高考数学压轴题专项训练：导数中的极值偏移问题（全题型压轴题）含答案及解析

专题11导数中的极值偏移问题（全题型压轴题）

目录

①对称化构造法......................................................1

②差值代换法........................................................3

③比值代换法........................................................4

④对数均值不等式法..................................................5

①对称化构造法

1.（多选）（2023春•山东德州•高二统考期末）定义在R上的函数满足/■'（力=d+/（力，且/（0）=1,

则下列说法正确的是（）

A.“X）在x=-2处取得极小值

B.有两个零点

C.若Vx>0,/（力>左恒成立，则上<1

D.若玉「x2eR,x^x2,/（±）=/（々），则西+/<-4

2.（2023春•河北张家口•高二统考期末）己知函数/（x）=xlnx.

⑴求函数/'（x）的单调区间和极值；

（2）若方程〃x）=2x-l的两个解为毛、X%,求证:x,+x2>2e.

3.(2023春•河南周口•高二校联考阶段练习)已知函数〃x)=三手，aeR

⑴若。=2,求的单调区间；

若为，演是方程八句=等的两个实数根，证明：

(2)a=l,1X,+X2>2.

4.(2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测)已知函数〃到=%-向仁尤卜。1以.=1为其极小值点.

⑴求实数。的值；

⑵若存在AH%，使得/(%)=/(不)，求证：x{+x2>2.

5.(2023•全国•模拟预测)已知函数〃x)=(尤-e-De'-gef+eZx.

⑴求函数〃x)的单调区间与极值.

(2)若/'(xj=/(x2)=/(x3)(xi<三)，求证：工2'<e-l.

②差值代换法

1.(2023・全国•高二专题练习)已知函数g(x)=e*-ax?-ox,h{x)=e'-2x-Inx.其中e为自然对数的底

数.

(1)若/(x)j(M-g(x),讨论了(无)的单调性;

2

(2)已知。>0,函数g(尤)恰有两个不同的极值点玉，巧，证明：x,+x2<ln(4a).

2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数"x)=；e2*-(a+l)(x-l)e，+gax3,〃x)的导函数为尸(x).

⑴若/(无)在(0,+8)上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)若求证：方程/'(x)+(a+l)xe，=。在(0,+“)上有两个不同的实数根和七(为<々)，且

3.(2023・河南•校联考模拟预测)设函数1-加(meR).

⑴讨论〃力的单调性;

⑵若〃尤)有两个零点均和々，设毛=七巴，证明：/(x0)>0(尸⑴为的导函数).

③比值代换法

1.(2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=x21nx-a(aeR).

(1)求函数的单调区间；

⑵若函数/(X)有两个零点4、4，证明1<玉+工2<.

2.(2023•广东茂名•茂名市第一中学校考三模)己知函数/(x)="+(a-l)lnx+J,oeR.

⑴讨论函数的单调性；

(2)若关于％的方程〃龙)=祀，-111%+^有两个不相等的实数根巧、々，

(i)求实数。的取值范围；

,一、4Te"e*2a

(ll)求证:1--->-----

X2菁%工2

3.(2023•江西南昌•南昌县莲塘第一中学校联考二模)己知函数〃x)=x(lnx—a),g(x)=^-+a-ax.

⑴当时，/(x)N-lnx-2恒成立，求a的取值范围.

2

(2)若g(x)的两个相异零点为占，巧，求证：XjX2>e.

4.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=lnx-4+l（aeR且4片0）.

尤

（1）若函数AM的最小值为2,求。的值；

⑵在（1）的条件下，若关于X的方程/。）=机有两个不同的实数根和马，且芯<%，求证：X]+z>2.

④对数均值不等式法

1.（2023春•福建厦门•高二厦门双十中学校考阶段练习）已知函数〃x）=a尤-4-lnx（a>0）

X

⑴已知了（无）在点（1,/（I））处的切线方程为y=x-l,求实数。的值；

⑵已知了（尤）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.

⑶己知g（x）=〃x）+E有两个零点看，巧，求实数。的取值范围并证明为%>e?.

2.（2023春•福建莆田•高二校考期中）已知函数〃尤）=lnx-ar?.

