二次函数最值问题-2023-2024学年九年级数学专项复习（解析版）

二次函数易错专题复习二：二次函数最值问题

考点一：代数式中最值

易错点一：隐含二次函数最值

考点二：几何中最值

考点一：常规最值

二次函数最值问题易错点二：自变量取值范围最值问题

考点二：含参数最值

考点一:直

易错点三：利用对称性中最值问题「

考点二：周长或面积最值

【易错点一：隐含二次函数最值】

二次函数最值问题，属于考试必考题型，考察范围较广，对学生理解要求更好，隐含二次函

数最值，主要是求代数式最值问题和几何中最值问题，二次函数作为解题计算工具来考察,

常错的点主要是

①代数式与二次函数联系，如何变形求二次函数最值，同时考虑自变量取值问题

②几何最值，主要是把几何问题如何转化为二次函数问题，学生很容易忽略，思考不到位,

找不到关联性

【知识点】

函数二次函数了=a/+Z?x+c（a、b、c为常数，a#0）

a>0av0

图象

/PV

开口方向向上向下

直线》=一二

对称轴直线X=

2a2a

2

'b4ac-b^[24ac-b2}

顶点坐标

k2a4a?k2a4a?

在对称轴的左侧，即当x<-2时，y随X的增在对称轴的左侧，即当X<一二时，y

2a

随x的增大而增大；在对称轴的右侧，

大而减小；在对称轴的右侧，即当%>一二时，

增减性

2a即当X>-3时，y随X的增大而减

y随x的增大而增大.简记：左减右增

小.简记：左增右减

抛物线有最低点，当x=-3时，y有最小值，抛物线有最高点，当x=-3时，y有

2a2a

4ac-b2„,4ac-b2

取大值，y最大值一4。

最大（小）值N最小值-4a

【考点一：代数式中最值】

方法指引：先根据代数式情况，化简转化为二次函数，再根据二次函数求最值

例题1.（2022・湖北武汉•统考模拟预测）设X7、Xz是关于x的方程2x2-4mx+2序+

M—2=。的两个实数根，则好+x3勺最小值为（）

【答案】D

【分析】利用根与系数的关系结合完全平方公式变形计算即可.

【详情解析】解：:X]、X2是关于x的方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数

根，

22

Xq+x2=2m,xqx2-2m\-(—4m)—8(2m+3m-2)>0,

••.m<1.

22

o299

/.(XT+x2)=4m,即X1+2XTX2+x2=4m,

227

/.X]+X2=4771—2X1X2

=4m2-2m2-3m+2

=2m2-3m+2

、，

,327

=2（m--）+-

・：2>0,

.•.当m号时，原式有最小值，最小值为*

故选：D.

【提优突破】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟

练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

变式训练1（2023秋•山东泰安•九年级校考阶段练习）若5x2-70x="则x2/y2

的最大值为（）

A.亍B,4C.5D.y

【答案】A

【分析】由题意得y2=若对，把y2=*%代入x2+y2即可得到关于X的二次函数，即

可求解.

【详情解析】解：由题意得：y2=U=

把y2=10x1x2代入x2+y2得:

10x—5x215

x9z+y9z=x9z4----------=——xz9+—x

,442

_32+|x=-：(x2—10x+52)=_g(x—5)2+y,

•一*0,

.“2+丫2的最大值为日，

故选：A.

【提优突破】本题考查二次函数求最大值，将x2+y2化成关于x的二次函数是关键.

例题2（2023•江苏南通•统考二模）若实数a,b,c满足a-b2-2=0,2a2-4b2-c=0,

则c的最小值是（）

A.6B,7C,8D,9

【答案】C

【分析】由a—b?—2=0得b?=a-2,由2a?—4b2—c=0得c=2a2—4b2,把b2—a—

2代入c=2a2-4b2,再根据二次函数的性质求出最小值即可.

