广东省东莞市五校2024-2025学年高三年级上册联考（三）数学试卷（含答案解析）

广东省东莞市五校2024-2025学年高三上学期联考（三）数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜€川x2-4x-5WO},8={xeR|log2024(x-2)VO},则AB=()

A.(2,3JB.[2,3]C.0D.{3}

2.如图，在VABC中，。是BC的中点.若A3=a,AD=b，则AC=()

A.3a—2bB.a—2bC.—a+2bD.+5b

二、未知

3.下列函数中，既是奇函数，又在(0,收)上单调递增的是()

A.f(x)=sinxB.f(x)=x2+-C.f(x)=x3+2xD./(x)=ex

三、单选题

4.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值''都在前一天的基础

上进步2%,而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过

（）天，甲的“日能力直’是乙的20倍（参考数据：1g102。2.0086,1g99=1.9956,

lg2«0.3010）

A.23B.100C.150D.232

5.设AABC的内角A氏。，所对的边分别为。力,。，若三边的长为连续的三个正整数，且

A>B>C,3b=20acosA,则sinA:sin3:sinC为

A.4：3：2B.5：6：7C.5：4：3D.6：5：4

6.已知在直角VA3C中，角A氏C所对边分别为《6、c,若8=90且满足a=夜，

c=l,BMLAC,且点M在AC上，则的值为()

A.叵B.-C.逅D.-

3366

7.若tan(tz+£)=7,也11__=21,则tan2cr=()

1-tanatan0

1「10-21

A.—B.—2C.—D.—

22110

8.已知函数〃x)>0,且〃x+l)=.5W⑺是偶数时’若/⑻=1,则()

3〃尤)+1,当/(可是奇数时.

A.7(1)^3B./(2)<10C."3)431D./(4)<16

四、多选题

9.下列说法正确的是()

A.方程e<=8-q的解在(1,2)内

B.函数/1)==/—%—6的零点是(3,0),(—2,0)

C.函数y=2*-V有三个不同的零点

D.用二分法求函数/(尤)=3'+3-8在区间(L2)内零点近似值的过程中得到

/(1)<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,则零点近似值在区间(1.25,1.5)上

10.已知函数"x)=asinx+%cosx,若“0)=G且对任意xeR都有<［曰，则下

列结论正确的是()

A.〃X)=2AOS(X+三)

B./(x)=2Gsin(x+f

C.7(x)的图象向左平移菅个单位后，图象关于原点对称

D.7■(》)的图象向右平移?个单位后，图象关于y轴对称

11.三次函数/'(X)=d+办2+X+1叙述正确的是()

A.函数/(x)可能只有一个极值点

试卷第2页，共4页

B.当。=0时，函数/(x)的图象关于点(0,1)中心对称

C.当加=-1时，过点(飞"(飞))的切线有一条

D.当与4-鼻时，在点卜。"(毛))处的切线与函数y=/(无)的图象有且仅有两个交点

五、填空题

12.已知平面向量〃二(2,加)，b=(2,1),且〃_1/?.贝!J|〃+b|=.

13.若/(元)=5皿3+9)[0>0,忸|<|^的部分图象如图，贝.

/、ClH---.X>0

14.已知aeR,函数〃x)=龙,若存在三个互不相等的实数占,马，不，使得

e-x,x<0

小11=/应=心1=一6成立，则a的取值范围是_______.

%x2x3

六、解答题

15.在锐角VA2C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知向量

m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b),且miln.

(1)求角A的大小；

⑵若a=2,求VA3C周长的取值范围.

16.某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言

来进行对话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，

如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%,当出现语法错误时，它

的回答被采纳的概率为40%.

⑴在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽

取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；

(2)设输入的问题出现语法错误的概率为0,若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%,求p

的值.

17.已知在锐角VABC中，M是BC的中点，且A3=4,AC=2.

sinZBAM_

⑴求卬的值;

(2)若cosNM4C=逅，求VABC的面积.

