二次函数压轴题-2023年北京中考复习试题分类汇编（解析版）

专题26二次函数压轴题

解答题（共38小题）

1.（2022•北京）在平面直角坐标系％0中，点（1,加），（3,〃）在抛物线y="2+6X+°（Q〉o）上，设抛物线

的对称轴为直线I

（1）当c=2,加=〃时，求抛物线与〉轴交点的坐标及，的值；

（2）点（%,冽）（%wl）在抛物线上.^m<n<c,求，的取值范围及与的取值范围.

【详解】（1）将点（1,机），（3/）代入抛物线解析式，

fm=a+b+c

[n=9a+3b+c

'：m—n,

a+b+c=9a+3b+c,整理得，b=-4a,

.•.抛物线的对称轴为直线x=--==2；

lala

.,.t=2j

・「c=2,

?.抛物线与y轴交点的坐标为（0,2）.

（2）,：m<n<c,

a+b+c<9a+3b+c<c,

解得-4〃<b<-3a,

3a<-b<4a,

3ab4a3

——<---<——，R即n一</<2.

2a2a2a2

当，=—时，x=2；

2Q°

当£=2时，/=3.

.*.x0的取值范围2<%o<3.

2.（2021•北京）在平面直角坐标系中，点（1,加）和点（3/）在抛物线歹=M+-m〉o）上.

（1）若加=3,〃=15,求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（-1,%），（2,%）,（4,为）在该抛物线上.若加〃<0,比较%，%,%的大小，并说明理由.

【详解】（1）,加=3,〃=15,

.•.点(1,3),(3,15)在抛物线上,

将(1,3),(3,15)代入y=o?+6x得:

J3=Q+6

[15=9。+3厂

.0.y—工？+2,x-(x+1)?—1,

••・抛物线对称轴为直线X=-1.

(2),/y=ax2+bx(a>0)，

••・抛物线开口向上且经过原点，

当6=0时，抛物线顶点为原点，x〉0时〉随x增大而增大，〃>加>0不满足题意,

当6>0时，抛物线对称轴在〉轴左侧，同理，〃〉冽>0不满足题意，

:.b<0,抛物线对称轴在歹轴右侧，X=1时机<0,x=3时〃>0,

即抛物线和x轴的2个交点，一个为(0,0),另外一个在1和3之间，

二.抛物线对称轴在直线x=士3与直线x=上1之间，

.•.点(2,力)与对称轴距离-<2-(-—)<

点(-1,必)与对称轴距离—<-----(―1)<—,

点(4,y3)与对称轴距离—<4-(-<—

解法二：•.•点(1,⑼和点(3,〃)在抛物线y=ax2+bx(a>0)±,

:.a+b=m,9。+36=几,

*/mn<0,

(q+b)(9a+3b)<0,

。+b与3。+b异号,

丁Q〉0,

:.3a+b>a+b，

Q+6<0,3Q+6>0,

•・•（—1,必），（2,%）,（4,%）在该抛物线上，

yx=a-b,y2=4a+2b,%=16。+46,

•/y3~yx=（16Q+4b）-{a-b）=5（3Q+b）>0,

•■­%>必，

•/yl-y2=（a-b）~（4tz+2b）=—3（a+b）>0，

必〉%，

%<%<%•

3.（2020•北京）在平面直角坐标系x/中，M{xx,必），NH，%）为抛物线歹="2+及+°（〃〉0）上任

意两点，其中占<%2.

（1）若抛物线的对称轴为X=1，当玉，马为何值时，%=%=。；

（2）设抛物线的对称轴为x若对于玉+%>3,都有必<%,求，的取值范围.

【详解】（1）由题意必=%=。，

..X]=0,

•.・对称轴为直线X=1,

:.M,N关于x=l对称，

%2=2,

X]—0,x?—2日寸，—y2~c•

（2）①当否时，恒成立.

②当王<%2，，/时，恒不成立.

③当再<"%2时，:抛物线的对称轴为直线X若对于石+々>3,都有必<为，

当再+%2=3，且必=为时，对称轴为直线X=/，

.•.满足条件的值为：/,,3.

2

解法二：

aXy+bxx+c<ax；+bx2+c,

Q(X；-xf)<-b(x1-x2),

b.

X]+々>—=2t，

a

当项+%2>3时，都有再+%2>2,，

2t„3,

3

,•'，，二

2

.•.满足条件的值为：/,,3.

