高中数学专项复习：道路通行问题（解析版）

专题17道路通行问题

例1.某人某天的工作是，驾车从A地出发，到3,C两地办事，最后返回A地A,B,C三地之间各

路段的行驶时间及当天降水概率如表:

路段正常行驶所需时间（小上午降水概率下午降水概率

时）

AB20.30.6

BC20.20.7

CA30.30.9

若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时.

现有如下两个方案：

方案甲：上午从A地出发到5地办事然后到达C地，下午在C地办事后返回A地；

方案乙：上午从A地出发到C地办事，下午从C地出发到达8地，办事后返回A地

（1）若此人8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或

18点之前能返回A地的概率；

（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A地？

【解析】解：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回A地的时间为17点,

因此若18点之前能返回A地的充要条件是降水的路段数不超过1,

知

记事件M2,3分别表示在上午AB路段降水、上午3c路段降水、下午C4路段降水,

则所求概率:

P=尸（叫监监）+「幽％%）+尸"陷恪）+「幽％加3）

=0.7x0.8x0.1+0.3x0.8x0.1+0.7x0.2x0.1+0.7x0.8x0.9=0.598.

（2）设基本路段正常行驶时间为X,降水概率为p,

则该路段行驶时间X的分布列为：

行驶时间XXX+1

概率P1-PP

E(X)=x(l-p)+(x+Y)p=x+p,

路段正常行驶所需上午上午下午下午

时间（小时）降水概率行驶时间期望降水概率行驶时间期望

值值

AB20.32.30.62.6

BC20.22.20.72.7

CA30.33.30.93.9

设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为y,z,

则”=2.3+2.2+3.9=84,

EZ=2.6+2.7+3.3=8.6.

，采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A地.

例2.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示.假

设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程

是否堵车相互独立.假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道

路,4,8,D上下班时间往返出现拥堵的概率都是,,道路C,E上下班时间往返出现拥堵的概率都是工,

105

只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.

⑴求李先生的小孩按时到校的概率；

⑶李先生是否有七成把握能够按时上班？

⑶设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值.

【解析】⑴因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是，和g，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：

11113317

-X—+=—,故李先生的小孩能够按时到校的概率是1--.

21025202020

17171

⑶甲到丙没有遇到拥堵的概率是三，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是三，甲到乙遇到拥堵的概率是

IiI112213

—+-x—+-x-=—,甲到乙没有遇到拥堵的概率是1--,

1031035151515

,李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是117X：17义1上3=3卫75卫7＜。.7,所以李先生没有七成把握能够按

2020156000

时上班.

⑼依题意X可以取0,1,2.

131722121713373236

P(X=0)=—X——=----,P(X=1)=—x—+——x-=----；RX=2)=—x—=----.

1520300152015203001520300

分布列是：

X012

221736

P

300300300

22173617

E(X)=Ox--+---IX--------+2X--------=

30030030060

例3.2018年11月6日-11日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行。在航展期间，从珠海市区

开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为:,走路线乙堵车的概率为P，

若现在有月，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。

(1)若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为套，求力的值。

(2)在(1)的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望。

【解析】(1)由已知得戏w(i_p)1

(2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3

R22a7ill1

P(X=0)=="P(x=1)=4,P(X=3)==-

'’4438’'J16k744348

所以P(X=2)=1_P(X=O)_P(X=1)_P(X=3)=1—|_5_^=：

所以随机变量X的分布列为

X0123

3711

P

816648

故E(X)=0x-+lx—+2X-+3X—=-.

k78166486

例4.某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路

13

①堵车的概率为了，不堵车的概率为了；汽车走公路②堵车的概率为0,不堵车的概率为1-p.若甲、乙

44

两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.

7

(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为7,求走公路②堵车的概率；

(2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数J的分布列和数学期望.

【解析】解：(1)三辆车是否堵车相互之间没有影响

三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，

走公路②堵车的概率为P,不堵车的概率为1-/>,

得p)+(3)2.p=2_

244V7416

即印=1,贝=；

即夕的值为g.