（1）讨论函数的单调性：

（2）若占，%是方程/（力=0的两不等实根,求证：片+考>2e；

3.(2023•全国•高三专题练习)设函数/(x)=ln(x-l)-"[2).

⑴若f^)>0对Vxe[2,y)恒成立，求实数k的取值范围；

(2)已知方程的二D=上有两个不同的根毛、巧，求证：%+%>6e+2,其中e=2.71828…为自然对数的

x-l3e

底数.

4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x—sinx—tanx+alnx+b,xG^0,yj.

⑴求证：2xvsinx+tanx,

⑵若存在毛、且当时，使得/&)=/«)成立，求证：学<L

专题11导数中的极值偏移问题(全题型压轴题)

目录

①对称化构造法......................................................1

②差值代换法........................................................3

③比值代换法........................................................4

④对数均值不等式法..................................................5

①对称化构造法

1.(多选)(2023春•山东德州•高二统考期末)定义在R上的函数满足/■'(力=d+/(力，且/(0)=1,

则下列说法正确的是()

A.“X)在x=-2处取得极小值

B.有两个零点

C.若Vx>0,/(力>左恒成立，则％<1

D.若玉「x2eR,Xj^x2,/(±)=/(々)，则西+/<-4

【答案】AD

【详解】因为/'(x)=e，+/(x),所以、(x)：/(x)=i,

e

令g(x)=勺，则g，(x)J7%,

所以设g(x)=里Lx+C,所以〃x)=(x+c)e)

又因为〃0)=c=l,所以/(x)=(x+l)eZ

对于A,因为〃x)=(x+l)e"所以尸(x)=(x+2)e，\

令〃x)=(x+2)e*=。,得x=-2,

当x<—2时，f'(x)<0,〃x)单调递减，

当x>-2时，-(尤)>0,单调递增，

所以“X)在尤=-2处取得极小值，故A正确；

对于B,令〃x)=(x+l户=0,得x=-1,

所以/(X)有一个零点，故B错误；

对于C,因为在(0,+")单调递增，所以x>0时，/(x)>/(O)=l,

所以左W1,故C错误；

对于D,因为/(X)在(-哂-2)单调递减，(-2,收)在单调递增，

且“X)唯一零点为-1,当X--8时，/(%)<0且/(x)->0,

所以若叫，々eR，占*々，/(%)=/(切，

_

可以设2<x2<—1,

假设玉十工2<—4正确，下证明％1+入2<—4，即证演<一4一兀2，

因为玉<-2,-3<-4-％2<-2,/(%)在(-(^,一2)单调递减，

所以即证七)，即证/(马)>/^一4一々)，

构造/7(x)=〃x)-“T-x),Xe(-2,-1),

2x+4_1

则〃(x)=(X+2)+(-X-4+2)e*，=(x+2).—不一，

因为—2<x<—1,所以x+2>0,e'+4>0»2x+4>0,贝Ue"""—1>0,

所以〃⑺在(-2,-1)上单调递增，所以〃(x)>〃(一2)=/(-2)-/(-2)=0,

即石<-4-4得证，原式成立，故D正确.

故选：AD

2.(2023春•河北张家口•高二统考期末)己知函数/(x)=xlnx.

⑴求函数的单调区间和极值；

(2)若方程〃x)=2x-l的两个解为毛、演，求证:%+%>2e.

【答案】①减区间为增区间为1,+，!，极小值为了［：］=-:，无极大值;

⑵证明见解析

【详解】⑴解：函数/(%)=如九的定义域为(0,+。)，且尸(x)=lnx+l,

令「(同=。可得X=g,列表如下：

1

X

e

—0+

“X)减极小值增

所以，函数“X)的减区间为1。,：)，增区间为g,+。，极小值为无极大值.

