高考数学一轮专项复习知识清单-三角函数的概念与三角公式应用（含解析）

三角函数的概念与三角恒等变换

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・里里循0永绐

角的概念］--［象源角］

Y终边相同的角）

Yo知识点一任意角与弧嬴避01终边相同的角的旃

「「取度教公式）型02根一知角碓寒的范圉

逊03席的而钿鳏;逾

翅04层隧瓠长与面画用

K扇形面积公式1j

三角函数的定义

-±1、

三角函数在各象限符号

。知识点二任意角的三角函数三正切、四融型10

型02判皆三角函数的符号

正弦线

凝03三角函数哪应用

三角函数的概念三角函数线余弦爱

与三角公式应用线

p.平方关■:ska-C—0=1

同角三角函数基本关森一商级系sin-anasina,cosa.tan卸一

,知识点三同角三角函数基本关系式型02sina、cosa齐次式«为切

L基本关系式的几瓶获，i^^03sina=cosa,sinacosafiST^

°与诱导公式

霞04利用话导公式化简求值

三角函数的诱导公式一（奇变偶根、符号舌象源

型01两毓］"的三角公式正序脸用

两角和与差的正弦、余弦、正切公式型02二倍角公式号S隼应用

型03

。知识点四三角恒等变换公式二倍角^5：

整04三角恒飙台情求值

埔助角型05三角恒融按给值求角

辘06三角恒敏蜡管化简

口识盘点・叁幅讣与

知识点1任意角与弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②

分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除

端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个

象限.

（3）终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，

构成的角的集合是5=/磔==360。+如kb}.

2、弧度制

定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

闷=4弧长用/表示)

角a的弧度数公式

r

①1°=4-rad；②1rad=f兀）°

角度与弧度的换算

180

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式

知识点2任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸(x,y),那么

定义

y叫做a的正弦，记作sinax叫做a的余弦，记作cosa“叫做a的正切,记作tana

X

I+++

II+一一

各象限符号

III一一+

IV一+一

小

斗(助(认N(L0)加味/斗(1,01

三角函数线

有向线段为正弦线有向线段。河为余弦线有向线段/T为正切线

知识点3同角三角函数基本关系式与诱导公式

1、同角三角函数基本关系式

(1)平方关系：sin2a+cos2a=l.

(3)商数关系：■『配‘0)

cosa

(3)基本关系式的几种变形

@sin2oc=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1-sin2a=(1+sinoc)(l—sina).

②(sin。±cosa)2=l±2sinacosa.

c/兀+匹，z]

(3)sina=tan(zcosal2J.

2、三角函数的诱导公式

公式--二三四五六

TC71।

角2E+a(《£Z)兀+a~aTi-a—a一"va

22

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana-tana

口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限

，，奇变偶不变，符号看象限，，中的奇、偶是指兀/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

知识点4三角恒等变换公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(a—份cos(a—£)=cosacos£+sin«sinP

C(a+份cos(a+£)=cosacosyff-sinasin^

S(a-£)sin(a—£)=sinacos^—cosasin£

S(a+£)sin((z+4)=sinacosyff+cosasin夕

/小tana—tan£

tan(a一夕)=----------；

T(a—⑶1+tanatan0

变形：tana—tanP=tan(a—£)(1+tanatan£)

/.c、tana+tan

tan(a+/7)=---------------；

T(a+仇1—tanatan0

变形：tanoc+tanS=tan(a+£)(1—tanatan£)

【注意】在公式T（a±⑶中a,P，a±£都不等于E+：（左GZ）,即保证12110：,1211£,1211（01士£）都有意义.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

变形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2oc-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2«；

C2a■w1+cos2a.1—cos2a

变71V形：cos?2a=-------------,smz9a=-------------

22

八2tana

T2atan2a=

1-tan2a

3、辅助角公式

一般地，函数/（a）=asina+bcosa（a,6为常数）可以化为｛a）=7户PNsin（a+

或负a）=W^PPcos（a-9）］、中心11"

点突破・春分好•检

重难点01sina,cosa齐次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值.常见的结构有：

（1）sina,cosa的二次齐次式（如asir^a+bsinacosa+ccos?。）的问题常采用“切”代换法求解；

（如asina+bcosa\

（2）sina,cos。的齐次分式［csina+dcosoj的问题常采用分式的基本性质进行变形.