2

4.(2019•北京)在平面直角坐标系xQy中，抛物线y="?+与y轴交于点N,将点N向右平移2个

a

单位长度，得到点8,点3在抛物线上.

(1)求点8的坐标(用含a的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点尸已，-1),2(2,2).若抛物线与线段尸0恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范

2a

围.

【详解】(1)^(0,--)

a

点A向右平移2个单位长度，得到点5(2,--)；

a

(2)4与8关于对称轴x=l对称，

二.抛物线对称轴％=1;

(3)•.•对称轴x=l,

b=-2a，

.2°1

..y=ax-2ax--，

a

①a>0时，

当x=2时，y=—■-<2,

a

当》=—■^时，x=0或x=2,

a

.•.函数与尸。无交点；

②a<0时，

观察图象可知，-±,2,

a

解得，a„,

2

:.当a,,-g时，抛物线与线段尸0恰有一个公共点.

5.(2018•北京)在平面直角坐标系xQy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点/,B,抛物线

＞=0?+阮-30经过点工,将点3向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段8C恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.

【详解】(1)与y轴交点：令x=0代入直线y=4x+4得＞=4,

.­.5(0,4)，

•.•点8向右平移5个单位长度，得到点C,

C(5,4)；

(2)与％轴交点：令＞=0代入直线y=4x+4得、=一1,

将点4-1,0)代入抛物线＞="2+&—3〃中得0=q—6—3。，即6=—2。,

.•.抛物线的对称轴X==-3=1；

2a2a

(3)•.■抛物线〉=办2+区一3。经过点/(一1,0)且对称轴;(:=1,

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过/的对称点(3,0),

①a＞0时，如图1,

将x=0代入抛物线得y=-3a,

抛物线与线段8c恰有一个公共点,

—3ci<4,

4

CI>--，

3

将1=5代入抛物线得y=12a,

12a...4,

解得a...-；

3

②Q<0时，如图2,

将％=0代入抛物线得歹=-3〃，

v抛物线与线段5C恰有一个公共点，

—3。>4,

4

解得a<—；

3

③当抛物线的顶点在线段上时，则顶点为(1,4),如图3,

将点(1,4)代入抛物线得4=a-2a-3a,

解得a=-1.

、…、14

上所述，ci...—或(ci<—或(a-—1.

33

6.(2022•海淀区一模)在平面直角坐标系X/中，二次函数〉=0?-2如(0片0)的图象经过点/(-1,3).

(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；

(2)一次函数y=2x+6的图象经过点/,点(私必)在一次函数y=2x+6的图象上，点(加+4,%)在二次

函数y=or2-2办的图象上.若必＞必，求m的取值范围.

【详解】(1)将点/(-1,3)代入y=a?-2"得：a+2a=3,

解得：＜2=1,

y=x2—2,x=(x-1)--1,

图象顶点的坐标为(1,-1)；

(2)•.,一次函数y=2x+6的图象经过点/,

-2+6=3,

:.b=5，

y=2x+5,

•.•点(m,耳)在一次函数y=2x+5的图象上,

yx-2m+5，

•・•点(冽+4,%)在二次函数歹二%2—2x的图象上，

22

y2=(m+4)-2(m+4)=m+6m+8,

•・•必>%，

2m+5>m2+6m+8,BPm2+4m+3<0,

令y=加2+4加+3,

当>=0时，m2+4m+3=0,

解得：X]=-1,x2=—3J

/.抛物线与x轴交点为(-1,0)和(-3,0),

•・•抛物线开口项上，

.,.加2+4冽+3<0的解为：-3<m<-1,

/.m的取值范围是-3<加<-1.

7.(2022•朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，点(-2,0),(-1,%)，(1,%),(2,%)在抛物线

y=x2+bx+c上.

(1)若必=为，求%的值；

(2)若%<必<为，求为的取值范围.

【详解】(1)当必=为时，(T/J，(L%)关于对称轴对称，

则抛物线对称轴为丁轴，

.•.(-2,0),(2,%)关于歹轴对称，

%=0.

(2)将(一2,0)代入>=>?+乐+。得4—2b+c=0,

将(1,%)代入>=Y+乐+0得歹2=1+6+°,

将(一1,必)代入>=12+6%+0得必=1-6+0,

♦・•％<必，

l+6+c<l—6，

，6<0,

将（2,y3）代入歹uM+bx+c得为=4+2b+c,

•・•必<%，

1—b+c<4+2b+c,

b>—1»

,二4一2b+c=0,

/.y3=4+2b+c=46,

-4<<0,即—4<为<0.

