高考数学专项复习：玩转外接球、内切球、棱切球（二十四大题型）解析版

玩转外接球、内切球、棱切球

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................7

题型一：外接球之正方体、长方体模型..............................................7

题型二：外接球之正四面体模型....................................................8

题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型...........................................11

题型四：外接球之直棱柱模型.....................................................13

题型五：外接球之直棱锥模型.....................................................15

题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型.............................................18

题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型............................................22

题型八：外接球之圆锥‘圆柱'圆台模型..........................................25

题型九：外接球之垂面模型......................................................27

题型十：外接球之二面角模型....................................................32

题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型..........................................36

题型十二：外接球之共斜边拼接模型..............................................39

题型十三：外接球之坐标法模型..................................................42

题型十四：外接球之空间多面体..................................................45

题型十五：与球有关的最值问题..................................................47

题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型...........................................51

题型十七：内切球之正四面体模型.................................................53

题型十八：内切球之梭锥模型.....................................................55

题型十九：内切球之圆锥、圆台模型...............................................58

题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型...........................................60

题型二十一：棱切球之正四面体模型...............................................63

题型二十二：棱切球之正棱锥模型.................................................65

题型二十三：棱切球之台体、四面体模型...........................................68

题型二十四：多球相切问题.......................................................69

r.cwavrcKvmwmvircvmvw.EVirdnrcwEWf.gvircpcvir.Ewmwvmrif.cw.'Vircvr.E'm'.mvirdnrcwcTrdnrc'vcvr.d

方法技巧与总经

知识点一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3、补成长方体

(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

PA

(3)正四面体尸-可以补形为正方体且正方体的棱长a=正如图3所示.

(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1图2图3图4

知识点二：正四面体外接球

如图，设正四面体„的的棱长为4,将其放入正方体中，则正方体的棱长为今，显然正四面体

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=*=乎”’即正四面体外接球半径为尺=手”.

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体48。中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可

以通过构造长方体来解决这类问题.

b2+c2=m2

如图，设长方体的长、宽、高分别为凡瓦C,贝|/+。2=”2,三式相加可得1+62+02=

a2+b2=t2

十“+'，而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为R,则/+62+C2=4R"所以

2

_Im2+n2+t2

~V8'

知识点四：直棱柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形)

第一步：确定球心。的位置，Q是A43C的外心，则OQ,平面N3C；

第二步：算出小圆C的半径NG=r,OQ也是圆柱的高)；

22122222

第三步：勾股定理：OA=OrA+OflR=(1)+rR=Jr+(1),解出火

知识点五：直棱锥外接球

如图，P/_L平面N3C,求外接球半径.

第一步：将A42c画在小圆面上，/为小圆直径的一个端点，作小圆的直径4D,连接PD,则尸。必

过球心0；

第二步：a为A4BC的外心，所以0。1，平面45C,算出小圆a的半径三角形的外接圆直

径算法：利用正弦定理，得，_=—吼=^=2r),OOX=-PA-,

sin/sin5sinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2©2=尸/2+(24。2R=[p#+(2r)2；

@7?2=r2+OQ2qR=W+00；.

知识点六：正棱锥与侧棱相等模型

2I2

1、正棱锥外接球半径：R=!?.

2、侧棱相等模型：

如图，P的射影是AA8C的外心

o三棱锥P-ABC的三条侧棱相等

=三棱锥尸-N5C的底面AA8C在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取A42c的外心则尸,。,。|三点共线；

第二步：先算出小圆Q的半径再算出棱锥的高产&=/7(也是圆锥的高);

+小

第三步：勾股定理：OA2=O^2+OO27?2=(A-R)2+r~,解出R=---------.

12h

知识点七：侧棱为外接球直径模型

方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.

知识点八：共斜边拼接模型

如图，在四面体48。中，ABLAD,CB±CD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形

拼接而形成的，2。为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之.设点。为公共斜边班的中点，根据直

角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=OC=OB=OD,即点。到4,B,C,。四点的距

离相等，故点。就是四面体/BCD外接球的球心，公共的斜边8。就是外接球的一条直径.

如图1所示为四面体P-/5C,已知平面P/2,平面4BC,其外接球问题的步骤如下：

（1）找出△尸48和△48C的外接圆圆心，分别记为已和2・

（2）分别过q和Q作平面尸48和平面4BC的垂线，其交点为球心，记为0.

（3）过已作的垂线，垂足记为。，连接o?。，则ac/g.

