2025年外研版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、最大值是周期是6π，初相是的三角函数的表达式是（）

A.

B.

C.

D.

2、函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞；6]上递减，则a的取值范围是（）

A.[-5；+∞）

B.（-∞；-5]

C.（-∞；7]

D.[5；+∞）

3、已知O是△ABC的外心，且P是线段AB上任一点（不含端点），实数λ，μ满足则的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4、已知向量等于（）A、-34B、34C、55D、-555、已知集合A={1，3，m2}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A.3B.0或3C.1或0D.1或3评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、【题文】若偶函数满足且当时，则函数的零点个数为____个．7、某年级先后举办了数学、音乐讲座，其中听数学讲座43人，听音乐讲座34人，还有15人同时听了数学和音乐，则听讲座的人数为______人．8、若点P（-3，y）是角α终边上一点，且则y的值是______．9、若那么=______．10、已知圆锥的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆锥的体积为______．11、已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为______．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)12、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．13、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、作图题(共2题，共12分)17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

由题意可知所求函数的解析式为y=Asin（ωx+φ）的形式；

因为三角函数最大值是故振幅A=

又周期6π=解得ω=

初相是可得φ=

故所求三角函数的表达式为：y=sin（x+）

故选A

【解析】【答案】由题意可知所求函数的解析式为y=Asin（ωx+φ）的形式；由振幅，周期，初项的意义可得A，ω，φ的值，进而可得解析式．

2、B【分析】

由题意可得：函数f（x）=x2+2（a-1）x+2；

所以函数的对称轴为x=1-a；

所以二次函数的单调减区间为（-∞；1-a]；

又因为函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞；6]上递减；

所以6≤1-a；即a≤-5．

故选B．

【解析】【答案】根据题意求出二次函数的对称轴；即可得到函数的单调减区间，再结合题意进而得到答案．

3、C【分析】

∵O是△ABC的外心，且

∴以OA；OB为邻边的平行四边形OACB是菱形；且对角线OC等于边长。

因此；在菱形OACB中，△ACO与△BCO都是等边三角形。

∵∴||=||=||=||=||=2

以O为原点；CO所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示。

可得A（-1，），B（-1，-）；C（-2，0）

∴=（1，），可得=（1，）=（）；

同理得=（1，-）=（-）

因点P在直线AB：x=-1上，设P（-1，y），（-），可得=（1；y）

∵=（）+（-）=（（λ-μ））

∴=1；可得λ+μ=2（λ＞0且μ＞0）

因此=（）=1+（）≥1+×2=2

当且仅当λ=μ=1时，的最小值是2

故选：C

【解析】【答案】根据向量的加法法则和三角形外心的性质，证出四边形OACB是由两个正三角形拼成的菱形，由算出||=2且菱形的各边长都等于2．以O为原点，CO所在直线为x轴建立直角坐标系，可得A、B、C各点的坐标，设P（-1，y）可得=（1，y），结合题中向量等式证出正数λ，μ满足=1，由此结合基本不等式求最值，即可算出的最小值．

4、C【分析】【解析】【答案】C5、B【分析】【解答】解：∵B∪A=A；∴B⊂A；

∵集合A={1，3，m2}；B={1，m}；

∴m=3，或m2=m

∴m=3或m=0；

故选：B

【分析】根据两个集合之间的关系，得到B⊂A，当一个集合是另一个集合的子集时，根据两个集合的元素之间的关系得到关系式，解方程即可．二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】107、略

【分析】解：根据题意；设听数学的学生为集合A，听音乐的学生为集合B；

则card（A）=43，card（B）=34，且card（A∩B）=15；

则card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）=43+34-15=62；

即听讲座的人数为62；

故答案为：62．

根据题意，设听数学的学生为集合A，听音乐的学生为集合B，由题意可得card（A）=43，card（B）=34，且card（A∩B）=15；由集合的交、并集的元素数目关系可得card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）；计算可得答案．

本题考查集合的交集运算，关键是转化思路，把原问题转化为集合的交集、并集问题．【解析】628、略

【分析】解：∵|OP|=

∴sinα==-．

∴y=-．

故答案为：-．

求出|OP|；利用任意角的三角函数的定义，通过sinα求出y的值．

本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，待定系数法的应用．【解析】-9、略

【分析】解：若∴∈（），cosθ=-=-

那么=-=-

故答案为：-．

利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，再利用半角公式求得=-的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．【解析】-10、略

【分析】解：底面半径为r=1；母线长为l=2；

所以圆锥的高为h=

所以圆锥的体积为。

V=πr2h==．

故答案为．

根据勾股定理求出圆锥的高；再利用公式计算圆锥的体积．

本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题目．【解析】11、略

【分析】解：由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB；故顶点A的轨迹是以A；B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．

∴2a=14，c=6，∴b=故顶点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．

故答案为=1（x≠±7）．

由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b的值；即得顶点C的轨迹方程．

本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用．解题的易错点：最后不检验满足方程的点是否都在曲线上．【解析】=1（x≠±7）三、证明题(共5题，共10分)12、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．13、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AF