河北省2024-2025学年高三年级上册11月阶段调研检测二数学试题（含答案解析）

河北省2024-2025学年高三上学期11月阶段调研检测二数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。=皿3=,川尤2-10%叫，A@3）={1，3,5,7},则集合3=（）

A.{2,4,6,8}B.{2,4,6,8,9,10}

C.（0,2,4,6,8,10}D.{0,2,4,6,8,9,10}

2.函数y=Jig（无T）的定义域为（）

A.{x|x>l}B.{x|x22}C.{x|x>10}D.1%|x>ll}

3.若事件A,3发生的概率分别为尸（A）,尸（B）,（尸（A）>0,尸（可>0）,则“尸国4卜尸⑻

是“尸（A⑻=尸（匈”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

4.球。是棱长为1的正方体的外接球，则球。的内接正四面体体积为（）

A.|B.逅C.-D.—

2634

5.某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2,

方差为04可判断这组数据的众数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知%>1,y>0,且」+'=贝|4%+y的最小值为（）

x-1y

A.13B.I"产C.14D.9+765

7.已知函数〃尤）的定义域为R,且“2尤+1）为奇函数，/（2x+4）=f（2x）,则一定正确

的是（）

A.“X）的周期为2B.“X）图象关于直线尤=1对称

C./（x+1）为偶函数D./（x+3）为奇函数

8.已知函数/(尤)=2sin[oxT(0>O)在区间《mJ上有且仅有一个零点，当°最大时

在区间[-100兀,100可上的零点个数为()

A.466B.467C.932D.933

二、多选题

9.若(2%—1)8=〃8犬+%/+。6%6■1----F%%2+%%+4,则()

A.4=1B.%=-8

C.q+%+q+♦,,+%+。8=0D.%一生+%—“4+•,,+%—“8=—6561

10.已知平面内点A(-l,0),3(1,0),点P为该平面内一动点，则()

A.|上4Hp@=4,点尸的轨迹为椭圆B.|上41TMi=1,点尸的轨迹为双曲线

PA

C.|丛卜归却=1,点尸的轨迹为抛物线D.方=2,点尸的轨迹为圆

11.如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为6,其轴截面为△SAB,C为底面半圆弧A3上

一点，且AC=2C8，SM=ASC>SN=juSB(0<A<1,0</J<1),贝！|()

A.当人=1时，直线AW与BC所成角的余弦值为小

220

B.当4=〃=1时，四面体SAMN的体积为包叵

216

21

C.当〃=§且AM〃面ONC时，2=-

4

D.当时，2=-

7

填空题

试卷第2页，共4页

22

12.双曲线C：1-3=l(a>0/>0)的左焦点为右顶点为3,点尸到渐近线的距离

ab

是点B到渐近线距离的2倍，则C的离心率为.

13.已知数列｛%｝满足%=(-1)"(2"-1),其前100项中某项正负号写错，得前100项和为

-50,则写错的是数列中第项.

14.如图所示，VABC中，D,E是线段BC的三等分点，下是线段AC的中点，BF与AD,

AE分别交于N,则平面向量用向量C4，C2表示为.

/\

BDEC

四、解答题

15.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为b,c,>2a2-2b2=2cacosB-be.

⑴求角A的大小；

⑵若。+c=5,VABC的面积为递，求VABC的周长.

2

16.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ADJ.AB,

AD=AB=2BC,ASAB为等边三角形且垂直于底面ABC。.

⑴求证：SD1AC；

(2)求平面SBC与平面SDC夹角的正弦值.

17.已知函数〃x)=;vlnx+—+ar(a€R).

(1)当a=l时，求〃尤)的图象在点(1,2)处的切线方程;

⑵当a=。时，求的单调区间；

⑶若函数"(x)=x/(%)--+2hu单调递增，求实数。的取值范围.

18.椭圆C：5+/=ig>b>0)左右顶点分别为A,B,且|AB|=4,离心率e=弓.

⑴求椭圆C的方程；

(2)直线/与抛物线V=4x相切，且与C相交于M、N两点，求一肱VB面积的最大值.

