高一数学上学期期末复习解答题压轴题二十一大题型专练（范围：第一、二、三章）（解析版）

2024-2025学年高一上学期期末复习解答题压轴题二十一大题型专练

(范围：第一、二、三章)

【人教A版(2019)]

集合中元素的个数问题。|

1.(24-25高一上•江苏镇江•阶段练习)已知集合力={x\ax2+bx+10,aGR,b&R].

(1)当a=2时，4中只有一个元素，求b的值；

(2)当6=2时，4中至多有一个元素，求a的取值范围.

【解题思路】(1)借助根与系数的关系计算即可得；

(2)分a=0及a70进行讨论，若a=0,可计算出结果，若a40,则需借助根与系数的关系计算.

【解答过程】(1)当a=2时，A=[x\2x2+bx+l=0,beR],

由2中只有一个元素，则有41=。2-8=0,解得b=±2近；

(2)当b=2时，A={x|ax2+2x+1=0,a€R},

由2中至多有一个元素，故4中可能没有元素或1个元素，

当a=0时，4={x|2x+1=0}={-卦，符合要求；

当aKO时，对a/+2久+1=0有：

△2=4-4aW0,解得a21；

综上所述：a=0或a>1.

2.(23-24高一上•河南濮阳•阶段练习)设数集N由实数构成，且满足：若力1且％去0),则之eA

1—X

(1)若2E4则4中至少还有几个元素？

(2)集合/是否为双元素集合？请说明理由；

(3)若/中元素个数不超过8,所有元素的和为日，且/中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合/

中的元素.

【解题思路】(1)利用给定的定义，依次计算即得.

(2)由XC4求得/中其它元素，再判断不相等即可.

(3)由(2)中信息，可得万€4,小€力，再结合已知列出方程求解即得.

【解答过程】(1)由2C4得为=一1€4则一=因此」r=2e4

1-21-(-1)21--

所以/中至少还有两个元素为一1,1.

(2)不是双元素集合.理由如下：

一

由久e力，得一e4，则一~T~=~~~GA,

1-XX

1—1-—X

而％H1且久H0,X2—x+1=(%—|)2+1>0,即％2—%+1工0,%(1—%)w1,

于是支W--，由，-2,x+1W—X,得(％—l)2W—Xf贝！J----W-----,

1—x1—xx

因此集合/中至少有3个元素，所以集合N不是双元素集合.

(3)由(2)知4中有二个兀素为光、——>――(%W1且%W0),且％,——,--=—1,

i—xxl-xX

依题意，4中除上述3个元素外，还有其它元素，设/中有一个元素为血，

贝！J」一64EA,且m•—•叱^=—1,

l—mm1—mm

于是/中的元素为工且集合力中所有元素之积为11

1—%xi—mm

由4中有一个元素的平方等于所有元素的积，设(占)2=1或(?)2=1,解得％=2或久=/

此时2E4—1GAfE依题意，:+2—1+??1+———F---=?，

22l—mm3

整理得6m3—19m2+zn+6=0,即(m—3)(2m+l)(3m—2)=0,解得m=—；或3或(，

所以集合A中的兀素为2,—1,—g,3,|\

3.(23-24高一上•江苏镇江•阶段练习)已知集合人中的元素全为实数，且满足：若QE4则产C4

l—a

(1)若a=-3,求出4中其他所有元素.

(2)0是不是集合力中的元素？请你取一个实数a€A(a7-3),再求出4中的元素.

【解题思路】(1)根据定义直接计算即可得到力中其他所有元素；

(2)先假设064依定义判断即可；取a=3,根据定义直接计算即可得到4中其他所有元素.

【解答过程】(1)由题意可知：—364

川1+(-3)_工e41+—E)_1p4—2GA1+2——3GX

WJ1-(-3)-2EA，!-(_!)-3i-l-2671,1-2~3GA，

所以力中其他所有元素为W，2.

(2)假设a=0e4,则^^—1EA,

1—0

而当1"时，当不存在，假设不成立,

所以0不是力的元素,

取。=3,则裳=-264^1=964日=3C4

所以当3e4,4中的兀素是：3,—2,—p|\

4.(23-24高三上•山东潍坊・期末)已知集合{龙仙》2一3久+2=0,比eR}.

(1)若集合/是空集，求。的取值范围；

(2)若集合N中只有一个元素，求。的取值范围；

(3)若/中至多有一个元素，求a的取值范围.

