2025年外研版高三数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高三数学下册月考试卷444考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D为△ABC中BC的中点，则原图形中的AB，AD，AC三条线段中（）A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB，最短的是ADD.最长的是AC，最短的是AD2、（x2-x+2）5的展开式中x3的系数为（）A.-20B.-200C.-40D.-4003、不等式组的解集是（）A.（-1，5）B.（3，5）C.（-1，1）D.（1，3]4、在△ABC中，sinA；sinB：sinC=2：3：4，则cosA：cosB：cosC=（）A.2：3：4B.14：11：（-4）C.4：3：2D.7：11：（-2）5、已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是（）A.y＝f(x)的图象关于点(π，0)中心对称B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C.f(x)的最大值为D.f(x)既是奇函数，又是周期函数6、已知是等差数列，则该数列前10项和等于（）A.64B.100C.110D.1207、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，D为斜边AB的中点，则＝（）A．1B-1C．2D．-28、如图；A；B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）

A.70°B.35°C.20°D.10°评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、已知集合A={x||x-2|＜1}，集合B={x|x2-2＞0}，则A∩B=____．10、若函数f（x）=，g（x）=（|x-a|-|x-b|），a＜b，∀x1≥0，∃x2≤x1，使得g（x2）=f（x1），则2a+b的最大值为____．11、若tanα=2，则=____．12、已知A（2，0），B（-2，-4），直线l：x-2y+8=0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为____．13、点M到x轴和到点N（-4，2）的距离都等于10，则点M的坐标是____．14、设f（x）=则f（4）=____．15、设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：y=k（x+1）上存在区域M内的点，则k的取值范围是____．16、若集合且下列四个关系：①②③④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是.17、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q=3，S3+S4=则a3=______．评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)18、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．21、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）22、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．23、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、证明题(共4题，共16分)24、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：B1C∥平面A1BD．

25、在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．求证：b2-c2=a（bcosC-ccosB）26、（2015秋•河南校级月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1，对角线A1C与平面BDC1交于点O．AC、BD交于点M、E为AB的中点，F为AA1的中点；

求证：（1）C1；O、M三点共线。

（2）E、C、D1；F四点共面。

（3）CE、D1F、DA三线共点．27、已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：．评卷人得分五、作图题(共2题，共10分)28、已知函数f（x）=|lgx|．

（1）画出函数y=f（x）的图象；

（2）若存在互不相等的实数a，b使f（a）=f（b），求ab的值．29、用斜二则法画直观图时，矩形的宽原为2cm，则直观图中宽为____cm．评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)30、已知点A（x1，x），B（x2，x）是抛物线y=x2上任意不同的两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞2成立，运用类比的方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））图象上不同的两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数y=sinx（x∈（0，π））图象的下方，则类似地有结论____．31、已知函数f（x）=lnx-ax2-2x．

（1）若a=3；求f（x）的增区间；

（2）若a＜0；且函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（3）若a=-且关于x的方程f（x）=-x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．32、下表给出了一个“三角形数阵”：

依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是____．33、如图所示，正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；

（2）若E是PB的中点；求异面直线PD与AE所成角的正切值；

（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【分析】由直观图，结合斜二测画水平放置的平面图形直观图的规则可得AC最长，AB最短．【解析】【解答】解：由直观图可知AB∥y轴；根据斜二测画法规则，在原图形中应有AB⊥BC，又AD为BC边上的中线；

∴△ABC为直角三角形；如图所示；

AD为BC边上的中线；则有AC最长，AB最短．

故选：B．2、B【分析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x3项的系数．【解析】【解答】解：式子（x2-x+2）5=[（x2-x）+2]5的展开式的通项公式为Tr+1=•（x2-x）5-r•2r；

对于（x2-x）5-r，它的通项公式为Tr′+1=（-1）r′••x10-2r-r′；

其中，0≤r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．

令10-2r-r′=3，可得，或；

故x3项的系数为•22•（-）+•23•（-）=-200；

故选：B．3、D【分析】【分析】利用一元一次不等式组的解法直接求解即可．【解析】【解答】解：∵；

∴；

∴1＜x≤3；

∴不等式组的解集是（1；3]．

故选：D．4、B【分析】【分析】利用正弦定理知：a：b：c=2：3：4，不设a=2kb=3kc=4k，由余弦定理可求得cosA，cosB，cosC的值，即可得解cosA：cosB：cosC的值．【解析】【解答】解：由sinA；sinB：sinC=2：3：4；