（4）在四棱锥中，4D垂直于平面。qO.,如图2所示，底面四边形DOQa的四个顶

点共圆且。。为该圆的直径.

图1图2

知识点十：最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

知识点十一：二面角模型

如图1所示为四面体尸-N8C,已知二面角P-NB-C大小为a,其外接球问题的步骤如下：

（1）找出△尸48和△ABC的外接圆圆心，分别记为。1和a?.

（2）分别过Q和2作平面尸48和平面48c的垂线，其交点为球心，记为0.

（3）过C作的垂线，垂足记为。，连接.。，则。

（4）在四棱锥/-OOQQ中，ND垂直于平面。，如图2所示，底面四边形。。。。?的四个顶

点共圆且8为该圆的直径.

o

o

。人

知识点十二：坐标法

对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为。(x/,z),利用球心到各顶点的

距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的

定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.

知识点十三：圆锥圆柱圆台模型

1、球内接圆锥

如图1,设圆锥的高为人，底面圆半径为r,球的半径为R.通常在△0C3中，由勾股定理建立方程

来计算R.如图2,当PC>CB时，球心在圆锥内部；如图3,当尸C<C5时，球心在圆锥外部.和本专

题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

卜2尸

由图2、图3可知，OC=h-R或R-h,故(〃一尺)2+产=尺2,所以R=---.

2、球内接圆柱

如图，圆柱的底面圆半径为r,高为〃，其外接球的半径为R,三者之间满足§)+/=炉.

3、球内接圆台

灭2=1，其中小2，“分别为圆台的上底面、下底面、高.

知识点十四：锥体内切球

方法：等体积法，即R=?返

S表面积

知识点十五：棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

题型一：外接球之正方体、长方体模型

【典例1-1】正方体的表面积为96,则正方体外接球的表面积为

【答案】48兀

【解析】设正方体的棱长为。，因为正方体的表面积为96,可得6a2=96,解得。=4,

则正方体的对角线长为/="+42+42=473，

设正方体的外接球的半径为R,可得2尺=4若，解得R=2百，

所以外接球的表面积为5=4而2=4兀.(2#)2=48兀.

故答案为：48限

【典例1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为6,则球的表面积为.

【答案】9万

【解析】该球为正方体外接球，其半径R与正方体棱长。之间的关系为2R=6a,

3

由a=VL可得火=5,所以球的表面积S=4万火2=9万.

答案：9加

【变式1-1］长方体446。的外接球的表面积为25/r,AB=43,AD=46,则长方体

ABCD-4BGR的体积为.

【答案】1272

【解析】因为长方体4ss的外接球的表面积为251,

设球的半径为R,由题意4%尺2=257，尺=2，2R=5,

2

长方体ABCD-ABCB的外接球的一条直径为AQ=JAB、AD2+AA；=5.

因为/8=6，AD=&,所以J3+6+44：=5,44]=4,

则长方体他CD-44GA的体积为40x44=12A/2.

故答案为：12及

题型二：外接球之正四面体模型

【典例2-1]（2024•天津和平•二模）已知圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为地，该圆锥的内切球也是

2

棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长。为（）

A.yJ2B.—V2C.3D.—^A/3—V2）

【答案】A

【解析】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为尸，球的半径为「，圆锥的底面半径为七

轴截面上球与圆锥母线的切点为0,圆锥的轴截面如图所示，

由己知可得48=S/=SB=3,所以△S48为等边三角形，故点P是的中心,

连接2P,则2尸平分NSA4,所以乙P2O=30。，故tan30°=°,

R

解得一坐五=鼻：=坐，故正四面体的外接球的半径/=亘

33222

又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，

从图中可以得到，当正四面体的棱长为。时，截得它的正方体的棱长为正4,而正四面体的四个顶点都在

2

正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

所以2r=,解得a=,

22

故选：A

【典例2-2】已知正四面体S-4BC的外接球表面积为6兀，则正四面体S-4BC的棱长为（）

A.1B.V2C.y/3D.2

【答案】D

【解析】••.正四面体S-/3C的外接球表面积为6兀，

.•.4兀店=6兀，解得R=逅（负值舍去），

2

设四面体的棱长为。，取3c的中点E,连接/E,

设顶点S在底面"BC的射影为。，则。是底面△NBC的重心，连接S。，则外接球的球心在SD上，设为

0,连接/。，

1S

B

贝小E=AD=-AE=^-a,

233

所以8370=争一争

在直角中，AO2=AD2+OD2,即1当］「FT

即♦卷+^__24，得得a=0（舍）或。=2.