【解题思路】(1)根据空集转化为一元二次方程根的情况求解.

(2)根据。分类讨论，从而解决问题.

(3)根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决.

【解答过程】⑴当a=0时，集合4={久|一3%+2=0}=8，

因为/是空集，

所以a70且4=(-3)2-4ax2c0,

所以a>I，

o

所以a的取值范围是{a|a>1j.

(2)因为N中只有一个元素，

当a=0时，集合力={x|-3x+2=0}={'},符合题意，

当aR。时，要使/中只有一个元素，

所以且A=(-3)2-4ax2=0,

所以a=，

O

综上所述，。的取值范围是a=0或(

(3)因为/中至多只有一个元素，

所以N为空集或/只有一个元素，

由(1)、(2)可知a=0或a2苫，

8

所以。的取值范围是：a=。或a2]

O

题型2a根据集合间的关系求参数

5.(24-25高一上•河北廊坊•阶段练习)设集合A={x\x2+4x=0),B=(x\x2+2(a+l)x+a2-1=0}.

(1)若BU4求实数a的取值范围；

(2)若4UB,求实数。的取值范围

【解题思路】(1)由BU4对集合B进行分类讨论：①若8=0,②若B为{0},{-4},③若B=4={-4,0},

由此求得a的值即可.

(2)先化简集合4,B,再由能求得a的值.

【解答过程】(1)集合4={%|%2+4久=0}={-4,0},B=[x|x2+2(a+l)x+a2-1=0}

BQA,

①若B=0,则4=4(a+l)2-4(a2-1)=8a+8<0

则a<-1；

②若B={0}或{-4},则A=4(a+l)2-4(a2-1)=8a+8=0

解得：a=-1,将a=-1代入方程/+2(a+l)x+a?-1=0得：/=0得：x=o,即B={0}符合要求;

③若8—A—{—4,0},则人=8a+8>0,即a>—1

即/+2(a+l)x+a2-1=0的两根分别为一4、0,

则有a?-1=0且-2(a+1)=-4,

则a=1

综上所述，实数a的取值范围是{a|aW-1或a=l}.

(2)AQB,,-.B=A={0,-4},

则八=8a+8>0,即a>一1

即0和一4是方程/+2(a+l)x+a2-1=0的两根

•,•0—4=-2(a+1)=—4

0x(-4)=a2-1=0

解得：a=1或a=-1(舍去)

故Q=1.

6.(24-25高一上,山西大同•阶段练习)已知集合/=[x\x2+4x—a=0}

(1)若。=5,请写出集合”的所有子集；

(2)若集合8=｛百%2+2%=。｝,且/q8,求a的取值范围.

【解题思路】(1)当a=5时，求出集合4即可写出集合”的所有子集;

(2)对集合力中的元素个数进行分类讨论，结合4UB可得出关于实数a的等式或不等式，综合可得出实数a

的取值范围.

【解答过程】(1)解：当a=5时，4={M/+4%-5=0}={-5,1},

所以，集合4的所有子集有:0、{一5}、{1}、{-5,1}.

(2)解：因为B={x|x2+2%=0}={-2,0},分以下几种情况讨论：

①当月=0时，对于方程/+4%—a=0,△=16+4a<0,解得a<—4；

②当集合4只有一个元素时，对于方程/+4%—a=0,A=16+4a=0,可得a=—4,

此时，A={x\x2+4x+4=0}={-2},此时，AQB；

③当集合4有两个元素时，因为则4=B,即4={-2,0},

即关于x的方程/+4x—a=0的两根分别为—2、0,

所以，-一8-a=0,无解.

综上所述，实数a的取值范围是{a|a<-4}.

7.(23-24高一上•吉林四平•阶段练习)已知集合P={%£R|x2-3x+b=0},Q=(%eR|(x+l)(x2+3x-

4)=。}.

(1)若b=4,存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；

(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.

【解题思路】(1)确定P=0,并求出集合Q,写出Q的真子集即得；

(2)分类讨论，P=0时满足题意，P40时，由集合Q中的元素属于集合P,分别代入求出参数b,得集合P

检验即可.

【解答过程】(1)当b=4时，方程/—3x+b=0的根的判别式△=(—3)2—4xlx4<0,所以P=0.

又。={xeR|(x+1)(/+3x—4)=0}={-4,-1,1},故PcQ.

