高二数学上学期期末知识清单填空（含答案）

必修二第八章与选必一第一章：立体几何与空间向量知识清单

一、必备公式

1.空间几何体的表面积与体积公式：

（1）基本公式：①圆：面积$圆=,周长。国=;

②扇形：弧长/扇形=，面积S扇形==,周长C扇形=.

（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

-----:一，&*1;

侧面展开图1\㈤'、/'2司

辞/

侧面积公式s圆柱侧-----------s圆锥侧一__________s圆台侧-----------

（3）柱、锥、台和球的体积公式

①柱体（棱柱和圆柱）：S表面积=S恻+2S底，%=:②锥体（棱锥和圆锥）：S表面积=S侧+S底，/锥=:

③台体（棱台和圆台）：s表面积=S恻+S上+S下，嗅=：④球：5球=，k球=

2.平行关系的判定及性质定理:

（1）线〃面的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外的一条直线与_________的一条直线平行，则该直线与•_______，________，_______

判定定理//

此平面平行.（简记为“线线平行=线面平行”）.\l//a

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面•_______，_______，________

性质定理

的与该直线平行.（简记为“线面平行一线线平行”）：.l//b

（2）面〃面的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条____________与另一个平面平行，则这两个"：a"B,6〃6,_________，aUa,

判定定理ZX/

平面平行.（简记为“线面平行一面面平行”）/7bUa»»a//p

两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的_______平行•，，

性质定理/L

（简记为“面面平行一线线平行”）^7：.allb

注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面,（简记为“面面平行=线面平行”）

3.垂直关系的判定及性质定理:

（1）线，面的判定定理及性质定理

文字语言图形语言l符号语言

一条直线与一个平面内的___________直线都垂直，则该直l_Lb,a、bUa,_______

判定定理

线与此平面垂直.（简记为“线线垂直=线面垂直”）z/.\l-La

a

Vtz_La,b-La

性质定理垂直于______平面的两条直线平行.L_T/

（2）面，面的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平面的_______,则这两个平面垂直.

判定定理,_______工。"

（简记为“线面垂直=＞面面垂直”）b

两个平面垂直，则一个平面内垂直于_______的直线与另一IUB，,

性质定理

个平面垂直.（简记为“面面垂直一线面垂直”）也

注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则该平面内的任意直线，（简记为“线面垂直=线线垂直”）

4.空间向量与立体几何的求解公式：

（1）异面直线成角：设6分别是两异面直线/1,/2的方向向量，则/1与/2所成的角。满足：cos6=:

（2）线面成角：设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为〃，。与"的夹角为小

则直线I与平面a所成的角为6满足：sin。=|________尸.

（3）二面角：设"1,"2分别是二面角a—/一£的两个半平面a,£的法向量,

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则二面的成角。满足：|cosq=|cos〈"1，〃2〉1=；

注意：二面角的平面角大小是向量"1与"2的夹角或是向量"1与"2的夹角的，具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离：如右图所示，已知为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，以

则点8到平面a的距离为：|劭尸,即向量尻)在法向量”的方向上的投影长.//

二、必备结论

1.直观图与原图的关系：

(1)作图关系：①位置：性、性不变；②长度：平行x(z)轴的长度,平行y轴的长度.

(2)面积关系:S直观图'=—XS原图；

2.几个与球有关的内切、外接常用结论：

(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,则：①若球为正方体的外接球，则2尺=；

②若球为正方体的内切球，则2R=a；③球与正方体的各棱相切，则2尺=/以

(2)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则外接球直径=长方体对角线，即：2R=.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：.

3.几种常见角的取值范围：①异面直线成角e②二面角e

③线面角e④向量夹角e⑤直线的倾斜角e

三'必备方法

1.三视图还原方法：法，具体步骤：①根据三视图轮廓画长方体或正方体；②在底面画

③综合正视图和左视图进行提点连线；④验证与完善.

2.平行构造的常用方法：①三角形法；②平行四边形线法；③法.

注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角；②平行关系的判定.

3.垂直构造的常用方法：①等腰三角形法；②法；③投影法.

4.用向量证明空间中的平行关系

(1)线线平行：设直线/1和/2的方向向量分别为m和。2,则/1〃/2(或与/2重合)0.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为小平面a的法向量为“，贝心〃a或/UaO.