(2)解：设Mx)=/(x)-2x+l=xlnx—2x+l,其中x>0,贝|〃'(x)=lnx-l,

令〃(x)<0,可得0<x<e,此时,函数。力在(O,e)上单调递减,

令〃(x)>0,可得X>e,此时，函数力⑺在(e,+8)上单调递增，

所以，％=e是函数九⑴的极小值点，

因为函数力(X)有两个零点七、巧，设占</，则。<%<e<X2，

即且0<国<eV%,要证再+无2>2e,即证2>2e-±>e,

因为函数九(外在(e,+oo)上单调递增，

所以,只需证明:h(x2)>h(2e-xl),即证。(而)>/i(2e-西),

令p(x)=/z(x)—/z(2e—A：)=xlnx—(2e—x)ln(2e—X)—4x+4e,其中0<x<e,

贝！］"(x)=lnx+ln(2e-x)-2=ln(^2er-x2)-2,

因为0cx<e,则2ex-x2=-(x-e)2+e2e(0,e2),

所以，y(x)=ln(2ex-x2)-2<lne2-2=0,故函数p(x)在(0,e)上为减函数，

又因为P(e)=O,所以，p(x)>0对任意的xe(O,e)恒成立，

则〃(占)=/1(%)一/1(26-芯)>0,gp/z(jq)>/z(2e-x1),故26<%+%成立.

3.(2023春•河南周口•高二校联考阶段练习)已知函数/")=汨竺，aeR

⑴若。=2,求的单调区间；

(2)若。=1,占，巧是方程的两个实数根，证明：XI+X2>2.

【答案】(1)单调递增区间为(2-&,2+0),单调递减区间为卜叫2-&),(2+应,+8)

⑵证明见解析

【详解】(1)由题可知的定义域为R,

X?—4x+2

f'(x)

令力(力=/—以+2,贝U〃(x)=O的两根分另I］为%=2—逝，々=2+0.

当x＜2-后或无＞2+0时，/'（“＜0；

当2-夜＜x＜2+应时，,勾＞0；

所以“尤）的单调递增区间为（2-应,2+0），单调递减区间为（f,2-夜），（2+0,+8）.

（2）原方程可化为In%-%?+%+1=0,

设g（x）=lnx—%2+%+1,则g＜x）_J__2x+]=_2.+丁+1,x＞0.

xx

令g'（尤）=。，得%=1.•••在（。,1）上,gz（x）＞0,在（L+°o）上,g'（%）＜0,

g（"在（O,l）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，

g（x）＜g⑴=-1+1+1=1＞0,且当％＞0,%趋向于0时，g（x）趋向于华，

当%趋向于+00时，g（x）趋向于-8.

则g（%）在（。，1）和（I+00）上分别有一个零点七，演，

不妨设。＜王〈1〈工2，0＜＜1,2-石＞1,

设G（x）=g（x）-g（2-%）,贝UG（x）=（1皿-%2+无+1）_[1口（2-%）-（2-%）2+（2一力+1]=\wc-ln（2-x）-2x+2,

12f—4x+2

Gr（x）=-+-2=

2—xx（2-x）

当0v九v1时,G（九）＞0,

G（x）在（。,1）上单调递增，而G⑴=0,

.,.当0＜x＜l时，G（x）＜0,g（x）＜g（2-x）,即g（石）＜g（2—玉）.

8（々）=8（不）,

g（9）＜g（2-%）.

g（无）在（1,叱）上单调递减,

>2—玉，即%+%>2.

4.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）己知函数"X）=x-sin[gxj-aInx,x=1为其极小值点.

（1）求实数。的值；

⑵若存在工产马,使得玉）=/。2）,求证：X]+%＞2.

【答案】⑴。=1

（2）证明见解析

【详解】（1）/⑺的定义域为（0,+8）,

TT（TV\（1

f\x）=1--cos—x,依题意得了⑴=1-〃=0,得4=1,

2v2/x

jr

止匕时/'(x)=1-5COS

、1/c—_L八兀兀八兀，兀、兀1,

当Ovxvl时，0<一%<一,0<—cos—x»->1故[(尤)<0,7⑴在(0,1)内单调递减,

222y2J2x

当l<x<2时，上〈色尤〈兀，£cos(gx]<°，-<1>故/'(无)>0，/⑺在(1,2)内单调递增,

222\27x

故/(对在X=1处取得极小值，符合题意.

综上所述：a=l.