8.（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系中，点（2,-2）在抛物线了="2+区-2伍<0）上.

（1）求该抛物线的对称轴；

2

（2）已知点（〃-2,%），（M-l,y2）,（〃+1,%）在抛物线y=ax+bx-2（a<0）上.若比较％,

力，%的大小，并说明理由.

【详解】（1）将（2,-2）代入>=办2+左一2得一2=4。+26-2,

b——2。，

.•・抛物线对称轴为直线%=--=1.

2a

（2）,/tz<0,

「•抛物线开口向下，与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，

0<w<1,

:.n—2<n—l<l<n+l,

v1—（w-2）=3-H,1一（九一1）=2—及,〃+1—1=0<〃<1,

:.3-n>2-n>n，

­"•%<%<%•

9.（2022•通州区一模）已知抛物线》二办？-4QX+2（Q。0）过4（一1,加），8（2,〃），。（3,夕）三点.

（1）求〃的值（用含有［的代数式表示）；

（2）若mnp<。,求Q的取值范围.

%

6-

5-

4-

3-

2-

1-

।।।［1A

T

-6-5-4-3-2-4123456

［详解］(1)将(2,n)代入y=ax2-4ax+2得几=4。一8a+2=-4a+2.

(2),/y=ax2-4ax+2,

，抛物线对称轴为直线X=--=2,

2a

二.抛物线顶点坐标为(2,-4〃+2),

将(-1,m)代入y-ax2-4ax+2得冽=Q+4Q+2=5Q+2,

将'(2,n)彳弋入►y=—Aux+2n=-4Q+2,

将(3,p)代入y=ax2-4ax+2得p=-3a+2,

当。<0时，抛物线开口向下，

若mnp<0，

贝p>0,m<0,

5。+2<0,

解得Q<_4,

5

当〃>0时，抛物线开口向上，

若mnp<0，

则〃<0,p>0,m>0,

一4。+2<0

—3。+2>0

17

解得上<Q<J

23

综上所述，a<--^-<a<-.

523

10.(2022•丰台区一模)在平面直角坐标系宜方中，点河(2,加)，N(4/)在抛物线歹=4=2+加；(4>0)上.

(1)若冽=〃，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点尸(-l,p)在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为、=%.若加〃<0,且加<〃<〃，求才的取值范

围.

【详解】(1),・,点Af(2,M，N(4/)在抛物线>=办2+bx(a>0)上，m=n,

4a+2b=m

<16a+4b=n，

m=n

解得：b=—6a,

抛物线对称轴为直线%==3；

2a2a

(2)y=ax2+bx(a>0),

••・抛物线开口向上且经过原点，

,/mn<0,且初<夕<〃,

:.m<0,〃>0,

.•.抛物线和x轴的2个交点，一个为(0,0),另外一个点为(2/,0),

/.2<2/<4,

:A<t<2,

•・•点尸(一l,p),

点尸关于对称轴的对称点为(2才+1,夕),

m<p<nf

2<2/+1<4,

13

I<，<一.

2

ll.(2022•房山区一模)已知二次函数了=/+/+以6,c为常数)的图象经过点/(1,0)与点C(0,-3),其

顶点为尸.

(1)求二次函数的解析式及尸点坐标；

（2）当“X”加+1时，y的取值范围是-4”为2加，求加的值.

5-

4-

3-

2-

।।___।।___।»

12345”

【详解】(1)•・・点/、C在二次函数的图象上,

Jl+b+c=0

,jc=-3

b=2

解得

c=-3

.•・二次函数的解析式为：y=x2+2x-3,

:歹=X?+2x—3=(X+Ip—4,

,,.顶点尸为(-1,-4)；

（2）加”工”加+1时，y的最小值为-4,

m„—1”加+1,BP—2„ITI„—1,

3

①-2„机<一］■时，V最大值=冽2+2加一3,

由加之+2加—3=2加，解得：m=V3（舍去），m=—V3>

3

②当一犯，一1时，丁最大值=（冽+1）2+2（冽+1）—3,

由(加+1)2+2(m+1)-3=2m，

解得：m=0(舍去)，m=—2(舍去),

综上：冽的值为-G.