19.(1)在复数范围内解方程尤3=1；

(2)设为eC,z?eC且z”0,证明：丸=五；

Z2Z2

(3)设复数数列｛z.｝满足：阂=1,且对任意正整数〃，均有423+24/“+]+2”0.证明：

对任意正偶数加，均有％+z?+…+与|<孚.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DBCCBADBACAD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】由全集U=Au3,根据题意，应用韦恩图即可求集合反

【详解】由题意，尤2_10彳40,解得OVxWlO,xeN,

.-.[/={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

U=AuB,

故选：D.

2.B

【分析】根据题意得lg（x-l）Z。，解不等式得解.

【详解】由Ig（x-l）之。，即lg（x—l）21gl,BPx-l>l,解得X»2.

所以函数的定义域为{x|x±2}.

故选：B.

3.C

【分析】转化尸（回力=牛与，P（&⑻=牛胃，根据充分性必要性的定义，以及条件

概率公式，分析即得解.

【详解】因为P（即A）=P⑻，所以网8网=勺等=P⑻，所以尸（AB）=P（A）.P（3）,

r\A）

所以明力磊二片臀^网・

答案第1页，共25页

反之由P（A|B）=P（A）能推出P（B|A）=P（B）,

所以“P（B|A）=尸⑻”是"P（A|B）=P（A）”的充分且必要条件.

故选：C

4.C

【分析】将内接正四面体补形为正方体求解.

【详解】

因为正四面体可以补形为正方体，可知右图中正四面体和正方体有同一外接球，

正方体棱长为1,则体积为1,可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的四面体体积，

即1_4X，=L

63

故选:C.

5.B

【分析】设五个点数为的4%由平均数，方差计算公式可分析出％＜3,

5个点数不可能全为2,然后通过列举可得答案.

【详解】不妨设五个点数为为＜%2mX3V匕＜毛，由题意平均数为2,方差为0.4,

矢口（占一2）+（X?—2）+（电-2）~+（尤4—2）~+（尤5—2）~=2,&+尤2+W+尤4+尤5=1°.

可知五次的点数中最大点数不可能为4,5,6.

五个点也不可能都是2,则五个点数情况可能是3,3,2,1,1,其方差为

（3-2）2+（3-2）2+0-+（1-2）2+（1-=4=（）8）不合题意.

55

若五个点数情况为3,2,2,2,1,其方差为

（3-2）2+（2—2）2+（2-2）2+（2・2）2+（＞2）2==0,4,符合题意，其众数为

55

故选：B.

答案第2页，共25页

6.A

利用基本不等式即可求.

4（/1）

y

>9+213,

5

x—1yv——

当且仅当解得2时等号成立，故4x+y的最小值为13.

y4（x-l）

=J=3

x-1y

故选：A

7.D

【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.

【详解】“2龙+1)为奇函数，#/(>+l)+/(-2x+l)=0,

即/(x+l)+/(—x+l)=O,则/(无+1)为奇函数，故C错误;

且/(X)图象关于点(1,0)中心对称，故B错误；

f(2x+4)=〃2x)可知,函数/(尤)周期为4,故A错误；

〃x)=/(x+4),又图象关于点(1,0)中心对称,知/(x)=-〃2-x),

所以〃x+4)—),得关于点(3,0)对称，

则〃x+3)关于点(0,0)对称，所以/(x+3)为奇函数，故D正确.

故选：D.

8.B

【分析】方法一：根据尤的范围，确定。的范围，结合已知条件以及函数的零点，得

答案第3页，共25页

（k-\）Ti<---<kTi

',332兀it

且臼^兀―=,分别验证左=0、k=l、攵=2确定外的范围，求出。

K771<6971--兀</（攵+1、）兀刃3

7T

的最大值，代入函数解析式即可求解；方法二：利用换元的令f=根据X的范围,

确定f的范围，由2二7r2兀-7Tg,得出。的范围，结合y=2sim图象性质，以及已知条件，最

CD3

终确定。的最大值，代入函数解析式即可求解.

