高中数学专项复习：概率与统计综合问题（解析版）

《2020年数学(文)概率统计二轮专项提升》

专题05概率与统计综合问题

一、高考题型特点：

这部分属于高考必考内容，一般以大题形式出现，是以统计材料为情景的概率综合问题。难度中等偏上。

二、重难点：

试题以现实生活中常见问题为背景，精心编制与设问，不仅考查了考生运用所学的统计与概率知识和方法

解决问题的能力，而且使考生领会统计与概率思想方法在现实生活、工农业生产等领域的应用，形成自觉

应用数学知识指导社会实践的意识，提高解决问题的能力.

三、易错注意点：

1.从统计数据中分析题意；

2.理解概率的本质；

3.分清概率与频率

四、典型例题：

例1(2018天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样

的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

⑵设抽出的7名同学分别用A,B,C,D，E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的

卫生工作.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设"为事件"抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2,由于采用分层抽样的方法从

中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.

(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A,8},{A,。，{A,{A,£},[A,",[A,G},{B,。，{B,{B,£},{B,F},{B,。，{C,

0,{C,0,{G月，{C,G},{D,8,{〃E,{D,G},{£,月，{£,。，{F,。，共21种.

(ii)由(1),不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是4B,C,来自乙年级的是〃E,来自丙年级的是

F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{4而，[A,。，[B,

。，{D,欣,{F,G},共5种.

所以，事件M发生的概率为尸(河)=9

例2.(2017山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A，A,,4和3个欧洲国家耳，B2,鸟中选择2

个国家去旅游.

(I)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(II)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括&但不包括用的概率.

【解析】(I)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{&4},{A，4},{4,4},{4,4},{4，2}{4,员},{4,耳},⑷迅},{4,a}，{&,用}，

{J43，B3},{Bi,B2},{5,,B3},{B2,B3},共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：

{4《},{4，4},{演4},共3个.

31

则所求事件的概率为：P=—=~.

155

(II)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{44},{4与},依，骂}，{4,4}，{4，5},{4，闻,{4,4},{4，与},{4，4},共9个,

包含片但不包括用的事件所包含的基本事件有：

{4，四},{4，国},共2个，

2

所以所求事件的概率为。=—.

9

例3.(2016年全国H卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续

保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数01234三5

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数0123425

频数605030302010

(I)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求尸(A)的估计值；

(II)记3为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(5)的估计值;

(III)求续保人本年度的平均保费估计值.

【解析】（I）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为

故尸（用的估计值为0.55.

（II）事件6发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于

4的频率为双土型=0.3,

200

故P⑦的估计值为0.3.

（III）由题所求分布列为：

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查200名续保人的平均保费为

0.85ax0.30+ax0.25+1.25ax0.15+1.5ax0.15+1.75a

x0.30+2ax0.10=1.1925a,

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.

例4.（2015北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理

成下统计表，其中“J”表示购买，“X”表示未购买.

甲乙丙T

顾客

100VXVV

217XVXV

200JVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（II）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?

【解析】（I）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购

买乙和丙的概率可以估计为%■=0.2.

1000

（II）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同

时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的

概率可以估计为---------=0.3.

1000

（III）与（I）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为四=0.2,顾客同时购买甲和丙的

1000

概率可以估计为100+200+300=。6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为®=0］.所以，如果

10001000

顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.

五、强化提升训练：

1.（2019•豫北名校调研）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这

50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为［40,50）,［50,

60),…，[80,90),[90,100],

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

⑶从评分在［40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在［40,50）的概率.

【解析】⑴因为（0.004+a+0.018+0.02202+0.028）X10=1,所以a=0.006.

（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）X10=0.4.

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

（3）受访职工中评分在［50,60）的有：50X0.006X10=3（人），记为4,4,4；

受访职工中评分在［40,50）的有：50X0.004X10=2（人），记为劣，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{4,4},{A,4},U,8},{4,

,{4,4},{Ai,,{Ai,,{4,Bis,{4,,{Bi,Bi\.

又因为所抽取2人的评分都在［40,50）的结果有1种，即仍，时,故所求的概率为°=需.