故选：D

【变式2-1］（2024•陕西咸阳一模）已知正四面体S-/3C的外接球表面积为6万，则正四面体S-/BC的

体积为（）

A2夜R273「2n3V2

3334

【答案】A

【解析】设外接球半径为R,贝云=4%炉=6%，解得尺=逅，

2

将正四面体S-43C恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，

则正四面体S-/3C的外接球即为正方体的外接球，

则正方体的体对角线等于外接球的直径，

故=m，解得43=2,正方体棱长为2x¥=0，

故该正四面体的体积为（历-4x；x；x及x&x艮¥，

故选：A.

【变式2-2】如图所示，正四面体/BCD中,E是棱40的中点，尸是棱/C上一动点，3尸+PE的最小值为

旧，则该正四面体的外接球表面积是（）

A.127rB.327rC.8万D.24%

【答案】A

【解析】将侧面MBC和4CD沿/C边展开成平面图形，如图所示，菱形ABCD,

A

E

C

在菱形ABCD中，连接3E,交/C于点P,则3E的长即为8尸+PE的最小值，即BE=巧,

因为正四面体48CD,所以/C=AS,所以/BCD=120。，

因为E是棱4。的中点，所以/DCE=30。，

所以NBCE=ZBCD-/DCE=90°,

设。E=x，则AB=BC=CD=AD=2x,

所以CE=£x，则BE=y/BC2+CE2=缶=JiZ,所以x=JL

则正四面体ABCD的棱长为2亚,

所以正四面体的外接球半径为"x2及=6，

4

所以该正四面体外接球的表面积为$=4%（石『=12兀,

故选：A

题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型

【典例3-1】（2024•河南•开封高中校考模拟预测）已知四面体48co中，AB=CD=2#,

AC=BD=^,4D=BC=a，则四面体/BCD外接球的体积为（）

A.45兀B.”叵C.生生D.24世兀

22

【答案】C

【解析】设四面体/5CD的外接球的半径为R,

则四面体/BCD在一个长宽高为a/,c的长方体中，如图，

D

A

a2+b2^20,,

则加+c?=29,故R=J".、』2=运,

2+c2

a।c-—r4i1.22

故四面体/geo外接球的体积为旷=3位3=3兀*竺娅=竺县，

3382

故选：C

【典例3-2】在三棱锥S-A8C中，SA=BC=5,SB=AC=屈,SC=AB=g则该三棱锥的外接球

表面积是（）

A.507rB.100无C.150TID.200兀

【答案】A

【解析】因为£4=8C=5,SB=4C="i,SC=/8=V^,

所以可以将三棱锥S-ABC如图放置于一个长方体中，如图所示：

设长方体的长、宽、高分别为。、b、c,

a2+b2=41

贝惰〃+。2=25,整理得/+/+。2=50,

b2+c2=34

则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，

所以有a2+b2+c2=50=（2R）2=>R=5f,

所以所求的球体表面积为：5=4应?2=4*兀*［半）=5071.

故选：A.

【变式3-1］（2024•四川凉山•二模）在四面体/一2。中，AB=CD=^,AD=BC=s/29,AC=BD=277,

则四面体/-BCD外接球表面积是（）

256

A.64KB.32nC.256兀D.—兀

3

【答案】B

【解析】由题意可知，此四面体4-2。可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为6,

V25，2,四面体如图所示，

c

所以此四面体4-灰刀的外接球的直径为长方体的体对角线，即（2R）2=（g『+（后『+22,解得尺=2亚.

所以四面体N-BCD外接球表面积是5=4成2=4x7tx（20y=32it.

故答案为：B.

题型四：外接球之直棱柱模型

【典例4-1】已知直三棱柱N8C-4AG的6个顶点都在球。的球面上，若

AB=3,AC=1,ABAC=60°,AAl=2,则该三棱柱的外接球的体积为（）

.407r40V30K„320同兀「

A.---D.------C.-------D.

32727

【答案】B

【解析】设△481G的外心为Q，△/BC的外心为。2,连接。。2，。28。台，如图所示,

由题意可得该三棱柱的外接球的球心0为的中点.

在l\ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABxACcosABAC

=32+l2-2x3xlxcos60°=7,贝!|8C=疗，

由正弦定理可得MBC外接圆的直径2r=—生:=茎，则r=g,

sm60°y/3V3

而球心。到截面ABC的距离d=OO2=AA1=l,

设直三棱柱/8C-4月G的外接球半径为R,

由球的截面性质可得发=/+/=12+［得］=］,故尺=字，

所以该三棱柱的外接球的体积为%=:应?3=：无义|苧J=吟|电，

故选：B.

