广西部分2024-2025学年高二年级上册12月联合检测数学试题

广西部分名校2024-2025学年高二上学期12月联合检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

、单选题

1.已知集合P={1,3,5,7,9},集合。={xeN*|0Vx<5},则PCQ=()

A.{1,3}B.{1,3,5}C.{3,5}D.{3}

2

2.=()

i-1

A.25/2B.当C.V2D.2

3.已知A（-l,2,3）,则点A关于尤Oy平面的对称点的坐标是（）

A.(-1,-2,3)B.(―1,2,-3)C.(1,-2,3)D.(123)

4.双曲线2/-/=1的右焦点尸到其中一条渐近线的距离为（）

A.|B.④C.1D.上

5.半径为2的实心球。与半径为1的实心球。2体积之差的绝对值为（）

A.生26K

B.76KC.75TLD.

3亍

6.若函数/（%）二,:、；；，为R上的减函数，则实数〃的取值范围是（）

[（^-3）x+l,x>2,

A.[0,3]B.I，3C.2,1D.[2,3]

7.在正四棱柱ABCD-A耳GR中，44,=2,AB^l,E,F,G分别是CC-BD,4月的

中点，则直线CC与EF所成角的余弦值为（）

ARp邪n

A.D.C.U.----

23510

8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点

A,3的距离之比为定值〃几£1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命

名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，4-1,。），以2,0）.点尸

满足岛=7,设点尸所构成的曲线为C下列结论不正确的是（）

\rD2

A.C的方程为（x+2>+y2=4

B.在C上存在点。，使得。到点（1,1）的距离为3

C.在C上不存在点使得|“。=2|肱4|

D.C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为1

二、多选题

9.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是（）

A.若8>C,贝！］>>c

B.sin（A+C）=sinB

C.若。2+c2>6,则VABC是锐角三角形

D.若从+,2<片，则VABC是钝角三角形

10.已知抛物线V=y,其焦点为凡准线为/,经过点F的直线与抛物线交于P,。两点，

则下列说法正确的是（）

A.焦点/的坐标为（g,0）B.准线/的方程为尤=-;

C.若尸（外,%）,则回|=%+；D.弦PQ的长度

11.已知正方体ABC£>-A2|G2的棱长为4,MN为正方体ABCD-ABICQ］的内切球。的

直径，尸为正方体AB。-44G2表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A.当尸为BC的中点时，A片与OP所成角的余弦值为当

B.当匕^^=3时，P到平面AC。的距离为坐

C.西.丽的取值范围为［0,8］

7T

D.AM与AG所成角的范围为0,-

三、填空题

12.甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《志愿军：存亡之战》《出人平安》《爆

款好人》《危机航线》四部电影中任选一部，则不同的选法有种.

13.若直线/：X一>+。=。与圆C:/+/=3相切，则实数4=.

试卷第2页，共4页

2222

14.已知椭圆£:=+4=1(4>6>0)与双曲线C2:二=一3=1(，〃>0,〃>0)的左、右焦点相

abmn

同，分别为不F2,G与G在第一象限内交于点Af,且31M周=|々阊，G与a的离心率

分别为G,纭.则e色的取值范围是.

四、解答题

15.如图，在直四棱柱ABC£>-AB£2中，AB//CD,AB±AD,AAi=AB=2AD=2.CD=4,

E,F,G分别为棱。AA，2耳的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

2

\B_G_B1

c㈡_X_C、

,1___»

⑴若。尸=耳。3,求点尸的坐标；

⑵求直线CG与平面\ADDX所成角的正弦值.

16.已知向量加=(1,3,-2),n=(-1,1,2).

⑴求阮一司的值；

(2)若5-防)，(沅+方)，求实数上的值；

(3)求向量2加+河与疣-为夹角的余弦值.

17.已知圆C与无轴相切于B点，与y轴相切于A点，圆心在直线4=0上.

⑴求圆C的标准方程；

(2)尸是圆C上一动点，M为A尸的中点，若的面积为2,求直线AP的方程.

18.已知椭圆E：/+/=l(a>b>0)经过点(1,白)，且离心率为弓，。为坐标原点.

⑴求E的方程；

⑵过点尸(。，2)且不与y轴重合的动直线/与椭圆E相交于A,2两点，求△OAB面积的最大

值.

19.如图，在四棱锥尸—ABC。中，尸Z)_L平面ABCZ),ZADC=90°,AB//CD,

AB=^CD=AD=1,M为棱PC的中点.

⑴证明：胡〃/平面PAD

(2)已知RD=1.

(i)求平面尸D3与平面瓦加夹角的余弦值.

