广东省茂名市2024-2025学年高二年级上册12月月考数学检测试题（含解析）

广东省茂名市2024-2025学年高二上学期12月月考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

22

1.已知双曲线C:=十=l（a>0,b>0）的离心率为回则c的渐近线方程为（）

A.y-xB.y=±x

225*

J?

C.y=+—xD.y=+2x

2

2.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线

上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△N8C的顶点坐标为40,0）,8（0,4）,C（4,4）,则

△48C欧拉线的方程为（）

A.x+y-4=0B.x-y+4=0

C.x+y+4=0D.x-y-4=0

3.已知抛物线无2=/的准线为/,则/与直线8x-4y+3=0的交点坐标为（）

4.如图，在平行六面体48CD-中，底面4BC7）和侧面都是正方形,

A.4-273B.2C.4D.6

5.在三棱锥尸-48。中，PA=PB=BC=6,AC=6y[i,AB±BC,平面尸/5_L平面

ABC,若球。是三棱锥尸-NBC的外接球，则球。的表面积为（）

A.96兀B.84兀C.72兀D.48兀

6.已知点。（3,0）和圆河：龙2+必一4无_4y+4=0,圆M上两点/,2满足

\AO\=2\AD\\BO\=?.\BD\,。是坐标原点.动点尸在圆”上运动，则点P到直线4B

的最大距离为（）

A.V2B.2亚C.2+V2D.4+近

22

7.已知。是椭圆可：］+方=1（0<6<3）上的动点，若动点。到定点尸（2,0）的距离闻

的最小值为1，则椭圆〃■的离心率的取值范围是（）

「2八C「0八CH

A.—,ljB.0,—C.—JD.0,—

8.已知矩形48C。，AB=3,40=6，M为边DC上一点且功0=1,AM与BD

交于点。，将沿着折起，使得点。折到点尸的位置，则sinNPB。的最大

值是（）

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知圆C:x2+/=4,P是直线/:x+y-6=0上一动点，过点尸作直线尸/,尸2分别

与圆。相切于点A,B,贝1J（）

A.圆C上恰有1个点到直线/的距离为372-2

B.|P/|的最小值是V14

C.存在最大值

D.|48|的最小值是苦

10.已知椭圆。：江+片=1的左，右焦点分别为耳占抛物线「以巴为焦点，过鸟的

43一一一

直线/交抛物线「于/（再,乂）潭仁,力）两点，下列说法正确的是（）

A.若再+.=8,则［48|=10

B.当瓯=4项时，直线/的倾斜角为45°

C.若M（4,2）,尸为抛物线「上一点，则1PMl+|咋|的最小值为旧

D.4M闾+忸闵的最小值为9

11.如图，三棱台4BC-4耳£中，M是ZC上一点，NW=gMC,Cq_L平面4BC,

NZ5c=90。，AB=BC=CC[=2,AR=1,贝(J()

A.48]〃平面8MG

B.平面3MG1■平面BCG^I

7

c.三棱台NBC-NSG的体积为1

D.若点尸在侧面43与4上运动（含边界），且C尸与平面4844所成角的正切

值为4,则AP长度的最小值为好

5

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知直线/1：。、一歹一2024=0,/2：（3。一2卜+砂+2025。=0,若乙上乙，则实数〃的值

为________

13.已知瓦丹,8分别是椭圆C：W+^=l（a>b>0）的左、右焦点和上顶点，连接期

ab

并延长交椭圆C于点P,若△尸鸟8为等腰三角形，则椭圆C的离心率为.

14.已知实数X、y满足x|x|+HH=l，则|x+>-4]的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

15.如图，在四面体N2C。中，平面/2C，平面/CD,ABLBC,AC=AD=2,

BC=CD=l.

（1）求四面体4BCD的体积；

（2）求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.