【典例4-2】（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知直三棱柱/5C-44G的6个顶点都在球。的表面上，若

2兀

/3=/C=l,/4=4,=则球。的表面积为（）

A.16兀B.2071C.28兀D.327r

【答案】B

2兀

【解析】如图所示，在ZUBC中，AB=AC=\,S.ZBAC=~,

由余弦定理得BC?=/g2+/c2-2/5・/CcosZ8/C=l+l—2X1X1COST=6,

设底面a/BC的外接圆的半径为「，由正弦定理得2r=.B]=2,即。/=1

再设直三棱柱N8C-4月G外接球的球心为。，外接球的半径为R，

在直角△00/中，可得R=Jo/+oq2=10/2+（21^=Vl2+22=Vs,

所以球。的表面积为S=4成2=4兀x（指）2=20限

故选：B.

【变式4-1】已知正六棱柱/8CDM—48G2耳片的每个顶点都在球。的球面上，且43=3,叫=4,

则球O的表面积为（）

A.427tB.48兀C.50冗D.52兀

【答案】D

【解析】因为43=3,所以正六边形N8CDE尸外接圆的半径r=3,

所以球。的半径R=、产+（9]=岳，故球。的表面积为4兀炉=52兀.

故选：D

【变式4-2］（2024・吉林长春•模拟预测）已知正四棱柱（底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱）的底面边长

为3,侧棱长为4,则其外接球的表面积为（）

A.25〃B.34万C.68〃D.100万

【答案】B

【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为d=,32+3?+4?=庖,

因此其外接球的半径为，=”，则其表面积为S=4m2=34"，

故选:A

题型五：外接球之直棱锥模型

__JT

【典例5-1】（2024・高三•辽宁大连•期中）在三棱锥力-BCD中，4。，平面38,ZABD+ZCBD=~,

BD=BC=2,则三棱锥A-BCD外接球表面积的最小值为.

【答案】（2+26）兀

ary

【解析】设NCBD=a,在等腰△BC。中，CD=2-SCsin-=4sin-

22)

设△BCD的外心是河，外接圆半径是「,

r=1--

a

cos—

2

设外接球球心是。，则。初，平面BCD,OMu平面8c则

同理AD_L3D,AD1DM,

又NDJ.平面8cD,所以NO//（W,OAffiU是直角梯形,

设CW=A,外接球半径为R,即。。=CM=R,

r2+h2=R2

所以4D=2/z,

/+(/。一〃)2=4

兀

在直角中，ZABD=一一a,ABAD=a,

2

221

tana=-----,AD=--------,h=--------,

ADtanatana

22

「211cosa2cosa2.z3、

R=—-—i------------------=—--------1---------------------=-----------------—I---------------------2।。。2(—cosa)

222cos

tana2asina1+cosa1-cosa1+coscr-a+2—2cosa2

cos——--------:-------2----------一1+—；-------2-----

21-cosa1-cosa

313

令/—cosa=%,则

n212f12t12、12,21+V5

R=—1H--------------=—1H--------------=—1H---------------->—1+

1-(1-02-t2+3t-^3-《+捺)不甲一三T丁

V4t

当且仅当局」当时等号成立,

所以4成2的最小值是4公上乎=(2+26)兀.

故答案为：(2+2A/5)K.

将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖篇”，已知“鳖捌尸-/蛇中,

7T

P4_L平面4BC,PA=AB,AABC=-,AB+BC=6,贝U“鳖膈”尸-4BC外接球体积的最小值为.

【答案】8显

【解析】根据题意三棱锥可以补成分别以8C,AB,产力为长、宽、高的长方体，如图所示，

P

其中PC为长方体的对角线，则三棱锥尸-ABC的外接球球心即为尸C的中点，

要使三棱锥尸-48。的外接球的体积最小，则尸C最小.

设/3=x,则P4=x,BC=6-x,|PC|=yjAB2+PA2+BC2=^(x-2)2+24,

所以当x=2时，|尸＜:京=2后，则有三棱锥尸-48C的外接球的球半径最小为布，

所以噎n=)、8后.

故答案为：8瓜n.

【变式5-1](2024•高三・贵州•开学考试)在三棱锥尸中，AB=BC=\0,ZABC=120°,D为AC

的中点，尸。1平面4BC,且尸。=15,则三棱锥尸-23C外接球的表面积为.