12.(2022•平谷区一模)在平面直角坐标系xp中，抛物线>=2&r.

(1)当抛物线过点(2,0)时，求抛物线的表达式；

(2)求这个二次函数的对称轴(用含6的式子表示)；

(3)若抛物线上存在两点/(b-1/J和5(6+2,%),当乂・％<()时，求b的取值范围.

【详解】(1)将(2,0)代入歹=/—2及得0=4—46,

解得6=1,

y=x2-2x.

(2)y=x2-2bx,

••・抛物线对称轴为直线x=--=b.

2

(3)y-x2-2bx,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=6,

■：b-(b-l)<b+2-b,

.•.点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离,

>弘，

•.•必•”<0,

，%>o，M<0，

将(b—l/J代入y=x2_26x得必=(6_1)2_2仇6_1)=_/+]<0,

解得b<-l或b>l,

将3+2,%)代入〉=/-2乐得力=(6+2)2-26(6+2)=-/+4>。，

—2vbv2,

-2<b<-1或1<6<2满足题意.

13.(2022•北京一模)在平面直角坐标系X0中，抛物线j=af+6x+3a(aw0)与x轴的交点为点/(1,0)

和点8.

(1)用含a的式子表示6；

(2)求抛物线的对称轴和点3的坐标；

(3)分别过点P(/,0)和点。《+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N,记抛物线在M,N之间的部

分为图象G(包括M,N两点).记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m,最小值为〃.

①当4=1时，求"7-”的最小值；

②若存在实数人使得机-"=1,直接写出。的取值范围.

【详解】(1)把点/(1,0)代入了=尔+6x+3a得：

Q+6+3。=0,

b=-4a；

(2)由(1)知抛物线为歹二办？一4。%+3〃，

.•.抛物线的对称轴为直线%=--=2,

2a

而4(1,0)关于直线x=2的对称点是(3,0),

由抛物线对称性得：点3坐标(3,0)；

(3)①如图：

.•.抛物线与X轴交点坐标为(1,0),(3,0),与y轴交点坐标为(0,3),顶点坐标为(2,-1),

由图象知：当图象G为对称图形时7〃-"有最小值，

又尸0)。«+2,0),

「.2—£=(，+2)—2,

t=19

■■过点P(/,0)和点。(f+2,0)作X轴的垂线，交抛物线于点/和点N,

.•.M(l,0),N(3,0),

,顶点坐标为(2,-1),

：.m-n的最小值为0-(-1)=1；

②:点尸00)和点。(/+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N,

由（1）知抛物线为y=ax?-4ox+3a,

M(f,at"—Aut+3a),N(t+2,u(t+2)2-4a(7+2)+3a),

又•.•抛物线对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-a),

根据M、N点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论。的取值:

(I)当a>0,且f+2,,2时，即图象G在对称轴左侧时，

此时〃点的纵坐标最大，N点的纵坐标最小，

cit~—+3a—\ci(t+2)~—4a(t+2)+3a]=1»

解得f

4。

又•・",，0,a>0,

0且。＞0,

4。

0<ct„—；

4

(ID当〃〉0,且加2时，即图象G在对称轴右侧时，

此时N点的纵坐标最大，M点的纵坐标最小，

a(t+2)2—+2)+3a—(at?—4Q£+3a)=1•)

解得/=i+_L,

4。

又,/1...2,a>0,

1H-----...2且a>0,

4。

0<a,,—•)

4

(III)当a>0,且0<%”l时，即最低点是抛物线顶点且M点纵坐标大时,

止匕时机=Q/一4成+3Q,n--a,

a/—4a/+3Q—(—a)=1,

解得y2土也，

a

X0</„1,a〉0,

1=2一位，

a

.-.0<2-—„1,

a

11

一<CL„I；

4

(IV)当a>0,且2时，即最低点是抛物线顶点时且N点纵坐标大，

止匕时机=Q«+2)2-4a«+2)+3a,n=—a,

a(t+2>—4tz(/+2)+3a-Q)=I,

解得

a

X-/I<t„2,a>0,

综上所述，当Ova”l时，m-n=\,

同理可得：当。<0时，也符合条件，

:.a的取值范围为0<a”1或-1”〃<0.

14.（2022•门头沟区一模）在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=-%2+2加x-加之+加一2（加是常数）.

（1）求该抛物线的顶点坐标（用含冽代数式农示）；

（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线歹=1的距离为1,直接写出机的取值范围；

（3）如果点4（%必），5（。+2,%）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有必>%,求。的

取值范围.