16.已知点尸、。的坐标分别为(-2,0)、(2,0)直线尸“、。“相交于点且它们的

斜率之积是一：

4

⑴求点W的轨迹方程；

(2)若直线48与点M的轨迹交于48两点，且。4_LO5,其中点。是坐标原点.试判断

点O到直线的距离是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

17.如图，在斜三棱柱/8C-4耳G中，V/5C是边长为2的等边三角形，侧面

A

(1)求证：BXCX1BXA-

⑵若P为侧棱8片上(包含端点)一动点，求直线尸G与平面NCG4所成角的正弦值

的取值范围.

18.已知双曲线C的渐近线方程为6x±y=0，过右焦点尸(2,0)且斜率为左的直线/与

C相交于A、3两点.点8关于x轴的对称点为点£.

(1)求双曲线C的方程：

(2)求证：直线NE恒过定点，并求出定点的坐标；

(3)当上22时，求△/£尸面积的最大值.

19.如图所示，在平面直角坐标系xQy中，点尸(x,y)绕坐标原点。逆时针旋转角(9至

点尸‘(X'/').

fx'=xcos。一ysin0,

⑴试证明点的旋转坐标公式：nf

(2)设公(0,2%)，点片(0,-1)绕坐标原点O逆时针旋转角6至点耳，点々再绕坐标原

点。旋转角6至点A，且直线的斜率左=-1,求角6的值；

(3)试证明方程，+后y=6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标.

答案

1.【正确答案】D

【详解】由题意可得e=可得2=2,

a\a2Q

因此，双曲线C的渐近线方程为了=±?x=±2x.

a

故选：D.

2.【正确答案】A

【详解】由4(0,0),2(0,4),。(4,4),得4BLBC,则Rt44BC的垂心为8(0,4),外心为

(2,2),

所以V/5C欧拉线的方程为>=泞丁+4,即x+y-4=0.

2—0

故选：A

3.【正确答案】D

【详解】对于抛物线尤2=与，2P=3,可得p=J,所以，其准线方程为>=-1,

2248

7

1x=-

y——16

联立8,解得V

]_

8x-4y+3=0y=-

8

因此，/与直线8x-4)，+3=0的交点坐标为卜乙£

I168

故选：D.

4.【正确答案】B

【详解】在平行六面体4BCD-”6口中,AB1AD,AAX1AD,AB=AD=AA[=29

由点尸是G。与C2的交点，^AP=AD+~DP=AD+^(DC+DDi)=^AB+^AAl+AD,

...»，”,,■»--••I•••••

而ABX=AB+AA{,因止匕AP-ABX=-(AB+AAX+2AD)-(AB+AAX)

22

=3(AB+AAX+2^5-y44)=-(2+2+2x2x2xcosy)=2.

故选：B

5.【正确答案】B

【详解】在V/3C中，BC=6,AC=65ABLBC,贝U=上4=尸3=6,/C中点Q为

VABC的外心，

于是OQ_L平面48C,取中点D,连接尸。，则PD_LA8,而平面平面

ABC,

平面尸/3c平面/2C=48,PDu平面P/B,则尸。_L平面4BC,OOJ/PD,

令正AP48的外心为Q,则。，为PD的3等分点，0.D=-PD=-x-AB=73,

332

又。4,平面P/8，则。。2，尸。，而即，。。1,则四边形。。。。2是矩形，

OO}=0山=也,因此球。的半径R=OA=J(两2+(3后了=后,

所以球。的表面积为S=4TTR2=84兀.

故选：B

【详解】设满足I。。1=2100的动点。(羽歹)，则2"3)7=&+/,

整理得X2+J?-8X+12=0,则点。的轨迹是以(4,0)为圆心，2为半径的圆，

依题意，点45在圆/-8x+12=0上，圆M:(x-2)2+(y-2>=4的圆心V(2,2),半

径为2,

因为J(4_2y+(0_2)2=Se(0,4),所以两圆相交，

贝！I直线方程为x-J-2=0,

点M(2,2)到直线的距离4=良=血,所以点尸到直线的最大距离为2+啦.

