高考数学专项复习：弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）原卷版

弦长问题及长度和、差、商、积问题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳与总结..............................................................2

题型一：弦长问题...............................................................2

题型二：长度和问题.............................................................3

题型三：长度差问题..............................................................5

题型四：长度商问题..............................................................6

题型五：长度积问题..............................................................7

题型六：长度的范围与最值问题....................................................8

题型七：长度的定值问题.........................................................10

03过关测试....................................................................13

方法技巧与总经

1、弦长公式的两种形式

①若3是直线>=丘+机与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去了后得到一元二次方程

2则r2

px+qx+r=0,171.i|占-x2|=71+A:-

②若4,8是直线》="沙+"与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二次方程

222

py+qy+r=O,贝!!|/同=y/l+m\yA-yB\=\ll+m-幺.

3

题型一：弦长问题

【典例1-1】已知点片、耳分别椭圆1+了2=1的左、右焦点，过西作倾斜角为9的直线交椭圆于A、B

24

两点，则弦N8的长为.

221

【典例1-2】已知椭圆C：二+J=l(a>6>0)的左、右焦点分别为B，巳，离心率为；，椭圆C上点

ab2

M满足1M|+|咋J=4.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若过坐标原点。(0,0)的直线/交椭圆。于尸，0两点，求线段尸0长为旧时直线/的方程.

【变式1-1](2024•海南•模拟预测)已知双曲线U彳-3=6>0)的实轴长为2夜，点尸(2,遥)

ab

在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点尸且斜率为2#的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|尸。|.

【变式1-2]已知抛物线E-.x2=2py(p>0)的焦点为尸(0,2).

(1)求P;

(2)斜率为2的直线过点尸，且与抛物线E交于43两点，求线段N8的长.

【变式1-3】已知动圆过定点(4,0),且在V轴上截得的弦长为8,动圆圆心的轨迹方程为C,已知点

尸(2,0),直线/过点尸且与轨迹C交于尸、。两点，且归。|=16,求直线/的方程.

题型二：长度和问题

【典例2-1】已知F为抛物线E:/=4y的焦点，过点(0,2)的直线I与抛物线5交于42两

点，抛物线E在4B两点处的切线交于点L.

(1)设尸(%,%)是抛物线E上一点，证明：抛物线£在点P处的切线方程为了=瞥-%,并利

用切线方程求点L的纵坐标的值；

⑵点C为抛物线E上异于A,B的点，过点C作抛物线E的切线，分别与线段AL,BL交

于M,N.

(i)若LM=ALA,LN=]uLB,求彳+〃的值；

(ii)证明：+\FB\+\FC\>\FL\+\FM\+|FN|

【典例2-2】(2024•高三・河北承德•开学考试)已知△/2C的内角43,C的对边分别为a,6,c,面积为

9A/3,C=6,且siiL4sin5=sin2c.

(1)证明：△NBC为等边三角形；

(2)设物的延长线上一点。满足力。=2,又平面内的动点尸满足/PA4=2/尸求

|。尸|+口尸|的最小值.

22

【变式2-1］（2024•宁夏银川・银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆G：?+方=1（了（0）和两个半圆

2

C2：（X+I）+/=I（^>0）,。3：卜一1）2+/=1520）组成曲线。：尸（羽力=0,其中点4,4依次为G的左、

右顶点，点B为G的下顶点，点及居依次为G的左、右焦点.若点耳工分别为曲线C2C3的圆心.

⑴求G的方程；

（2）若过点K,F2作两条平行线z1?z2分别与G，C2和GG交与跖N和尸,0,求\MN\+|尸@的最小值.

【变式2-2］（2024・河南安阳•安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当2>0且％4时，我们把方程

22222

=+右=4°>6>0）表示的椭圆Cz称为椭圆事+2=1（。>6>0）的相似椭圆.已知椭圆C:土+/=1,

abab4

椭圆C/（2>0且无灯）是椭圆C的相似椭圆，点尸为椭圆G上异于其左、右顶点的任意一点.

（1）当2=2时，若与椭圆c有且只有一个公共点的直线小4恰好相交于点尸，直线4,4的斜率分别为尢，自，

求左他的值；

⑵当力=e?（e为椭圆C的离心率）时，设直线尸”与椭圆C交于点48,直线尸N与椭圆C交于点。,E,

求|48|+口阂的值.