4

18.已知函数/(x)=x(%-3)2,g(x)=ln^^+2+6a

3-x

⑴讨论当a=-l时，g(x)的极值点个数;

⑵当a=0时，证明：函数〃(x)=〃x)+g(x)是中心对称图形，并求出其对称中心.

19.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，对任意两个向量〃?=&,%),〃=%)•作：OM=m,

oN=n当机,“不共线时，记以OM,ON为邻边的平行四边形的面积为S(w)=|占为-彳2%|；

当戊，万共线时,规定S(共力)=0.

(D分别根据下列已知条件求S(m,w).

①"z=(2,l),〃=(-l,2)；

②力？=(1,2),〃=(2,4)；

(；2)若向量0=九〃2+〃〃(几,〃©艮川+〃2/0),求证：S(p,m)+S(p,")=(|2|+|〃|)S(%”)；

(3)记OA=a,OB=6,OC=c,且满足c=4。+〃匕(/1〃>0,2,//eR),a±b,\a|=||=|c|=1,求

S(c,a)+S(c,b)的最大值.

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参考答案:

题号124567891011

答案DCBDBADACDBDBCD

1.D

【分析】根据二次不等式以及对数不等式化简两个集合，即可根据交集的定义求解.

【详解】由A={xeN|x2-4x-5<0}={xeN|-l<x<5}={0,1,2,3,4,5),

B={xeR|log2024(x-2)<0}=^x|2<x<3},

故AB={3},

故选；D

2.C

【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.

【详解】因为。是的中点，AB=a，AD=b,

所以AC=AO+OC=AO+8O=AO+AO-A5

=2b-a-

故选：C.

3.C

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.

【详解】对于A：/(x)=sinx为奇函数，但是在(0,+s)上不具有单调性，故A错误；

对于B：/(x)=Y+：的定义域为{x|xw。},且〃_尤)=(_引2+:=无2一：，

即且“X),所以=为非奇非偶函数，故B错误；

对于C：/(x)=d+2x的定义域为R,且/'(-%)=(-x)+2(-x)=-(V+2x)=-f(x),

所以/(x)=V+2尤为奇函数，

又y=d与y=2x在定义域R上单调递增，所以/(%)=三+2*在(0,+s)上单调递增，故C

正确；

对于D：函数为非奇非偶函数，故D错误.

故选：C

4.B

答案第1页，共12页

【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.

【详解】令甲和乙刚开始的“日能力直'为1,〃天后，甲、乙的“日能力值''分别

(1+2%)",(1-1%)",

依题意,岸A?。，即啥"2。，两边取对数得理贤也。,

l+lg21+0.3010

因止匕〃=«100

1g102-1g992.0086-1.9956

所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.

故选：B

5.D

【详解】因为a,b,c为连续的三个正整数，且A>B>C,可得

a=c+2,b=c+l①

又因为3b=20acosA,由余弦定理可知cosA=------.......—,则

2bc

3b=20a-~c"②

2bc

联立①②，化简可得7c2—13c—60=0,解得©=4或。=一三（舍去），则a=6,b=5.

又由正弦定理可得，sinA:sinB:sinC=a:b:c=6:5:4.故选D.

6.B

【分析】根据直角三角形的几何性质，结合相似三角形的性质，利用平面向量的数量积的定

义公式，可得答案.

【详解】由题意可作图如下：

由NB=90,则AC=JAB?+BC?=6

由贝AC1BM,

答案第2页，共12页

解得小曜乎等

易知ABCAMB,则=

日口//万BCy/25/6

即cosZABM=cosZC=----=—=——，

AC63

BA-BM=|BA||BM|cosZABM=lx^x^=1.

故选：B.

7.A

-1/°、rtan2a-tan2B…/=/八、一〜

【分析】由条件+—,进而

tan2a=tan[(a+/7)+(tz-/7)],再用两角和的正切公式求解即可.