7.【正确答案】D

【详解】由题意可设：0（3cos6,bsin。），

贝11尸=（3cos6-2『+b2sin20=（3cos^-2）2+/?2（1-cos20）

=（9-Z>2）COS2^-12COS6+4+优

令1=cos同-1,1］,则|尸=（9一⑵+4+〃,

注意到0<6<3,则9-到>0,

可知/0=（9-6”2-1%+4+/的图象开口向上，对称轴为"号>0,

当号<1，即0<"<3时，可知/⑺在［T1］内的最小值为了（二），

则4六/（9-"曰4s=1，

整理得/-6/+9=0,解得〃=3,不合题意；

当事21,即3Vb2<9时，可知〃/）在［T1］内的最小值为/⑴=1，符合题意;

综上所述.34。2<9

故选：D.

8.【正确答案】A

【详解】在矩形/BCD,AB=3,AD=C,DM=1,

由tanZBDC=乎可得NBDC=30°,由tanZAMD=G可得ZAMD=60°,

则ZDQM=90°,即5。_L,

可知折起后，必有尸。，/可,2。，/“，尸0n80=。，PQ,8Qu平面尸20,

故4W_L平面网。，

因为是确定的直线，故对任意点尸，尸,瓦。都在同一个确定的平面内,

因为尸=可知点尸在以点。为圆心，半径为母的圆上(如图)，

由图知，当且仅当与该圆相切时，NP8。取到最大值，贝！IsinNPB。也取到最大

值，

此时NBPQ=90°,BQ=当,则sinZPBQ的最大值为盘=1.

2

故选：A.

9.【正确答案】ABD

【详解】圆C:x2+/=4的圆心CQO),半径厂=2,

对于A,点C到直线/的距离4=£=3后，点尸到直线/的距离的最小值为

d-r=30-2,

因此圆C上恰有1个点到直线/的距离为30-2，A正确；

对于B,|PA|=^\PC[-\AC[^\PCf-r2>Vt/2-r2当且仅当尸C_L/时取等

号，B正确；

对于CD,由尸C垂直平分N8得，SPACB=^\PC^AB|=2SP,c=|PA\\AC\,

则格=4『^24口^：=孚，当且仅当尸C,/时取等号，D正

确，C错误.

10.【正确答案】AD

【详解】A选项，由题意得乙(1,0),故抛物线方程为/=4x,

由抛物线定义得M3卜西+马+2=8+2=10,A正确；

B选项，由于直线/的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去,

设直线/8：尤=叼+1,联立/=4x,得/-4»ty-4=0,

设2（国,%,则%=-4%

由韦达定理得乂+%=4优,%为=-4,

33

2

故一3弘=4m,-4yI=-4,解得%=±l,m=--yl=±-,

4

故直线/的斜率为±§,倾斜角不为45°,B错误；

C选项，由题意得，准线方程为尸-1,过点P作尸G垂直x=-l于点G,

由抛物线定义得1PM=|尸勺,

故1PM+|尸马=|尸G|+|尸段，

要想求得|尸"|+|尸闾的最小值，则过点/作儿坦垂直直线尸-1于点。，

故I尸M+忸闾的最小值为M0|,最小值为4+1=5,C错误；

4Mgi+忸四|=4X]+4+x?+1=4再++5,

因为当,工2>0,由基本不等式得+|皮母=4X]+x?+522=9,

当且仅当4%=z时，等号成立，

所以4M周+忸段的最小值为9,D正确.

故选AD.

11.【正确答案】ACD

RrADi

【详解】对于A,令BGn4C=。，连接MO,由4G//BC,段=*=；,得

BCAB2

BQBg_1

由=—=-=^-,则

2MC2OC

而MOu平面BGM,/月①平面8GM,则4片//平面8。阳，A正确;