2、切化弦：利用公式tana=9,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切的时候，采用此技巧.

cosa

【典例1］（23-24高三下•河南洛阳•模拟预测）已知tana=2,则：sina+cosa=（）

2sma-cos6Z

111一5

A.—B.—C.一D.2

333

【答案】B

・左力e、rc5sina+cosa5tana+15x2+111林、生

【解析】因为tana=2,所以丁---------=--------=cci,故选：B.

2sina-cosa2tana-12x2-13

【典例2］（23-24高三下•四川•模拟预测）已知tana=2,则siVa+cosZa=（）

A.-i111

B.-C.—D.一

2345

【答案】D

sin2cr+cos26z_cos2a_1_1痂法

【解析】因为si/a+cos2a=

si.n9a+cos7asi•n2a+cos7atan7a+15,

【典例3］（23-24高三下•广东・月考）若tana=2,贝人M2。+吧也=（）

tana

6136

A.-B.C.--D.--

5355

【答案】A

.sin2a一：一2sinycosa.c2sida\-2co&a

sin2a-\------二2~,2

【解析】tan。sin«sirfCH-co§a-

COS6Z

sina则近a+2cos2atan2a+26工小4

因tana=-------,----------—=—j-----=-.故选：AA

cosasina+cosatana+\5

重难点02sina土cosa与sinacosa关系的应用

对于sina+cosa,sincosa,sinacosa这三个式子，矢口一可求二，

若令sina+cosa引一仍，也］）,则sinacosa='？1，sina—cosa=士也二注意根据a的范围选取正、

负号），体现了方程思想的应用.

【典例1］（23-24高三下•吉林长春•三模）已知戊£（0,兀），且sina+cosa=g,则sin2a=.

24

【答案】一

【解析】因为sina+cosa=（，

所匕匚以1、1（s'ma+cosa\2=—1nsi.n2a+cos2a+2ns,macosa=—1nc2.sinacosa=--2-4-=>si.nl。a=--2-4-.

I725252525

【典例2］（23-24高三上•山东•开学考试）若。e（0,$,sine-cos*正，则tan"（）

25

A.yB.2C.-D.3

23

【答案】B

Ro

【解析】由（sin。+cosOp+（sin。—cosOp=2,sin^-cos<9=——，得（sine+cos。）？=:，

55

而。e（o,$,即sin。>0,cose>0,解得Sin0+cos0=地，

25

因此sin6=述,cos8=啦，所以tan6=*=2.故选：B

55cos。

【典例3］（23-24高三下•湖南岳阳•二模）已知〃€2,$也（修+/］+<：051胃-4=；,则（）

.11「8「8

A.coscr+sincr=—B.cosa+sina=——C.sin2a=——D.sinzcr=—

3399

【答案】C

【解析】设kez

①〃=4左时，sin||+cos||=sinfai+acos（2k7^~a）=sinz+cosz=-,

②〃=4k+1时，sinf-^-+aj+cosf\=sin12kn+^+aj+cos2kji+^~aj=cosz+sinz=,

..rm）rni

③〃=4左+2时，sml—+<7l+cos—-一a=sin（2hr+7c+a+cos（"兀+7?-a）=-sinz-cosz=

止匕时cosa+sina=——

3

f〃兀

④〃=4左+3时，sinl—+«+cos---a=sin2E+—兀+a+cos2E+—兀-a=-sina-cosa=—,

[2[2[23

止匕时cosa+sina=

3

综合①②③④，可以排除A、B,

1

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=sin2a+cos2a+sin2a=1+sin2a=§,

Q

所以sin%=.，故选：C.

重难点03三角函数式的化简要遵循“三看”原则

【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幕与升幕等.

【典例1】(23-24高三下•广东•二模)tan7.5°-tan82.50+2tan15°=()

A.-2B.—4C.—2D.—4-\/^

【答案】D

【解析】tan7.5°-tan82.5°4-2tan15°=sin7.5——sin82.52tan15。

cos7.5°cos82.5°

_sin7.5。cos7.5°sin27.5°-COS27.5O。.