【详情解析】•-a-b2-2=0,

b2=a—2,a=b2+2

•.•2a2-4b2—c=0,

.'.c=2a2-4b2

=2a2-4(a-2)

=2a2—4a+8

=2(a-I)2+6.

又「a=b2+2N2

.,.当a=2时，c取得最小值，最小值是8.

故选C.

【提优突破】本题主要考查了整式的运算和二次函数的性质，根据已知条件，将问题转化为

利用二次函数的性质来求最值是解题的关键.

变式训练1.(2022•江苏扬州•校联考一模)若实数x、y满足2N-6x+y=0,贝U/+y+2x的

最大值是()

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】根据题意可用x表示出y,再代入x2+y+2x中，化为顶点式即得出答案.

【详情解析】由得

2x2-6x+y=0,y=_2X2+6x,

.'.x2+y+2x=x2—2x2+6x+2x=—(x—4)2+16,

二当x=4时，x?+y+2x的最大值是16.

故选：C.

【提优突破】本题考查求二次函数的最值.根据题意将得出的二次函数化为顶点式是解题关

键.

针对性练习

1.(2023•江苏•模拟预测)已知点A(a,b),B(42在直线V=kx+3(k为常数，k声。)

上，贝有()

A.最大值一9B,最大值9C,最小值-9D,最小值9

【答案】B

【分析】将A(a,b),8(4,2)代入丫=1«+3可得｛*：1：1先求得k,则—：a+3=b,

4K十J—Z4

再计算ab,根据二次函数的性质即可得到答案.

【详情解析】解：•••点A(a,b),B(4,2)在直线y=kx+3上，

zak+3=b

Fk+3=2'

•••4k+3=2,

解得：k=—5

将k=一、代入ak+3=b,得：—ga+3=b,

・•・ab=a(—^-a+3)=—^-a2+3a=—(a—6)2+9,

二抛物线开口向下，即ab有最大值，

当a=6时，ab有最大值，最大值为9,

故选：B.

【提优突破】本题考查了一次函数图象上点的特征，二次函数的最值，解题的关键是掌握配

方法求函数的最值.

2

2.(2023秋・湖北武汉•九年级统考阶段练习)已知二次函数y=(x-x])2+(x-x2)+

2

(x-x3)+■-■+(x-xnf,其中X7、X2、X3............X”是常数，当x=2023时，该二

次函数有最小值.若m=X?+X2+X3+…+Xm则7〃与"的数量关系是()

A.m+n=2023B.m-n=2023C.mn=2023

D.m=2023n

【答案】D

【分析】把二次函数整理为一般形式后，根据二次函数有最小值及m=X]+X2+X3+…+

Xn即可求得m与n的数量关系.

2

【详情解析】解:整理得:y=nx-2(X]+x2+x3+--+xn)x+(x；+x；+…+xQ,

当*=x1+x2+：3++x“=2Q23时，y有最小值；

又m=X]+X2+X3d-----Fxn,即2=2023,

n

m=2023n.

故选：D.

【提优突破】本题考查了二次函数的最值问题，明确当x=-5时，二次函数取得最值是解

za

题的关键.

3.(2023秋・广东广州•九年级广州市育才中学校考阶段练习)若关于x的方程x2+2nx,

m2/5m—2=。有两个实数根x7,x2,贝”7(X2+x7)+xj：的最小值为()

A.-B.-C.-D.-

3224

【答案】D

【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解得到关于m的等式，配方后求解即可.

【详情解析】解：由题意得，XT4-x2=-2m,X]X2=3m-2,

X-|(x2+X-|)+X2=X]X2+X；+X2，

2

=(X1+x2)-X.2,

=(2m)2—(m2+3m—2),

=4m2—m2—3m+2,

=3m2—3m+2,

=3(m--)2+

.•.当X=(X](X2+Xi)+X油最小值为*

故选：D.