(2)由(1)知，/(x)=x-sin(l-lnx,

不妨设。<再</，

当1V占<三时，不等式尤1+%>2显然成立;

当。<尤1<1,922时，不等式玉+%>2显然成立;

当。<芯<1,0<々<2时，由(1)知/(x)在(0,1)内单调递减，因为存在无I#尤2,使得/(%)=/(々)，所

以1v々v2,

要证%+%>2,只要证石>2—9,

因为1<々<2,所以0<2-％2<1,又/(九)在(0,1)内单调递减,

所以只要证/(%)</(2-々)，又/&)=/(%)，所以只要证/(%)</(2-%),

设尸(x)=/(x)-f(2-x)(l<x<2),

则尸《I一净2X)

c/11、兀/(兀)/兀、、

=2-(―+----)-—(cos—X+COS(7l--x))

x2-x2k2J2

=2c-(/一+-］--)、-—兀/(cos—兀x-cos(/—兀x)、)、

x2-x212J2

=2一d+J),

x2-x

令g(无)=2_(工+；^—)(l<x<2),14-4x

x2-x(2-x)2X2(2-X)2

因为1cx<2,所以g'(x)<0,g(尤)在(1,2)上为减函数，所以g(x)<g⑴=0,

即F'(x)<0,

所以厂(无)在(1,2)上为减函数，

所以尸(x)〈歹(1)=0,即/(无2)</(2-々).

综上所述：工+%>2.

5.(2023■全国■模拟预测)已知函数/(x)=(x-e-l)e*-gex2+e2x.

⑴求函数f(x)的单调区间与极值.

(2)若/(占)=/(工2)=/(%)(%<%<三)，求证：与2网<e—l.

【答案】⑴单调递增区间为(-8,1)和(e,+向，单调递减区间为(Le)；极大值为-ge,极小值为Y+；e3

(2)证明见解析

【详解】⑴定义域为R,7,(x)=(x-e)ex-ex+e2=(%-e)(ex-e),

令/'(尤)=0,解得：x=e或*=1,

.,.当xe(F,l)U(e,+8)时，>0；当xe(l,e)时，尸(“<0；

\/(a)的单调递增区间为(f,l)和(e,+8),单调递减区间为(l,e)；

的极大值为"1)=-1e,极小值为〃e)=+1e3.

(2)由(1)知：Xj<1,1<x2<e,x3>e.

^>F(x)=/(x)-/(2-x),l<x<e,

A2-xeCJ：1

贝UF'{x)=/'(%)-[/(2-x)]=(x-e)(e-e)+(2-x-e)(e-e)=x,[(x-e)e-+x+e—2]；

令G(x)=(x-e)e'-1+x+e-2,则G'(x)=(x-e+l)e'i+1；

令H(x)=G(x),则ZT(x)=(x_e+2)ei,

H'(x)>0在(l,e)上恒成立，：.H(x)在(l,e)上单调递增,

.-.H(x)>H(l)=3-e>0,

.•.G'(x)>0在(l,e)上恒成立，，G(x)在(l,e)上单调递增，.•.G(x)>G(l)=0,

••・尸'(x)>0在(l,e)上恒成立，.•.尸(x)在(l,e)上单调递增，.•.P(x)>—l)=0,

■〃2-x)对任意xe(l,e)恒成立.

.•./(X2)>/(2-X2),又〃％)=〃马)，-以,

,."(X)在(-8,1)上单调递增，x(,2-%2e(^»,l),:.xt>2-x2,即/+芍>2；

令zn(x)=/(x)-/(2e-x),l<x<e,

则=/，(x)+[〃2e-x)]=(x-e)(e*—e)+(2e-x-e)(e2eT-e)-(^-e)(e'-e'e'T)；

2exexee

...>=e'-e-在(1,e)上单调递增,：,e-^-<e-e=0,

加(尤)>0在(l,e)上恒成立，在(l,e)上单调递增,

m(x)<m(e)=0,/(x)</(2e-x)对任意xe(1,e)恒成立.

••,x,e(l,e),.•./(x2)</(2e-^).又/(苍)=〃玉)，.•.〃w)</(2e-*),

；在(e,+oo)上单调递增，且毛,2e-9e(e,+<x>),x3<2e-x2,x2+x3<2e；

由西+工2>2得：_%_迎<_2,-x,+%,)+(-%[-x2)<2e-2,—~~—<e-l.

②差值代换法

1.(2023,全国•高二专题练习)已知函数g(x)=e*-ax2-or,h(x)=ex-2x-lnx.其中e为自然对数的底

数.