【详解】方法一：由题意，函数〃尤）=2sinox-3（。>0）,可得函数的周期为T=生,

<3；co

「、,（冗）一,口71（0）7171兀）

因为J,①兀一§J,

又由函数y=2sin"f（o>0）在区间与n］上有且仅有一个零点，

/j«\/。兀71j

(左一1)兀W------<kTl

1133口2兀、7T

且满足,且—>71-—,可得G43,

左兀<师一］<（女+1）兀0)

-G1,

kr-l<-------<k

33

即《I,且G43,

k<a)——<k+1

3

YG1八2

-1<-----<0——<CD<1

333，所以g<0<i；

当左=0时，<，解得

1,4

0<<2?--<1-<a)<—

3133

0<---<l1<<59<4

47

当左=1时，\3]3,解得\47,所以彳〈口工彳;

—<CD<—33

\<CD——<2133

I3

4<（v<7

33

当左=2时，<解得z“w，此时解集为空集，

2<a)-—<3

3

综上可得，实数0的取值范围为即噌W.

所以°max=:,得〃x)=2sin]：x_3,

〃x)=2sin[x-g]=0,贝(左eZ),解得》=手+式左©2),

q〃7r7T1i

4-100TT<一+-<1007T,贝I」有一100——<—<100一一，

77777

答案第4页，共25页

-100x71,7,100x71口口-701,7699

解得---------<k<———即---------<k<--------,

33

因为左EZ,所以共有467个零点.

I|(®>o),可得函数的周期为7=女

方法二：由题意，函数/(x)=2sincox-

0)

兀0)717171

因为兀),可设/=0无-；，则此------------,(2)71------

3333

又函数丁=2545：-5卜0>0)在区间上有且仅有一个零点,

2兀、兀一‘口--兀TTQTT

--之兀---可得0〈69<3,所以---<---于号’则由…图象性质，

CD333

兀。兀兀八

——<--------<00<刃<1

s,得，呜<@<1.

可知<14，

—<CD<—

0<0)71——<71133

3

八①71712兀

0<---------<——1<69<3

333

或者，，得47，即

71_—<co<—33

兀<。兀——<271133

3

7771

所以。最大为］,得〃x)=2sin—X------

33

771贝。(无一弓=祈信解得+化

/(x)=2sin—X-----=0,eZ),x=eZ).

33

TT1i

4-10071<一+-<10071,贝iJ有：-100一一<—<100一一,

77777

即/曰-100x71,100x71-701,699

解得：-----<k<———即---------<k<--------,

33

因为keZ,所以共有467个零点.

故选：B.

【点睛】思路点睛：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有左个零点，需要确定

含有上个零点的区间长度，一般和周期相关.

9.AC

【分析】对于A,令尤=0代入即可求解；对于B,由二项式定理qx'C；(2町(-1)5,对照

系数即可得到的；对于C,令x=l,结合A即可求解；对于D,令％=-1,结合A即可求

解.

【详解】对于A,令x=0,则(0-球=旬=1,故A正确;

对于B,由二项式定理的尤3=c；(2x)3(—1)5=748x3,则/=_448,故B错误;

答案第5页，共25页

对于C,x=1f则(2—1)=%+%+41—,+%+G+%=1，

则4+%%-----F%+g=。，故C正确；

对于D,令x——1,则(—2-1)=%—%+4------F%—4+4=6561,又％=1,

以%%%----F%—%=6560,%—出+%—“4-----FQ7—。8=—6560,D车昔

故选:AC.

10.AD

【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与％轴的交点判断C；

求得轨迹方程判断D.