(2)由题意知彳可能的取值为0,1,2,3

'74438v'16

代)44324436/44348

的分布列为：

40123

371

P

816648

八3,7c1c15

.—0'—1--F2—1-3,———

8166486

例5.某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市尸有两条公路.

统计表明：汽车走公路I堵车的概率为5,走公路II堵车的概率为g,若甲、乙两辆汽车走公路I,第三

辆汽车丙由于其他原因走公路II运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响.

(I)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；

(II)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.

【解析】设“汽车甲走公路I堵车”为事件，4,“汽车乙走公路I堵车”为事件5“汽车丙走公路II堵车”为事件C.

(I)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车，有2种情况，

即甲堵车而乙不堵车和甲不堵车而乙堵车，

则其概率为…(")+”巧木除

9

故甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为历；

(II)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车即三辆车全部堵车或恰有两辆汽车堵车，则其概率

P1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(,ABC)

112(.n121(.1A121r1\211J2、41

10105I10J1051010；1051010J510105)500'

41

故三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为—.

例6.张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的,

且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图。(例如：/-C-D算作两个路段：路

段AC发生堵车事件的概率为5,路段CD发生堵车事件的概率为f)。(1)请你为其选择一条由A到B

的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线N-C-F-B中遇到堵车次数为随机变量J,

求占的数学期望后占。

£*t占卢

击*

ITTCT5-

【解析】(1)记路段/C发生堵车事件为AC,其余同此表示法。因为各路段发生堵车事件是独立的，且在

同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线AH中遇到堵车的概率B为

1-P(AC-CD-DB)=1-P(AC)-P(CD)-P(DB)

=1-P(AC)-P(CD)-P(DB)

=1-[1-P(AQ][1-P(CD)][1-P(DB)J

,91453

1015610

---------------239

同理：路线力一C-d月中遇到堵车的概率2为1-P(ACC尸诉

O(J(J

———91

路线dfEfFfB中遇到堵车的概率R为1-P(AE-EF-FB)=—

300

显然要使得A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。又

913239

---->---->------

30010800

因此选择路线，4--B,可使得途中发生堵车事件的概率最小

(2)路线/-CfB中遇到堵车次数占可取值为0,1,2,3

P0=O)=P(ACCFFB)=—

P心=1)=P(ACCF-FB)+P(ACCFFB)+P(ACCF-FB)

1171193119171637

=——X——X1X——X1X——X——=-----------

1020121020121020122400

PC=2)=P(AC・CF•FB)+P(ACCF-FB)+P(ACCF-FB)

1311117193177

=——X——X-------1-------X——X---------1--------X——X——=------------

1020121020121020122400

1313

P(J=3)=P(AC-CF•FB)=——x——x——二-----

1020122400

-I厂厂65611637_77_31

LX—Ox------F1x-------1-2x--------1-3x-------

8002400240024003

故路线AJF-B中遇到堵车次数的数学期望为g

例7.自驾游从A地到3地有甲乙两条线路，甲线路是A—C—。―5,乙线是A—E—尸―G—,

其中CO段、所段、GH段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及

平均堵车时间如表I所示.经调查发现，堵车概率X在［上变化，丁在上变化.在不堵车的情况下.

走线路甲需汽油费50。元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计

CZ）段平均堵车时间，调查了10。名走甲线路的司机，得到表2数据.

CD段EF段GH段

堵车概率Xy

4

平均堵车时间

a21

（单位：小时）

(表1)

堵车时间（单位：小时）频数

[0,1]8

(1,2]6

(2,3]38

(3,4]24

(4,5]24

（表2）

（1）求CD段平均堵车时间。的值.

（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.