由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，

用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{—4},{—1},{1},{-4,—1],{-4,1],{-1,1}.

(2)当P=0时，P是Q的一个子集，此时对于方程好一3久+6=0,

有A=9—4b<0,所以b

4

当PW0时，因为Q={-4,-1,1},所以当一16P时，

(-1)2—3x(—1)+b=0,即b=—4,此时P={司/-3%—4=0}={4,—1},

因为4£Q,所以P不是Q的子集;

同理当-46P时，b=-28,P=[7,-4},也不是Q的子集;

当leP时，b=2,P={1,2},也不是Q的子集.

综上，满足条件的b的取值范围是{中>*

8.(23-24高一上•安徽安庆•阶段练习)已知集合4={%|0<ax+l<5},B=[x|-|<%<2].

(1)若4cB,求实数a的取值范围.

(2)是否存在实数a,使得力=8?若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)分a=0,a<0,a>0得到集合/,再利用力UB求解；

(2)分a=0,a<0,a>0得到集合力,再利用4=B求解；

【解答过程】(1)当a=0时，4=R,AUB不成立；

当a<0时，因为4UB,所以•。12,解得a〈一8；

--<2

a

当a>0时，=因为4=B,所以,：一1，解得a22,

Va--2

综上：实数a的取值范围是a<-8或a22；

(2)当a=0时，A=R,4=B不成立；

当a<0时，A-^x\^<x<_^]>A=B,不成立；

(-=2

当a>0时，4={x[-1<xW§，因为4=8,所以,°「解得a=2；

Va~2

综上：实数a的值是2.

题型3N交、并、补集的混合运算及其含参问题。|

9.(24-25高一上・贵州•期中)已知集合2={x|-3WxW4},B={x\2a-l<x<a+3}.

(1)当a=2时，求，A\JB,AQB；

(2)若=求a的取值范围.

【解题思路】(1)当a=2时，写出集合8,利用并集和交集的定义可得出集合4U8、AQB；

(2)由题意可得BU4分B=0、B40两种情况讨论，在B=0时，可得出关于实数a的不等式；在BH0

时，根据集合的包含关系可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.

【解答过程】(1)当a=2时，B={x|3<x<5},且4={x|—3WxW4},

则力UF={x|—3<x<5},AdB={x|3<x<4}.

(2)因为力CB=B,所以BU4

当B=0时，2a-12a+3,解得a24；

(2a—1<a+3

当B牛0时，贝I82a-1>-3,解得一1<a<1.

(a+3<4

综上，a的取值范围是同一1<a<1或a>4}.

10.(24-25高一上•湖南长沙•阶段练习)已知全集0=氐集合力={久|2<%<9},S={x||2x-3|<7}.

⑴求BU(CM；

(2)已知集合闻={久|a<x<2a—2},若“=((：/),求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)化简集合8,根据集合的交并补运算求解；

(2)要分河等于空集和不等于空集两种情况讨论.再根据已知求出。的取值范围.

【解答过程】(1)F={x||2x-3|<7]={x|-7<2x-3<7}={x|-2<x<5},

集合4={x|2<x<9},故=[x\x<2或x>9},

则BU(CM=(一％5]U[9,+8).

(2)QJB=[x\x<-2或%>5],

当M=0时，a22a-2,二aW2,合题意；

当MK0时，{.a>2—txrCL>2

2a-2<-2叫a>5

所以a>5,

综上可得，a的取值范围为(-8,2]U[5,+8).

11.(24-25高一上•江西南昌•期中)设全集为U=R,集合力=[x\x2-7x-8>0],B={x\a+l<x<2a-

3).

(1)当a=6时，求4UB和ZCCRB

(2)在①BnCR4=0;②ACB=8；③AUB=4这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)首先解二次不等式求得集合4然后将a代入确定集合B,最后根据集合的交、并、补运

算法则进行求解即可；

(2)首先根据集合间运算的结果可得B£A,然后分8=。和B牛。两种情况分类讨论求解参数取值范围即

可

【解答过程】(1)由不等式/一7%-8>0,解得：％<-1或%>8,因此可得：4={x|x<-1或%>8},

将a=6代入集合B中可得：B={x\7<x<9},

因此4UB=(x\x<-1或x>7}；

又CRB={x\x<7或x>9},得：AnCRB={x\x<-1或乂>9).