【详解】因为平面内点4(-1,0),矶1,0),所以网=2,

又|%+|P@=4>|AS],所以由椭圆的定义知点尸的轨迹为椭圆，故A正确；

线段PA的长度与线段PB的长度的差为1<|钙|=2,则点p的轨迹应为双曲线靠近3点的一

支，故B错误；

设点P(x,y),由|上4卜|尸耳=1得J(x+iy+y2.'"一代+y=1,

整理得(无2+2x+l+y?)(/—2x+1+y~)=1,HPx4+y4+2x2y2-2x2+2y2=0,

当y=。时，x4-2x2=0,得x=0或x=+y/2,

故曲线与x轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误；

整理得

无？+2尤+1+>2=4(工2—2尤+1+、2)-3X2—10尤+3〉2+3=0=1无一。1+•/=?，

即轨迹是以，，。]为圆心，|■为半径的圆，故D正确.

故选：AD.

11.ACD

【分析】对于A,算出各个线段长度，将异面直线通过转化化为同面直线，根据余弦定理求

解即可；对于B,根据题意先计算出四面体&LBC的体积，又因四面体&4AW中一个底面积

答案第6页，共25页

是原来的四分之一，故可求解；对于C,法一：根据中位线定理，即可判断，法二：构建空

间坐标系，将各点表示出来，同时设平面ONC的一个法向量为元=(x,y,z),根据向量运算

法则AM=AS+SM，根据可求解；对于D,法一：求出所需线段，根据余弦定

理可求出cos代入求解即可，法二：解出S3,同时A"=AS+SM,根据AMJ-S3,

贝1JAM•SB=0,即可求解.

【详解】由题意可知△SAB是边长为6的等边三角形，SA=SB=SC,AC=3-,BC=3.

11

2=］时，M为SC的中点，取〃=万得跖/AMV为直线AM与BC所成角或其补

角，

T7+日+E34口*士工巾-r4HSA~+SC^—AC~36+36—275

又根据余弦定理可得cosZASC=----------------------=----------------=-，

2SA-SC2x6x68

再根据余弦定理可求得AM?=SR2+SM2-2SA-SM-cosZASC=36+9-2x6x3x2=竺,

82

所以侬=亚，.=36，MN#="cos/AMN=4言=坐

222①jy/iv)J，u

故A正确；

在Rt^ABC中，AB=6,BC=3,=1X3X3A/3=—,

ABC22

5O±AABC,且5。=3若，则四面体S4BC的体积为'型义3右=0.

322

4=〃=；，M为5r的中点，N为S3的中点，故四面体S4VW体积为四面体SAfiC体积的

27

四分之一，得四面体&WN体积为丁，故B错误；

O

对于CD选项：

9

【法一】当〃=,时，取SN的中点尸，则AP〃ON,所以AP〃面ONC

过尸作尸MPCN交SC于M,所以〃面ONC,

此时M为SC的中点，又因AP,PM相较于点P,

所以面〃面0NC,

得AM〃面ONC,所以％=故C正确；

当〃=；时，AN1SB,

在面SCB内过N作NM1SB交SC千M,

答案第7页，共25页

ss

则SB_L面AM7V,AM^AMN,

故此时得到的AM_LS3,

SCB中，SC=SB=2CB=6,

7

由余弦定理得cos/CS8=—,SN=NB=3,NSNM=90°,

8

24

24_

得SM=一,则［4,故D正确.

7Z=-7-=—

67

故选：ACD.

【法二】则以。为坐标原点，过点。与48垂直的直线为无轴，分别以OS所在直线为

）轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得

SM=ASC>SN=//SB（O<A<1,0</2<1）

得SM=1殍2,12,-3732^,SN=（0,3〃,一3岛），

AM=AS+SM=（0,3,3^）+—2,-2,-3A/32=—2,-A+3,3A/3-3A/3A

（2-）（2-,

对于c,〃=|,则SN=（0,2,-2括），ON=OS+SN=（0,2,^3）,

答案第8页，共25页

设平面ONC的一个法向量为运=(x,y,z),

2y+8z=0

nON=U可取"=^—

则'3右，3.1,-\/3,—2^.

n-OC=0-----x+—y=0

I22，

AM//面ONC时，得AAf.〃=€),+3^/3—3^/321,也,—2)=。

解得2=g.故C正确.