【提优突破】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系和二次函数的最值问题，解

2

题的关键是正确理解：若Xi,X2是一元二次方程ax+bx+c=0(a*0)的两根时，X]+x2=

X1X2=£和通过配方求二次函数的最值.

aa

4.(2023•江苏宿迁•统考二模)定义max{°b}={，父'?，若函数y=max(-x-7,x2-

b(a<b)

2x-3),则该函数的最小值为()

A.-7B,0C,-3D.3

【答案】C

【分析】分两种情况讨论:当—X-1Nx2-2x-3,即一1WxW2时,当—x-1<x2-2x-

3,即xW-1或xN2时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可.

【详情解析】解：当一x—1Nx2-2x—3,即一1WXW2时，

y=max{—x—1,x2—2x—3}=—x—1,

'.-2<0,

.,.当x=2时，该函数的值最小，最小值为-3；

当一x-1<X2-2X-3,即x1或x>2时，

y=max{—x—1,x2—2x—3}=x2—2x—3=(x—I)2—4,

.,.当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，

1-(-1)>2-1,

.,.当x=2时，该函数的值最小，最小值为-3；

综上所述，该函数的最小值为-3.

故选：C

【提优突破】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是

解题的关键.

5.(2023春•江苏扬州•九年级校联考阶段练习)已知点P(m,n),Q(3,0都在一次函数y=

kx+b(k,b是常数，k/0)的图象上，()

A.若mn有最大值4,贝ijk的值为-9B.若mn有最小值4,贝ijk的值为-9

C.若mn有最大值一9,贝欣的值为4D,若mn有最小值一9,贝ijk的值为4

【答案】D

【分析】则点P(m,n),Q(3,0)都在一次函数y=kx+b的图象上，求得n=mk+b,b=-

3k,得到mn=k(m-|)2-*k,推出当k>0时，mn有最小值-?k,当k<0时，mn有

最大值-?k,根据四个选项即可求解.

【详情解析】解：,点P(m,n),Q(3,0)都在一次函数y=kx+b的图象上，

/.n=mk+b,3k+b=0,即b=-3k,

mn=m(mk—3k)=km2—3km=k(m2—3m)

=k(m2—3m+1=k(m—|)2—1k,

当k>0时，mn有最小值一^k,

当k<0时，mn有最大值一：k,

A,若mn有最大值一=4,解得k=一日，故本选项不符合题意；

B、若mn有最小值一=4,解得k=-费，故本选项不符合题意；

C、若mn有最大值-：1<=一9,则k的值为4,故本选项不符合题意；

D、若mn有最小值-3k=-9,则k=4>0,故本选项符合题意；

故选：D.

【提优突破】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，得到mn=k(m-1)2-1k,

根据二次函数的性质是解题的关键.

->-»TT

6.(2023•江苏盐城•统考三模)规定:若a=(x〃y),b=(x^，立则a•bnXiVzfy;.例

如a=(1,3],b=[2,4),则a•b=7x4+3x2=10,已知a=(x+J,x-2},b=(x-3,4),

T->

且7WxW2,则。•b的最小值是.

【答案】10

【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求

法解答即可.

【详情解析】解:由新定义得:3-b=4(x+1)+(x-2)(x-3)=x2-x+10=(x-^)z+y,

.•.3.6=(x-》2+日的图象开口向上，对称轴为x=(

V1<X<2,

.•.当x=1时，己而取最小值，最小值为：(1一乎+f=10,

故答案为：10.

【提优突破】本题主要考查了新定义运算和二次函数性质，解题时准确理解题意，列出二次

函数解析式，利用配方法求得二次函数的最值是解题的关键.

7.(2023春•江苏连云港•九年级专题练习)已知实数m、n满足m-n?=&则代数式m?-

3n2+m-14的最小值是.

【答案】58

【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据m>8,

即可求解.

【详情解析】•••m—n2=8,

n2=m—8,m>8,

则m2-3n2+m-14

=m2—3(m-8)+m—14

=m2—3m+24+m—14

=m2—2m+10

=(m—I)2+9

■.m>8

.•.当m=8时取得最小值，最小值为(8-l)2+9>58,

故答案为：58.

