2025年湘教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学上册月考试卷536考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知四边形S1的两条对角线相等，但不垂直，顺次连接S1各边中点得四边形S2，顺次连接S2各边中点得四边形S3，以此类推，则S2006为（）A.是矩形但不是菱形B.是菱形但不是矩形C.既是菱形又是矩形D.既非矩形又非菱形2、【题文】函数的定义域是()A.B.C.D.3、【题文】已知函数且当时，是增函数；

设则的大小顺序是A.B.C.D.4、【题文】设为两个非空实数集合，定义集合若则中元素的个数为()A.9B.8C.7D.65、设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B为函数y=lg（x﹣1）的定义域，则A∪B=（）A.（1，2）B.[﹣1，+∞）C.（1，2]D.[1，2）6、若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A.64πB.16πC.12πD.4π7、若a是函数的零点，若000)的值满足()A.f(x0)=0B.f(x0)<0C.f(x0)>0D.f(x0)的符号不确定评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、函数的值域是__________.9、给出下列说法：

①存在实数x，使sinx+cosx=

②若α；β是锐角三角形的内角，则sinα＞cosβ；

③为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+的图象向右平移个长度单位；

④函数y=|sin2x|的最小正周期为π；

⑤在△ABC中；若cos2A=cos2B，则A=B．

其中正确说法的序号是____．10、不等式（x-3）（x+2）≥0的解集是____．11、在数列中，（），把数列的各项按如下方法进行分组：()、()、()、，记为第组的第个数（从前到后），若=则_________.12、【题文】若函数的定义域为则实数的值为★13、已知x∈{1，x2}，则实数x=______．14、lg25++lg2=______．15、设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是______．16、圆C1(x鈭�m)2+(y+2)2=9

与圆C2(x+1)2+(y鈭�m)2=4

内切，则m

的值为______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)17、已知函数f（x）=cos（2x+）+sin2x-cos2x+2sinx•cosx

（1）求函数f（x）的单调减区间；

（2）若x∈[0，]；求f（x）的最值；

（3）若f（α）=2α是第一象限角，求sin2α的值．

18、【题文】设集合．

（1）若求实数的取值范围；

（2）若且求实数的取值范围．19、【题文】已知圆方程为．

（1）求圆心轨迹的参数方程C；

（2）点是（1）中曲线C上的动点，求的取值范围．20、【题文】选修4-1:几何证明选讲。

如图；AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M；N.

(I)求证：QM=QN;

(II)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时；求MN的长.

21、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足．

（1）证明是等差数列，并求{an}的通项公式；

（2）求数列{an}的前n项和Sn．22、已知函数f(x)=log2x鈭�1x+1

．

(1)

求函数的定义域；

(2)

判断并证明函数的奇偶性．23、(

Ⅰ)

已知4sin娄脕鈭�2cos娄脕5cos伪+3sin伪=57

求sin娄脕?cos娄脕

的值；

(

Ⅱ)

求1鈭�2sin10鈭�cos10鈭�cos10鈭�鈭�1鈭�cos2170鈭�

的值．评卷人得分四、证明题(共4题，共28分)24、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．25、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．26、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．27、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分五、作图题(共3题，共18分)28、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．29、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

30、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分六、综合题(共4题，共40分)31、已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有实数根；求实数m的取值范围？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？32、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．33、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．34、已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2．

（1）判断抛物线的顶点与直线L：y=-x+2的位置关系；

（2）设该抛物线与x轴交于M；N两点；当OM•ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；

（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】【分析】顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得的四边形是菱形，顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得的四边形是矩形．【解析】【解答】解：∵四边形S1的两条对角线相等；但不垂直；