（3）在（2）的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X,求X的数学期望。

【解析】

cu8-6「38124「245

(1)a—0.5x------F1.5x------2.5x-------1-3.5x-----\-4.5x-----3

100100100100100

(2)设走线路甲所花汽油费为J元，贝!]£4=500(1—x)+(500+60)x=500+60x

设走乙线路多花的汽油费为〃元，

VEF段、G”段堵车与否相互独立，

p(77=O)=(l-y)H-^-j,P(f7=2O)=(l-y)j,

产=40)=—j,「位=60)=；1丫

4

/.Eri=40y+5

•••走乙线路所花汽油费的数学期望为£(545+77)=545+助=550+40y

依题意选择走甲线路应满足(550+40y)-(500+60x)>0,

「21

6x-4y-5<0,3^.—<x<l,0<_y<—,

7

；.P(走路甲)="

(3)二项分布£X=3.5

例8.如图，某工人的住所在A处，上班的企业在。处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供

选择:环城南路经过医院的路口C，环城北路经过学校的路口厂，中间路线经过商场的路口G。如果开车到

五个路口以C、E、F、G因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口红灯.

⑴为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?

⑶对于⑴所选择的路线，求其堵车次数的方差.

点睛：本题主要考查了随机变量的分布列、数学期望和方程的求解以及应用，着重考查了考生的推理与运

算能力，以及函数与方程思想，试题能很好的考查考生数学应用意识，属于中档试题.

【解析】（1）设这位工人选择行驶路线ABC。、AFED、ABGED的分别堵车X、X2sX3次,

则乂,2=0,1,2；X3=0,1,2,3

由于p(X]=o)=---=-,p(xx=i)=A,l+^,l=l,P(*=2)=-J

)525v1752522

117

则期望值E(xJ=o+>5+2•伍=正

由于尸区=0)=11=1，?匹=1)=：|+|•卜1

,P(X2=2)=---=—

、273412

517

则期望值石(X2)=0+l・历+2•方=正

345147

由于P（X3=0）=

-

5642—)564564564120

1111

p(X=2)=-----,p(X=2)=

[33>56456456410V33)564-120’

471174

则期望值石(X3)=0+1——+2•一+3——=—.

V3712010120120

比较知E（X?）最小，所以这位工人应该选择行驶路线AFED

7151

（2）已求七匹）=不最小，且尸匹=0）=-,P（X2=1）=-,P（x2=2）=-

A.乙乙X.乙A.乙

22222

则0"2)=0—:」1+1-2二5+2一工；17-6+5-5+1770859

212121212123一谈一不'

59

所以符合题意的方差为市

例9.为响应绿色出行，某市在：推出“共亨单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分口寸

租赁汽车具体收费标准为日间0.5元/分钟，晚间（18时30分至次日上午7时30分）收费35元/小时，已知孙

先生家离上班地点2。公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开

车花费的时间t(分钟)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如

表所示：

时间t(分钟)(20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]

频数41618102

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,70］分钟.

(1)若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅

通”的次数，求X的分布列和期望；

(2)若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分

时租赁汽车？并说明理由.(同一时段，用该区间的中点值作代表).

【解析】(1)孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的频率为鬻=|,

视频率为概率，孙先生租用一次新能源汽车，为“路段畅通”的概率为1,

则X的可能取值为0,1,2,3,4；且X服从二项分布B(4,|),

所以P(X=0)=以.《)4=短;

P(X=1)=盘•|.(|)3=鲁；

P(X=2)=随(|)2.(|)2=|||；

P(X=3)=盘.(|)3.|=装；

P(X=4)=酸.(|)4=建；

X的分布列为：

X01234

812162169616

P

625625625625625

数学期望为E（X）=np=4x|=|；

（2）孙先生租用一次新能源汽车上下班，平均用车时间为t,

则”25X小35x小45x小55x9+65x>43（分钟）,

每次上下班租车的费用约为43x0.5=21.5（元），

一个月上下班租车的总费用约为21.5x2X22=946（元），

因为946<1000,估计孙先生每月的车补足够上、下班租用新能源分时租赁汽车.

例10.为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车

收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里数