【提优突破】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非

负数的性质.

8.(2023秋・江苏泰州•九年级校考期末)小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得

到20个数据X7，x?…，X20,已知X]+X2+…+X20=40460,当代数式(x-x：)?+(x-

X》2+-+(x-X2/取得最小值时，X的值为.

【答案】2023

2

【分析】令y=(X—X])2+(X—X2)2+(X-X3)2+-+(X-X20),将代数式的最小值，转

化为二次函数的最小值，即：当X=-2(X—X[)2+(X-X2)2+…+(x-Xzo/取得最小

2a

值，即可得解.

2222

【详情解析】y=(x-xT)+(x-x2)+(x-X3)+••■+(x-x20)

2222

=x—2xX]+Xi+x-2XX2+X2+x-2XX3++x-2XX2Q+^20

222

=20x—2(X]+x2+x3+...+x20)x+(X]2+x2++x2o),

则当x=-葛=生暇时，y取得最小值，

22

即当x=2023时，(x-x,)+(x-x2)+•••+(X-X20)2取得最小值；

故答案为：2023.

【提优突破】本题考查二次函数求最值.解题的关键是构造二次函数.

9.(2022秋・江苏苏州•九年级校考阶段练习)已知反比例函数y=上的图像经过点P(22,

函数y=ax的图像与直线y=-x平行，并且经过反比例函数图像上一点Q(7,m).贝U

函数y=ax2+bx+胃有最______值，这个值是.

【答案】大1

【分析】根据待定系数法求出k的值，再根据函数y=ax+b的图象与直线y=-x平行，

求出a的值，根据Q(l,m)在反比例函数图象上，求出m的值.

【详情解析】解：•••反比例函数y=:的图象经过点P(2,2),

,-.k=2x2=4；

・函数y=ax+b的图象与直线y=-x平行，得到a=-1；

..y=-x+b,

・•・经过反比例函数图象上一点Q(Lm),

4.

m=-=4

1

•・Q(L4),

.-.4=-1+b,

/.b=5,

二二次函数的解析式是y-x2+5x-

•­y=-（x-|）2+i

二顶点公式求得它的顶点坐标是6,i）,

/a<0,

它有最大值是1.

故答案为：大，1;

【提优突破】此题要能够根据点在图象上求得待定系数的值；若两条直线平行，则k值相

等.能够根据二次函数的a的符号判断它的最值情况,运用公式法求得二次函数的顶点坐标，

从而确定其最值.

10.（2022春•安徽宣城•九年级统考自主招生）若实数xN0,yN0,zN0,且x+y+z=

20,3x+?—Z=40.

⑴设S=4x—3y+Z,求S的最大值与最小值；

⑵设丁=y2+2z2,求丁的最大值与最小值.

【答案】⑴最大值为65,最小值为10

⑵最大值为100,最小值为一

【分析】（1）先解三元一次方程组得到y=30-2x,z=x-10,根据x、y、z是三个非

负实数，得到10WxW15,再求出S=1lx-100,进而得到10WSW65,由此即可得到

答案.

(2)结合(1)中y=30-2x,z=x-10,10<x<15,可得T=6(X-?)2+—,再

根据二次函数的图象与性质，即可求解.

x+y+z=20①

【详情解析】（1）{

3x+y—z=40②

①+②得：2x+y=30,解得y=30-2x,

①一②得：x-z=10,解得z=x-10,

■.X>0,y>0,z>0,

30-2x>0

/.{x-10>0,

x>0

/.10<x<15,

'.S=4x—3y+z,

/.S=4x-3(30-2x)+x-10=llx-100,

/.10<S<65,

.-.S的最大值为65,最小值为10；

(2)在(1)中已得：y=30-2x,z=x-10,10<x<15,

'.T=y2+2z2,

.-.T=(30-2x)2+2(x-10)2,

整理得：T=6x2-160x+1100,

化为顶点式为：T=6(x—?)2+等，

10<x<15,

二当X昔时，%n=6仅-92+等=竽

当x=10时，「=6(x-g)2+—=100,

当x=15时，T2=6x2-160x+1100=50,

Ti>T2)

，Tmax=100,

即T的最大值为100,最小值为等.