题型三：长度差问题

22

【典例3-1】（2024•河南新乡•模拟预测）已知椭圆。:[+看=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳工，且

ab

闺耳|=2,过点名作两条直线/J，直线4与c交于48两点，△斗48的周长为4世.

（1）求C的方程；

4

（2）若AF/3的面积为求4的方程；

⑶若4与C交于M,N两点，且4的斜率是4的斜率的2倍，求用的最大值.

【典例3-2】已知抛物线C:j?=2px经过点仅,-26），直线/"=履+加（而n0）与C交于A,8两点（异

于坐标原点。）.

⑴若德.历=0，证明：直线乙过定点.

（2）已知％=2,直线4在直线4的右侧，〃〃2，4与4之间的距离4=遥，4交C于河，N两点，试问是

否存在加，使得|小|-|/0=10?若存在，求加的值；若不存在，说明理由.

22

【变式3-1】已知抛物线G：/=4x的焦点为椭圆C2：.+J=1（。>6>0）的右焦点尸，点尸为抛物线

ab

G与椭圆。2在第一象限的交点，且户司=，

⑴求椭圆C2的方程；

⑵若直线/过点尸，交抛物线£于/,c两点，交椭圆于3,。两点（aB,c,。依次排序），且

|/c卜忸必=1丁求直线/的方程.

题型四：长度商问题

【典例4-1】(2024•内蒙古赤峰•二模)已知点尸为圆C:(x-2)2+俨=4上任意一点，/(一2,0),线段以

的垂直平分线交直线尸。于点设点M的轨迹为曲线〃

⑴求曲线，的方程；

(2)若过点M的直线/与曲线〃的两条渐近线交于S,7两点，且M为线段ST的中点.

⑴证明：直线/与曲线，有且仅有一个交点；

21—

(ii)求万可月的取值范围.

【典例4-2】(2024•高三•山东德州•开学考试)己知双曲线£焦点在x轴上，离心率为屈，且过点(0,4),

直线4与双曲线£交于两点，4的斜率存在且不为0,直线与双曲线£交于尸，。两点.

(1)若的中点为“，直线。H,MV的斜率分别为配却。为坐标原点，求发无；

1\TP\TN

(2)若直线4与直线4的交点7在直线x=］上，且直线4与直线4的斜率和为o,证明：j^=—

【变式4-1】抛物线C的焦点厂到准线/的距离为2.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过焦点厂的直线(斜率存在且不为0)交抛物线C于48两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于

【变式4-2](2024•湖北黄冈•模拟预测)在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球，在地

面上的影子就可能是一个椭圆.已知影子椭圆C：W+4=l(a>6>0),C的上顶点为两个焦点为片，

ab

F2,离心率为《.过大且垂直于的直线与C交于。，E两点，口闵=6,则+W的最小值

2，〃尸1AU

是.

【变式4-3](2024・高三・河北•开学考试)已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为立，对称轴为坐标轴，

3

且经过点(2行,g]

⑴求椭圆£的方程；

,、\CP\

⑵若过尸(0/)的直线交椭圆E于C、D两点，求加的取值范围.

题型五：长度积问题

22

【典例5-1】(2024•高三・北京海淀•开学考试)已知椭圆。:会+方=1(。>6>0)的右顶点为4(2,0),上顶点

为2(0,6).

⑴求椭圆C的方程；

(2)椭圆C的左焦点为足点尸为椭圆C上不同于顶点的一点，直线NP/P与了轴的交点分别为若

\OM\]ON\=^,求点尸的横坐标.

【典例5-2】已知抛物线C:/=2分5>0),尸为C的焦点，过点尸的直线/与C交于/两点，且在

H,/两点处的切线交于点7,当/与V轴垂直时，Im1=4.

(1)求C的方程；

(2)证明：尸

22

【变式5-1](2024•高三・江西•开学考试)已知双曲线C:鼻-3=l(a>0/>0)其左、右焦点分别为耳居,

若闺月|=12,点片到其渐近线的距离为40.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设过点g的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于4,2两点,且|/同=忸用，若|/月|,|/巩忸四成

等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由.

