//HG.

故四边形瓦‘GH是平行四边形.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的性质定理的应用，考查平行四边形的判定，属于基础题.

变式3-2.如图所示，已知三棱柱ABC-ABC中，D是BC的中点，D是BC的中点，

设平面ADBC平面ABC=a,平面ADCC平面A'B'C'=b,判断直线a,b的位置关系，

并证明.

【答案】直线a,b的位置关系是平行，证明见试题解析.

【解析】

【分析】

根据线面平行的性质定理，分别证得A'O'//a,AO/",再证得AD//AD,利用平行

公理，可证得。//4

【详解】

•平面ABC//平面A'B'C,平面A'DBC平面ABC=a,平面ATTBC平面A'B'C'=A'D',

/.A'D7/a,同理可得AD//b.

又D是BC的中点，D是BC的中点，.&BB',而BB'幺,：.DD'2

AA',

，四边形AADD为平行四边形，AA'D'/ZAD,因此a//b.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的性质定理和平行公理的应用.要证明线线平行，可以先证

两条直线和第三条直线平行，利用公理4,即平行公理可证得两直线平行.属于基础

题.

变式3-3.如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH,求证：CD//

平面EFGH.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据线面平行的判定定理、性质定理即可得证

【详解】

因为四边形及G”为平行四边形，

所以砂//GH,

因为GHu平面BCD,EFo平面BCD,

所以跳7/平面BCD,

又因为£Fu平面AC。，且平面ACDpI平面BCD=CZ),

所以EF//CD,

又因为CD(X平面EFGH,所u平面EFGH,

所以CD〃平面EFGH

考点四面面平行的性质

典例4.如图，在三棱锥P—ABC中，D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是

AB上一点，连接MC,N是PM与DE的交点，连接FN,求证：FN/7CM.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

先通过中位线，通过线线平行，证得平面DEF〃平面A8C,在根据面面平行的性质

定理证得尸N//QW.

【详解】

因为D,E分别是PA,PB的中点，所以DE〃AB.

又DEN平面ABC,ABu平面ABC,所以DE〃平面ABC,

同理DF〃平面ABC,且DECDF=D,

所以平面DEF〃平面ABC.

又平面PCMC1平面DEF=FN,

平面PCMC平面ABC=CM,

所以FN〃CM.

【点睛】

本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到

了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转

化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件

来判断.

变式4-1.如图，在棱锥中，AE:AB=1.3,截面EFG〃底面8DC.已知V6DC的周

长是18,求VEVG的周长.

【答案】6

【解析】

【分析】

由面面平行可得线线平行，然后由相似三角形可解.

【详解】

因为截面EFG〃底面BDC,且面ABCI面EFG=EG,面ABCI®BCD=BC

所以EG〃BC,

所以7BCD7EGF

又AE:AB=1:3

所以胎=1

nC3

GFEF]

同理可得,

CD~BD~3

EG+GF+FE1EG+GF+FE1

所以-，即Rn------------

BC+CD+DB3183

所以，EG+GF+FE=6,即VEFG的周长等于6.

变式4-2.如图，已知平面a〃平面夕，点尸是平面a,夕外一点，且直线PB,PD

分别与a,夕相交于点A,B和点C,D.如果B4=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求PD

的长.

【解析】

【分析】

根据面面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可

【详解】

由题意可知：平面「5£>C|a=AC,平面PaOCl尸=8。,

因为平面&//平面夕，所以BD//AC,

印“士PAPC4327

因此有一=——=>----=一nPD=——

PBPD4+5PD4

变式4-3.如图所示，两条异面直线出，OC与两平行平面。，夕分别交于点5,A

和。，。，点N分别是A5,8的中点，求证：MM/平面。

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

过点A作AE//CD交a于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE,ED,BD,AC,

根据面面平行的性质得到PN//a,MP//a,即可得到平面MPN//1，再利用面面平行

的性质即可得到MNH平面a。

【详解】

过点A作AE//CD交a于点E,取AE的中点P,

连接MP,PN,BE,ED,BD,AC,如图所示：

因为AE//CD,所以AE,CD确定平面A£E»C.

则平面AEE>Cna=DE,平面AEDCn/=AC,因为&所以AC//DE.

又尸,N分别为AE,C。的中点，

所以PN〃DE,PNaa,DEua,所以PN//a.

又M,P分别为A3,AE的中点，

所以且MPaa,BEua

所以因为MPcPN=P,

所以平面AffW//tz.

又跖Vu平面"PN,所以MN〃平面a.

巩固练习

练习一线面平行的判定

1.如图，四棱锥A-D3CE中，。为底面平行四边形O3CE对角线的交点，F为AE

的中点.求证：AB〃平面OC?

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

以线面平行判定定理去证明即可.

【详解】

。为底面平行四边形对角线的交点，则3O=OE

△ABE中，BO=OE,AF=FE,则AB〃O尸

又ABu平面。0/<=平面。。/，则AB〃平面DCE

2.如图所示，在棱长为2的正方体A8CO-A//。。/中，E,尸分别为。的

中点.求证：EFU^-^ABCiDi.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由E为。。/的中点，尸为3。的中点，得EF为△3。。/的中位线，所以EF7/BD,

从而可证明线面平行.