【答案】500兀

【解析】在△/3C中，4B=BC=U),ZABC=120°,

由余弦定理得4c2=4B?+BC?-2AB-BC-cosZABC^300,

所以NC=IO百，设△4BC的外接圆q的半径为r,

则由正弦定理得2r=—二,解得r=io

sinN48csin120°

因为。为/C的中点，尸DJ.平面4BC,且PO=15,

在RtZWD中，AD=；AC=5拒，BD7AB2-AD?=5，

又=r=10,则圆心Q到。点的距离为OQ=5,

另设三棱锥尸-/BC的外接球球心。到平面/3C的距离为。。=d,设外接球的半径为R,

则RtA002中，0尸+OO-=OB-,即1()2+储=之，

22

直角梯形尸。中，OXD+[PD-OO^=OP,即5?+(15-d)2=箱，

解得d=5,上=125,所以S=4位?2=5007r.

故答案为：500K.

TT

【变式5-2](2024•河南开封•三模)在三棱锥尸-NBC中，PA=AB,尸N1平面NBC,AABC=-,

AB+BC=6,则三棱锥尸-4BC外接球体积的最小值为()

A.8mliB.16巫itC.24&71D.32逐兀

【答案】A

【解析】根据题意三棱锥尸-NBC可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中PC为长方体

的对角线，

则三棱锥P-ABC的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥P-ABC的外接球的体积最小,则PC最小.

设/B=x,则=BC=6-x,\PC\=AB2+PA2+BC2=^3（x-2）2+24,

所以当x=2时，|尸C\n=2指,则有三棱锥尸-4BC的外接球的球半径最小为逐,

所以曦,=不斤=8如.

故选：A

题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型

【典例6-1】（2024•安徽芜湖•模拟预测）已知正三棱台NBC-48c的上、下底面边长分别为石，273,

且侧棱与底面所成角的正切值为3,则该正三棱台的外接球表面积为（）

A.97tB.IOVITTC.10百兀D.20TI

【答案】D

【解析】分别取△/3C、瓦G的中心E，尸，连结EF,过A作尸，

AR

因为N2=G，由正弦定理得2/E=—^左，得NE=1,同理可得4尸=2,所以4〃=1,

sin60

因为正三棱台ABC-4瓦C,所以后尸_L平面4AG,EF||AM,

所以_L平面431G,所以乙必河为侧棱AXA与底面所成的角,

所以川0=4四-211乙44河=3,所以E尸=/初=3,

设正三棱台的外接球球心。，因为E为上底面截面圆的圆心，尸为下底面截面圆的圆心，

所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心。在直线E尸上，

22222

设外接球。的半径为我，所以。/=。4=R，OA^AE+OE,O^=AXF+OF,

22

即尺2=12+。£2,R2=2+OF,

当。在所的延长线上时，可得JR2_12_JR2_32=3,无解；

当。在线段环上时，轴截面中由几何知识可得VFK+VF万=3,解得尺=右，

所以正三棱台43C-44G的外接球表面积为5=4成2=20兀.

故选：D

【典例6-2】（2024•全国•模拟预测）在正三棱锥中，BC=CD=DB=2,AB=AC=AD=y/3,

则三棱锥/-BCD的外接球表面积为（）

2771-27R27K

A.-----B.9兀C.------D.

254

【答案】c

【解析】方法一：如图，取正三角形BCD的中心为P,连接4P,PC,

则三棱锥/-BCD的外接球球心。在/尸上，连接OC.

在正三角形3C。中，BC=2,所以PC=2xBCsin4=2^.

33

在RtZUPC中，AC=5所以△尸=JNC，—尸C?=

设外接球的半径为五,

229

由0。2=0/2,Op^+pc=oc^>解得「二和,

277r

所以三棱锥A-BCD的外接球表面积S=4成2=—

故选:C.

方法二：在正三棱锥/-BCD中，过点A作//，底面BCD于点尸，

则F为底面正三角形88的中心，

因为正三角形38的边长为2,所以3尸=gx3Csin；=¥.

因为48=6，所以AF=d4B°-BF?=姮.

3

如图，以尸为坐标原点建立空间直角坐标系，

设三棱锥A-BCD的外接球球心为。（0。〃），半径为R.

/r-\2

由002=0/,得3+/二〃—空，解得〃=4，

313J2VI5

所以尺2=[4+"=£77,

27冗

则三棱锥A-BCD的外接球表面积S=4TIR2=—.