(1)若"x)=〃(x)—g(x),讨论〃尤)的单调性;

2

(2)已知。>0,函数g(尤)恰有两个不同的极值点与，巧，证明：%1+x2<ln(4(7).

【答案】(1)当aWO时，函数AM在(0,+⑹上单调递减；当。>0时，函数/*)在(o,：]上单调递减，在

单调递增；(2)证明见解析.

【详角军】角麻(1)/(x)=h(x)—g(x)=ex-2x-Inx—ex+ax2+ax=ax2+(a-2)x-lnx(x>0),

.zc、12a/+(〃一2)%一1(2%+l)(ox-l)/

/'(X)=2QX+(Q—2)——=------------——=-----------(x>0),

XXX

(i)当。《0时，r(x)<0,函数/3在(0,+8)上递减；

(〃・)当。>0时，令((无)>0,解得x>2；令/'(x)<0,解得0<%<!，

aa

；・函数在(。,「递减，在[,+[(递增；

综上，当时，函数/(九)在(。,+8)上单调递减；

当4>0时，函数/(x)在(o,：)上单调递减，在单调递增；

一{eX}—2ax[—a=G

(2)证明：g\x)=ex-2ax-a,依题意，不妨设玉<马，贝叫刀。八，

2

\e-2ax2-a=0

两式相减得，2“=上之，

石~X2

因为。>0,要证玉+x,<ln(4°2),即证三土三<in2a,即证e华〈空二e，

\)2石_尤2

X\-X2

两边同除以即证(%]_/)6丁

令/=石-%(%<0),即证痉一一+1>0,

令%«)=._d+l(/<0)，则"⑺=-e2e2_1；+l],

令°«)=«2-,+1],则e2-1,

)2<)

当1<0时，p'(f)<0,所以p(f)在(-℃,。)上递减，

p(f)>p(0)=0/?,(/)<0,h(t)在(-8,0)上递减，

二版/)>飘0)=0,即招：_/+]>0，

故X]+x?<ln(4a2).

2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃尤)=ge2，-(a+l)(x—l)e，+gox3,的导函数为尸(x).

(1)若/(%)在(0,+动上单调递增，求实数a的取值范围；

⑵若求证：方程/'(x)+(a+l)%e“=0在(0,+。)上有两个不同的实数根石,X2(西<马)，且

°3—e

3%-x<----.

2e-1

【答案】⑴(—8,e]

⑵证明见解析

【详解】(1)=e2x-(6?+l)xex+ox2=(e，一依)[芯一]),

^g(x)=ex-x(x>0),则g'(x)=e，一1>0,

所以g(x)在(。,+8)上单调递增,g(x)>0,

所以令广⑺之。，得e="之0(%>0),即〃(F(x〉0).

设〃(x)=S(x>0),则/⑺=白一了,

XX

当xe(O,l)时,//(x)<0,/?(%)单调递减，

当xe(l,+co)时，//(x)>0,/z(x)单调递增，

所以/z(x)2/z(l)=e,所以aVe,此时广(x)N0,〃x)在(0,+功上单调递增，

故a的取值范围是(-00,e].

(2)要证尸(x)+(a+l)xe'=。在(0,+s)上有两个不同的实数根和%.

即证方程e2，=-依2在仅,+⑹上有两个不同的实数根占

即证方程f=G在(。,+e)上有两个不同的实数根为,三,

X

由（1）知＞0）在（0,1）上单调递减，在（1,+°°）上单调递增，且当x—＞0+时，"（x）'+oo,

时，/2（%）—+8,

又fi（l）=e,a＜-16,

所以方程J=G在（0,+8）上有两个不同的实数根毛，巧，且0＜%＜1.

X

因为a＜-16,所以J工＞4,

2

又可2）=5e＜4,所以々＞2,（点拨：根据函数的单调性得到巧的范围）

2

易知e为=yj—aXy，e^=y[—ax2,

两式分别相加、相减得e*+e9=/^（%+工2），e电-e'，

得%+%=（々rJ（e巧+炉）二（了一芯乂心-+1）=%।2（々-%）.