【详角军】（1）,/y--x2+2mx-m2+m-2=-（x-m）2+m-2,

/.抛物线顶点坐标为（私冽-2）.

（2）•・・抛物线开口向下，

/.当抛物线与直线>=0有两个交点且与直线>=2无交点时满足题意,

,/抛物线顶点坐标为（冽，冽-2）,

0<m—2<2,

解得2<m<4.

（3）,抛物线顶点（加，加-2）在第四象限，

m>0

m-2<0

解得0<m<2,

•・•抛物线开口向下，

%...m时，y随l增大而减小，

.•.点4,3在对称轴右侧时，满足题意，即以.加，

当点/在对称轴左侧时，设点4（应必）关于对称轴对称点4坐标为（2m-必），

.•.点3在H右侧时，满足题意，即2加-Q<Q+2,

解得a>m-1f

a>m-\,

0<m<2,

/.a...1.

15.（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（冽-2,乂），（加,％）,（2-机,%）在抛物线

y=x2-2ax+1上，其中加wl且加w2.

（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含。的式子表示）；

（2）当加=0时，若必=%,比较必与力的大小关系，并说明理由；

（3）若存在大于1的实数机，使外〉歹2〉％，求a的取值范围.

［详解］（1）,/y=x2-2ax+1,

.•・抛物线对称轴为直线x=--=a.

2

（2）•.•冽=0,Pi=%，

.•.（-2,%），（2,%）关于抛物线对称轴对称，

.•.抛物线关于歹轴对称，即。=0,

y=x2,

二.抛物线开口向上，顶点坐标为（0,1）,

.•/=1为函数最小值，

（3）将（冽一2,M），（加,％），（2—加,%）代入y=、2-2〃、+1得必=加？一4加一2a加+4〃+5,

2

y2=m-2am+1,

2

y3=m-4m+2am-4。+5,

,•>%%>为，

m2-4m-2am+4tz+5>m2-2am+1>m2-4m+2am-4a+5，

解得m-\<a<\,

m>l,

0<Q<1.

16.(2022•西城区二模)在平面直角坐标系xp中，抛物线了=磔2+6x+c经过点(0,-2),(2,-2).

(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；

(2)若此抛物线与直线》=-6没有公共点，求。的取值范围；

(3)点亿乂)，«+在此抛物线上，且当-2,",,4时，都有必直接写出a的取值范围.

【详解】(1),抛物线歹=Q%2+bx+c经过点(0,-2),(2,-2),

c=-2

4a+2b+c=—2

c=-2

解得:

b=-2a

抛物线解析式为y=ax2-2ax-2,

.•・抛物线对称轴为直线x=--=1,

2a

故C的值为-2,抛物线的对称轴为直线尤=1；

(2)才巴y=—6彳弋y—ax?—2QX—2,：tzx2—2ax—2=—6,

整理得：ax2-2ax+4=0,

v抛物线与直线歹=-6没有公共点,

△=(-2a)2—4ax4<0,

即a(a-4)<0,

aw0,

.,.当a<0时，〃一4>0,即a〉4,

此时，无解；

当〃>0时，。一4<0,即。<4,

0<«<4,

综上所述，。的取值范围为0<。<4；

(3)•.•点(f,%)，(f+1,%)在此抛物线上,

jVj=at—2at—2,%=a(%+D—2Q(/+1)—2=Q,—Q—2,

%—%1=1*—Q—2)—(a/-2at—2)|=|tz(2/-1)|,

7

当4时，都有|—必|<5，

77

—-<Q(2,-1)<—,

a7a7

-------<at<—l—，

2424

aw0,

、匕c口注1717

24。24a

-17

-+<-

2一

4a7

-1

_一>4

2-

4a

解得：<Q<0；

2

1717

当4>0时，-----<t<—+—，

24〃24。

7

一

4a7

一

4a

解得：0<a<—；

2

综上所述，a的取值范围是一［<。<0或

22

17.(2022•昌平区二模)在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线了=办2+6x-l(a>0).

(1)若抛物线过点(4,-1).