∴根据三角形的中位线定理，顺次连接S1各边中点所得的四边形的四边相等；则所得的四边形是菱形但不是矩形；

∵菱形S2的对角线互相垂直平分；

∴顺次连接S2各边中点得矩形S3；

又矩形S3的对角线相等；但不垂直；

∴顺次连接S3各边中点得菱形S4；

可以发现四边形Sn；当n为奇数（n＞1）时，为矩形；当n为偶数时，为菱形但不是矩形．

则S2006为菱形但不是矩形．

故选B．2、B【分析】【解析】由题意知解得<1.【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】解：由题意可知函数关于x=2对称，并且当时，是增函数；那么利用。

因此可知选B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}=[﹣1；2]，y=lg（x﹣1）的定义域为{x|x＞1}=（1，+∞），∴A∪B=[﹣1，+∞）故选B．

【分析】先化简集合A，B再根据并集的定义即可求出．6、A【分析】【解答】解：如图；三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上；

∵AB=1；AC=2，∠BAC=60°；

∴BC=

∴∠ABC=90°．

∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1；

∵SA⊥平面ABC，SA=2

∴球O的半径R=4；

∴球O的表面积S=4πR2=64π．

故选：A．

【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圆O′的半径，利用SA⊥平面ABC，SA=2此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．7、B【分析】【解答】a是函数所以所以函数的交点的横坐标为a，做出图像，观察图像可知当时

【分析】本题借助于函数图象将函数零点转化为函数图象交点，函数与方程的转化是常用的思路二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】【解析】试题分析：因为在（0，+）是减函数，所以=－2，故函数的值域是考点：本题主要考查二次函数的性质，对数函数的单调性。【解析】【答案】9、略

【分析】

①因为所以函数因为∈[-]；

所以存在实数x，使sinx+cosx=所以①正确．

②因为α，β是锐角三角形的内角，所以即所以因为y=sinx在（0，）单调递增，所以得sinα＞sin（）；即sinα＞cosβ，所以②正确．

③把函数y=sin（2x+的图象向右平移个长度单位，得到函数为所以③错误．

④因为y=sin2x的最小正周期为π，所以y=|sin2x|的最小正周期为所以④错误．

⑤在三角形中；由cos2A=cos2B，得2A=2B，所以A=B，所以⑤正确．

故答案为：①②⑤．

【解析】【答案】①利用三角函数的辅助角公式求出函数的最值．②利用锐角三角形的关系确定α；β的关系，然后利用三角函数的单调性判断．

③利用三角函数的图象平移进行推导．④利用三角函数的周期和绝对值函数的周期关系判断．⑤利用余弦函数的单调性判断．

10、略

【分析】

不等式（x-3）（x+2）≥0；

可化为或

解得：x≤-2或x≥3；

故答案为：{x|x≤-2或x≥3}．

【解析】【答案】根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，原不等式可化为或即可求出不等式的解集；

11、略

【分析】试题分析：∵∴数列是等比数列，又∵∴∴而根据条件中的分组可知，第组有项，∴前组总共有项，∴∴即又∵穷举即可得或∴考点：等比数列的性质综合.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：∵x∈{1，x2}；

∴若x=1，x2=1；则不满足集合元素的互异性，即x≠1；

若x=x2；解得x=0或1，由上面知x≠1，∴x=0；

综上得x=0．

故答案为：0．

由已知条件得：x=1，或x=x2；求出x并验证集合元素的互异性即可．

考查元素与集合的关系，集合元素的互异性．【解析】014、略

【分析】解：lg25++lg2

=lg（）+3

=lg+3

=

=．

故答案为：．

直接运算对数的运算性质和运算法则进行求解．

本题考查对数式的计算，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的运算法则和运算性质的合理运用．【解析】15、略

【分析】解：：①若a∥b，a⊥α，根据两平行线中一条垂直与平面，则另一条也垂直与平面，所以b⊥α；故正确；

②若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α；故不正确；

③若a⊥α；a⊥β，则α∥β，根据垂直与同一直线的两平面平行可知，正确；

④若a⊥β；α⊥β，则a∥α或a⊂α，故不正确；

故答案为：①③

根据线面垂直的判定定理；面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行判定；不正确的举反例即可．

本题考查平面与平面平行的判定，以及线面垂直的判定定理等有关知识，考查空间想象能力，是基础题．【解析】①③16、略

【分析】解：圆C1

的圆心为(m,鈭�2)