(3)面面平行：设平面a和£的法向量分别为“1,“2,贝!Ja.

5.用向量证明空间中的垂直关系

(1)线线垂直：设直线和/2的方向向量分别为和。2,则.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为0,平面a的法向量为"，贝!]/，。。.

(3)面面垂直：设平面a和£的法向量分别为“1和“2,贝Ua_L£o“i_L“2O.

6.点面距常用方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②法；③向量法

7.外接球常用方法：①将几何体补成长方体或正方体，则球直径=；

②过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球，找到球心即可求半径.

四、必备细节

1.证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面；

2.用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角;

3.在解决角度和距离问题时，一定要遵循“一作、二、三求解”的原则。

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选择性必修一第二章：直线方程与圆的方程知识清单

一、必备公式

1.斜率公式

(1)若直线I的倾斜角aW90。，则斜率k=.

(2)尸1(X1,J1),尸2(必/)在直线/上，且X1WX2,贝的斜率上=.

2.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式—不含直线X=XQ

斜截式不含垂直于X轴的直线

两点式不含直线x=xi(阳W]2)和直线ynyi(yi^y2)

截距式—不含垂直于坐标轴和_________的直线

一般式____________⑷+―珂）平面直角坐标系内的直线都适用

3.几种距离公式

⑴两点B(xi，H),尸2(x2,玖)之间的距离：巧P2尸.

(2)点尸o(xo,yo)到直线/：Ax~t~By~\~C—0的距置：d—.

(3)两条平行线4v+2y+G=0与/x+3y+C2=0(其中C1NC2)间的距离：d=.

4.圆的标准方程：(x—a)2+(y—6)2=八&>0),其中为圆心，为半径.

5.圆的一般方程：/+产+瓜+4+尸=0

该方程表示圆的充要条祥是,其中圆心为,半径尸.

6.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

⑴几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径厂的大小关系：=相交；=相切；=相离.

(2)代数法：利用判别式/=尻-4℃进行判断：o相交；o相切；Q相离.

7.圆与圆的位置关系：设圆。1：(x—ai)2+(y—/>i)2=r?(n>0),圆Q：(x~a2)2+(y—Z>2)2=r5(r2>0).JUO：

o外离；o外切；o相交；o内切；o内含

二、必备结论

1.斜率与倾斜角的关系：由正切图象可以看出:①当ae仇工]时，斜率左e[0,+oo)且随着a增大而

②当a=时，斜率不存在，但直线存在；③当ad时，斜率左e(—co,0)且随着a增大而.

2.两条直线的位置关系

(1)斜截式判断法：

①两条直线平行：对于两条不重合的直线/1、/2：

(i)若其斜率分别为后、ki,则有/i〃/2=.(近)当直线/卜为不重合且斜率都不存在时，Zih.

②两条直线垂直：。)如果两条直线/1、/2的斜率存在，设为左1、后，则有/l_L/2=.

(ii)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为时，/1±/2.

(2)一般式判断法：设两直线4x+Biy+Ci=0与/犷+&丫+。2=0,则有：

①IM/12_____________且AiC2W/2Ci；②/1_L/2C.

3.直线系方程：

(1)平行线系：与直线/x+3y+C=0平行的直线方程可设为：+加=0(%#。；

(2)垂直线系：与直线/x+3y+C=0垂直的直线方程可设为：+"=0；

(3)交点线系：过/ix+3y+G=0与/加+&、+。2=0的交点的直线可设：4工+3/+。1+"/加+32了+。2)=0.

4.点与圆的位置关系

圆的标准方程(x—a)2+(y—6)2=户，一般方程/+产+瓜+4+尸=0,点M(xo，yo),则有:

(1)点在圆上：(x()—a)2+(y()—6)2="，xo2+j^o2+£)xo+£'j;o+^，=O；

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(2)点在圆外：(xo—a)2+(yo-bYi2,xo2+j^o2+Dxo+Eyo+F0；

(3)点在圆内：(xo—a)2+(yo—r2,xo2+>>o2+Dxo+Ej^o+Z70.