+2tanl5°=----------------F2tanl5°

cos7.5°sin7.5。sin7.5°cos7.5°

cos15°2sin15°2(sin2150-cos2150)4cos3。。_后

—sin150cosl50sinl5°cos15°sin3(F.故选：D

2

2cos650COQ15。

【典例2](23-24高三下•重庆•模拟预测)的值为()

tanl50cosl0o+sinl0°

A2+V3□1+V3「2+V3「1+V3

-ZY•_D••JLJ•

2244

【答案】A

*2

r2COS65°COS15°2cos65°cos15°sin25°x(l+cos30°)=]+叵="^,故选：.

【角军析】---------------A

tan15°cos100+sin10°sinl50cosl0-+sinl00cosl5°sin25°22

sin80°+cos50°V-6

【典例3］（23-24高三下•河南焦作・月考）)

sin25°2tan25°

A.男V2

B.—D.

22~T

【答案】A

sin800+cos50°V6_sin(60°+20°)+cos(30°+20°)6cos250

【解析】

sin25°2tan25°sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin20°+cos30°cos20°-sin30°sin20°V6cos25

sin25°2sin25°

V3cos200+sin20°+V3cos20°-sin20°V-6cos25°A/3COS20°指cos250

2sin25°2sin25°sin2502sin25°

_百cos(45O-25。)_Ccos25。G(cos45°cos250+sin45°sin25°)76cos25°

sin25°2sin25°sin25°2sin25°

A/6COS25°+V6sin25°V6cos25°逐"、生

-------=—.故选：AA.

2sin25°2sin2502

法技巧•逆襄学露

CL

一、确定角上5wN+）终边所在象限的方法

n

ry

法1分类讨论法：利用已知条件写出a的范围（用左表示），由此确定竺的范围，在对左进行分类讨论，从

n

而确定上ry所在象限。

n

法2几何法：先把各象限分为，等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二

rv

四……则a原来是第几象限的角，标号为几的区域即角-终边所在的区域。

n

0

【典例1】（23・24高三下•四川绵阳•三模）已知sin/tane<0,且cos6・sin。<0,则一为（）

2

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

【答案】C

•2/□

【解析】由sine・tan8<0,——<0,贝！Jcos。<0且sin。w0,又cos8・sin。<0,

cos。

兀

因此cos。<0且sin。〉0，。是第二象限角，即一+2左兀<。<兀+2左兀，左EZ,

2

则:+E<g<£+E#eZ,当上为偶数时，鸟是第一象限角，当上为奇数时，鸟是第三象限角,

42222

n

所以W是第一或三象限角.故选：c

2

zy

【典例2]（23-24高三上•广东广州•二调）已知sin。>0,cosa<0,则《的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因为sina>0,cosa<0,

jr

所以。为第二象限角，即一+2左兀<。<兀+2左兀,左EZ,

2

7i2左兀a兀2ku,〜

所以7+丁W+k，壮z，

63333

_.oc..,.v।，.〜、t（7i7i]（5TLII3TT5兀、――，・〜m

则§的终边所在象限为仁兀）J所在象限，

即1的终边在第一、二、四象限.故选：D.

aCYa

【典例3]（23-24高三上•甘肃天水•月考）设。角属于第二象限，且coS'M-coS],则£角属于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】Q。为第二象限角，.•.90°+k360°<a<180°+k360°ReZ）,

zy

45°+—180°<—<90°+-180。（。4）；

当无=2M〃eZ）时，5为第一象限角；当上=2〃+1（〃©2）时，5为第三象限角；

.为第一或第三象限角；

・•,cos1=-cosW，・•.cos^vO,?为第三象限角.故选:C.

2222

二、扇形的弧长与面积应用

1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【典例1］（23-24高三上•黑龙江哈尔滨・月考）已知扇形弧长为圆心角为2,则该扇形面积为（）

A.—B.—C.-D.1

18363

【答案】B

【解析】设扇形所在圆的半径为,，

因为扇形弧长为：IT，圆心角为2,可得"=TT可得r=ITB，

336

由扇形的面积公式，可得S=Lb=1x亚故选：B.

223636

【典例2］（23-24高三上•江苏徐州•月考）已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为（）

A.2B.4C.2也D.473

【答案】D

【解析】设扇形的弧长为/,半径为「，

所以扇形的面积为1・//=3,所以〃=6,

又扇形的周长为7+2厂，所以7+2y=4百，

当且仅当（=2］即/=2'=2百时，取等号.故选：D.