(2)选①由8CCR4=0,可知BU4

当B=0时，a+122a-3,解得：aW4；

当BR0时，可得：无解，或[a+YFL，解得：°27；

I2a—3<—1Ia+1>8

综上所述aG(-oo,4]U[7,+oo)；

选②由ZnB=B,可知BUZ,

当8=0时，a+1>2a-3,解得：a<4；

当BK0时，可得：『"I；”—/，无解，或『+二巴~3,解得：&27；

I2a—3<—1Ia+1>8

综上所述aG(-oo,4]U[7,+oo)；

选③由4UB=4可知

当B=0时，a+1>2a-3,解得：a<4；

10-3

当BK0时，可得：[V!!,'无解，或『+二差13,解得：a>7；

I2a—3<—1Ia+1>8

综上所述QG(-00,4]U[7,+00).

12.(24-25高一上•江西南昌•阶段练习)设集合A={%氏2一8久+12=0},B={x|%2+2(a+l)x+a2-

13=0).

(1)若4rB={2},求实数a的值；

(2)若AU8=4求实数a的取值范围；

(3)若全集U=R,An(Ci/B)=A,求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)由4C8={2},得26B,由此可得关于a的方程求解并验证即可得；

(2)由SUB=4得BU4按集合B中元素的个数分类讨论即可求；

(3)由4n(CuB)=4得4CiB=0,转化为2,6均不是方程d+2(a+l)x+a2-13=0的根，解不等式可

得.

【解答过程】(1)4=[x\x2—8%+12=0}={2,6},B={x|x2+2(a+l)x+a2—13=0}.

•••XnB={2},2eB,则22+2(£1+1)2+£12-13=0,

即/+4a—5=0,解得a=1或—5.

验证：当a=1时，B={x|x2+4x-12=0]={—6,2},

则4C8={2},满足题意；

当a=-5时，B={x|x2—8%+12=0)=X,

则4rB=£2,6},不满足题意.

综上可知，若anB={2},则a=l.

(2)若ZUB=4,则BU4又4={2,6},

①当B=0时，则关于％的方程/+2g+l)x+a2-13-0没有实数根，

则4=4(a+I)2-4(a2-13)=8(a+7)<0,解得a<-7,

故当a<-7时，B=0c4满足题意；

②当8力0,即aN—7时，

若集合B中只有一个元素，则△=8(a+7)=0,

即当a=-7时，8={x|/—12X+36=0}={6}U{2,6},BQA,满足题意；

若集合B中有两个元素，贝必=8(a+7)>0,

即当a>—7时，要使BU4则B=4={2,6},

所以2和6是方程/+2(a+l)x+a?—13=0的两根，

则由韦达定理得6：-2(。+1),解得&=—5,满足条件a>—7.

综上所述，a<-7=-5.

所以，若4UB=4则实数a的取值范围为(—8,-7]U{—5}.

(3)若全集U=R,ACl(CyB)=A,贝iMuCuB,即4CB=0.

A={x\x2-8x+12=0]={2,6},B={x\x2+2(a+l)x+a2_13=0}.

故2WB,且6《B,

则22+4(a+1)+a?—13丰0,且6?+12(ci+1)+a?-13丰0,

解得aK1且aK—5且a片—7.

若力n(CyB)=A,则实数a的取值范围为(一8,-7)U(-7,-5)U(-5,1)U(1,+8).

题型4N集合的新定义问题。|

13.(24-25高一上•浙江绍兴•期中)定义两种新运算“㊉”与“③”，满足如下运算法则：对任意的a,beR,

有a㊉b=ab,a0b=ab+1.设全集U={x\x=aQb+a0b,O<a<b<3且aGZ,bGZ],A=

2

[x]4(a㊉b)+0<a<b<3且aEZ,bEZ}fB=[x\x—3x+m=0}.

(1)求集合U；

(2)求集合A；

(3)集合4B是否能满足(3M)CB=0?若能，求出实数小的取值范围；若不能，请说明理由.

【解题思路】(1)根据新定义运算可得U=[x\x=abab1,0<a<b<3,a,bEZ],分。=l,b=

a=l,b=2与Q=2,b=2讨论即可求解；

(2)根据新定义运算可得4(a㊉6)+等=4ab+限代入a=l,b=2即可求解；

(3)易知C(M={3,4},假设集合4B能满足(QA)CB=0,则8=0,或3£B且4《B,代入求解即可.

