高考数学专项复习：立体几何之外接球问题中常见的8种模型（学生版）

立体几何专题:外接球问题中常见的8种模型

一、墙角模型

适用范围：3组或3条棱两两垂直;可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

直接用公式（2田2=.2+/+°2,即2R=衣的/，求出R

MlM2MJM4

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖腌

二、麻花模型

适用范围:对棱相等相等的三棱锥

对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等,且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。

推导过程:三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

第一步：画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;

第二步:设出长方体的长宽高分别为Q,b,C,

AD=BC=x,AB=CD=y,74c=BZ)=z,列方程组,

(Z2+&2=X22.2.2

222222

b+c=/n(27?)=O+6+C=+Z

c2+a2=z22

补充：V_=abc-占abcX4=~^~abc

ABCD63

x2+y2+z2

第三步:根据墙角模型，2R=Va2+b2+c2=

2

x2+y2+z2/+y+z2,求出R

&=,R=

8o

三、垂面模型

•1・

适用范围:有一条棱垂直于底面的棱锥。

推导过程，

第一步:将ABC画在小圆面上，人为小圆直径的一个端点，

作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心。

第二步：Oi为ABC的外心，所以00」平面4BC,

算出小圆Q的半径OQ=r

（三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理施=七=高念=2r）,

OOTPA.

第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:

22

⑴（2A）2=P4+（2402R=y/PA+（2r）；

（2）&=产+。。；=R=7r2+OOt

公式:

4

四、切瓜模型

适用范围:有两个平面互相垂直的棱锥

推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心。1、。2过两个外心做两个垂面的垂线，

两条垂线的交点即为球心0,取8。的中点为

连接OO1、。。2、。2夙。田为矩形

2222222

由勾股可得|OC|=|O2C|+|OO2|=|O2C\+1OjCl-1CE|.'.7?=ri+r-2-Y

公式:/=r?4*—£

4

五、斗笠模型

适用于:顶点的投影在底面的外心上的棱锥

•2•

推导过程:取底面的外心01，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高区在人上取一点作为

球心0,根据勾股定理&=仇-五＞+产=R=胃匕

公式：R=强

六、矩形模型

适用范围:两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径

推导过程：图中两个直角三角形bPAB和,其中AAPB=ZAQB=90°,求外接圆半径

取斜边的中点O,连接OP,OQ,则OP=^AB=OA=OB=OQ

所以。点即为球心，然后在AFOQ中解出半径R

公式:用=居）也为斜边长度）

七、折叠模型

适用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.

•3•

推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠,

设折叠的二面角ZAEC=a,CE=AE=h.

如图，作左图的二面角剖面图如右图：

Hi和可分别为/^CD,/\ABD外心,

分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O

CHi=r=.,EH=h-r,0Hl=(h-r)tan-^-

2sinZ±>GlJX2

由勾股定理可得：&=。。2=。朋+况=/+(/i-r)2tan2-^.

公式:圮=，+(h—r)%!!?

八、鳄鱼模型

适用范围：所有二面角构成的棱锥,普通三棱锥

方法:找两面外接圆圆心到交线的距离小,期找二面角a,找面面交线长度I

推导过程:取二面角两平面的外心分别为01,5并过两外心作这两个面的垂线，

两垂线相交于球心。，取二面角两平面的交线中点为E,

则0,01,区。2四点共圆，由正弦定理得：|OE|=2r=坦用①

sma

在AO1O2区中，由余弦定理得：|。1七『+|02回2_2QIE||O2®COSQ②

由勾股定理得：\OD\2=QQF+|OQ|2③

由①②③整理得:

2

\OD\=QQ『+QQF=。剧2To固2+QQ『

)\2TQEF+QQ|2

sina

IQEF+IQ固22QiE||5E|cosa一|OM+|OQF

sin2a

•4•

20E\2-2\O,E\OE

_|<9^1+12I2Icosa—I。画2+。归|2

一.2

smcn

记\OXE\=m,\O2E\=n,\AB\=I,

则N=2771rzeosa

sin2a

公式.用=m2+n2-2mncosflf

sin2a

2常考题型/

题型1墙角模型题型5斗笠模型

题型2麻花模型题型6矩形模型

题型3垂面模型题型7折叠模型

题型4切瓜模型题型8鳄鱼模型

题型一:墙角模型

的1（2023•高一单元测试）三棱锥A-BCD中，AD，平面BCD,DC_LBD,2AD=BD=DC=2,则该三

棱锥的外接球表面积为（）

A.-yB.-yC.9兀D.36元

跟踪训练［1.（2022秋•陕西西安・高一统考期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之

为鳖麻已知在鳖席A—BCD中，满足AB_L平面BCD,且AB=BD=5,BC=3,CD=4,则此鳖腌外

接球的表面积为（）

A.25元B.50兀C.1007TD.200兀

跟踪训练？.」（2023.高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多

年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P—ABCD是阳马，

上4，平面人36,已4=5,人8=3,6。=4.则该阳马的外接球的表面积为（）

•5・

p

/4>-\---

A.125gB.50兀C.lOOrcD.至警

oo

跟踪训练3.!（2023•广西南宁・统考二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖腌，在

鳖膈A-BCD中，AB，平面BCD,CD，AD,AB==方,已知动点E从。点出发,沿外表面经过

棱AD上一点到点B的最短距离为V10，则该棱锥的外接球的体积为.

跟踪训练4.“2023春•辽宁朝阳•高二北票市高级中学校考阶段练习）己知四棱锥P-ABCD的外接球。的

表面积为647r,PA±平面ABCD,且底面ABCD为矩形，P4=4,设点河在球。的表面上运动，则四棱

锥M-ABCD体积的最大值为.

题型二：麻花模型:

网］1（2023春・广东梅州•高二统考期中）己知三棱锥S—ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA=BC=

2,SB=AC=J7,SC=AB=〃K，则球。的体积是（）

A8_口32•小42D.也K

,33,33

----------------------------------------------------------------------------------------------------

跟踪训练1.1（2022春.江西景德镇.高一景德镇一中校考期中）在△ABC中，AB=4C=2,cos4=4■，将

△48。绕旋转至△BCD的位置，使得AD=2,如图所示，则三棱锥。—ABC外接球的体积为

B

,6,

跟踪训练2.」（2023秋・吉林・高一吉林一中校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2BC=2，m,AC=

2V13,D,E,F分别为三边中点，将△BOE,A4DF,Z\CEF分别沿向上折起，使A,B,。重合

为点P,则三棱锥P—DEF的外接球表面积为（）

A.[■兀B.7《I，兀C.14兀D.56兀

/O

跟踪训练3.（2023・江西・统考模拟预测）在三棱锥P—ABC中，已知P4=BC=2/*,AC=BP=@,

CP=AB=须，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（）

A.77兀B.64兀C.108兀D.727t

跟踪训练4.）（2022・全国•高三专题练习）已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2,BC=

AD=1,现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任

意转动,则圆锥侧面积的最小值为.

题型三：垂面模型

刷]（2023•高一单元测试）在三棱锥P-ABC中，P4，平面ABC,PA=6,BC=3,ACAB=y，则三棱

锥P—ABC的外接球半径为（）

A.3B.2V3C.3V2D.6

跟踪训练L」（2。23•全国•高一专题练习）已知A,B,C,。在球。的表面上，△ABC为等边三角形且边长

为3,平面AB。，AD=2,则球。的表面积为（）

A.4兀B.8nC.16兀D.32兀

跟踪训练2.（2020春・天津宁河•高一校考期末）在三棱锥P—ABC中，4P=2,AB=瓜,PA±面ABC,

且在△ABC中，。=60°,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.等B.8nC.10TTD.12兀

O

跟踪训练3.」（2023•全国•高一专题练习）已知力，B,C,。在球。的表面上，△力BC为等边三角形且其面积

为"ADL平面AB。，AD=2,则球。的表面积为（）

4

A.7iB.2兀C.4兀D.8兀

跟踪训练4.；（2022春.山东聊城.高一山东聊城一中校考阶段练习）在四棱锥P—4BC。中，PAL平面

•7・

ABCD,四边形ABCD为矩形，BC=2，PC与平面PAB所成的角为30°,则该四棱锥外接球的体积为

)

4V3

A.B.4岳

8V2D.哈

兀O

题型四：切瓜模型:

@]_£（2023・贵州贵阳・校联考模拟预测）在三棱锥4—38中，己知力。，3。,4。=日7=2,人。=80=

血,且平面平面ABC,则三棱锥A—BCD的外接球表面积为（）

A.8兀B.9兀C.107TD.127r

跟踪训练1.J（2023・四川达州・统考二模）三棱锥A-BCD的所有顶点都在球。的表面上,平面ABD±平

面BCD,4B=AD=述，AB_LAD,/BDC=2/DBC=60°,则球。的体积为（）

A.4V3TTB.等C.等D.32/兀

OO

跟踪训练2.J（2023春•陕西西安・高一长安一中校考期中）在直三棱柱ABC—AB©中，ABLBC,AB=

BC=A4=4,点P为BiG的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（）

A41V4141V41小41V41n川/TT

A..---兀BR.---兀C.---兀D.41/41兀

632

跟踪训练：3.（2022.高一单元测试）四棱锥P—ABCD的顶点都在球。的表面上，△H4。是等边三角形，底

面ABCD是矩形，平面PAD,平面ABCD,若AB=2,BC=3,则球。的表面积为（）

A.12兀B.16nC.20kD.32兀

跟踪训练]4/（2021.高一课时练习）在四棱锥P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD,且ABCD为矩形,

乙DP4=1,4D=2通,4B=2,PA=P。，则四棱锥P—ABCD的外接球的体积为（）

•8•

16口32c64n1汽

AA.—-7UB.-r-7TC.-T-7CD.16兀

ooo

跟晾训I练「5.：（2023春.全国•高一专题练习）在四棱锥P—ABCD中,ABCD是边长为2的正方形,AP=

PD=4"平面PAD，平面ABCD,则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为（）

A.4兀B.8兀C.噜^D.警

题型五：斗笠模型;

血11（2023•全国•高一专题练习）正四面体S-ABC内接于一个半径为R的球,则该正四面体的棱长与这个

球的半径的比值为（）

A.乎B.WC.D.V3

433

跟踪训练1J（2022.高一专题练习）已知正四棱锥P-ABCD（底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面

的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为沟,若该正四棱锥的体积为空,

O

则此球的体积为（）

A.18兀B.8V67TC.36兀D.32二兀

跟晾训练[2.]（2022•全国•高一专题练习）某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四

棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（）

A.16B.8C.32D.24

跟踪训练3.J（2022春・安徽•高三校联考阶段练习）在三棱锥P-ABC中，侧棱PA==PC=6方，

乙民4。=耳，3。=22,则此三棱锥外接球的表面积为

4----------

题型六:矩形模型1

四1（2022春•全国•高一期末）已知三棱锥A—BCD中，CD=272,BC=AC=BD=AD=2,则此几何体

外接球的表面积为（）

A.乂算B.27rC.警^D.87r

OO

跟踪训练1J（2022春・广东惠州•高一校考期中）在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,现将△ABC沿对角线

AC翻折，得到四面体则该四面体外接球的体积为（）

跟踪训练2.（2022春.河北沧州•高一校考阶段练习）矩形ABCD中，AB=4,=3,沿AC将三角形

ABC折起,得到的四面体A—BCD的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为（）

•9•

A.25nB.30nC.36nD.100兀

跟踪训I练（2022春.四川成都.高一统考期末）在矩形ABCD中，=6,人。=8,将△4BC沿对角线

AC折起，则三棱锥B—的外接球的表面积为（）

A.36兀B.64兀

C.1007UD.与二面角B—A。一。的大小有关

题型七：折叠模型（

四]（2022春•陕西西安・高一长安一中校考期末）已知菱形ABCD的边长为3,AABC=60°,沿对角线AC折

成一个四面体，使平面ACD垂直平面ABC,则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（）.

A.考无nB.6兀C.54K兀D.12兀

跟踪训练1J已知等边AABC的边长为2,将其沿边AB旋转到如图所示的位置,且二面角C—AB—C'为

60°,则三棱锥C'-4BC外接球的半径为

跟踪训练2.j（2023•广西南宁・统考二模）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外

包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的

表面上有四个点满足48=3。=。0=。人=。3=警^111,人。=2，^111,则该“鞠”的表面

积为cm2.

跟晾训I练3.（2022秋•福建泉州•高三校考开学考试）在三棱锥S-ABC中，SA=SB=AC=BC=2,SC

=L二面角S-AB-C的大小为60°,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.

跟踪训I练4.]（2022秋.山东德州.高二统考期中）已知在三棱锥中，S—4BO中，BA=BC=2,

SA=SC=2四,二面角B—AC—S的大小为萼，则三棱锥S—ABC的外接球的表面积为（）

O

.10.

C1057r124兀

9

题型八：鳄鱼模型看

网11（2022春•四川成都・高一树德中学校考期末）已知在三棱锥S-ABC中，ABLBC,AB=BC=2,SA

=SC=22,二面角B—AC—S的大小为野，则三棱锥S—ABC的外接球的表面积为（）