半径为r1=3

圆C2

的圆心为(鈭�1,m)

半径为r2=2

隆脿

两圆的圆心距d=(m+1)2+(m+2)2

隆脽

两圆内切，隆脿(m+1)2+(m+2)2=1

解得m=鈭�2

或m=鈭�1

．

故答案为：鈭�2

或鈭�1

．

计算两圆的圆心距；令圆心距等于两圆半径之差解出m

．

本题考查了圆的方程，圆与圆的位置关系，属于基础题．【解析】鈭�2

或鈭�1

三、解答题(共7题，共14分)17、略

【分析】

f（x）=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x（2分）

=sin2x-cos2x=sin（2x-）（3分）

（1）令+2kπ≤2x-≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ（5分）

∴f（x）的减区间是[+kπ，+kπ]（k∈Z）（6分）

（2）∵x∈[0，]，∴2x-∈[-]；（7分）

∴当2x-=-即x=0时，f（x）min=-（8分）

当2x-=即x=时，f（x）max=1（9分）

（3）f（α）=sin（2α-）=2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜+2kπ

∴2kπ-＜2α-＜+2kπ，∴cos（2α-）=（11分）

∴sin2α=sin[（2α-）+]=sin（2α-）•cos+cos（2α-）•sin（12分）

=×+×=（14分）

【解析】【答案】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式．

（1）通过正弦函数的单调减区间求函数f（x）的单调减区间；

（2）通过x∈[0，]；求出相位的范围，然后求f（x）的最值；

（3）利用f（α）=2α是第一象限角，求出cos（2α-）=利用sin2α=sin[（2α-）+]；求解它的值。

18、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）即集合C中不含任何元素，故（2）先求出根据子集的定义及可得从而求出的取值范围。

试题解析：（1）∵∴∴即实数的取值范围是．5分。

（2）∵且6分。

∴9分。

解得：11分。

即实数的取值范围是．12分。

考点：（1）空集、子集的定义；（2）集合的运算。【解析】【答案】（1）（2）19、略

【分析】【解析】

试题分析：将圆的方程整理得：(x-4cos)2+(y-3sin)2=1设圆心坐标为P(x,y)

则5分。

(2)2x+y=8cos+3sin=

∴-≤2x+y≤-10分。

考点：本题主要考查圆的方程；参数方程的应用。

点评：容易题，将圆的一般方程化为标准方程，即得圆心坐标，从而得到圆心的轨迹方程。（2）体现参数方程在求线性函数值域中的应用。【解析】【答案】（1）（2）-≤2x+y≤20、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（Ⅰ）连结BM；BN、BQ、BP．

∵B为小圆的圆心；∴BM＝BN；

又∵AB为大圆的直径；∴BQ⊥MN；

∴QM＝QN．4分。

（Ⅱ）∵AB为大圆的直径；∴∠APB＝90°；

∴AP为圆B的切线；

∴AP2＝AM·AN；6分。

由已知AB＝4，PB＝1，AP2＝AB2－PB2＝15；

又AM＝∴15＝×(＋MN)；

∴MN＝

21、略

【分析】

（1）根据数列的递推公式可得是以公差，以1为首项的等差数列，求出an即可；

（2）根据Sn=2an-2n，即可数列{an}的前n项和Sn．

本题考查了数列的递推公式和等差数列的通项公式的求法和数列的前n项，属于中档题【解析】解：（1）证明：a1=S1=2a1-2；

∴a1=2；

∵Sn=2an-2n；

当n≥2时，Sn-1=2an-1-2n-1；

∴an=Sn-Sn-1=2an-1+2n-1；

∴-=

∴是以公差；以1为首项的等差数列；

∴=1+（n-1）=（n+1）；

∴an=（n+1）2n-1；

（2）∵Sn=2an-2n；

∴Sn=2（n+1）2n-1-2n=n-2n．22、略

【分析】

(1)