【提优突破】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用以及二次函

数的图象与性质等知识，正确求出y=30-2x,z=x-10,10<x<15,是解题的关键.

11.(2023•江苏徐州•统考中考真题)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中，若AB=

a,BC=b,由勾股定理,得AC2=02+b2,同理口。2=a2+b2故人。2+BD2=+

b2).

【探究发现】如图2,四边形ABCO为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是

否依然成立？请加以判断，并说明理由.

【拓展提升】如图3,已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证：

BO2=芷一吆

24'

【尝试应用】如图4,在矩形ABCD中，若AB=8,BC=72,点尸在边AD上，^]PB2+

PC2的最小值为

【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：200

【分析】探究发现：作AE_LBC于点E,作DF_LBC交BC的延长线于点F,则NAEB=

NCFD=90°,证明RtAABE^RtADCF(HL),BE=CF,利用勾股定理进行计算即可得到答

案；

拓展提升：延长BO到点C,使。D=BO,证明四边形ABCD是平行四边形，由【探究发现】

可知，AC2+BD2=2(AB2+BC2),贝卜2+(2BO)2=2(a2+b2),得到c?+4BO2=2(a2+b2),

即可得到结论；

尝试应用：由四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=12,得到AB=CD=8,BC=AD=12,

NA=ND=90。，设AP=x,PD=12—x,由勾股定理得到PB2+PC2=2(x-6)2+200,

根据二次函数的性质即可得到答案.

【详情解析】探究发现：结论依然成立，理由如下：

作AEJ.BC于点E,作DF_LBC交BC的延长线于点F,则NAEB=NCFD=90°,

图2

:四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b,

..AB=DC=a,AD||BC,AD=BC=b,

'.AE1BC,DF1BC,

,-.AE=DF,

.-.RtAABE^RtADCF(HL),

..BE=CF,

.-.AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2

=(AB2-BE2)+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2

=AB2-BE2+BC2-2BC-BE+BE2+BC2+2BC-BE+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+BE2+AE2

=AB2+BC2+BC2+AB2

=2(AB2+BC2)

=2(a2+b2)；

拓展提升：延长B。到点C,使OD=B。，

.B。为△ABC的一条中线，

,-.OA=CO,

二四边形ABCD是平行四边形，

AB=a,BC=b,AC=c.

,由【探究发现】可知，AC2+BD2=2(AB2+BC2),

,-.c2+(2BO)2=2(a2+b2),

.-.c2+4BO2=2(a2+b2),

尝试应用：1,四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=12,

二.AB=CD=8,BC=AD=12,NA=ND=90°,

设AP=x,贝I」PD=AD—AP=12—x,

PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=X2+82+（12-X）2+82

=2x2-24x+272=2（x-6）2+200,

:2>0,

二抛物线开口向上，

.•.当x=6时，PB2+PC?的最小值是200

故答案为：200

【提优突破】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性

质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键.

【考点一：几何中最值】

方法指引：先根据几何性质特点，列出对应关系式，再根据关系式化简转化为二次函数，

再根据二次函数求最值（注意自变量取值范围）

例题1.（2023秋•安徽合肥・九年级合肥寿春中学校考期中）如图,在矩形ABCD中，AB=2,

AD=2、/&点£是线段A。的三等分点（AE<ED）,动点尸从点。出发向终点£运动，

以口尸为边作等边△BFG,在动点/运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（）

A,善B.RC,2D.1

【答案】A

【分析】连接BE,BD,过G作GHJ.BF,垂足为H,利用勾股定理求出BE和BD,设BF=a,

求出GH和AF,利用S阴影=^xBFxGHABxAF表示出阴影部分的面积，利用二次函

数的最值求解即可.