(ii)在线段Bl上是否存在点Q,使得点。到平面的距离是手？若存在，求出击

的值；若不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ACBCACDDABDCD

题号11

答案ABC

1.A

【分析】根据交集的定义即可得出答案.

【详解】由题可知，。={1,2,3,4},所以尸C0={1,3}.

故选：A

2.C

【分析】根据复数的乘、除法运算和复数的几何意义计算即可求解.

【详解】—=2(1+1)=|-l-i|=^,

i-1(i-l)(i+l)11

故选：C.

3.B

【分析】由空间直角坐标系的性质，可得答案.

【详解】点A关于xOy平面的对称点的坐标的特征是x,y不变，z变为相反数，

所以点A关于尤Oy平面的对称点的坐标是(T,2,-3).

故选：B.

4.C

【分析】根据双曲线的标准方程，可得右焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线距离公式,

可得答案.

【详解】由己知得。2=。2+62=：,则右焦点厂的坐标为(半刀)，

双曲线的渐近线方程为y=土岳，因为焦点到两条渐近线的距离相等，

国星一0

所以右焦点/到其中一条渐近线的距离d=2

[,=1

IJ(A/2)2+(-1)2

故选：C.

5.A

【分析】由球的体积公式求得两球的体积，作差可得答案.

答案第1页，共12页

【详解】由题意可知实心球。|的体积为子X23=半，实心球。2的体积为年,

32兀4兀287r

所以实心球。|与实心球。2体积之差的绝对值为

3

故选：A.

6.C

【分析】根据一次函数与二次函数的性质，及分段函数的单调性求解.

【详解】y=Y-(a+2)x+5的对称轴为x=审，开口向上.

由函数了(无)在R上为减函数,

Q+2

>2,

2

得〃一3<0,解得

22-(a+2)x2+5>(a-3)x2+l,

所以实数。的取值范围是2,1.

故选：C.

7.D

【分析】利用空间向量的数量积公式,即可求得两直线所成角的余弦值.

【详解】以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标

G(l,1,2),£(0,1,1),F(|,1,0),

3

4屈

曲底一10

-------X--------

22

10

答案第2页，共12页

故选：D.

8.D

PA1

【分析】根据两点的距离公式表示万丁=不，化简计算即可判断A；根据点与圆的位置关系

rDZ

计算即可判断B；根据|MO|=2|M4|和两点求距离公式求出点M的轨迹方程，结合圆与圆的

位置关系计算即可判断C；根据点到直线的距离公式计算即可判断D.

【详解】对于A,设点尸(无,y),

PA£I，整理得(X+2)2+y2=4,

PB2

故c的方程为(x+2/+y2=4,故A正确；

对于B,(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2,

•・•点(1,1)到圆心C(-2,0)的距离d=J(1+2)2+(1一0)2=瓦,

二圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[“6-2，碗+2],

而3W[J1U-2,JQ+2],故在C上存在点。，使得。到点(1,1)的距离为3,故B正确；

对于C,设点M(x,y),•.-|A/O|=2|M4|,贝lj，77=2师铲疗，

4444

整理得(x+-)2+y2=~,：.点M的轨迹方程为(x+])2+/=§,

42

即M是以G(-§,0)为圆心，半径弓=§的圆，

74

又|CG|=§<H=r-4，.•・两圆内含，没有公共点，

・•.在C上不存在点使得|MQ|=2|M4|,故C正确；

|3x(-2)-4x0-13|19

对于D,圆心C(-2,0)到直线3》-4、-13=。的距离4~「=三，

*?+(—4)25

・•.C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为4-厂=19[-2=9:,故D不正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推

理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性

答案第3页，共12页

地证明更新的性质.

9.ABD

【分析】根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案.

【详解】对于A,在VABC中，B>C,贝!Jb>c,A正确；

对于B,sin（A+C）=sin（7i-B）=sinB,B正确；

^22_2

对于C,由得cosA=0+c-”>o,则A是锐角，显然B,C是否都是锐角

2bc

无法确定，C错误；

Z.22_2

对于D,由/+，</,得cosA=^------—<0,则A是钝角，VABC是钝角三角形，D正

2bc

确.

故选：ABD.

10.CD

【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质即可判断ABC；直线方程联立抛物线方程，利

用韦达定理和抛物线的定义计算即可判断D.

【详解】A：由Y=y可得功=1,所以p=；,故焦点尸的坐标为（0,J,故A错误.

B：准线/的方程为了=-；,故B错误.

C：根据焦半径公式，若贝|]但尸卜为+；,c正确.