【变式5-2](2024・高三・陕西安康•开学考试)已知动圆的圆心在x轴上，且该动圆经过点

(一4,0),(x,0),(0,#.

(1)求点(xj)的轨迹C的方程；

(2)设过点£(-1,0)的直线/交轨迹C于48两点，若/(%,4),G为轨迹C上位于点48之间的一点，点G关

于x轴的对称点为点。，过点B作交/。于点求的最大值.

22

【变式5-3】已知椭圆q:^+}=l（a>6>0）的离心率为1,且直线4：?+"=1被椭圆G截得的弦长为

V7.

⑴求椭圆G的方程；

⑵以椭圆G的长轴为直径作圆。2,过直线/”N=4上的动点M作圆C2的两条切线，设切点为48,若直

线与椭圆G交于不同的两点c,D,求|8|.|月牙的取值范围.

题型六：长度的范围与最值问题

22

【典例6-1］（2024•安徽•一模）已知双曲线C：鼻-4=1（°>。）>0）的离心率为2.且经过点（2,3）.

ab

⑴求C的方程；

（2）若直线/与C交于/,B两点,且方.赤=0（点。为坐标原点），求的取值范围.

【典例6-2】（2024•高三•广东•开学考试）我们把各边与椭圆£：—+，=1（。>6>0）的对称轴垂直或平行

的E的内接四边形叫做E的内接矩形.如图，已知四边形PQ«是石的一个边长为1的内接正方形，PS,

0?分别与x轴交于片，耳，且片，乙为E的两个焦点.

>

X

（1）求E的标准方程；

⑵设…,100）是四边形尸。RS内部的100个不同的点，线段尸0,&S与〉轴分别交于用,当，记

100

4=£瓦蜀，其中左=1,2,证明：4，刈中至少有一个小于25（1+逐）.

22

【变式6-1］（2024・高三・浙江•开学考试）在直角坐标系xOy中，过椭圆E:^+斗=1（。>6>0）的右焦点的

直线与E截得的线段长的取值范围是［3,4］.

（1）求E的方程；

⑵已知曲线C:/+U=l（x,%〃2>0）的切线/被坐标轴所截的线段长为定值.

（i）求/与C截得的线段长；

（ii）求/与E截得的线段长的取值范围.

【变式6-2］（2024・高三•北京咱主招生）双曲线：工一以=1有一点尸在双曲线上，分别过P点作渐近线

169

平行线交x轴于48,且A在靠近原点的一侧,过A点作x轴垂线交以05为直径的圆于点C求10cl的

取值范围.

22

【变式6-3］（2024•新疆・二模）已知椭圆c：「+匕=1伍〉6〉0）的左焦点为尸，C上任意一点到厂的

a2b2'

距离的最大值和最小值之积为1,离心率为走.

3

⑴求C的方程；

⑵设过点的直线/与C交于/，N两点，若动点p满足PM=4MR,PN=-ANR,动点。

在椭圆C上，求归。|的最小值.

题型七：长度的定值问题

【典例7-1】(2024•山东济南・三模)如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-2,3),

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若角£为锐角，以角4为倾斜角的直线经过抛物线的焦点尸，且与抛物线交于/、2两点，作线段

的垂直平分线/交x轴于点尸，证明尸尸bP|cos2a为定值，并求此定值.

22

【典例7-2】已知椭圆0：=+3=i(a〉b〉0)的短轴长为2,上顶点为M,。为坐标原点，A,3为椭

圆C上不同的两点，且当40,3三点共线时，直线的斜率之积为-工

4

⑴求椭圆C的方程；

(2)若△CM3的面积为1,求砰的值.

22

【变式7-1](2024・高三・广东・开学考试)设耳工为椭圆G会+方=1(。>6>0)的左、右焦点，点

彳鱼，在椭圆C上，点A关于原点的对称点为3,四边形/甲风的面积为VL

⑴求椭圆C的方程；

11

⑵若过工的直线/交椭圆C于M,N两点，求证：忸历+西为定值.