【解答过程】(1)因为对任意的a,beR,有a^b=ab,a0b^ab+l,

全集U={x\x=a®b-^-a0b,O<a<b<3且a6Z,bGZ},

所以U=[x\x=ab+ab+1,0<a<b<3,a,beZ]

因为0Va<bV3,a,b€Z,所以a=l,b=l,或a=l,b=2,或a=2,b=2.

当a=1,b=l时，ah++1=14-1+1=3；

当a=1,b=2时，ab+ah+l=2+l+l=4；

当a=2,b=2时，ab+W+l=4+4+l=9,

所以U={3,4,9}.

(2)4(a㊉b)+等=4a6+号,

因为0<a<b<3且aeZ,beZ,所以a=l,b=2,

所以4(a㊉b)+竽=4ab+竽=4x1x2+?=9

所以4={9}.

(3)因为U={3,4,9},4={9},所以C(M={3,4}.

假设集合48能满足(CM)nB=0,

则8=0,或3cB且4cB.

又B={x|x2—3%+m=0},

当3=0时，△=(一3尸一4mV0,解得m>；;

当3cB时，32-3x3+m=0,解得血=0；

当4EB时，42—3x4+m=0,解得m=-4.

所以若30B且4£8,则血H0且血。一4.

综上所述，实数小的取值范围为｛小6＞、｝.

所以集合4B能满足（CMCB=0,实数6的取值范围为＞*

14.（24-25高一上•内蒙古包头•阶段练习）设正整数4,若由实数组成的集合4=｛的,a?,…，aj满足:

对人中任意四个不同的元素a,b,c,d,均有ab+cdE4则称“为“九集合.

⑴判断集合力I={。彳,1,2}和42=《,1,2,3}是否为“4集合，说明理由；

(2)若集合4={0,第,y,z}为“4集合，求A中大于1的元素的可能个数.

【解题思路】(1)由山集合的定义即可得出答案.

(2)由题意可得{%,y,z}={xy,yz,xz},不妨设x<y<z,分类讨论％<y<z<0,x<y<0<z,x<0<

yVz和0V%VyVz结合集合的性质即可得出答案.

【解答过程】(1)集合&={0，-2}是山集合，

当{{a,b},{c,d}}={{0、},{1,2}}时，0x1+1x2=2641；

当{{a,b},{c,d}}={{0,1},{1,2}}时，0xl+[x2=le4i；

当{{a,b],{c,d}}={{0,2},{111}}时，0x2+(xl=1e&；

集合力2=L2,3}不是叫集合，

取{{a,b},{c,d}}={{g1},{2,3}},则ab+cd=：x1+2x3=曰《4，不满足题中性质.

(2)当{{a,b},{c,d}}={{0,z},{居y}}时，ab+cd=xyEA,

当{{{a,b},{c,d}}}={{0,x},{y,z}}时,ab+cd=yzEA,

当{{a,b},{c,d}}={{0,y],(z,%}}时，abcd=xzEA,

因此{居y,z]={xy,yz,xz},不妨设%<y<z,

①当％VyVzCO时，显然yz>0,则yz£4与yzE4矛盾；

②当％<y<0<z时，贝阮z<yz<xy,止匕时xz=x,yz=y,xy=z,贝！Jz=l,xy=1,

经验证，此时4={x3,O,l}是H4集合，元素大于1的个数为0；

③当％<0<y<z时,则<xy<0,与{居y,z}={xy,yz,%z}矛盾；

④当OVxVyVz时，贝ijxyV久zVyz,xy=x,xz=y,yz=z,于是y=l,z=：>L

经验证，此时4={0,x,l3}是H4集合，元素大于1的个数为1,

所以力中大于1的元素的可能个数为0或1.

15.(24-25高一上•浙江•期中)对于数集定义M的特征函数：/时(久)=11；”2AL，对于两个数集M、N,

I—1,%tM

定义MG)N={x\fM(x)■/w(x)=-1}.

(1)已知集合力={1,3,7,9},B={2,37,8},

(i)求力(1)的值，并用列举法表示2⑤出

(ii)若用card(M)表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求card(X③4)+

card(X⑤B)的最小值(无需证明)；

(2)证明:=力0)QB(X)

【解题思路】(1)分析可知当元素x与数集M、N的关系相同时，x生M区N,不同时xeM(g)M①结合题

意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案；

(2)结合(1)中结论分析证明即可.