【详情解析】解：如图，连接BE,BD,过G作GH_LBF,垂足为H,

•.AB=2,AD=2d§,点E是线段AD的三等分点(AE<ED),

­-AE=>=^BD=，AB2+AD2=4,

・•BE=/AE2+AB2=.,

设BF=a,则丁Waw4,

•••△BFG是等边三角形，

1V3

，BH=FH=/,GH=3a,

'.AF=VBF2-AB2=Va2-4,

.1S阴影=gxBFxGH—；xABxAF

1V31i———

=-xax—a--x2xva2-4

222

V3,-

=——a2—va2—4

4

令-4=t；则学<t<2V3,

..a2=t2+4,

则S阴影=y(t2+4)-t=yt2-t+1/3,

当t=­/=当时，S阴影最小，且为fx(学产一言+,§=言，

2XT

故选A.

【提优突破】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解

题的关键是正确表示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解.

变式训练1.(2023•江苏南京•南师附中新城初中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系

中，直线V=-{x+3分别与x轴、y轴交于A,B两点,在线段AB上取一点C,过。作CD_L

y轴于D,CEJ.x轴于E,连接DE,当DE最短时，点C的坐标为()

【答案】C

【分析】设点C的坐标为(m,-^m+3)(0<m<4),则OE=m,0D=-(m+3,根据

勾股定理表示出DE的长度，通过配方可以求出当DE最小时，m的值，据此即可求解.

【详情解析】解：设点C的坐标为(m,-1m+3)(0<m<4),

3

OE=m,OD=--m+3,

.・・DE=VoE2+OD2=Vm2-F(—|m4-3)2=V^|m2—1m+9,

..££m2_9m+g=25z_36)2J44

16216125」25'

.•.当m=/寸，DE最短，此时点C的坐标为鬻，务

ZoZOZD

故选：c.

【提优突破】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出DE的长

度是解题的关键.

例题2(2023秋•河北石家庄•九年级统考阶段练习)如图，这是一块直径为a的圆形钢

板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当a+b=4时，剩下的钢板面积的最大值是()

A.nB.2nC.4nD.6n

【答案】B

【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系

式，化简即可.

【详情解析】解：•；a+b=4,

二b=4-a

剩下=S大圆一S小圆1-S小圆2

a+b„a.b.

=n(^-)2-n(-)2-n(-)2

4c3«4—3

=n(-)2-n(-)2一n(-^—)n2

n

=—az9—2na

2

-f(a-2)2+2n,

.•.当a=2时，剩下的钢板面积是最大值为2n.

故选：B,

【提优突破】本题考查了整式的混合运算，二次函数的性质，熟练掌握圆的面积公式，完全

平方公式，去括号、合并同类项法则，二次函数的性质是解答本题的关键.

变式训练1.(2023秋•广东广州•九年级广州市第二中学校考期中)如图，在平面直角坐标

系中，Q是直线y=—1x+2上的一个动点，将Q绕点P(7M顺时针旋转9〃，得到点Q

连接OQ',则OQ'的最小值为()

D.华

,2

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q’的坐标，然后根据勾股定理

并利用二次函数的性质即可解决问题.

【详情解析】解：作QM_Lx轴于点M,Q'N_Lx轴于N,设Q(m,-3m+2),

则PM=m—1,QM=—gm+2,

・「NPMQ=NQ'NP=NQPQ'=90°,

/.ZMPQ=90°-ZNPQ=NNQP,

在aMPQ和ANQ'P中,

ZPQM=NQ'NP

•{ZMPQ=NNQP,

QP=PQZ

/.△MPQ=△NQ'P(AAS),

/.PN=QM=-^m+2,QN=PM=m-1,

.•.ON=OP+PN=，m+2+l=3-5m，

Q(3——m,1—m),

2

.-.OQ,=(1-m)2+(3—1m)2

=：(m-2)2+5,

,2

当m=2时，OQ有最小值为5,

，0Q’的最小值为行，

故选：B.