B

对于B,由CC]_L平面48C,/Bu平面48C,得Cq_LN8,而/8_L3C,

CGnBC=C,CG，3Cu平面8CG耳，则43,平面BCC4，在3c上取点N,

使得BN=LNC,则且丝=空，MNIIAB,因此平面BCG^i，

2MCNC

即点M在平面8CG片上的投影为线段8C上靠近点B较近的3等分点N,又点N不

在直线BQ,

则过点M与平面8CC声垂直的直线不在平面BMC,内，因此平面BMQ与平面BCQ片

不垂直，B错误；

对于C,依题意,"6=90。，S.4「=；*1*1=；,凡,=；义2*2=2,

三棱台4BC-4耳G的体积厂=；(g+j|Z7+2)x2=(,C正确；

对于D,由选项B知，AB,平面8CC0,而/Bu平面与4,则平面平面

BCCXBX,

过。作于H,平面4班14n平面则ca，平面48与4,

CC2

在直角梯形BCG片中，sin/CBB、=-^=F，在直角V也中,

DDX73

4

CH=CBsin/CBB、=

=由CP与平面48与4所成角的正切值为4,得tanNCPH4,

gCH_出

tanZCPH5

因此尸点轨迹是以H为圆心，个为半径的圆在侧面/8巴4内圆弧,

AP的最小值为

BH--=—,D正确.

故选：ACD

12.【正确答案】0或1

【详解】直线4：ax-y-2024=0,/2:(3a-2)x+ay+2025a=0,

由4_L4，得a(3a—2)—q=0,解得a=0或q=],

所以实数a的值为0或1.

故0或1

13.【正确答案】亚《百

33

【详解】由△尸工3为等腰三角形，|8月|=|8"|=。，则有IP3HPGI，而

\PF}\+\PF2\=2a,

|PB|=|PFX|+1BFX|,若|尸耳|=加，则|尸51=a+加，|PF2\=2a-m,

由a+加=2z—加，得冽=5,则I尸与1="!」尸81=当，

在丛BF\F?中,—愣吟

在APF\F]中,

21PMG修ac

cos/PG片+COSZB/8=0,即1=矿2}，整理得3c2=/,则《=9V3

aaca

故？

【详解】当尤20,了20时，曲线方程可化为/+r=］；

当xWO,>20时，曲线方程可化为V-x2=l；

当xWO,>40时，曲线方程可化为-=即曲线小|+切引=1不出现在第三象

限；

当尤20,>40时，曲线方程可化为/-/=1,

作出曲线x|x|+y»|=l的图形如下图所示:

设，=x+y-4,即％十>一，一4=0,

由图可知，当直线x+V-4=0与圆/+歹2=1相切，且切点在第一象限时,

贝U-7=—=1,且T—4<0,角犁得/=V2—4，

72

由因为双曲线％2一/=1、/_工2=1的渐近线方程均为工±片0,

当直线X+V--4=0与直线工+歹=0重合时，t=-4,

所以，-4<区立-4,故归+y-4|=小［4-在4).

故答案为.［4-后,4)

15.【正确答案】(1)

8

⑵亚1.

7

【详解】（1）在四面体48CD中，在平面/CD内过点。作。O_LNC于0,

由平面A8C_L平面/C。，平面NBCn平面/CO=ZC,得。0_L平面NBC,

在A/CD中，AC=AD=2,CD=1

于是。0=CDsin//CD=妪，在V/8C中，ABVBC,BC=1,则/2=五一F=6,

4

S^BC=-AB-BC=—,所以四面体/BCD的体积旷=工5"1。0=,*虫、U=』1

Me223皿3248

(2)由(1)知，D0_L平面/BC,A8u平面A8C,则。O_L/3,

过O作OE//BC交4B于E,连接OE,由_L8C,得OEL48,

(fijOE^DO=O,OE,DO^^DOE,则/2_L平面又DEu平面DOE,

因此N3_LDE,/DE。是平面4BC与平面所成的角，

由（1）知OC=；,AO=l,由黄=%，得。£=：，

所以平面ABC与平面ABD所成角的正切值tan/DE0=2?=小

OE7

丫2

16.【正确答案】（1）彳+「=i（xw±2）

（2）是定值，且定值为半

【详解】（1）设点”（尤/）,则xw±2,

由题意可得《5时=-1,二=-：，整理可得=+M=i.

x+2x-244

所以，点W的轨迹方程为］+/=I（XN±2）.