1X2x,21-x,

2e-ee巧e^-1

设/=%2—X，则力>1,x2+Xj=t----,

?/

所以3芯-毛=（毛+%）-2（工2-司）="—j'一—（换元，将双变量问题转化为单变量问题）

，/、2-2

、几/、2t

设根（。二7二一/(f>l)，则7"⑺=(t'2-l<0,

e—1(eT)

9Q_

所以根⑺在（L+8）上单调递减，所以〃?（。＜告-1=一e，得证.

e—1e—1

3.（2023・河南•校联考模拟预测）设函数/⑴=的-廿一巩加^^.

⑴讨论八力的单调性;

⑵若〃无）有两个零点々和巧，设毛=七三，证明：/（^）＞0（尸（X）为〃x）的导函数）.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【详解】（1）解:因为/（x）=〃ix—e,-机，贝ijr（x）=〃Le”,

若〃k0,对任意的xeR,则/'（x）＜0,函数〃x）的单调递减区间为（F,y）；

若机＞0,令/''（x）=〃z-e*=0,得x=ln7〃,

当x＜ln〃?时，/,x）＞0,当x＞ln/"时，/'（尤）＜0.

所以/（X）的增区间为（-co,ln；"）,减区间为（In%,”）.

综上所述，当加40时，函数/（x）的单调递减区间为（3,+8）；

当7">0时，函数“X)的增区间为(-a>,ln〃7),减区间为(ln〃?,+co).

(2)证明：不妨令士>马，由题设可得<,八，

2

mx2-e-m=0

e%1-%2

两式相减整理可得m=------e---.

l~X2

为+」9不_x2

所以/(%)=/1与三e

=m—e2---------------e2,

玉-x2

_X2画+为2__

要证/(飞)>0,即证匚二一一eM>0,即证-彳，

%一％212

令/=正/>0,即证e'_e->>2r,其中7>0,

构造函数g(。=1一1-2『,其中r〉0,

则g，«)=e，+片,一2>2次-2=0,所以，函数g⑺在(0,+“)上单调递增,

所以，当/>0时，g(r)>g(O)=O,即e'—eT>2f,故原不等式得证.

③比值代换法

1.(2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习)已知函数/(%)=无21n尤-a(aeR).

(1)求函数〃x)的单调区间;

/、2

⑵若函数/(X)有两个零点X]、巧，证明1<%+%<.

,单调增区间为(j,+8

【答案】⑴单调减区间为0,

⑵证明见解析

【详解】(1)解：因为/(x)=flnx—l("R)的定义域为(0,+。),

贝！J/qX)=2xlnx+x=x^21nx+l),

令广")>0,解得x>5,令解得0<x<[,

所以“X)的单调减区间为0,,单调增区间为,+8.

(2)证明：不妨设玉<工2，由(1)知：必有。<百<7=<兀2.

要证占+犬2＜卡，即证了2＜宗一网，即证/(%)＜/1［-玉］

又/(9)=/(周),即证/(占)一一占］＜0.

令g(无)="x)-/

贝!Jg'(%)=x(21nx+l)

令g)=g'(x),则〃(x)=2(lnx+l)+l_21n院-x]+l-1=21叱

所以网力在0,上单调递减，即g'(x)在0,上单调递减，所以g'(x)＞g'=0,

所以g(x)在|0,上单调递增，所以g&)＜g=0,

2

—j=—X]j<0,所以玉+々<

即7T

接下来证明玉+々＞1，

令三=f,则＞1,又/(石)=/(%2),即Win±=%ln无2，所以皿玉二色］

1—t

要证1＜玉+工2，即证1＜玉+处，有(7+1)再＞1,

不等式«+1)石＞1两边取对数，即证ln%+ln(，+l)＞0,

即证?^+ln(t+l)>0,即证(z+l)ln(/+l)tint

------------------>------，

t~l

(lnx+l)(x-l)-xlnx_x-lnx-1

令〃(力=型，，XG(1,-HO),则/(%)=

(5'

X-1(1)2

1r_1

令p(尤)=x-ln九一1,其中XG(1,+GO),贝ijp'(x)=l——=--->0,

所以，p(x)在。,+8)上单调递增，则当X£(l,内)时，P(X)>M1)=。，

x-lnx-1八

故当xe(Ly)时，“'(x)-------5—

(尤-1)一

可得函数"(X)单调递增，可得+即、+l)ln(r+l)＞号,所以为+电＞1,

91<玉+工2<•

2.(2023,广东茂名•茂名市第一中学校考三模)已知函数/(x)=ax+(a-l)lnx+：,aeR.