对于D,58=(0,3,-34)，

AM=AS+SM=(0,3,343)+—2+-A-3>/3A=—A,-2+3,3A^-3^2

',[22JL22J

由AM_LSB得，f-/I-+3,3^3—35/32^0,3,—3A/3j=0,2.故D正确.

故选：ACD.

12.2

【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到6=2x或，结合离心率的定义，即可

C

求解.

22

【详解】由双曲线C：j一斗=1伍＞0,。＞0),可得右焦点/(C,。)，右顶点A(a,o),

ab

b

其中一条渐近线的方程为y=±x,即灰-羽=o,

a

,\ab\ab

则顶点33,0)至IJ6x-ay=。的距曷为&=束亍=一,

亚2+(-4c

焦点尸(G。)到法-今=。的距离为4==b,

J/+(-a)2

ab

由题可得b=2x即c=2a,

所以e=£=2,所以双曲线C的离心率为2.

a

故答案为：2.

13.38

【分析】计算4=(-1)"(2〃-1)正确的前100项和，与算错前100项和比较，可得写错的项,

答案第9页，共25页

后由通项公式可得答案.

【详解】见=(-1)"(2〃-1),设写错项为x,则其前100项和为

S=-1+3-5+7-9+11-…+195-197+199

=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+---+(-197+199)=2x50=100.

即S-x+x=100,某项正负号写错后得前100项和为-50,贝US-x-x=-50

又100-(-50)=S-x+x-(S-x-x)=2x=150x=75.

故写错的数为75,令%=(-1)"(2〃-1)=75,解得〃=38.故写错的是数列中第38项.

故答案为：38

33

14.—C4——CB

2010

【分析】方法一：l^CM=xCB+yCA,贝l]CM=xCB+2yCBnx+2y=1,

33

CM=]尤CO+yC4n5尤+y=l,解关于羽V的方程组求出x，＞的值，同理得

1?

CN=-CB+-CA,再利用MN=CN-CM即可求解.

1.3

方法二：过点E作EG//M交AC于点G,^AN^-CB--CA,同理过点3作跖的平行

13

线可得，AM=-CB--CA,再利用MN=AV—AM即可求解.

24

,2

方法三：设=BN=ptBF,则BA+/IAE=尸，结合=—胡，

BF=-BC+-BA,得到(lT)54+q-8C=?C+?A,从而求出解得4〃的值，即

1-31-3___

AN=-CB--CA,同理可得再结合MN=4V-AM即可求解.

方法四：特殊三角形法，设VABC是底为12,高为2的等腰三角形建立如图所示的平面直

角坐标系，求出MN，C4,CB的坐标，再结合平面向量基本定理即可求解.

【详解】方法一：

由AD与3月交于A/,CM=xCB+yCACM=xCB+2yCF,

答案第10页，共25页

由民"，尸三点共线，则x+2y=l①,

3

由CM=KB+yCA=CM=耳xCO+yCA,

3

由A,",。三点共线，则y+y=l②，

111.1.

①②联立，解得工=7，,=:，得函=彳口+了。!.

2424

所以MN=CN—CM=(：C3+|CAHC5+；CA卜之CA/CB,

33

故答案为：—C4—-CB.

2010

方法二：

过点£作EG//BF交AC于点G，

33<1)13

^AN=-AE=A-CB-CA\=-CB--CA,

同理过点。作DHI/BF交AC于点、H,

BD1FHAF3AM

由OC—2—“CFH~1~MD9

33(2\13

可得AM=?AO=2-CB-CA\=-CB--CAf

答案第11页，共25页

则跖V=AN-AM=(』C5-3CA]-1!CB-3CA]=3CA-』C5,

(55八24J2010

33

故答案为：-CA--CB.

方法三：

设A7V=；IAE，BN=加,则5A+A7V=5N，得3A+2AE=〃8尸，

—.—•211—

又因为AE=B石—3A=—5C—BA,BF=-BC+-BA

3229

所以BA+1|8C一BA)="；BC+；呵n(l-2)BA+与=+

.i〃22//々刀砥034

故1―4=耳，,角牛得X=二，"=《，

33门)13

贝|AN=-AE=4-CB-CA\=-CB--CA.