①求抛物线的对称轴；

②当T<x<0时，图象在x轴的下方，当5Vx<6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合

条件的图象，求出这个抛物线的表达式；

(2)若(-4,乂)，(-2,%)，(1,%)为抛物线上的三点且%>乂>力，设抛物线的对称轴为直线x=f,直接

写出/的取值范围.

yi

3-

2-

—3—2j.Pl234567x

-2-

-3-

【详解】(1)①若抛物线过点(4,-1),

—1—16。+4b—1,

b=-4a,

对称轴为x=一一—二——二2；

2a2a

②•・•当-l<x<0时，图象在x轴的下方，当5<x<6时，图象在轴的上方,

抛物线的对称轴为直线x=2,且2-(-1)=5-2,

.•・抛物线必过点(-1,0)和(5,0).

.•.把(5,0)，(-1,0)代入歹="2+乐_15>0)得:

\a-b-l=0

[25«+56-1=0

.1

a二­

解得5,,

抛物线的表达式为^=|x2-|x-l,

b=-2at，

/.解析式变形为y=ax2-2atx-1（。>0）,

把（-4,必），（-2,%）,（1,%）的坐标分别代入解析式，得:

y3=a-2at-1,必=16。+Sat-1,%=4。+Aat-1，

u—2at—1>16。+Sat—1

/.<ci—2at—1>4Q+4Q/—1，

16。+Sat-1>4。+4at-1

3

t<——

2

解得：

t>-3

3

.一的取值范围是-3</<-2.

2

18.(2022•朝阳区二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线>=*+(Q+2)x+2a.

(1)求抛物线的对称轴(用含。的式子表示)；

(2)若点(-1,%)，(a,%),(1,%)在抛物线上,且必<%<%,求a的取值范围.

【详解】(1),抛物线y=炉+(Q+2)X+2Q,

.•.抛物线的对称轴为直线X=--=---1,

22

即直线x=—q―1；

2

(2)y=x2+(a+2)x+2a,

整理得：y=(X+2)(X+Q),

当x=-1时，%=(-1+2)(-1+〃)=〃-1,

当％=a时，歹2=(〃+2)(a+a)=2a2+4a,

当x=1时，y3=(1+2)(1+Q)=3a+3,

•・.必<%,

ci—1<2。2+4Q,

解得：a>--^a<-\,

2

・・•％<%,

/.2Q2+4。<3。+3,

解得：一一<a<\,

2

必<%<%，

3—I1

—<。<一Isk—<q<l,

22

,3i

:.a的取值范围为：一一<。<一1或一一<a<l.

22

19.（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系％/中，已知抛物线y=2"-3.

（1）求该抛物线的对称轴（用含。的式子表示）；

（2）/（芭，必），B（x2,»2）为该抛物线上的两点，若再=1-24,工2=。+1，且必>V2，求。的取值范

围.

【详解】（1）•・・抛物线尸/_2办—3,

该抛物线的对称轴为直线x=--=a;

2x1

（2）①当Q<%2<再时，%>为，

贝!jQ+1<1—2。，即Q<0；

（2）当石—a>a—x?时，%>%，

2

贝1-2a—Q>Q—（Q+1）,即Q<1；

③当为一Q<Q一时，%>%，

2

贝1-2。-Q<Q—（a+1）,即Q>1,

A,、2

综上，。<0或〃>一.

3

20.（2022•东城区一模）在平面直角坐标系宜内中，抛物线>=/-2加X+/+i与歹轴交于点人.点次国，

必）是抛物线上的任意一点，且不与点/重合，直线>=区+〃（左。0）经过/,5两点.

（1）求抛物线的顶点坐标（用含冽的式子表示）；

（2）若点。（冽-2,q）,。（加+2/）在抛物线上，则q_=_b（用"=”或“〉"填空）；

（3）若对于再<-3时，总有左<0,求冽的取值范围.

【详解】（1）,/y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1,

.•・抛物线的顶点坐标为（加,1）;

（2）由（1）知，抛物线的顶点坐标为（加,1）,

抛物线的对称轴为x=m,

*/|冽+2一机|=2,|m—2—m|=2,

.•.点C和点点D到抛物线的对称轴的距离相等，

..a=bt

故答案为：=；

（3）针对于抛物线y=、2—2〃u+加2+1①，

令％=0,贝!J歹=加？+1,

A（0,m2+1）,

•・•点4在直线歹=近十〃（左wO）上，

:.n=m2+1,

二.直线AB的解析式为＞=点+加2+1②，

联立①②整理得，x2-2mx+m2+l=Ax+m2+l,

/.x[x—（2m+k）]=0，

,/y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1，

・・,点5（项，必）是抛物线上的任意一点，且不与点/重合,

玉w0,

西=2m+k,

,・,对于王＜一3时，总有左＜0,

，2加+左＜一3,总有左＜0,

:.k＜—2m—3,总有k＜0,

/.—2m—3”0,

3

m...--.

