【青松雪】中考数学几何模型【模型08】费马点最值模型

初中数学（北师大版）中考数学几何模型【模型08】费马点最值模型主讲人：王建林【模型介绍】问题：平面内如何找一点

P，使得它到△ABC三个顶点的距离之和最小?费马点是这样确定的：(1)如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；(2)如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点．费马点的性质：(1)费马点到三角形三个顶点距离之和最小．(2)费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°．数学家费马最早解决了这个问题，故而把这类问题称为“费马点”问题．定义：数学上称，到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点．【结论证明】已知△ABC，平面内找一点

P

使

PA+PB+PC

最小?并指出点

P

的位置．快速方法：以△ABC任意一边为边，向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为所求的最小值．解决费马点问题的核心方法是旋转法【模型介绍】加权费马点最值问题在前面的问题中，如果我们在其前面加一下系数，又如何解决呢？(1)已知△ABC，平面内找一点

P，使

最小?【思路】由系数1:1:，可以联想到等腰直角三角形，所以想办法如何

构造出

PC

边的根号2倍来，而其他两边保持不变．【模型介绍】加权费马点最值问题在前面的问题中，如果我们在其前面加一下系数，又如何解决呢？(2)已知△ABC，平面内找一点

P，使

最小?【思路】由系数1:1:，可以联想120°

的等腰三角形，可以构造出

PC

边的根号3倍．但是此时∠ACB在出题时就必须限制小于60°．【模型介绍】加权费马点最值问题在前面的问题中，如果我们在其前面加一下系数，又如何解决呢？(3)已知△ABC，平面内找一点

P，使3PA+4PB+5PC最小?【思路】把系数处理成：

，再利用旋转放

缩构造出

PB

的五分之四和

PA

的五分之三即可，需要用到旋转双相似的

原理．出题时数据要造好，不能太难算，初中阶段不要人为加大难度．【典型例题】【例1】(1)如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC

内一点，则

PA+PB+PC

的最小值为

．(2)若

P

为锐角△ABC

的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB=

．(3)如图，P

是边长为1的等边△ABC

内的任意一点，求

t=PA+PB+PC

的取值范围.【例2】已知，在△ABC中，∠ACB＝30°．(1)如图1，当

AB＝AC＝2时，求

BC的值；(2)如图2，当

AB＝AC，点

P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝

，PC＝3，

求∠APC的度数；(3)如图3，当

AC＝4，AB＝(CB＞CA)，点

P是△ABC内一动点，

求

PA+PB+PC的最小值．【典型例题】【典型例题】【例3】如图1，在△ABC

中，∠ACB＝90°，点

P

为△ABC

内一点．(1)连接

PB、PC，将△BCP

沿射线

CA

方向平移，得到△DAE，点

B、C、P

的对

应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果

BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求

CE

的长．(2)如图3，以点A

为旋转中心，将△ABP

顺时针旋转60°得到△AMN，连接

PA、

PB、PC，当

AC＝3，AB＝6时，根据此图求

PA+PB+PC

的最小值．【典型例题】【例4】(1)如图，四边形

ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角

线

BD(不含

B点)上任意一点，将△ABG绕点

B逆时针旋转60°得到△EBF，当

AG+BG+CG取最小值时，则

EF的长为________．(2)如图，四边形

ABCD

是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连

接

AM，BM，CM，则

AM+BM+CM

的最小值为________．(3)如图，正方形

ABCD内一动点

E到

A、B、C三点距离之和的最小值为

，

则正方形的边长为________．(4)如图，P为正方形

ABCD对角线

BD上一动点，若AB=2，则

AP+BP+CP的最小

值为________．【典型例题】【例5】如图，四边形ABCD

是正方形，△ABE

是等边三角形，M为对角线BD上任

意一点

(不含

B点)，将

BM

绕点B

逆时针旋转60°得到

BN，连接EN、AM、CM.(1)求证：△AMB≌△ENB；(2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；(3)当AM+BM+CM

的最小值为时，求正方形的边长.【典型例题】【例6】(1)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点

M

为矩形内一点，点

E

为BC

边上任意一点，则

MA+MD+ME

的最小值为______．(2)如图，四个村庄坐落在矩形

ABCD

的四个顶点上，AB=10公里，BC=15公里，现