2.（2019•石家庄调研）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营

车辆.目前我国主流纯电动汽车按续航里程数以单位：千米）分为3类，即力类：80W代150,B类:150W7?

<250,「类：AN250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型4类B类。类

已行驶总里程不超过10万千米的车辆数104030

已行驶总里程超过10万千米的车辆数202020

（1）从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过

10万千米的概率；

（2）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽

样，设从。类车中抽取了〃辆车.

①求n的值；

②如果从这〃辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.

【解析】（1）从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万千米的概率为口=要/一=不.

（2）①依题意14=5.

②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a,b,c；

5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为如n.

“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：ab,ac,am,an,be,bm,bn,cm,cn,mn.

“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：am,an,bm,bn,cm,

则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率=

1U0

3.某校为了了解46两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长，分别从这两个班中随机抽取5名

学生进行调查，将他们观看的时长（单位：小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字,

叶表示个位数字）.

A班B班

90

41112

02156

13

⑴分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长；

⑵从4班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为必从6班的样本数据中随机抽取一个不超过

21的数据记为6,求a6的概率.

【解析】（1）4班样本数据的平均值为

1(9+11+14+20+31)=17.

由此估计/班学生平均观看时间大约为17小时；

8班数据的平均值为9(11+12+21+25+26)=19.

由此估计6班学生平均观看时间大约为19小时；

则19>17.

由此估计6班学生平均观看时间较长.

(2)/班的样本数据不超过19的数据a有3个，分别为9,H,14.

6班的样本数据中不超过21的数据£也有3个，分别为11,12,21,

从力班和6班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9,11),(9,12),(9,21),(11,

11),(11,12),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21),

其中a乂的情况有(14,11),(14,12)两种，

2

故a>6的概率p=~

4.(2019•江西九校联考)某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名

高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所

谓，调查结果统计如下：

支持无所谓反对

高一年级18X2

高二年级106y

(1)①求出表中的x,y的值；

②从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；

(2)根据表格统计的数据，完成下面的2义2列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持态度与就读年级有

关(不支持包括无所谓和反对).

高一年级高二年级总计

支持

不支持

总计

nQad-be),,,,,

(a+6)(c+力(a+c)(6+d)'其中”=a+6+c+/

P(隈嗡0.100.050.01

ko2.7063.8416.635

【解析】(1)①由题意x=^X500—(18+2)=5,X400-(10+6)=4.

②假设高一反对的同学编号为4,4,高二反对的同学编号为旦，员,a,B2,

则选取两人的所有结果为(4,4),(4,Bi),(4,盼,(4,盼,(4,㈤，(4,加，(4,民),(4,吩,

(4,㈤，(友粉,CS,反),出,㈤，隹，吩,(笈，B。,(笈，尺),共15种情况.

可得恰好高一、高二各一人包含(4,8),(4,5),(4,吩,(4,㈤,可,施，(4,5),(4,月),(4,

加共8种情况.

所以所求概率0=白.

J.0

⑵如图2X2列联表:

高一年级高二年级总计

支持181028

不支持71017

总计252045

2Mr、E，+“45X(180-70)"

片的观测值为k=〜=2-288<2,706,

所以没有90%的把握认为持支持态度与就读年级有关.

5.NBA球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一，以下是2017〜2018赛季NBA常规赛中，球

员J和H在某15场常规赛中，每场比赛得分的茎叶图:

球员J球员H

8516

712212036889

98763203124568

1102

(1)根据茎叶图估计球员J在本赛季的场均得分以及球员H在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分

的场数;

(2)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标，现统计了球员J在上述15场比赛中部分场次的得分与

效率值如下表:

场次12345

得分X1821273031

效率值y1920.526.528.830.2

若球员J每场比赛的效率值y与得分x具有线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程y

=bx+a,并由此估计在上述15场比赛中，球员J的效率值超过31的场数(精确到0.001).

£(Xi-x)(yi—y')Zxiyi—nxy

参考公式：b=^~,-------——~一,

S(必一x)2EX,-nx

1=17=1

a—y-bx.

55

参考数据：2^=3288.2,Ex；=3355.