2

21.（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，抛物线y二办?+6x+i（q，0）的对称轴是直线％=3.

(1)直接写出抛物线与V轴的交点坐标；

(2)求抛物线的顶点坐标(用含。的式子表示)；

(3)若抛物线与x轴相交于8两点，且/用4,求。的取值范围.

【详解】(1)针对于抛物线y=办2+6x+l,

令x=0,贝y=1,

.•.抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)；

(2)V抛物线y=ax2+bx+l(ow0)的对称轴是直线x=3,

=3,

2a

b=-6a,

抛物线的解析式为y=a%2-6ax+l,

当x=3时，y=9。-18。+1=-9a+1,

抛物线的顶点坐标为(3,-9a+1)；

(3)①当。<0时，抛物线开口向下，不妨设点/在点8的左侧，

由(1)知，抛物线了=52+云+1与y轴的交点为(0,1),

•••抛物线y=ax1+bx+\的对称轴为直线x=3,

/.xA<0yxB>6

AB=\xB-xA\>6,

•/AB„4,

.•.此种情况不符合题意，

②当a>0时，抛物线的开口向上，

由(2)知，抛物线的解析式为了=ax：2-6办+1,

在x轴上关于抛物线的对称轴x=3对称且距离为4的两点的坐标为(1,0),(5,0),

AB„4,

.,.当x=1时，y=ax2-6ax+1=a-6。+1...0，

a1

•.・抛物线与x轴有两个交点,

>顶点=一90+1<°>

22.(2022•顺义区二模)在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=/+加x+”.

(1)当加=-3时，

①求抛物线的对称轴；

②若点/(1,乂)，B(X2,%)都在抛物线上，且必<弘，求马的取值范围；

(2)已知点尸(-1,1),将点尸向右平移3个单位长度，得到点0.当”=2时，若抛物线与线段尸0恰有一

个公共点，结合函数图象，求机的取值范围.

【详解】(1)①当机=-3时，y=x2-3x+n,

对称轴是：直线x=---=-；

2x12

②•••抛物线的对称轴是直线x=3,且开口向上，

2

则点与对称轴的距离越大函数值越大，

•.•点4(1,%),B(X2,%)都在抛物线上，且外<%，

33.

-22-1''

/.1<x2<2；

(2)•.•点P(-1,1),将点。向右平移3个单位长度，得到点0,

「•0(2,1),

=2,

y=x2+mx+2,

当抛物线经过点尸(-1,1)时，1=1-次+2,

:.m=2,

22

当抛物线的顶点在尸。上时，x=_gy=（"+2,贝匕=1,

解得：叫=2,m2=—2,

当抛物线经过点。时，4+2冽+2=1,

解得：m=--,此时与抛物线有2个交点，则当加<-』时，符合题意,

22

综上所述，结合函数图象，得加...2或机<-*或仅=-2.

2

23.（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系中，己知抛物线y=加犬-2mx+加-4（加20）.

（1）求此抛物线的对称轴；

（2）当加=1时，求抛物线的表达式；

（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形

M.

①直接写直线y=x+l与图形〃公共点的个数；

②当直线y=左0+2）-1（左丰0）与图形M有两个公共点时，直接写出左的取值范围.

Ay

5-

4

3

2

1

।।।।।,

-5-4-3-2-1012345H

-1

-2

-3

-4

【详解】(i)对称轴为直线x=-2=-左=1；

2a2m

(2)相=1时，抛物线的解析式为尸f-2x-3；

(3)画出了=X2-2》-3的图象，把无轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到图象如图,

①y=x+l与图形M公共点的个数是3个；

@k＞2,或［＜左＜1.

5

24.（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xQy中，己知抛物线y=f-2/%+/

（1）求抛物线的顶点坐标（用含/的代数式表示）：

（2）点尸（西，乂），Q（X2,%）在抛物线上，其中/-I”X],,f+2,x2=i-t.

①若%的最小值是-2,求为的最大值；

②若对于国，X],都有％<%,直接写出/的取值范围.