【提优突破】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判

定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题

的关键.

针对性练习

1.(2023春•江苏•八年级专题练习)如图边长为5的正方形ABCO中，E为边AO上一点，

且AE=2,F为边AB上一动点,将线段EF绕点下顺时针旋转9〃得到线段FG,连接DG,

则DG的最小值为()

A.-42B,5C.3D,-V2

222

【答案】A

【分析】过G点作GH_LAB交AB于点H,过G点作GUAD交AD于点I,根据EF绕点F

顺时针旋转90°得到线段FG,可得NEFG=90°,EF=GF,利用AAS易证△FHGEAF,

再根据四边形AHGI是矩形，可得Al=GH,IG=AH,设AF=x,贝Al=GH=AF=x,IG=

AH=x+2,DI=AD-Al=5-x,根据勾股定理可得DG?=DI2+IG2=(5-x)2+(x+

2)2=2(x-|)2+y,可知当x=|时,DG有最小值.

【详情解析】解：如图示：过G点作GHJ.AB交AB于点H,过G点作GI，AD交AD于

点I,

D\

I_______G

石葭/

AFHB

・檄段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG,

•­•NEFG=90°,EF=GF,

•­•NEFA+NHFG=90°,

又：ZEFA+ZFEA=90°,

.­•NHFG=NAEF,

•••GH1AB,四边形ABCD是正方形，

•­•ZFHG=NEAF=90°,

△FHG三匕EAF(AAS),

FH=EA,GH=FA,

•••GH1AB,Gl1AD,

••・四边形AHGI是矩形，

Al=GH,IG=AH.

设AF=X,则AI=GH=AF=X,IG=AH=X+2,DI=AD—Al=5—X,

在RtADIG中，DG2=DI2+IG2=(5—x)2+(x+2)2=2(x-|)2+y,

即当x=|时,DG2有最小值♦，

・•・当x=|时，DG最小值是亭,

故选A.

【提优突破】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、

二次函数的最值等，解题的关键是利用勾股定理列出DG2关于AF的二次函数表达式.

2.(2023•江苏无锡•模拟预测)如图，已知RtAABC中，NC=9。。，NA=30BC=10,

在△ABC三边上各取一点连成等边△DEF则△DE尸面积的最小值是()

A.—/3B,—/3C.—43D.10^3

3147

【答案】C

【分析】过E作EIVUAB于M,易证NCEF=NBDE,可得^CEF=△DME,设CE=x,EF=y,

即可在Rt△BEM中得到x、y的关系，再根据二次函数求y的最小值，而S^DEF=yY2,即

可求出△DEF面积的最小值.

【详情解析】过E作EM1AB于M

1,等边ADEF,ZC=90°,NA=30。

.〔NCEF=NBDE=120°-NBED,EF=DE

.-.△CEF=ADME(AAS)

,-.CE=DM,CF=EM

设CE=x,EF=y

.'.BE=10-x,DM=x,DE=EF=y

y/3V5

.-.EM=£BE=y(10-x)

'.DE2=EM2+DM2

.'.y2-(10­X)]2+X2=-15x+75=(x—y)2+一

.•.当x=与时，y2=军最小

cV32V330075V3

2

••■SADEF-Ty-Tx——

故选：C

【提优突破】本题考查全等三角形的性质与判定、二次函数的最值，解题的关键是通过全等

和勾股定理构造函数关系.

3.(2023春•江苏扬州•七年级校联考期中)设x,y是实数，定义@的一种运算如下：x@y=

(x+y)2_(x-y尸,则下列结论：①若x@y=0,则x=。或y=O-,

②x@(y+z)=x@y+x@z；③不存在实数x,y,满足x@y=x?+5y2；④设x,y是矩形的

长和宽，若矩形的周长固定，则当x=y时，x@y最大，其中正确的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】根据平方差公式化简可判断①②，根据非负数的性质可判断③，根据二次函数的性

质可判断④.