⑴讨论函数的单调性；

⑵若关于x的方程/(x)=xe，-Inx+g有两个不相等的实数根4、々，

(i)求实数。的取值范围；

,一、卡、市炉e*2。

(||)求证：一+—>---.

x2X{XxX2

【答案】⑴答案见解析

(2)(i)(e,+8)；(ii)证明见解析

【详解】(1)解：因为/(%)=ax+(Q—l)ln%+,，

x

所以尸(x)=a+^二=加+("「)1=(川)(广一1),其中尤>0.

XXXX

①当aWO时，所以函数〃x)的减区间为(。,+e),无增区间；

②当a>0时，由丁4勾>0得x>[,由r(x)<0可得0<x<：

所以函数〃x)的增区间为&,+1!，减区间为1J.

综上：当aWO时，函数〃尤)的减区间为(。,+“)，无增区间；

当a>0时，函数〃尤)的增区间为，,+j,减区间为(0,£|.

(2)解：⑴方程"x)=xe*-lnx+：可化为双工=ox+alnx,BPer+lnv=«(x+lnx).

令t(x)=x+lnx,因为函数f(x)在(0,+oo)上单调递增，

易知函数"x)=x+lnx的值域为R，

结合题意，关于1的方程e'=S(*)有两个不等的实根.

又因为f=0不是方程(*)的实根，所以方程(*)可化为m=。.

t

令g«)=更，其中评0,则g，⑺

由g'«)<0可得/<0或0</<1,由g'«)>0可得/>1,

所以，函数g⑺在(-8,0)和(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

所以，函数g⑺的极小值为g(l)=e,

>r

且当r<0时，g(t)=Ye<0；当f>0时，则g(f)=?e>0.

由图可知，当”>e时，函数y与g(t)的图象有两个交点，

所以，实数。的取值范围是(e,+8).

exie为2Q

(ii)要证---1----->------，只需证西9+%2。吃>2〃，即证e"+e'2>2a.

X2玉玉々

因为3=成，所以只需证。+"2.

由(i)知，不妨设

[t,=\na+\nt,,

因为e'=成，所以/=lna+ln%,即｛1,作差可得,2-。二1口；.

[t2=InQ+In芍A

♦+1>2：+1

所以只需证片J，即只需证^—>-r-

t^-1Ing

%%

令P=?”>1)，只需证lnp>2(P：l).

令/z(p)=lnp_2(0J),其中p>i,贝=_(,J、?>0,

所以〃(p)在(L”)上单调递增，故〃(〃)>//⑴=0,即〃(p)>。在(1,+s)上恒成立.

所以原不等式得证.

3.(2023•江西南昌•南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知函数〃x)=x(lnx-a),g(x)=#+a-冰.

⑴当时，/(x)N-lnx-2恒成立，求a的取值范围.

(2)若g(x)的两个相异零点为公,巧，求证：xix2>e2•

【答案］⑴(f2］

⑵证明见解析

【详解】(1)当时，，(力。一小左一2恒成立，

即当时，(尤+l)lnx-ar+220恒成立，

设77(x)=(x+l)lnx—6LX+2,

所以尸(l)=2—aN0,即°«2,

F'=InXHF1—CL,

设r(x)=ln%+—+l-a,

niit(\11x—1

则r(x)=----r=—1，

尤xx

所以，当时,/(x)>0,即r(元)在［1,+8)上单调递增，

所以r(x),r(l)=2-a^0,

所以当时，F(x)=r(x)>0,即尸(无)在［1,+8)上单调递增,

所以尸(x)Z尸(1)=2—a,

若/(%)20恒成立，贝i|a<2.

所以时，/(x)>-lnx-2恒成立，a的取值范围为(—,2］.