33,2113

同理可得AW=wA0=a§C3—CA=]C5—^CA,

MN=AN-AM=\-CB--CA\-\-CB--CA\=—CA--CB

(55八24J20109

33

故答案为：—CA----CB.

2010

方法四：

特殊三角形法

设VABC是底为12,高为2的等腰三角形建立如图所示的平面直角坐标系,

得4(0,2),5(-6,0),C(6,0),£>(-2,0),E(2,0),*3,1),

得直线AO：y=x+2,直线AE：y=-x+2,直线3尸：y=—x+—

93

(2731

得MN=[正，历]CA=(-6,2),CB=(-12,0),

(273)

设iMN=ACA+piCB,I—I=(-62,22)+(—12//,0),

3333

=—,〃=——,所以MN=-C4——CB,

20102010

答案第12页，共25页

33

故答案为：—G4--CB.

71

15.(1)-

3

⑵5+近

【分析】(1)将余弦定理代入已知式化简即可；

(2)由三角形的面积公式求出秘=6,代入余弦定理可求出a=近，即可求出VA3C的周

长.

【详解】(1)2a2-2b2=2cacosB-be,

由余弦定理得，c2+a2—b2=laccosB,

所以2(4一。2)=。2+/—片—be,：.b2+c2-a2=be,

.b2+c2-a21

cosA=--------------=—.

2bc2

又A«0,7i),=

(2)因为VABC的面积为封^，即—Z?csinA=—x/?xcxsin—=,

22232

/.be=6.

由余弦定理得6=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=^b+c)2-3Z;c=25-18=7.

解得a=

所以VABC周长为5+々.

16.(1)证明见解析

【分析】（1）法一：先证再由线面垂直的判定定理证明AC,面SOD,

即可得证；法二：建系，由空间向量的坐标运算代入计算，即可证明；

（2）法一：建系，由面面角的向量求法，代入计算，即可得到结果；法二：由面面角的定

义，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）法一：证明：如图所示，取A3中点。，△SAB为等边三角形，」.SOLAB,

答案第13页，共25页

s

又・面SAB垂直于底面ABC。，交线为AB,

得6O_L面ABC。，

又ACu面ABCZ)nSO_LAC.

底面ABCD为直角梯形，AD//BC,AD=AB=2BC,

AD=AB,AO=BC,ZDAO=ZABC=90°,

所以△DAO^AABC,ZBAC=ZADO,ZADO+ZAOD=9Q0,

所以NBAC+NA0D=9O。，得ODJ_AC,

又SOOD=O,得AC,面SOD,SOu面SOD,所以SD_LAC.

法二：取AB中点0,为等边三角形且垂直于底面，交线为AB,

则SO_LAB,得50，面筋。/),

又因为AD〃3C,ADJ.AB,AD=AB=2BC,

可设钻=2,

则以。为坐标原点，过点。与BC平行的直线为y轴，分别以03、SO所在直线为X轴和Z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

得S(0,0,石)，A(-l,0,0),c(l,l,o),£>(-1,2,0)

得AC=(2,l,0),5D=(-1,2,-V3),

所以405。=(2,1,0)(-1,2,-6)=-2+2=0,

答案第14页，共25页

得SDLAC.

（2）法一：由（1）知SO1_面ABCZ）,

不妨设AD=AB=2BC=2,贝”O=VL

以。为坐标原点，过点。与BC平行的直线为>轴，分别以08、S0所在直线为x轴和z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

得S(0,0,石)，3(1,0,0),c(l,l,o),£>(-1,2,0)

S3=(l,0,-⑹，SC=(l,L-@,SD=(-1,2,_@；

设平面SBC的一个法向量为。=(X,y,Z),

nSB=0X-A/3Z=0

则

"•SC=0'x+y-A/3Z=0

可取〃=卜,°，石）；

设平面SCD的一个法向量为〃?=（占,X，zJ,

m-SC=0玉+%_=0

则,即

SD=0—Xy+2%—A/^Z]—0

设平面SBC与平面SDC夹角为6,

m-n3xl+V3xV3_A/6

则cos6二卜=j-

|m|x|n|-79+3-71+4+3

所以平面SBC与平面SDC夹角的正弦值为叵.