D：设过点尸（0,；）的直线方程为y=+

联立其与抛物线的方程可得/-丘-：=。,

4

设尸（占,％）,Q（x2,y2）,则A=A2+I>O,X]+x2=k,

则%+%=+x2）+—=k^+—,

故|「。|=X+%+P=工+121，

故当上=0时，此时弦尸。的最短长度为1,即|尸。|>1,故D正确.

故选：CD.

11.ABC

【分析】对于A,由题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示直线方向向量，利用线

线夹角的向量公式，可得答案；

答案第4页，共12页

对于B,根据正方体的几何性质，判断底面三角形的形状，求得底面面积，利用三棱锥体积

公式，可得答案；

对于C,根据正方体与其内切圆的几何性质，结合空间向量的线性运算与数量积的运算律,

可得答案；

对于D,根据正方体与其内切圆的几何性质，结合线线角概念，求得最大值，可得答案.

【详解】对于A,根据题意，以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,»z轴

建立空间直角坐标系，如下图所示:

易知A(4,0,0),4(4,4,4),0(0,0,0),尸(2,4,0),则藕=(0,4,4),OP=(2,4,0),

.AB,-DP0+16+0A/1()

可得cosAB,DP=|■_■1=//=,

」信lAB,DPV0+16+16-V4+16+05'

即当P为2C的中点时，A4与。P所成角的余弦值为苧，可得A正确.

对于B,易知△AC2是边长为4虎的正三角形，

故其面积S=L(40)2.sin6O。=走x(40y=8右，

24

由匕可得点p到平面AC2的距离人=唯』=立，即可得B正确.

3S6

对于C,依题意可知。为正方体的中心，如下图所示：

PMPN=(Pd+OM)(Pd+ON)=PO2+POOM+POON

+OMON=PO+PO(OM+ON)-OM2，

答案第5页，共12页

又因为MN为球。的直径，所以两+两=。，|西|=|西=2,即可得询.丽=用2

-4.

又易知当点尸为正方体与球。的切点时，|所|最小；当点尸为正方体的顶点时，|用|最大.

故俨ge[2,2g],因此可得两.两的取值范围为[0,8],即C正确.

对于D,易知AC】的中点即为球心O,如下图所示:

cq4_石

当AM与球相切时,AM与AC,所成的角最大，此时sinZMAO=sinNC4cl

AC,-473-3

TTIT

显然结合两直线所成角的范围可知AM与AG所成角的范围为0,-是错误的,

即D错误.

故选：ABC.

12.64

【分析】根据分步计数原理的应用即可求解.

【详解】易知每个人都有4种选法，故不同的选法有第=64种.

故答案为：64.

13.土娓

【分析】由圆的方程可得圆心与半径，根据圆切线的性质，建立方程，可得答案.

【详解】由圆C:1+y2=3,则圆心C(0,0),半径一6，

由题意可得*=若，解得〃=±".

故答案为：土巫.

3

14.(-,3)

【分析】由椭圆与双曲线定义得|昭卜=。+闷”|=a-加,由3|峥仁寓⑷得出口。即关

答案第6页，共12页

系，从而表示出CcC-1（"一机）9cr-lam+nv9am,由椭圆与

ee=----==—--------=---------------=—（——I----2）

x2amamam4am4ma

双曲线的定义求得“，根的不等关系从而得出色的取值范围，然后结合函数单调性求得e0范

m

围.

【详解】如图所示.

fMF,+MF）=2a,\MF,=a+m,

根据椭圆的定义以及双曲线的定义可得"二"。解得八〃二

IMR-MF2=2m,MF2=a-m.

\MFAi

显然|脑4=〃-加＞0可得。叫又丽二针且闺囿=2c,

其中/=々2,/二祖2+,

可得2c=3(。一根)，所以ccc19a2-2am+m29,am与、

ee=----=—=—--------=--------------=—(——I----2)

x2amamam4am4ma

令f=则e0=g(f+1-2).因为a>〃z,所以r=0>l.

mAtm

又|町|+|摩|>山阊，所以2a>2c=3(a-所以a<3〃z,

y^MF\-\MF^<\FxFA,所以2〃z<2c=3(a-刈)，所以3a>5〃z,所以可得:0£,3).

m3

设函数y=f+1-2,而函数y=r+1-2在区间(g,3)上单调递增，

tt3

所以不4<、<］4，所以(3<32<3.即e©的取值范围是93,3).

⑵亘

3

【分析】（1）设尸（无,y,z）,根据向量线性运算坐标表示计算即可求解;

（2）由空间向量法求线面角.