(2)由题意知，g(x)=lnx-ax,

In(不々)=a(%+々)

In玉=axx/曰

不妨设玉>尤2>°，由

In-=<7(Xj-x,)，

Inx2=ax2

A+1

ln（玉％2）_%+%2_%2

则

lnA玉fA-i

令一，

则喀)=*即：gM詈叱

要证>e,

只需证In(玉%)>2,

只需证—~In/〉2,

t-1

即证In/〉生二

t+1l）

即证In/-亚R〉0(r>1),

t+1

令机(7)=ln/-^^——(?>1)，

v7t+1

，/\(I)

因为Wf)=5-9>0,

(+1)

所以m(r)在(l,+oo)上单调递增,

当，£(l,+oo)时，m(^)>m(l)=0,

所以In―型二D>0成立，

t+1

故>巳？.

4.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=lnx-@+1（acR且〃。0）.

x

⑴若函数A©的最小值为2,求"的值；

⑵在（1）的条件下，若关于X的方程/（%）=根有两个不同的实数根芭，W，且石<%，求证：玉+%>2.

【答案】⑴。=—1

（2）证明见解析

【详解】（1）解：因为/（%）=lnx—3+l,x>0,

x

所以广3」+彳=卓，x>0.

XXX

当。〉0时，有尸（%）>。，所以函数/⑺在（0,+8）上单调递增，所以函数A幻不存在最小值;

所以。〉0不合题意，故a<0.

当时，令尸（0=注=0,得x=-a.

X

当X£（0,—a）时，r（x）<0,函数在（0,-。）上单调递减；

当工£（-4,例）时，ff（x）>0,函数/（%）在（-。,+00）上单调递增.

所以/（X）向n=/（尤）极小值=f（一。）=In（一。）一W+1=2，解得a=—1.

-Q

所以，a的值为-1.

（2）解：方法一：

由（1）知，f（无）=ln尤H--1-1,%>0.

因为占,三为方程/(x)=机的两个不同的实数根,

所以lnXi+'+l=/n(J)；lnx2+—+l=m(2),

%yx2

①一②得：---—j=0,即ln±=一----—|=――-

(石X2JX2\X1X2)X\X2

_Xx-X2

所以*

玉_x?t_1

令f=a(o<t<i),有玉羽比五一gf,

X2

所以，-7,从而得x+x一一7.

Ao--------A.-rX~.—-----

tIntIn?

令力(，)=/_]_21n/(0v.v1),贝ij%«)=]+，_2=[1—1]>0,

所以函数h(t)在(0,1)上单调递增，即V，$(0,1),h(t)<h(l)=0,

BP21nZ,又In/v0,

1

所以Vfe(0,l),'一恒成立，即无|+%>2,得证.

---->Z

In/

方法二：

由(1)知，/(x)=lnx+—+1,x>0.

x

因为%1，%2为方程/(%)=相的两个不同的实数根，

所以lnx+'+l=机，即方程lnx+,=机-1有两个不同的实数根%,%2.

XX

令G(x)=InxH—,%>0,贝！JG\x)-........-,x>0.

xxx

令G<x)=l-3=0,得％=1.

XX

当xw(0,l)时，G(x)<0,所以G(x)在(0,1)上单调递减；

当%£(1,+8)时，G(x)>0,所以G(x)在(1,位)上单调递增.

因为GCx)_G(2_x)=lnx+L_ln(2_%)―――,

x2—x

所以0<大<1〈九2.

令0(%)=ln%+'-ln(2-1)-----,%£(0,1),

x2-x

m〃、1111-22X2-4X+4-4(1)2

则夕'(x)=--------------------------=----------------；---------=——'f<n0.

xrx1x-2(x-2)27x(x-2)x'(x-2)2x~(x-2)~

所以。(X)在(0,1)上单调递减,所以。(尤)>。⑴=0,即G(x)-G(2-x)>0.

所以G(x)>G(2-x),所以G(%)=G&)>G(2—M).

又G(尤)在(l,+oo)上单调递增，所以尤2>2-尤1.即尤1+尤2>2,得证.

④对数均值不等式法

1.(2023春•福建厦门•高二厦门双十中学校考阶段练习)已知函数十)=依-2-1门(。>0)

(1)已知/(尤)在点(Lf(1))处的切线方程为y=x-i,求实数。的值；

(2)已知/(尤)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.

⑶己知g(x)=〃x)+£有两个零点七，巧，求实数。的取值范围并证明占W>e2.

【答案】⑴。=1

⑵/

(3)0<«<-,证明见解析

e

【详解】⑴因为小)=依