【解答过程】(1)对于两个数集M、N,

若XeM,x€N,则fM(x)=/N(X)=-1，艮叮M(X),%(△)=1，X住M区N;

若xG.M,x生N,则fM(x)=-1JN(X)=1，-fN[x)=-1,xEM®N；

若xeM,x€N,贝U/M(X)=l，/w(x)=-1，即/M(X),/N(X)=-Lx€MSN；

若x&M,x电N,贝1=FN(X)=L即"NGO=LxgM0AT；

综上所述：当元素x与数集M、N的关系相同时，x生M®N,不同时xeM(g)N.

①因为集合4={1,3,7,9},B={2,37,8),

且1€力，所以。(1)=-L

又因为4CB={3,7},所以力<8)B=口,2,8,9}；

②对任意X6X,

若元素尤与数集M、N的关系相同时，久任*(8)用且万任*(8)7；

若元素X与数集M、N的关系不相同时，xex集M或xex便)N；

若card(X③4)+card(X®B)取到最小值，则XU4UB,

当X为{1,2,8,9}的子集与{3,7}的并集时，此时card(X®X)+card(X0B)取到最小值4.

(2)由(1)可知：对于两个数集M、N,

综上所述：当元素x与数集M、N的关系相同时，贝

可得/'40B(X)=1=力⑺"B。)；

当元素X与数集M、N的关系不同时，则xe"(8)N,

可得<408(x)=-1=AW■

综上所述：fA®B(.x)=fA(x)-

16.(24-25高一上•江苏泰州•阶段练习)对于给定的非空集合4,定义集合力+={x\x=\a+b\,aEA,bGA],

A~={x\x=|a,—b\,aeA,beA},当A+c4一=0时，则称A具有学生性质.

(1)判断集合a={0,4},B={1,5,6}是否具有挛生性质，请说明理由；

(2)设集合。={%吊3支32025,乂€可扣€2且7142025,若C具有挛生性质，求n的最小值；

xx

(3)设集合D={久1，冷，久3，％4}，乂1<久2<乂3〈久4，若=D,求证：+X4-2+3-

【解题思路】(1)直接根据集合的挛生性质可判断结果；

(2)求出C+,C-,由它们的交集为空集即可得出所求的答案；

(3)求出。一中的可能元素，结合IT=。即可得出所求的结论.

【解答过程】⑴由题意可得：4+={0,4,8},力一={0,4},

B+=[2,6,7,10,11,12},B-={0,1,4,5},

而2+C4-={0,4}片0,B+C=0,

所以力不具有享生性质，B具有学生性质.

(2)由题意可得：L={0,1,2,...,2025—九},

C+={2n,2n++2025,…，4050),

因为C+ntT=0,所以2025-n<2n,即n>些=675,

又因为neN,所以n的最小值是676.

xxx

(3)集合D={x1,x2,x3,x4}，l<%2<3<4'

则0,X2-xltx3-Xi,X4-X-L，X3—X2,X4—x2,%4-芯3都属于集合!>一,

xx-x

又因为0<尤2-<刀3一刀1<%4一，且町-x2<X4-2>43»

由于0一定是。一中的元素，且为最小元素，结合£>-=D,可知％1=0,

此时。={0,%2，%3，%4}，故3%2，万3，%4，万3-万2，X4-X2>X4-都属于集合°一，

由于。-=。，且0<犯<刀3<%4，故必然％3-尤2，%4-%2，z4-刀3与久2，%3，中的某一个元素相等，

又因为0<%4-乂3<乂4一欠2,比3-％2<%4-％2，所以%4-%2是%3-％2，X4-X2,X4-*3三者中的最大值，

故Xj-只能与％2或％3相等，又％4-刀3力°，工3—%2十0，

因此只能％4一久2=*3，且%3~X2=X4-X3=X2

所以+X4-X2+X3.

题型5；、充分条件与必萋条件O|

17.(24-25高一上•山东荷泽•阶段练习)已知集合U为实数集，A={x\x<-5或8},B={x|a-l<%<

2a+1}.

（1）若口=5,求（Cu力）C8；

（2）设命题p：xea；命题q：x&B,若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【解题思路】（1）由题意可得B={久|4WxWll},再利用补集与交集定义计算即可得；

（2）由题意可得集合8是集合力的真子集，再分B=0及B丰0讨论并计算即可得.