（2）由题意可知，直线。4、。5的斜率存在且都不为零,

设直线。1的方程为〉=h，则直线02的方程为〉=-!x,

k

4+4/

1+4人2

则原点O到直线的距离为

\0A\-\pB\_|。/卜网12囱

d=\AB\yj\OA^+\OBf

1+4产+?+45

05124k2+4

因此，点。到直线的距离为冬5.

5

17.【正确答案】（1）证明见解析

⑵

取8c的中点为O,BCC国为菱形，且NBBK=60。,

所以△用BC为等边三角形，BClBtO,

又VN8C为等边三角形，则

所以平面40区，

又8C〃gG，4G，平面AOBX,BXAu平面AOB,,

所以吕

（2）如图所示,

在中，AO=BtO=V3,ABX=3,由余弦定理可得

22

cos//。吕=(V3)+(V3)"-3=」，所以=生,

2xV3xV323

由（1）得3C_L平面，因为BCu平面48C,所以平面/。4_L平面48C,

所以在平面/。用内作。z_LCU,贝!!Oz_L平面4BC,

以。4。。,。2所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示:

则瓦——,0,—,S(0,—1,0),^4^>/3,0,0j,C(0,1,0),Q——,2,—,AX—-,1,—

\7I/I/

设五=Q,y,z）是平面NCG4的一个法向量，AC=（-A/3,1,0）,

—\/3x+y=0

3)n-AC=0

,2,-,则即3g3

万ZC]=0-------x+2yd——z=0

[22

取z=l得力二卜百,一3,1）,

设丽=4函（0。（1）,

3'rvs,$

C】P=C1B+BP=C、B+九BB]=+2

I2_?A,2J

(Aa、

k227

设直线尸G与平面ZCG4所成角为。，

ITmG尸63

则sin8=COSG尸，+—7=

同\n\-1QJPVi3xV/l2-32+3，

令=VHX〃2_3X+3（°W%VI），则/W在单调递增，

V393岳

所以“2"

~W，13

V393而]

故直线尸G与平面NCC/I所成角的正弦值的取值范围为

2

18.【正确答案】（1）/-匕=1

3

（2）证明见解析，定点坐标为、,0

⑶18

22

【详解】（I）根据题意，设双曲线C的标准方程为=1（°>0）>0）,

+/=4

br~[（2=1p2

由题意可得一=百，解得厂，故双曲线C的方程为--匕=1.

a[b=yJ33

a>0,b>0

（2）当4=0时，此时，点A、3为双曲线的顶点，不合乎题意;

当发片0时，设％=，，则直线/的方程为x=w+2,

设点4（%1，yi）、以应以），则点£（尤2，—%），

由对称性可知，直线NE过无轴上的定点T&0）,

x=my+2

联立可得（3/2—1）72+]2nly+9=0,

3x2-r=3

3m2-1^0,拒

由题意可得A=144m2-36（3m2-1）=36（m2+1）＞0，解得加片士彳，

12m9

由韦达定理可得%+为=-3m2-1'y，y2~3m2-1

则AE的斜率为kAE="+%,直线NE的方程为y-乂="+%（x-xj,

X{-X2玉一x2

将点7的坐标代入直线/£的方程可得一乂=="-』）,

+xy即1+2从+(佻+211

可得//「Gf)2t

yi+y2%+%M+%

18m

2孙力,531；T+2=1

12m2

~3m2-l

此时，直线/£过定点

综上所述，直线/£过定点T，,0

（3）因为0,则加丁1（。/1且小=藐9=<0,

9

n~~I-

--5m

m

因为函数〃加）=，-3加在上单调递减,

m\2_

1/_1Q

故当加=:时，邑西取最大值，且最大值为,3~15.

22-3

TT77r11re

19.【正确答案】（1）证明见解析；（2）。=£、2、一；（3）证明见解析;

266

焦点坐标为6（-273,-2）与F2（2V3,2）.

【详解】（1）设将x轴正半轴绕坐标原点。旋转角C至点。尸，OP=r,

_x=rcosa,x'=rcos(9+a),

则，由任意角的三角比定义，有.和

[y=尸sina