利用正弦定理知：a：b：c=2：3：4；

设a=2kb=3kc=4k；

由余弦定理可得：cosA==；

同理可得：cosB=，cosC=-；

所以cosA：cosB：cosC=14：11：（-4）；

故选：B．5、C【分析】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而故正确；对于选项，只需考虑是否成立即可，而故正确；对于选项，故是奇函数，有故周期是故正确；对于选项，令则求导令解得故在上单增，在与上单减，又当时又当时故C错误.考点：1.三角函数的对称性、周期性、奇偶性；2.函数的最值求解.【解析】【答案】C6、B【分析】设公差为d，则由已知得而故选B．【解析】【答案】B7、B【分析】试题分析：由于∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，D为斜边AB的中点，故答案为B．考点：平面向量的数量积．【解析】【答案】B8、C【分析】【解答】∵OA=OB；∠B=70°，∴∠AOB=40°

∵AC是⊙O的切线；

∴∠BAC=∠AOB=20°

故选C．

【分析】先求圆心角，再利用弦切角等于弧所对圆心角的一半，即可得到结论。二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解析】【解答】解：由A中不等式变形得：-1＜x-2＜1；

解得：1＜x＜3；即A=（1，3）；

由B中不等式变形得：（x+）（x-）＞0；

解得：x＜-或x＞，即（-∞，-）∪（；+∞）；

则A∩B=（；3）；

故答案为：（，3）．10、略

【分析】【分析】当x≥0时，f（x）=为增函数，此时f（x）∈[0，4），g（x）=（|x-a|-|x-b|），x∈[a，b]时，也为增函数，且斜率为1，进而结合∀x1≥0，∃x2≤x1，使得g（x2）=f（x1），可得，求出2a+b的范围后，可得2a+b的最值．【解析】【解答】解：当x≥0时，函数f（x）=的导函数f′（x）=＞0恒成立；

故f（x）=为增函数；此时f（x）∈[0，4）；

令f′（x）==1；则x=1；

故与函数f（x）=相切的斜率为1的直线对应的切点坐标为（1；2）；

则切线方程为：x-y+1=0；此时切线交x轴于（-1，0）点；

g（x）=（|x-a|-|x-b|）∈[-（b-a），（b-a）]；

若∀x1≥0，∃x2≤x1，使得g（x2）=f（x1）；

则，即；

令2a+b=x（b-a）+y（b+a），则，解得：；

由得：2a+b≤-7；

即2a+b的最大值为：-7；

故答案为：-711、略

【分析】【分析】由tanα=2可得α所在的象限，然后分α为第一后第三象限角分别求出sinα、cosα，代入要求值的代数式得答案．【解析】【解答】解：由tanα=2；可知α为第一或第三象限的角．

当α在第一象限时；由tanα=2；

得，．

∴==；

当α在第一象限时；由tanα=2；

得，．

∴==．

故答案为：或．12、略

【分析】【分析】设点A关于直线l的对称点A′（a，b），则，可得A′，可得|PA|+|PB|的最小值为|A′B|．【解析】【解答】解：设点A关于直线l的对称点A′（a，b）；

则，解得．

∴A′（-2；8）；

∴|A′B|==12．

∴|PA|+|PB|的最小值为|A′B|；即为12．

故答案为：12．13、略

【分析】【分析】设点M的坐标为（x，10），或（x，-10），分别由距离公式可得x的方程，解x可得答案．【解析】【解答】解：∵点M到x轴和到点N（-4；2）的距离都等于10；

∴设点M的坐标为（x；10），或（x，-10）；

由距离公式可得（x+4）2+（10-2）2=100；①

或（x+4）2+（-10-2）2=100；②

由①解得x=2或x=-10；方程②无实数解。

∴点M的坐标为（2；10）或（-10，10）

故答案为：（2，10）或（-10，10）14、略

【分析】【分析】利用分段函数的性质求解．【解析】【解答】解：∵f（x）=；

∴f（4）=42-1=15．

故答案为：15．15、略

【分析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线l：y=k（x+1）过定点（-1，0），结合数形结合即可得到结论．【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；

∵直线l：y=k（x+1）过定点A（-1，0），

∴要使直线l：y=k（x+1）上存在区域M内的点；

则直线l的斜率k满足kAC≤k≤kAB；

由，解得，即B（1，）；

由，解得；即C（5，2）；

∴，；

∴k∈．

故答案为：．16、略

【分析】试题分析：若①正确：则又由②错误可知矛盾；若②正确：则由④错误可知再由①③错误可知穷举可知符合题意的有序数组或若③正确：则由②错误可知由④错误可知穷举可知符合题意的有序数组若④正确：则由②错误可知再由①③错误可知穷举可知符合题意的有序数组或或综上，符合题意的有序数组的个数是考点：集合综合题.【解析】【答案】17、略

【分析】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q=3，S3+S4=

∴+=解得a1=．

则a3==3．

故答案为：3．

利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】3三、判断题(共6题，共12分)18、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．21、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×22、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×23、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、证明题(共4题，共16分)24、略