/r=6

【典例3］（23-24高三下•湖南•一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻

勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外楼空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度忽略不计）,

3

测得各项数据（图2）：ABx8cm,AD~2cm,AO~5cm，若sin37°a二,71a13.14,则璜身（即曲边四边形48cD）

面积近似为（）

图1图2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【答案】C

【解析】显然“03为等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,

则c上3

4,sinN045=—

5

OA5

又sin37°e|,所以/O/B°37°，于是=180°—2义37°=106°=答，

所以璜身的面积近似为3//。巩。1-。。2）=9警（52-乎卜14.8（cm?）.故选：C

三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法

1、已知角a的终边上一点尸的坐标，求角a的三角函数值

方法：先求出点尸到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。

2、已知角a的一个三角函数值和终边上一点尸的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值

方法：先求出点尸到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未

知数，从而求解问题。

3、已知角的终边所在的直线方程（）=右,左力0）,求角的三角函数值

方法：先设出终边上一点尸伍,左a）,a#0,求出点尸到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意

。的符号，对a进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角。的三角函数值。

【典例1］（23-24高三下•江西•二模）已知角二的终边经过点河（行,1）,则cosa=（）

A.—B.—C.V2D.—

332

【答案】A

【解析】根据题意厂=|OM|="拒『+a=J5,

由三角函数的定义得cosa='=吗=逅.故选：A.

rV33

【典例2］（23-24高三下•北京朝阳•二模）在平面直角坐标系xQy中，锐角夕以O为顶点，Ox为始边.将。的

终边绕O逆时针旋转;后与单位圆交于点P（x/）,若cosc=①，则了=（）

410

43_34

A.—B.——C.-D.一

5555

【答案】D

【解析】如图，

由cosa----,0<cr<—,得sina=Jl-cos2a=-------,

10210

所以y=sin(a+^)=^-(sina+cosa)==.故选：D

【典例3】（23・24高三下•河南•一模）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角。，其终边落在直线〉二%

上，则有（）

A.sina=------B.cos=—C.sina+cosa—±V2D.tana=±1

22

【答案】C

【解析】因角a的终边落在直线V=x上，a=-+2knsga=—+2kn,keZ.

44

对于A,当a=2+2E,左eZ时，sina=—,故A项错误；

42

对于B,当二=孚+2左兀,左£2时，cosa=_—1故B项错误；

42

对于C,当a=］+2左兀，左eZ时，sina+cosa=75，

5兀

当。=7~+2左兀,左£Z时，sina+cosa=-逝，故B项正确;

7T

对于D项，当a=—+2E,左eZ时,sina=—,cosa=—,则tana=l；

422

当［=学+2左兀,左£2时，sincr=，cosa=——则tana=1.故D项错误.故选：C.

422

四、对sina,cosd,tana的知一求二问题

1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2a+cos2a=l求解

2>知弦求切：常通过平方关系，与对称式sina土cosa,sinorcosa建立联系，注意tana=""的灵活应用

cos

3、知切求弦：先利用商数关系得出sina=tanGrcosa或cosa=^4,然后利用平方关系求解

tana

【典例1］（23-24高三上•河北邢台・期末）若sina=-4,且。为第三象限角，则tana=（)

4

V39

A.

~L3~

【答案】B

【解析】因为sinc=-3,且a为第三象限角，所以cosa=-

4

sina

故tana-a故选：B

cosaIF

3

【典例2］（23-24高三上•上海松江•期中）已知cos6=不，且sin6<0,贝UtanS的值为（）

【答案】A

_______4

【解析】由题意得si"=-Jl-cos2e=-J,贝==£=-g，故选:

'⑸5cos。£3

5

371

【典例3］（23-24高三上•内蒙古赤峰•期中）已知tana=3,兀<a<——贝Ucosa—sina=

2

【答案】平

3兀

【解析】Qtana=3,兀<a<—,

2

3厢

cosa=理-

a1010

Vio3V10Vio

则cosi-sina=--1---二—

10105

五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

任意负角任意正角0〜2n的

利用诱导公式利用诱导公式一利用诱导公式二锐角三

的三角函的三角函角的三角

角函数

数二或~■*数函数或四或五

也就是：“负化