22

【变式7-2】已知椭圆o:\+4=l(a>b>0)过点4-2,0),且。=2人

ab

⑴求椭圆。的方程；

(2)设。为原点，过点。(1,0)的直线/与椭圆。交于P,。两点，且直线/与x轴不重合，直线/尸，N0分

别与〉轴交于M,N两点.求证|<WHON]为定值.

【变式7-3](2024•重庆沙坪坝•模拟预测)如图，在平面直角坐标系xQy中，双曲线

22

5-'=1(。>0,6>0)的上下焦点分别为月(0,。)，8(0,-c).已知点(e,6)和(0,@都在双曲线上，其

中e为双曲线的离心率.

(1)求双曲线的方程；

(2)设43是双曲线上位于V轴右方的两点，且直线/月与直线5名平行，/月与交于点尸.

(i)若|/片|一忸局=2,求直线/月的斜率；

(ii)求证：|尸胤+|尸阊是定值.

【变式7-4](2024•高三•湖北武汉•开学考试)已知椭圆C：，+，=l(a>6>0)的离心率e=4,连接四

个顶点所得菱形的面积为4.斜率为k的直线交椭圆于48两点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若左=1,求|48|的最大值;

(3)设。为坐标原点，若4民。三点不共线，且。4。8的斜率满足七T%=公，求证：I。*2+|QB『为定

值.

过关测试

22

1.已知斜率为2的直线/经过椭圆上+匕=1的右焦点片，与椭圆相交于48两点，求弦NB的长.

54

22

2.(2024・安徽蚌埠•模拟预测)已知双曲线£:三-4=l(a>0,6>0)的左顶点是/(-1,0),一条渐近线的方

ab

程为y=x.

(1)求双曲线E的离心率；

(2)设直线y=与双曲线£交于点尸，Q,求线段尸。的长.

3.(2024・浙江•模拟预测)已知尸为双曲线C：/-£.=1上一点，。为坐标原点，线段。尸的垂直平分线

a

与双曲线C相切.

⑴若点P是直线》=岛与圆/+y=2的交点，求小

(2)求的取值范围.

221

4.已知椭圆C：1r+==1(°>6>0)的离心率为点A,3在椭圆上运动.当直线过椭圆右焦点

3一

并垂直于x轴时，△048的面积为万(0为坐标原点).

(1)求椭圆C的标准方程；

3

(2)延长。/到使得且MB与椭圆C交于点。，若直线04,。3的斜率之积为-“求

—的值,

BQ

5.在平面直角坐标系中，动点M到(1，。)的距离等于到直线久=—1的距离.

(1)求M的轨迹方程；

(2)P为不在x轴上的动点，过点尸作(1)中M的轨迹的两条切线，切点为/,B；直线N8与尸。垂直(。

为坐标原点)，与x轴的交点为R,与PO的交点为。；

(i)求证：R是一个定点；

的最小值.

6.(2024・安徽•模拟预测)已知抛物线£：/=2川(p>0)的焦点为凡过点尸且互相垂直的两条动直线分

别与E交于点43和点C,D,当以理=「必时，n邳=8.

⑴求K的方程；

ITWI1

(2)设线段N8,CD的中点分别为M,N,若直线N5的斜率为正，且阂=反，求直线N2和8的方程.

7.(2024・高三•广东•开学考试)已知双曲线「与-匚=1("0,6>0)的离心率为巫，焦距为2g.

ab'2

(1)求:r的标准方程；

(2)若过点(0,-9作直线/分别交r的左、右两支于48两点，交「的渐近线于C,。两点，求旨的取值范

围.

8.(2024•河南安阳•一模)如图，已知直线/］：了=氐,/2：了=-氐，〃是平面内一个动点，MAHl2^MA

与4相交于点/“位于第一象限)，MB"%,且MB与4相交于点3(2位于第四象限)，若四边形04MB

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点尸(2,0)的直线/与C相交于P,。两点，是否存在定直线/f=/,使以尸0为直径的圆与直线/湘

交于E,尸两点，且\就EF为\定值，若存在，求出/'的方程，若不存在，请说明理由.

22

9.若点尸(2,6)为双曲线c：,-3=1(°,b>0)上一点，仍=1,点/为双曲线的右顶点，过点P作直线

/交双曲线