【分析】【分析】连结AB1，交A1B于点O，连结OD，由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1BD．【解析】【解答】证明：连结AB1，交A1B于点O；连结OD；

∵D是AC中点，∴OD∥B1C；

∵OD⊂平面A1BD，B1C不包含于平面A1BD；

∴B1C∥平面A1BD．25、略

【分析】【分析】由余弦定理将等式右边化简等于左边即可证明．【解析】【解答】证明：右边=a（bcosC-ccosB）=a（b×-c×）

=（a2+b2-c2-a2-c2+b2）=b2-c2=左边。

∴等式成立．

故得证．26、略

【分析】【分析】（1）利用C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上；证明三点共线；

（2）利用EF∥CD1，证明E、F、C、D1四点共面；

（3）证明CE与D1F的交点P在平面ABCD与平面ADD1A1的交线上即可．【解析】【解答】证明：（1）∵A1C∩平面BDC1=O，∴O∈A1C，O∈平面BDC1；

又∵A1C⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1；

∵AC；BD交于点M；∴M∈AC，M∈BD；

又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1；

∴M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1；

又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1；

∴C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上；

∴C1；O、M三点共线；

（2）∵E为AB的中点，F为AA1的中点；

∴EF∥BA1；

又∵BC∥A1D1，BC=A1D1；

∴四边形BCD1A1是平行四边形；

∴BA1∥CD1；

∴EF∥CD1；

∴E、F、C、D1四点共面；

（3）∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD；

设CE与D1F交于一点P；则：

P∈CE；CE⊂平面ABCD；

∴P∈平面ABCD；

同理，P∈平面ADD1A1；

∴P∈平面ABCD∩平面ADD1A1=AD；

∴直线CE、D1F；DA三线交于一点P；

即三线共点．27、略

【分析】【分析】证法一：由E、F分别是AD、BC的中点，我们根据相反向量的定义，易得+=，+=，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量分别表示为++和++的形式；两式相加后，易得到结论．

证法二：连接，由向量加法的平行四边形法则，我们易将向量表示为，然后再利用向量加法的三角形法则，即可得到结论．【解析】【解答】证法一：如图；

∵E；F分别是AD、BC的中点；

∴+=，+=；

又∵+++=；

∴=++①

同理=++②

由①+②得；

2=+++++=+．

∴．

方法二：连接；

则，

∴

=

=．五、作图题(共2题，共10分)28、略

【分析】【分析】（1）先将函数表示为分段的形式f（x）=；再画函数图象；

（2）结合函数图象，不妨设0＜a＜1＜b，得到-lga=lgb，解得ab=1．【解析】【解答】解：（1）f（x）=；如右图；

函数在（0；1）上递减，在（1，+∞）上递增；

因此；函数在x=1时取得最小值0；

（2）由图可知，要使f（a）=f（b）且a≠b；

则a，b一个比1小；一个比1大；

不妨设0＜a＜1＜b；

则f（a）=-lga，f（b）=lgb；

所以，-lga=lgb；

即lgab=0，所以，ab=1；

故ab的值为1．29、1【分析】【分析】用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作X′轴，Y′轴使∠X′O′Y′=45°，然后依据平行投影的有关性质作图即可得出结果．【解析】【解答】解：如图；在已知ABCD中，矩形的宽AD=2cm；

取AB；AD所在边为X轴与Y轴；相交于O点（O与A重合）；

画对应X′轴；Y′轴使∠X′O′Y′=45°

在X′轴上取A′；B′使A′B′=AB，在Y′轴上取D′；

使A′D′=AD=1cm；过D′作D′C′平行X′的直线，且等于A′D′长．连C′B′所得四边形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直观图．

从作图可知；矩形的宽原为2cm，则直观图中宽为1cm．

故答案为：1．六、综合题(共4题，共12分)30、略

【分析】【分析】由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．【解析】【解答】解：由题意知，点A、B是函数y=x2的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞成立；

而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论＜sin．

故答案为：＜sin．31、略

【分析】【分析】（1）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可；

（2）由函数f（x）存在单调递减区间；知f′（x）＜0在（0，+∞）上有解，分离参数化为函数最值即可；

（3）f（x）=-x+b化为b=lnx+-x，令g（x）=lnx+-x（1≤x≤4），利用导数求得g（x）的最值，借助图象可得结果；【解析】【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0；+∞）；

a=3时，f′（x）==；

令f′（x）＞0，得0＜x＜；

∴函数f（x）的增区间是（0，]．

（2）f′（x）=；

由函数f（x）存在单调递减区间；知f′（x）＜0在（0，+∞）上有解；

∴＜0，即a＞；

而=-1≥-1；

∴a＞-1；又a＜0；

∴-1＜a＜0．

（3）a=-