【详解】

如图，连接在△8DD中，

因为E为。。的中点，尸为的中点，

所以所为△8OD的中位线，所以EF//BD,

又BD/u平面ABCiDi,ERt平面ABCiDi,

所以ER//平面A8C/D.

3.如图所示，在四棱锥尸-ASCD中，R4=AD=CD=2AS=2,AB±AD,CD±AD,

PA_L底面ABCD,m为PC的中点。求证：3M//平面尸AD

【答案】证明见解析.

【解析】

取尸。的中点E,连接AE,ME,由三角形的中位线定理可得ME〃8,ME=gc£>,

而已知AB〃。，AB=^CD,从而得AB〃ME,AB=ME,所以四边形为平

行四边形，从而得BM//£A,再利用线面平行的判定定理可证明

【详解】

证明：取尸。的中点E,连接

因为M为PC的中点，

所以ME〃⑺,=

因为48〃CO,AB=^CD,

所以AB=ME,

所以四边形ABME为平行四边形，所以R0〃E4,

又因为BMa平面PAD,E4u平面尸AD,

所以3M//平面上M>.

4.如图，四棱锥尸―ABCD中，PA_L平面ABC。，AD//BC,AB±AD,AD=2BC,M

点在线段尸。上，且满足"0=29.求证:尸3//平面M4c.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

连结B£)cAC=O,连结MO,可证00=230,结合已知可证尸3//MO,即可证明结

论.

【详解】

连结BZ)cAC=O,VAD//BC,

AD=2BC,.•.00=280,在">瓦)中，连结MO,

,/DM=2MP,/.PB!IMO,

又PBu面MAC,MOu面舷4C,/.PBH^MAC.

p

【点睛】

本题考查线线垂直的证明，注意空间垂直之间互相转化，考查线面线平行，属于基

础题.

练习二面面平行的判定

5.如图，在三棱柱ABC-A旦G中，。、P分别是棱AB、的中点，求证：平面APQ//

平面gC，

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

设BG与gC的交点为。，连结0。，证明OZ)〃AG,再由线面平行的判定可得AG〃

平面耳C。；由尸为线段A耳的中点，点。是的中点，证得四边形为平行四

边形，得到”//即，进一步得到AP〃平面800.再由ACJ/平面瓦CO,结合面面平

行的判定可得平面APCJI平面B.CD,

【详解】

证明：设BG与瓦C的交点为。，连结0D,

•.•四边形BCC’Bi为平行四边形，O为B.C中点,

又。是43的中点，「.OD是三角形ABG的中位线，则"//AC,,

又门仔仁平面BCD,。。匚平面用⑦，

,­,AG〃平面qc。；

•.•尸为线段4瓦的中点，点。是43的中点，

.•■4。〃耳P且AD=与P,则四边形ADB}P为平行四边形，

AP//DBt,

又「APC平面片C。，。旦u平面4CQ,

.•.AP〃平面80.

又AG〃平面平中，AC^AP=A,且AQu平面APQ,APu平面APQ,

平面APG〃平面瓦CD.

本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，属

于中档题.

6.如图甲，在直角梯形A5E。中，AB//DE,AB1,BE,ABLCD,F、H、G分别

为AC、AD,OE的中点，现将AACD沿CD折起，如图乙.求证：平面打/G〃平面ME.

【解析】

分别证明出切〃平面ME,G"//平面加汨，然后利用面面平行的判定定理可得出平

面"/G//平面ABE.

【详解】

翻折前，在图甲中，•.•AB_LCD,AB±BE,：.CD//BE,

翻折后，在图乙中，仍有CD//3E,

•;F、H、G分别为AC、AD,OE的中点，:.FH//CD,HG//AE,:.FH//BE,

•.•5Eu平面ABE,平面ABE,:.FH〃平面ABE.

•.•AEu平面ABE,平面ABE,；."G〃平面ABE.

又FHcHG=H,.,・平面KF7G〃平面ABE.

【点睛】

本题考查面面平行的证明，证明时要注意线线位置关系在翻折前后的变化，考查推

理能力，属于中等题.

7.如图，在三棱锥S-ABC中，AS=AB,过A作AF_LS3,垂足为R点E,G分

别是棱SA,SC的中点.求证：平面EFG//平面ABC.

A

B

【答案】证明见解析

【解析】

由已知可得/为S3中点，点E,G分别是棱SA,SC的中点，可得跖/MB,证得

£F〃平面A8C,同理EG//平面48C,即可证明结论.

【详解】

证明：因为SA=AB,AF1SB,垂足为R所以尸是S3的中点.

又E是&1的中点，所以EQMB.

因为EF<Z平面ABC,AB1平面ABC,所以所//平面ABC.

同理EG//平面ABC.又EFC\EG=E,EF,EGu平面EFG,

所以平面EFG//平面ABC

【点睛】

本题考查面面平行的证明，属于基础题.