2=11=1

【解析】⑴由茎叶图可得球员J在15场比赛中的场均得分为上(15+18+21+22+22+24+27+30+32

15

+33+36+37+38+39+41)=29(分).

故估计球员J在本赛季的场均得分为29分.

由茎叶图可得球员H在15场比赛中，得分超过32分的有6场，以频率作为概率，

故估计球员H在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数约为2x75=30.

(2)由表格可得x=25.4,y=25,

55

又Exm=3288.2,£舅=3355,

7=1i=\

5--

产p—5xy3288.2-5X25.4X25

所以公5------------------------——876,

3355-5X25.42

Sx-^x

2=1

于是a=y-6x-25—0.876X25.4^2.750,

故回归直线方程为y=0.876x+2.750.

由于y与x正相关，且当x=32时，y=0.876X32+2.750=30.782<31,

当x=33时,y=0.876X33+2.750=31.658>31,

所以估计在这15场比赛中，当球员J得分为33分，36分，37分，38分，39分，41分时，效率值超过

31,共6场.

6.2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养

殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：

方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收

费；

方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药

的猪超过45头，超过部分每头收取药费8元.

⑴设日收费为y（单位：元），每天需要用药的猪的数量为〃（单位：头），AGN,试写出两种方案中y与〃

的函数关系式；

（2）若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份

和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下2X2列联表.

9月份10月份合计

未发病4085125

发病652085

合计105105210

根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.

znQad-be）2

附：下=（a+8）（c+d）（a+c）（b+d）'其中〃

P（右三人）0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形统计图.依据该统计数据,

从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案

更合适，并说明理由.

【解析】（1）由题意得，方案一中的日收费y（单位：元）与需要用药的猪的数量〃（单位：头）的函数关系

式为y=40+2〃，

方案二中的日收费y（单位：元）与需要用药的猪的数量〃（单位：头）的函数关系式为y=

120,〃W45,〃eN,

877—240,〃>45,刀£N.

210X(40X20-85X65)2

（2）由列联表可得*=-^40.02,

125X85X105X105

因为40.02>10.828,

所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.

⑶若采用方案一，则这100天的总费用为40X100+2X(42X20+44X40+46X20+48X10+50X10)=13

000(元),

若采用方案二，则这100天的总费用为120X100+(46-45)X20X8+(48-45)X10X8+(50-45)X10X8

—12800(元),

所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.

7.2019年，在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第

七届世界军人运动会(以下简称“军运会”).据悉，这次军运会将于2019年10月18日至27日在美丽的

江城武汉举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛.相对于奥运会、亚运会等大型综合

赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相关知

识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛.为便于对答卷进行对比研究，

组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的成绩(单位：分)频率分布直方图如下：

(注：答卷满分为100分，成绩280的答卷为“优秀”等级)

⑴从现有1000名男生和1000名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；

(2)求下面列联表中a,b,c,d的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认

为“答卷成绩为‘优秀'等级与性别有关”？

男女总计

优秀aba+b

非优秀Cdc+d

总计100010002000

(3)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们的成绩的优劣进行比较.

onad-be2_,,

附：心一^+d一末一在］，其中片a+b+c+d

户(片》左)0.050.0250.010

ko3.8415.0246.635

【解析】(1)男生答卷成绩为“优秀”等级的概率P\=(0.058+0.034+0.014+0.010)X5=0.58,

女生答卷成绩为“优秀”等级的概率只=(0.046+0.034+0.016+0.010)X5=0.53.

(2)

男女总计

优秀5805301110

非优秀420470890

总计100010002000

.\a=580,6=530,c=420,(7=470.

,nad-be2

由R2=a+67+d击b+d侍，

/2000义580X470—530X420'一

A—一1110X890X1000X1000—七5.061>5.024,

...在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”.

(3)根据男、女生成绩频率分布直方图可得，男、女生成绩的中位数均在80到85之间，但男生的成绩分布

集中程度较女生成绩分布集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定.

8.(2018•洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5,

要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领

域，严格指标考核.某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任追究，派遣四个不同的专家组对A,

B,C三座城市进行治霾落实情况检查.

(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城

市必须有专家组选取，求A城市恰有两个专家组选取