[详解】因为tan(«+夕)=7,所以tan(a+#)tan(a-/?)=7tan(<z-/3),

tana+tanptana-tanBtan2cr-tan2p

等式左边=-------------------------=-------------2----------2二21

1-tan«tan[31+tan6/tan/31-tanatanp

所以21=7tan(a—0,即tan(a—p)=3,

故如2a=tan]厂(/a+£)、+(/a-尸、-)1卜ta匚n(a・+Q茂)+tVan(a—£)7+3_1

l-7x3-2

故选：A.

8.D

【分析】运用分段函数求值方法，注意分清在哪一段，进行讨论即可.

【详解】由/⑻=1逆推得，

"8)=1-"7)=2->46)=4-45)=8-44)=16-43)=32-"2)=64-"1)=128

〃8)=lf〃7)=2f〃6)=4f〃5)=8f〃4)=16f〃3)=32f〃2)=64f"1)=21

〃8)=lff⑺=2f"6)=4-45)=8-f(4)=16f〃3)=5f*2)=10f1/•⑴=20

/(8)=1^/(7)=2^/(6)=4->/(5)=8->/(4)=16->/(3)=5^/(2)=10^/(1)=3；

答案第3页，共12页

/⑻=lf/■⑺=2->〃6)=4f〃5)=lf"4)=23)=4-»〃2)=8f"1)=16；

/■⑻=lf47)=2-"6)=4-"5)=1-"4)=2->〃3)=4-〃2)=1'〃1)=2.

所以，/(4)<16.

故选：D.

9.ACD

【分析】对A,构造函数7'(元)=/-8++，利用零点存在性定理和单调性可得；对B,根

据零点定义可知；对C,作出y=2=y=Y的图象，观察其交点个数可得；对D,根据零点

存在性定理可得.

【详解】对A,记〃x)=e=8+(易知y=e=8,yg都在R单调递增，

所以/(“在R上单调递增，又“l)=e-8+g=e-£(0,"2)=e2-7)0,

所以/(x)存在唯一零点%,且叫《1,2),

即方程e'=8g的唯一解在(1,2)内，所以A正确；

对B,令/(x)-X-6=0,解得x=-2或x=3,

所以函数/(x)=fT-6的零点是—2或3,所以B错误；

对C,作出y=2，,y=/的图象如图：

当x<0时，函数y=2,和y=V的图象显然有一个交点，

又2?=22,2'=4?,所以函数y=2'和"V的图象在尤=2,x=4处相交，

所以y=2，-尤2有三个不同的零点，所以c正确；

对口,因为/(1.25)/(1.5)<0,所以由零点存在性定理可知,零点近似值在区间(1.25,1.5)上,

所以D正确.

答案第4页，共12页

故选：ACD

10.BD

【分析】先根据条件/10）=后求得6值，根据可知为函数最大值，据

此列出关于。的方程，求出a值，得到函数人切的解析式，结合辅助角公式和诱导公式，可

判断A、B的正误，再根据三角函数图象的变换规律，可判断B、D的正误.

【详解】/(x)=asinx+bcosx,/(0)=，

b=V3,

又对任意xeA都有

TT

则/（?为/（X）的最大值，

整理得：（a-3）2=0,则a=3,

所以/（%）=3sinx+百cos%=2A/3sin（x+—）=cos（,

63

因此A选项错误，B正确；

/■（*）的图象向左平移m个单位后得到的图象对应的函数解析式为：

O

g（元）=2若sin（x+g+m）=2岔sin（x+f）,该函数图象不关于原点对称，故C错误；

663

“X）的图象向右平移多个单位后，得到函数代）=20sinQ+g-多=-2百cosx的图

363

象，

该图象关于y轴对称，故D正确，

故选：BD

11.BCD

【分析】求导，令尸（无）=0,利用A结合二次函数的图象可判断A；利用y=d+x是奇函

数，可判断B；设切点（小〃占）），切线方程为>-〃西）=/（芯）（*-不），结合已知可得

（毛-西）2（/+。+2%）=o,求解可判断C；在点（玉,〃x。））处的切线为

尸&）（%-%），联立方程组可得（x-%）2（X1+a+2x）=0,求解可判断D.