8.如图所示，在多面体A8CDE/中，四边形ABC。是菱形，EF//AC,G是DE的

中点.求证：面ACG〃面

【答案】证明见解析

【解析】

根据已知条件可证OG〃面3所，AC//面BEF,即可证明结论.

【详解】

如图所示，

连接交AC于点0,连接0G,

易知。是8。的中点，WOGIIBE.

又BEu面BEF,OGaffiBEF,所以OG〃面BEE

因为EF〃AC,ACe面BEE所以AC//面3EF

又AC与0G相交于点O,AC,OG^ACG,

所以面ACG//面BEF.

【点睛】

本题考查面面平行的证明，属于基础题.

练习三线面平行的性质

9.如图，A3是圆。的直径，点C是圆。上异于的点，尸为平面ABC外一点，E,F

分别是「APC的中点.记平面5EF与平面ABC的交线为I,试判断直线I与平面PAC

的位置关系，并加以证明.

【答案】〃/平面PAC,证明见解析.

【解析】

【分析】

利用线面平行的判定定理可得EFH平面ABC,再由线面平行的性质定理可得EFHI,

最后再次根据线面平行的判定定理可得///平面PAC.

【详解】

直线〃/平面尸AC,证明如下：

因为瓦F分别是PAPC的中点，所以EF//AC.

又EFO平面A3C,且ACu平面A3C,

所以所〃平面A3C.

而EFu平面BEF,且平面平面ABC=/,

所以EF/〃.

因为平面PAC,£Fu平面PAC,

所以〃/平面PAC.

【点睛】

本题考查线面平行的判定与性质，解题时注意两类平行关系的转化，本题属于基础

题.

10.如图，五面体ABCDEF中，四边形为矩形，跖〃平面ABCD,

EA=ED=AD=EF=2,AB=4,/为BC中点.求证：EM〃平面3DE；

【答案】详见解析.

【解析】

取8。中点0,连。M,OE,由所〃平面ABC。，可证EF//CD,进而证明四边形EfMO

为平行四边形，得到OE//RW,即可证明结论.

【详解】

取8。中点。，连。

QEFH平面ABCD,所u平面EFCD,

平面EFCD「平面ABCD=CD,:.EF//CD

•・・加为BC中点，:.OM/ICD,:.OMUEF,

=-CD,EF=-CD,:.OM=EF,

22

四边形EHWO为平行四边形，

OEu平面BDE,FM<2平面BDE,

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与平面平行，要注意直线与平面平行

性质定理的应用，属于基础题.

11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，加是尸C的中点，在

上取一点G,过点G和AP作平面，交平面于GH,点H在线段上.求证：

AP//GH.

【答案】证明见解析

【解析】

连接AC交80于点0,连接MO,推导出MO//PA.从而AP〃平面比如.由线面平行

的性质定理可证明AP//GH.

【详解】

证明：如图，连接AC,设AC交双）于点。，连接MO.

•..四边形ABCD是平行四边形，

，。是AC的中点

又M是PC的中点，MO//PA.

又MOu平面BDM,PA(Z平面BDM,

，N/平面JRDM

又平面R田G,平面B4HGC平面=

/.AP//GH.

【点睛】

本题考查线线平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题.

12.如图所示，在多面体442-。C8A中，四边形A41AB,ADD^,ABC。均为正

方形，E为8Q的中点，过A，。"的平面交Cj于F.

证明：EFHBXC.

【答案】见解析

【解析】

通过四边形4印第为平行四边形，可得4C//AD,利用线面平行的判定定理即得结

论；

【详解】

=CD

证明：•.-B1C=4<DJ=L>

，四边形A4C。为平行四边形，

又•.•4CC平面WAOu平面AEFD

.­•BQH平面片EFD,

又因为平面4应叫1平面用CR=EF,4CU平面片CR,

:.EF//B\C-

【点睛】

本题考查线面平行的判定及性质定理的应用，属于基础题.

练习四面面平行的性质

13.如图，已知尸，点P是平面外的一点，直线丛和PC分别与夕相交于3

和D.

（1）求证：AC//BD；

（2）已知PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求P£）的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）一27

4

【解析】

【分析】

（1）由面面平行的性质定理得证线线平行；

（2）由平行线的性质可求得线段长.

【详解】

（1）PB^}PD=P,所以确定一个平面PB£）,

由题意平面尸=平面28。口£=8。，a11/3

所以AC//即；

(2)由(1)AC//BD,所以黑=备，所以。=与*=岁=9，

jtvJLJJLxYi"i"

1527

所以尸O=PC+CD=3+—=—.

44

14.如图①，在直角梯形A8CP中，AP//BC,AP±AB,AB=BC=^AP,。为AP的

中点，E,F,G分别为PC,PD,CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥

P-ABCD,如图②.求证:在四棱锥PABCO中，AP〃平面MG

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

通过证明平面EFGH平面P4S来证得AP//平面EFG.

【详解】

在四棱锥P43CO中，E,尸分别为PC,PD的中点，：.EF//CD.

■:ABHCD,：.EF//AB.VEFdTffiPAB,A3u平面物8,

.,.ER〃平面PAB.

同理E