【解答过程】（1）当a=5时，B={x\4<x<11},且加力={m一5<x<8},

故（Cu力）CB={%|4<%<8]；

（2）•.•命题p是命题q的必要不充分条件，...集合8是集合4的真子集，

当B=0,即a-l>2a+l,即a<—2时，此时满足题意；

当B片0,即a—lW2a+l,即a2—2时，

只需2a+1W—5或a-128,即aW-3或a29,

又a2—2,所以a>9；

综上所述，实数a的取值范围为（一8,-2）U[9,+8）.

18.（24-25高一上•四川达州,阶段练习）已知集合2={x|x2—x-12<0},B={x\2m—1<x<m+1].

（1）若xe4是xeB的必要不充分条件，求实数的取值范围；

（2）若4。8力0,求实数小的取值范围.

【解题思路】（1）由若工€4是的必要不充分条件得到5A,再分B是否为空集时讨论即可；

（2）分8是否为空集时讨论得到AnB=0的范围，最后取其补集即可；

【解答过程】（1）4={x|—3WxW4},

•.•若x€4是x€B的必要不充分条件，则8A,

①当8=0时，有m+lW2?n-l,解得m22.

—342171—1

②当BH0时，有m+1<4且等号不同时成立，解得一14mV2.

2m—1<m4-1

综上得m>-1.

（2）当4nB=0时

①当3=0时，有6+142血-1,解得m22.

②当BH0时，有2m—1Vnt+1,解得mV2.

有zn+1<—3或2m—1>4,解得m<—4或TH>|,即得m<—4,

所以当4nB=0时，m工―4或zn22,

则时，-4VmV2.

19.(24-25高一上•广东珠海•阶段练习)已知p：%>3或x〈一；，q：x>a,r：-y/m<x<y/m(jn>0).

(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

(2)若-ip是r的必要条件，求m的最大值.

【解题思路】(1)根据充分条件与必要条件的定义列不等式，即可得参数范围；

(2)写出」p,再结合必要条件的定义列不等式，即可得参数最值.

【解答过程】(1)设命题p与q表示的集合分别为4和3,

即/={x\x<—[或久>3],B={x\x>a},

又p是q的必要不充分条件，

则收

所以3,

即a6[3,+oo)；

(2)设命题r表示的集合为C,

则C={x\-y/m<x<-Jm},

又命题-ip表示的集合为CRZ=^x|-|<x<3j,

-«p是r的必要条件，

所以CGCRZ,

则「标Mm<1

(而W34

又TH>0,

所以0VTH工；，

即小的最大值为"

4

20.(24-25高一上•河南郑州•阶段练习)已知集合4={%|/-5%-640},集合B={%|?n+1<%<2m—

l,mER}.

(1)若/GB=0,求实数血的取值范围；

(2)设命题p：xEA；命题q：xEB,是否存在实数使得命题q是命题p的必要不充分条件？若存在，求出

实数血的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)分8=0、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；

(2)命题q是命题p的必要不充分条件可得集合4是集合B的真子集，再列出相应不等式组，即可求解.

【解答过程】(1)由题意可得4={%1-1WxW6},由ZCB=0,

当B=0时，则m+1-解得?n<2；

当B片。时，贝『鲁+.黑T或解得a>5；

综上所述：实数小的取值范围为(-8,2)U(5,+8)

(2)不存在，理由如下：

假设存在小使得命题q是命题p的必要不充分条件，

则命题q是命题p的必要不充分条件，可得集合4是集合B的真子集，

m+1<2m—1

则2m-1>6,此不等式组无解,

m+1<—1

所以假设不成立，即不存在加.

故不存在小使得命题q是命题p的必要不充分条件.

题型6N全称量词与存在量词中的含参问题

21.(24-25高一上•湖北黄冈・期中)已知命题p:关于光的方程+2久一1=0有实数根.命题q:Vx£[1,4],

不等式一%2+4%—3>m2-47n恒成立.

(1)若命题p为真命题，求实数机的取值范围;

(2)若命题p与命题q一真一假，求实数小的取值范围.

【解题思路】(1)p为真命题，则方程+2%-1=0有实数根，分巾=0与m彳0两种情况讨论即可.

(2)由一元二次不等式恒成立求得当命题q为真命题时小的范围，利用交集运算求解即可.