【详解】(1)y=x2-2tx+t2-t=(x-t)2-t,

：.抛物线的顶点坐标为（f,T）;

(2)Q_)y-x?—2tx+广一t-(x——t,

抛物线的对称轴为X=g

­­•1>0,

抛物线开口向上，

t—1„Xj„，+2,

.,.当x=%时，%的最小值为-t,

「必的最小值是-2,

:.t=2,

t—1—/1—1,|Z+2—£|=2,

.,.当x=£+2时，%最大=。+2—£)2—，=4—£=4—2=2,

即必的最大值为2；

②•.•点尸（士,乂），Q（X2,%）在抛物线.=（尤-。2一上,

/.必二一%)2—f,J/2=—%)2—t,

、对于1,x2,都有必<%，

/.歹2—必=(“2一')2一t—(X1%)2+/=(马/)2—(Xj/了=(%—Xj)(%2+/一2Z)>0，

x2-xl>0或[工2一玉<0

%+再一2/>0+再一2,<0

I、当卜-再>0①，

+再-2t>0(2)

由①知，%>玉，

'/t—1„Xp,，+2,%2=1—t,

.1-t>Z+2,

1

/.t<—，

2

由②知，x2+x1>2t,

t—1„Xp,Z+2,工2=1—t,

0„x2+Xj„3，

2/<0,

:.t<0,

即/<二；

2

n、当心-再<o③

[x2+x1-2t<0(4)

由③知，x2<x},

*.*t—1„Xj„，+2,々=1—t,

1—%〈£—1,

由④知，x2+xx<2t,

t—1„Xp,Z+2,%2=1—t，

0„x2+Xj„3，

2t>3,

3

:.t>一，

2

即"士3；

2

i3

即满足条件的f的取值范围为"-工或/>±.

22

25.(2022•平谷区二模)在平面直角坐标系xQy中，点(-1,/)、(1,%)、(3,%)是抛物线V=尤？+乐+1上

三个点.

(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；

(2)当弘=为时，求b的值；

(3)当%>必>1>%时，求6的取值范围.

【详解】(1)对于昨/+6x+l,

当元=0时，y=l,

则抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)；

(2)当弘=为时，抛物线的对称轴为x=l,

.」=i,

2

解得：b=-2；

(3)当%>必时，对称轴在x=l的左侧，即-，<1,

解得：b>-2,

当1>%时,1>1+6+1,

解得：b<—1,

%>必>1>j^2日寸，—2<6<一1.

26.(2022•房山区二模)在平面直角坐标系xOy中，点/(2,-1)在二次函数y=x2-(2"7+l)x+加的图象

上.

(1)直接写出这个二次函数的解析式；

(2)当”,%1时，函数值y的取值范围是-1„%4-〃，求"的值；

(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为

y=a(x-h)1+k,当尤<2时，y随x的增大而减小，求左的取值范围.

【详解】(1)•.•点4(2,-1)在二次函数y=9-(2加+1妨+加的图象上,

/.-1=4-2(2m+1)+m,

解得m=l,

二次函数的解析式为y=x2-3x+l；

2

(2)y=x-3x+lf

二.抛物线的对称轴为直线,

2

.•.当士时，歹随x的增大而减小，

2

当x=l时，y=x2-3，x+l=—l,当％=〃时，y=x2-3x+l=n2—3n+l,

当n„x„1时，函数值歹的取值范围是T”y„4-〃，

-3〃+1=4-几，

解得々=一1,〃2=3，

*/n„x„1,

：.n的值为-1；

(3)根据平移的性质可知，4=1,

・・•当x<2时，y随x的增大而减小，

肌.2.

・・•平移后的图象经过原点O,

.•.0=(0—左，^k=-h2,

k„—4.

27.(2022•北京二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/-2加x.

(1)当抛物线过点(2,0)时，求抛物线的表达式；

(2)求这个二次函数的顶点坐标(用含加的式子表示)；

(3)若抛物线上存在两点月(加-1,%)和80+2,%),其中加>0.当必•外>0时，求〃？的取值范围.

【详解】(1)将(2,0)代入了=/-2s,

0=4-4m,

解得m=\,

y=x2-2x.

(2),/y=x2-2mx,

：.抛物线对称轴为直线x=-必=m,

2

才巴x=加代入y=x2-2mx得，

y=-m2,

・•・二次函数的顶点坐标为(m,-m2)；

(3)将(加一1,必)代入y=x2-2mx得必=(m-1)2-