故选：C.

【变式6-1]（2024•山东荷泽・模拟预测）己知正三棱台的上、下底面边长分别为2也,4g,体积为42vL

则该正三棱台的外接球表面积为（）

「16075

A.20兀B.—71C.80兀D.-----------71

3

【答案】c

【解析】令给定的正三棱台为正三棱台N3C-4用G，A\B\=25AB=4^,

令正的中心分别为。1，。2,而其小,=^x（26了=3后I®=曰X（4Q）2=126，

贝M=；（3A/3+向豆豆7T+12y5）002=4273,解得OR=6,

△48©的外接圆半径「=26x等x|=2,△48C的外接圆半径r=4,

显然正三棱台的外接球球心在直线。0,设外接球半径为凡。O|=x,则|。。/=|6-刈，

因此斤=/+22=（6-xy+42,解得X=4,R2=20,

所以该正三棱台的外接球表面积为S=4兀尺2=8071.

故选：C

【变式6-2］（2024•黑龙江・二模）已知正四棱锥尸-/BCD的侧棱长为2,且二面角的正切值为

卡，则它的外接球表面积为（）

1628

A.——兀B.6兀C.8兀D.——兀

33

【答案】A

【解析】设正方形/5CZ）中心为0,取中点〃，连接尸。、PH、OH,

则尸OHVAB,PO_L平面/5CZ>,

所以ZPHO为二面角P—4B-C的平面角,即tanZPHO=2=底,

OH

设正方形N3CD的边长为“。＞0）,则尸0=坐0,

y,AO=-AC=-yla2+a2=—a,PA=2,所以尸。2+/。2=尸/2,

222

解得.=行（负值已舍去）,

则FO=若，AO=1,设球心为G,则球心在直线PO上，设球的半径为R,

所以外接球的表面积S=4位?2=44

I图3J上3

题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型

【典例7-1】（2024•陕西商洛•模拟预测）在三棱锥P-/2C中，PA=PC=AB=BC=AC=24i，

PB=36,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.48TIB.1271C.2771D.28兀

【答案】D

【解析】根据题意画出图形，如图所示，

分别取NC,PB的中点N,连接MV,PM,BM,

又PA=PC=AB=BC=AC=25

所以PM_L/C,BMLAC,PM=MB=3,

由图形的对称性可知：球心必在"N的延长线上，

设球心为0,连接OC,OB,

设半径为尺，ON=x,OC=OB=R,

可知AONS,AOVC为直角三角形，

OB2=ON2+NB2

所以,所以

OC2=OM2+MC1*=［泗+3

解得x=；,R2=7,

所以球的表面积为5=4兀炉=471x7=2871.

故选：D.

【典例7-2］（2024•安徽安庆•校联考模拟预测）三棱锥尸。中，PA=PB=PC=243,AB=2AC=6,

TT

NBAC=-,则该三棱锥外接球的表面积为.

【答案】48%

【解析】因为N3=2NC=6,NBAC三,所以由余弦定理可得cos/A4C=史至二生，解得

32x3x62

BC=3c,所以叱+叱=48,

所以。8C是以48为斜边的直角三角形，

因为PA=PB=PC=2^,

所以点尸在平面ABC内的射影是AABC的外心，

即斜边的中点，且平面平面A8C,

于是的外心即为三棱锥尸-ZBC的外接球的球心，

因此的外接圆半径等于三棱锥尸-/BC的外接球半径.

因为尸/=尸8=26，AB=6,

于是sinZAPB=2,

2

2R==6_4百

根据正弦定理知的外接圆半径R满足sinN4PB也

所以三棱锥P-4BC的外接球半径为火=2班，

因此三棱锥P-48c的外接球的表面积为4消2=4阮.

故答案为：48兀

【变式7-1】在三棱锥S-48c中，SA=SB=CA=CB=AB=2,二面角S-/8-C的大小为60。，则三棱

锥S-N5C的外接球的表面积为.

【解析】取48的中点。，连接SD,CD,因为"=S5=G4=C5=48=2,

所以△第台和。3c都是等边三角形，所以SDL48,CD，48,

所以N5DC是二面角S-48—C的平面角，即NSDC=60°,

设球心为O,△S/3和“3C的中心分别为尸,E,则O£_L平面Z3C,。尸1平面山15,

因为。£尸=、x@x2=@,0。公共边，所以AODE^AODF,

323

所以NODE=ZODF=30°,