答案第7页，共12页

【详角军】(1)因为e=42=240=20)=4,

所以0(2,0,0),4(2,4,0),8(0,0,4),则取=(-2,T,4)

—•1-----744

设尸(x,y,z),因为D尸=则(x—2,y,z)=(—耳,—§,§

即尸-：3，解得「=一］4，则呜4，一4者4).

44

z=一,z==,

(2)因为AA=AB=2AZ)=2C£>=4,所以C(2,0,2),G(0,2,4),CG=(-2,2,2),

由题意可取平面AA。。的一个法向量为用=(0,0,D,

CG-fr\2__A/3

设直线CG与平面AAD?所成的角为。,则sin0-cos(CG,ffi)\

CG||m|2733

所以直线CG与平面9町所成角的正弦值为*

16.(1)2遍

⑵左=3

(3)-.

3

【分析】(1)根据向量模的坐标表示计算；

(2)由向量垂直的数量积为。求解；

(3)由向量夹角公式计算.

【详解】(1)由题可得用一方=(2,2,-4),贝.比一同=也2+22+(-4)2=2".

(2)m-Im=(1+k,3—k,-2-2k),m+n=(0,4,0),

•«,(m-kn)±(m+n),/.(m—kn)-(m+n)=0,

艮口(1+左)x0+(3—左)x4+(—2—2左)x0=0,贝!J(=3.

(3)2ih+n=(1,7,—2),|2m+n|=3\/6,m-n=(2,2,-4),|m-n|=2\/6,

s-、一、(2m+n)-(m-n)242

..cos<2m+n,m—n)=---------------=——尸----尸=—

|2m+nn||m-n|3V6x2V63，

2

向量2流+乃与历-为夹角的余弦值为孑.

答案第8页，共12页

17.(l)(x-2)2+(y-2)2=4

(2)y=2或尤_y+2=0.

【分析】(1)由题意确定圆心的位置，联立方程求得圆心，可得答案；

(2)根据三角形的面积与面积公式，可得动点”所在直线的位置，由题意，利用圆的方程

与中点坐标，可得其轨迹方程，联立方程，可得答案.

[y=x

【详解】(1)由题意知所求圆的圆心是直线,二%和直线%+y-4=0的交点，则广〃n,

[x+y-4=0

fx=2

解得c，即圆。的圆心坐标C(2,2),易知圆。的半径为2,

[y=2

所以圆C的标准方程为-2)2+(y-2)z=4.

(2)

因为的面积为2,而|AB|=2四，所以M到直线A3的距离为a,

又直线A8的方程为无+k2=0,

设与直线A3平行且距离为&的直线/的方程为x+，+加=0,

1/71+2|I—tv

令^一『~二’2,得根=0或机=-4.

A/2

设M(x,y),尸(%,%),由题意知尸是圆C上一动点,

则==gpXo=2x,y0=2y-2,

所以(2x-2)2+(2y-4=4,解得点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,

由方程(X—l)2+(y—2)2=1,可得圆心(1,2),半径1,

|1+2|_3后

当〃z=0时，圆心(1,2)到直线/的距离碇一

答案第9页，共12页

当帆=T时，圆心(1,2)到直线/的距离、二"=变＜1.

所以直线/与点”的轨迹有交点，则=

[x+y—4=0,

联立方程组,:、2,7一解得“(2,2)或/(1,3),

由A(0,2)与M(2,2),则直线AP方程为＞=2；

由A(0,2)与M(l,3),则直线转方程为牌=言，整理可得x-y+2=0.

所以直线AP的方程为＞=2或x—y+2=0.

18.(1)^+/=1

⑵与

【分析】(1)将已知点代入双曲线方程，结合离心率公式以及。，瓦。，建立方程组，可得答

案；

(2)设出动直线方程，联立方程写出韦达定理，求得弦长，即为三角形的底，利用点到直

线距离公式，求得三角形的高，根据基本不等式，可得答案.

a=>/2

【详解】(1)设E的半焦距为c(c＞0),由已知得，解得

b=l

故E的方程为；■+尸=1.

由题可设/：y=Ax+2,由%,％),B(x2,y2).

答案第10页，共12页

将>=依+2代入上+y2=l,消去y得(l+2F)Y+8履+6=0.

a_Rk6

当A=16F-24>0,即^>万时，%+/=]+2左2X.x2---------

।'l+2k2

所以IA4=，l+12|X]-X2\=J(1+[2)[(X[+%)2_4=々]=2，1+j.2e

,2

又点0到直线l的距离d=下^,

V1+v

所以△OAB的面积S加=!小|4剧=2d4k2-6

△C/AD2II

2k2+1

__q=4?=44_V2

设,4公_6=r，贝八0，AOAB~77s4^/2^^

当且仅当f=2应，即