【解答过程】(1)若命题p为真命题，则关于久的方程m/+2x-1=0有实数根,

当m=0时，2%-1=0有实数根,

当mW0时，则4=4+4m>0,解得m>—1且mW0,

综上，实数血的取值范围为[-1,+8).

(2)命题q为真命题，则4],不等式一支2+4%-32血2一4m恒成立,

当％c[l,4]时，―/+4%—3=—(%—2尸+1E[―3,1],

则*_4m<—3,解得1Wm43.

m>—1

当p真q假时，有{或/1，则一lWmVl或血>3；

当p假q真时，有则解集为：。

综上，-1WmV1或m>3,

故实数加的取值范围为[一1,1)U(3,+8).

22.(24-25高一上•河北石家庄•阶段练习)已知命题p:V%6[1,+8)，。-2/4。.命题qT%E{%|1£%工

3},%+a>0.

(1)写出两个命题p,q的否定；

(2)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)结合含有量词的命题的否定即可求解；

(2)结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解.

【解答过程】(1)因为p:V%€[1,+8),。一2/40,

所以非p：3%G[1,+co),a—2/>0,

因为q:6(x\l<%<3},%+a>0,

所以一iq:VxG{x|l<x<3},x+a<0；

(2)因为p:V]€[1,+8),a-工o,所以a£2%2,

又无Nl,故2/22,故a£2,

命题q:3%6{%|1<x<3},%+a>0.

即6{x|<%<3},a>—x,又一3<—x<-1,故a>—3.

综上，当两个命题都是真命题时,a的取值范围为{a|-3<a<2}.

23.(24-25高一上•天津•阶段练习)设命题p:VxGR,不等式+mx+；>0恒成立：命题q：me>

1).

(1)若p为真命题，求实数血的取值范围；

(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数6的取值范围.

【解题思路】(1)对血进行分类讨论，由此列不等式来求得m的取值范围.

(2)根据p真q假或p假q真，列不等式来求得血的取值范围.

【解答过程】(1)对于命题p:VxGR,不等式血/+mx+1>0恒成立，

当m=0时，|>0恒成立.

当mH0时，贝懦，’八，解得0VmV2.

=mz-2m<0

综上所述，TH的取值范围是04znV2.

(2)由四>1得四一1=m+1-3+m=-20,

3—m3—m3—m3—m

所以俨m：2)(3-少2。，解得1口<3.

若p真q假，则"0<m<2"且“?n<1或m>3",则0<m<1.

若p假q真，则"TH<0或>2"且“1<m<3"，则2<m<3.

综上所述，血的取值范围是0<mVl或2Wm<3.

24.(24-25高一上・湖南衡阳•阶段练习)已知集合/={%|1<%<7},B={%|-3m+1<%<m-1},且

BH0.

(1)若命题p:V%C4,%E8是真命题，求实数血的取值范围；

(2)若命题%£4是假命题，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)由命题p为真命题可得4GB,且BH0,再根据子集列不等式求解范围即可；

(2)由%WZ是假命题，则久E4是真命题，即再列不等式求解即可.

【解答过程】(1)由命题p为真命题可得4旦8,且BW0

—3m+1<m—1

则-3m+1<1,解得m>8.

m-1>7

即实数血的取值范围为［8,+8).

(2)vq-.\/xEB,%£4是假命题

q:3%GB,久€/是真命题，即

—3m+1<m—1

••・-3m4-1<7,解得m>2,

、m-1>1

即实数血的取值范围为［2,+oo).

利用作差法、作商法比较大小

25.(24-25高一上•广东广州•阶段练习)(1)已知xeR,比较3好一%+1与2/+乂一1的大小；

(2)已知xeR,比较3久3与3/-x+1的大小；

【解题思路】(1)利用作差法可比较两数的大小.

(2)利用作差法可得出3/一(3/一x+1)=(3尤2+1)。,1),进而分类讨论可得出结果.

【解答过程】(1)根据作差法有：3支2一万+1一(2/+刀—1)=/一2久+2=0-1)2+1>0,

所以3/—%+1>2%2+x—1；

(2)根据作差法有：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(%-1)=(3x2+1)(久-1)且3x2+1>0,

当%>1时，%—1>0,则3%3>3%2—%+1；

当％=1时，x—1=0,贝！J3x3=3x2—x+1；

当％V1时，%—1<0,则3x3<3x2—x+1；

综上所述，当》>1时，3炉>3久2一%+1；

当久=1时，3久3