4

法二：不妨设AD=AB=25C=2,

△SA5为等边三角形且垂直于底面A5c。，交线为A5,

答案第15页，共25页

底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ADJ.AB,

所以AD，面&LB,

又BC、得BC_L面SAB,

BCu面SBC,得面SBC_L面&4B,交线为SB,

取SB的中点0,则AOLSB,

等边△SAB边长为2,贝！|40=退，

AD//BC,贝!JAD〃面SBC,

则。点到面SBC的距离等于A点到面SBC的距离为G,

因为AD_L面&4B,BC_L面&45,SAD,ZXSBC均为直角三角形，AD=AB=2BC=2,

得SO=20,SC=非,CD=y/5.

作DEJ_SC,可得。£=竺^,

V5

所以平面与平面夹角的正弦值为T.'/io

SBCSDC276"4-

17.(l)y=x+l

⑵单调递减区间为(。,1),单调递增区间为(1,—)

(3)Tn0_；,+ooj

【分析】(1)根据题意求出:(x)=hu+2-g,利用导数几何意义，可得切线斜率7''(1)=1,

可得切线方程；

1o

⑵根据二阶导数/(无)=:+5>0可得一阶导数/'(x)在(0,+8)上单调递增，又/⑴=0,

可得函数〃无)的单调性;

答案第16页，共25页

Y

(3)根据函数"(x)=x/W--+2hu单调递增，则”'(x)20在(0,+e)上恒成立，再分

离参数可得。2TILT-2，转化为恒成立问题即可.

【详解】(1)当〃=1时，函数/(x)=xlnx+L+M%〉。)，

得r(x)=lnx+2—《，则/⑴=1,

所以〃元)的图象在点(1,2)处的切线方程为y=x+1.

(2)因为当〃=0时，/(x)=xlnx+—(x>0),

11o

+>0

r(x)=lar+l--J,r(-^)=-7-

所以r(x)=lnx+l-：在(0,+8)上单调递增，又尸⑴=0,

故当尤e(O,l)时，r(x)<0,/(x)单调递减，

当xe(l,+<»)时，/，(^)>0,/'(X)单调递增,

综上所述：/'(尤)单调递减区间为(0」)，单调递增区间为。,收).

(3)由/(x)=xlnx+—+办，且”(%)=%f\x)—+21nx,

x2_

「11]f

得“(x)=xxlnxdax——+21nx=/inx+a/一耳+？]11r+i单调递增,

所以H'(x"0在(0,+。)上恒成立，

22

又H'("=2xlwc+x+2ax-x+—=2xinx+lax+—

xx

2

由题意H'(x)N。恒成立，W2xlnx+2ax+->0,

即xlwc+—+ax>0恒成立，得QX2-xiwc--^>a>-\wc--•恒成立，

XXX

设g(%)=_1nx—r，得g，(x)=_：+N=2:,

XXXX

(0,72)亚(V^,+oo)

g'(x)+0—

8(尤)7极大值-In血--、

2

答案第17页，共25页

所以当％=&时，g(x)最大为-111夜-5.

所以。2—lux—^恒成立，得lnV5—.

%22

综上，若函数"(x)=x/(x)-|+21ru单调递增，则实数〃的取值范围为Tn亚

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：

一般地，己知函数>=/(%),彳€卜,/],

(1)若Vxe卜j],总有。4/(x)成立，故°4/(X)而"；

⑵若总有心〃x)成立，故aN/(x)m1K.

X2V2

18.⑴土+匕=1

42

⑵加

【分析】⑴由长轴|AB|=4=2a,结合离心率为乎，求出a,b,c,即可求出椭圆C的方程；

⑵方法「由题意当直线,斜率不存在时’直线/方程为应、2=2收