【详情解析】解：:x孰=(x+y)2-(x-y)2

若x@y=0,则(x+y)2—(x—y)2=0

(x+y+x—y)(x+y—x+y)=4xy=0

，x=0或y=0；

故①正确

x@(y+z)=(x+y+z)2—(x—y—z)2

=(x+y+z+x—y—z)(x+y+z—x+y+z)

=2x(2y+2z)

=4x(y+z)

x@y+x@z=(x+y)2—(x—y)2+(x+z)2—(x—z)2

=x24-2xy+y2—x2+2xy—y2+x2+2xz+z2—x24-2xz—z2

=4xy+4xz

=4x(y+z)

••・x@(y+z)=x@y+x@z

故②正确；

vx@y=(x4-y)2—(x—y)2=4xy

若x@y=x24-5y2

则x?+5y2=4xy

即x?—4xy+4y24-y2=0

(x—2y)2+y2=0

当x=0,y=0时，成立，

故③不正确

・・・x,y是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，设周长为c,则c=2x+2y

1

y=-c—X

72

x@y=(x4-y)2—(x—y)2=4xy=4x(gc—x)=-4x24-2cx

当乂=一条:时,取得最大值，

即*=誓，整理得，x=y

则当x=y时，x@y最大，

故④正确

故选B

【提优突破】本题考查了新定义下的实数运算，完全平方公式，平方差公式，非负数的性质,

二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键.

4.(2022•江苏•九年级专题练习)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于工、

3两点，点/在点8左侧，顶点在△跖区的边上移动，7W//y轴，NRI/x^i,M点坐标为

(-6,-2),MN=2,NR=7,若在抛物线移动过程中，点3横坐标的最大值为3,则a-6+c

的最大值是()

A.15B.18C.23D.32

【答案】C

【分析】先求出N,R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3,由

此求出a值，当x=-1时y=a-b+c,当顶点在M处时y=a-b+c取最大值，求此

可解.

【详情解析】解：「MJ6,-2),MN=2,NR=7,

N(-6,-4),R(l,-4),

由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3,

则抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,

将点B坐标(3,0)代入上式得，0=a(3—1)2—4,

解得，a=1,

当x=-1时，y=a—b+c,

观察图形可知，顶点在M处时，y=a-b+c取最大值，

此时抛物线的解析式为：y=(x+6产一2,

将x=-1代入得，

y=a—b+c=(-1+6)2—2=23,

故选：C.

【提优突破】本题考查二次函数y=ax2+bx+c图像的性质，解题关键时利用数形结合的

思想，判断出抛物线顶点在R处时点B的横坐标取最大值，由此求出a值.

5.(2023春・江苏镇江•九年级校联考阶段练习)如图，C是线段上一动点，

△C2E都是等边三角形，M,N分别是CD,3E的中点，若42=4,则线段的最小值为

()

A.-B.eC.26D.—

22

【答案】B

【分析】连接CN.首先证明/MCN=90。，设AC=a,则BC=4-a,构建二次函数，利

用二次函数的性质即可解决问题.

【详情解析】解：连接CN,

AACDfRABCE为等边三角形，

.­.AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=ZB=60°,

ZDCE=60°,

•.•N是BE的中点，

.'.CN1BE,ZECN=30°,

ZDCN=90°,

设AC=a,

.AB=4,

..CM*,CN=y(4-a),

.-.MN=VcM2+CN2=V^a2+^(4-a)2=V(a-3)2+3,

.•.当a=3时，MN的值最小为

故选：B.

【提优突破】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题.

6.(2023•江苏南通•校考二模)已知，点E、F、G、〃分别在正方形ABCO的边AB、BC,

CD、AD上，AE=DG,EG、相交于点O,OE.OF=4:5,已知正方形ABC。

的边长为16,FH长为20,则△OEH