答案第5页，共12页

【详解】对于A选项：f（x）=3x2+2ax+l,令/'（x）=0,

即3x2+2ar+l=0,A=4<z2-12,

当A>0时，方程「（无）=。有两个不同根，〃x）有两个极值点；

当△（（）时，无极值点，故A错误；

对于B选项：当a=0时，/（x）=x3+x+l,

因为y=d+x是奇函数，关于点（0,0）对称，

所以函数/■（》）的图象关于点Q1）中心对称，故B正确；

对于c选项：设切点（菁,〃占）），则切线方程为=）,

因为过点（M,〃Xo）），所以/'（%）-/（芯）=/'（%）（%-%），

即x；—+a（苍一芍）+X。-—（3才+26zXj+］）—%）,

整理得（尤。一王）Y尤。+°+2%）=0,所以占=%,或占=一号豆,

由于%=-与，则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C正确；

对于D选项：在点（天,/（七））处的切线为y—yGOnmoXx—%）,

联立方程组F-X。），化简得（X_/）2Q+a+2司=0,

所以x=x。，或尤=-q产，由于5彳-三，则方程组有两组不同解，

即有两个不同交点，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：（1）判断函数的图象是否关于（见6）对称，可借助奇函数的性质判断，

也可检验〃。-力+〃4+力=26是否恒成立；

（2）切线问题的核心是切点的横坐标，切线条数问题可转化为关于切点横坐标的方程的解

的个数问题.

12.5

【分析】根据66得到2x2+〃?=。，解得〃?=T,然后利用坐标求模长即可.

答案第6页，共12页

【详解】因为〃_LZ?,所以2x2+zn=0,解得根=-4,所以a+b=(4,-3),

卜+q=业2+(—3)2=5.

故答案为：5.

13.0

【分析】根据函数,=$皿妙+9)的图象与性质求得/外。的值.

【详解】解:由函数/(x)=sin(s+0)(0>O，M<M的部分图象知，7=2x(济$)=£

V2)1262

c57r7i11々

，兀-r-,---1-.11兀3兀77r-j

.•"=彳=44,又122兀/.+=4x^-+^>=-+2A：71,^eZ;

jrTT

角毕得0=——+2kn,kwZ;取o=-耳.

则/(x)=sin(4x-g),则/■[小=sin(4X*-[)=。.

D\A乙J_L乙J

故答案为：o.

14.(-oo,-2e)

【分析】根据题意，将方程根问题转化为函数交点问题，然后结合导数求得最值，即可得到

结果.

【详解】若存在三个互不相等的实数%1，%2，%3，使得-----=------=-----=-e成立，则方

%入2X3

程/(尤)二-"存在三个不相等的实根，当％<0时，e-“=-ex解得％=-1,所以当％>0时，

eee

—=-ex有两个不等的实根，即a=—ex—,设g(x)=-ex—,x>0,

XXX

贝Ug'Gh-e+q,尤>0,令g'(x)=O,解得》=1,令g<x)>0,解得0<x<l,令g'(x)<0,

解得x>l,所以函数g(x)在区间(。,1)单调递增，在区间。,”)单调递减，则

g(x)<g(1)=-e-e=-2e,所以tz<_2e.

故答案为：(i,-2e)

71

15.⑴A=§

⑵(2g+2,6]

【分析】(1)由共线向量的坐标表示表示，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式化简求

答案第7页，共12页

得cosA,由此可得A.

IT

(2)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得b+c=4sin(B+z),再利用正弦函数的

O

性质求出周长范围.