由对数的真数大于0

解不等式即可得到所求定义域；

(2)f(x)

为奇函数；运用奇偶性的定义，计算f(鈭�x)

与f(x)

比较，即可得到所求奇偶性．

本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0

考查函数的奇偶性，运用定义法是解题的关键，属于基础题．【解析】解：(1)

函数应满足x鈭�1x+1>0

解得x>1

或x<鈭�1

所以函数的定义域为(鈭�隆脼,鈭�1)隆脠(1,+隆脼)

．

(2)

函数f(x)

是奇函数．

由(1)

知定义域关于原点对称；

又f(鈭�x)=log2鈭�x鈭�1鈭�x+1=log2x+1x鈭�1=鈭�log2x鈭�1x+1=鈭�f(x)

所以函数f(x)

是奇函数．23、略

【分析】

(

Ⅰ)

由题意求得tan娄脕=3

再利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子，可得结果．

(

Ⅱ)

利用同角三角函数的基本关系；二倍角公式化简所给的式子；可得结果．

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．【解析】解：(

Ⅰ)隆脽4sin娄脕鈭�2cos娄脕5cos伪+3sin伪=4tan娄脕鈭�25+3tan伪=57隆脿tan娄脕=3

隆脿sin娄脕?cos娄脕=sin娄脕鈰�cos娄脕sin2伪+cos2伪=tan娄脕tan2伪+1=332+1=310

．

(II)1鈭�2sin10鈭�cos10鈭�cos10鈭�鈭�1鈭�cos2170鈭�=|cos10鈭�鈭�sin10鈭�|cos10鈭�鈭�sin10鈭�=1

．四、证明题(共4题，共28分)24、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．25、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．26、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．27、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．五、作图题(共3题，共18分)28、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．29、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．30、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。六、综合题(共4题，共40分)31、略

【分析】【分析】（1）根据若方程为一元一次方程；求出m的值即可，再根据若方程为一元二次方程，利用根的判别式求出即可；

（2）分别从当m-2=0，以及当m-2≠0时分析，得出若方程有两个不等的实根，以及若方程有两个相等的实根，利用根的判别式以及方程的根得出答案．【解析】【解答】解：（1）若方程为一元一次方程；则m-2=0，即m=2；

若方程为一元二次方程；则m-2≠0；

∵关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根；

又∵a=m-2，b=2；c=1；

∴b2-4ac=22-4（m-2）≥0；

解得：m≤3；

∵m-2≠0；

∴m≠2；

∴m≤3且m≠2；

综上所述；m≤3；

（2）设方程①所对应的函数记为y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

①当m-2=0，即m=2时，y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

即为y=2x+1；

y=0，x=-；即此时函数y=2x+1的图象与线段AB没有交点；

②当m-2≠0；即m≠2，函数为二次函数，依题意有；

a．若方程有两个不等的实根；

此时二次函数与x轴两个交点，根据函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点；

得出x=1和2时对应y的值异号；

则f（1）•f（2）＜0；

∴（m+1）（4m-3）＜0即-1＜m＜；

当f（1）=0时；m=-1；

方程为3x2-2x-1=0，其根为x1=1，x2=-；

当f（2）=0时，m=；

方程为3x2-8x+4=0，其根为x1=x2=；

∴-1≤m＜；

b．若方程有两个相等的实根；

则△=4-4（m-2）=0，m=3，方程为x2+2x+1=0，其根为x1=x2=-1；

此时二次函数与线段AB无交点；

综上所述，方程①所对应的函数的图象与线段AB只有一个交点的实数m的取值范围是：-1≤m＜．32、略

【分析】【分析】（1）首先利用全等三角形的判定证明△ABM和△DCM即可求解．【解析】【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形；

∴AB=DC；∠A=∠D．

∵M是AD的中点；

∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中；

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

∴MB=MC．

（2）解：①如下图；②图略；

点A旋转到点A2所经过的路线长=π•4=2π．33、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；