【详解】(1)由加〃"，得(2c-Z?)cosA=4cos3，由正弦定理，得(2sinC—sinB)cosA=sinAcosfi,

即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinF=sin(A+B)=sinC,

而Ce(0,=),sinCw0,则cosA=—,

22

又Ae咱，A=；.

b_c_2_4x/3「r-

(2)由正弦定理得：氤二正王二国二亍，贝同=t@sinB,c=—sinC,

—33

2

b+c=(sinB+sinC)=~~~[sinB+sin(j+B)]=sinB+cosB)=4sin(B+《),

0<B<-

由锐角VABC,得,2，即3£(工,彳)，B+,

o<a_762633

132

因此sin(B+3£(^^,1],即4sin(5+二)e(2^5,4],Q+A+C=2+b+c£(2\/^+2,6~|

626'」

所以VA3C周长的范围为(2石+2,6]

16.(1)分布列见解析，数学期望为g

(2)p=0.25

【分析】(1)由题知X的所有取值为1,2,3,4,求出对应的概率，可得其分布列与数学

期望；

(2)利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于P的方程，解方程

即可.

【详解】(1)由题可知X的所有取值为1,2,3,4,

3

P(X=1)=*c'c=51

70-14

尸(X=2)=KC2c32T303

C；707

答案第8页，共12页

P(X=3)=等C3cl=303

707

4

P(X=4)C=C*0=251

C；7014

故X的分布列为:

X1234

13_21

P

147714

13315

则E（X）=lx——+2x-+3x-+4x——=—.

1477142

（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A,记“输入的问题有语法错误”为事件2,记“回

答被采纳”为事件C,

由已知得，P(C)=0.7,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.4,P(B)=p,P(4)=l—p,

所以由全概率公式得P（C）=P（A）P（CIA）+P（B）P（C|B）=0.8（1-夕）+0.4〃=0.7,

解得p=0.25.

17.(1)1

⑵后

【分析】（1）由题意有sinZAMB=smZAMC,在和.AMC中，利用正

sin/BAM

弦定理，可求的值;

sinZMAC

（2）由sin/B4C=sin（/BW+NMAC）求出sin/BAC的值，再利用面积公式

AC-sinZBAC^^IPRT.

【详解】（1）锐角VABC中，M是BC的中点，且AB=4,AC=2,如图所示:

BM=MC,sinZAMB=sin(兀一ZAMC)=sinZAMC,

ABBM

在，ABM中，由正弦定理，有

sinZAMBsinZBAM

答案第9页，共12页

AC

在AMC中，由正弦定理，有

sinZAMCsinZMAC

BMsinZAMB

,sinZBAMAHAC1

则________________£1P________=______—

sinZAMCMCsinNAMCAB2

AC

(2)锐角VABC中，由cos/MAC=逅，AsinZMAC=—,^sinZBAM,

448

cos/BAM=-----,

8

/.sinABAC=sin(ZBAM+ZMAC)=sinZBAMcosZMAC+cosZBAMsinZMAC

A/10V63A/6>/10x/15

=---------X----------1------------X----------=----------,

84844

所以VABC的面积为SABC=工48鬃。sin?BAC!创42?—回

224

18.(1)0

(2)证明见解析，h(x)的对称中心为(2,4)

【分析】(1)求导，利用导数判断g(x)的单调性，结合单调性分析极值点即可;

(2)由题意可得〃(x)=x(x-3)2+lnF+2,结合对称中心的定义分析证明.

J-X

【详解】(1)令F>。，即(x—l)(3r)>0,解得l<x<3,

J-X

若〃=_],则,g(x)=ln—~--x+2=ln(x-l)-ln(3-x)-x+2,xG(1,3),

则g'⑺号+」=(元-2y+l

(x-l)(3-x)

因为xe(l,3),则g[x)>0,可知g(x)在x«l,3)上单调递增，

所以g⑴在xe(1,3)无极值点，即g(x)的极值点个数为0.

(2)若。=0,则/z(x)=x(无一3r+ln汇+2,

3-x

可知h(x)的定义域为(1,3),且刈尤)=V-6/+9x+Inp+2,

J-X

3—y