5.圆的切线方程常用结论

(1)过圆/+产=产上一点p(xo,yo)的圆的切线方程为：.

(2)过圆(x-a)2+(y—6)2=W上一点口枇，州)的圆的切线方程为：.

(3)过圆C：/+产+m+4+尸=0外一点M(xo,/)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：

法一：①以M为,切线长为求圆”的方程；②用圆M的方程圆C的方程即得;

法二：①以CM为,C"中点为求圆M的方程；②用圆M的方程_______圆C的方程即得;

6.圆与圆的位置关系的常用结论

⑴两圆的位置与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：—条；④外切：一条；⑤外离：4条.

(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程Q2,产项系数相同)便可得公共弦所在直线的方程.

7.常用口诀：①直线带参，必过；②弦长问题，用.

三、必备方法

1.直线的对称问题：

(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x,夕)，根据及列方程组；

(2)线关于线对称：①求交点；②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；③两点定线即可.

(3)圆关于线对称：圆心对称，半径.

2.直线与圆的相关问题：

(1)切线问题：一般设直线点斜式(讨论斜率存在)，然后依据列方程求解；

(2)弦长问题：用勾股，即圆的半径为r,弦心距为d,弦长为/,则根据勾股定理得;

3.轨迹求法：

①直译法：直接根据题目提供的动点条件，直接列出方程，化简可得；

②几何法：根据动点满足的几何特征，判断其轨迹,然后根据轨迹定义直接写出方程.

③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

四、必备细节

1.任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在____.

2.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：

(1)运用点斜式、斜截式方程时：要注意讨论存在性；

(2)运用截距式方程时：要注意讨论是否经过(过原点的直线x,y轴截距均为0).

注意：截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零.

3•点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应：先化直线方程为.

(2)求两平行线之间的距离时，应：先将方程化为一般式且x,y的系数对应______.

4.过一点求圆切线要注意：

(1)过圆上一点作圆的切线有且只有条；

(2)过圆外一点作圆的切线有且只有条，

注意：若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.

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选择性必修一第三章：圆锥曲线的性质及应用知识清单

一、必备公式

1.椭圆有关知识：

⑴椭圆定义：动点P满足：1PBi+|尸尸2尸—，尸迅2|=2c且______（其中。>0,cO,且a,c为常数）

（2）椭圆标准方程和几何性质

标准方程*=1…

y

B2

图形甯

BAb\OB2x

Bi军

范围—“WWa,—bW___Wb_____WQ

对称性对称轴：______对称中心：______

顶点4（一_），也（一一），囱（——），&（一—）.4(_，一)，/2(_,—),Bi(_,_),&(_,一)

性

质轴长轴442的长为______；短轴5归2的长为______

焦距\FIF2\=______

离心率________

a

a,b,c的关系

2.双曲线有关知识

⑴双曲线定义：动点P满足：||尸尸i]一|尸尸2||=，/典=2c且______（其中a,c为常数且心0,c>0）.

（2）双曲线标准方程和几何性质_____________________________________________________________

”l(a>0,b>0)

标准方程

丁SA°)

y

zL

图形1T，

范围__________,y^RxGR,__________

对称性对称轴：______对称中心：______

顶点A\______，Ai______Ai______，Ai______

渐近线

性质尸______尸______

离心率e=~,e®________,其中6=\1出+人2

a

实虚轴实轴⑷4|=%;虚轴向历尸丝;

a、b、c的关系_____________(c>«>0,c>b>0)

3.抛物线有关知识：

⑴抛物线定义：/用=|尸M，点/不在直线/上，尸于".

（2）抛物线的标准方程与几何性质

f=2px(p>0)俨=—2px(p>0)x2=2pv(p>0)x2=—2py(p>0)

标准方程

p的几何意义：焦点尸到准线/的距离

♦y一

图形X

顶点0(0,0)

对称轴y=0x=0

焦点F_____F._____F._____F_____

离心率e=l

准线方程

范围xWO,y£Ry三0,x£RyWO,x£R

开口方向向右向左向上向下

4.重要公式

（1）弦长公式：\AB\=历—（2）将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量（如

y）得出方程4<：2+&+c=o：（前提/>o）韦达定理：修+》2=,xix2=.

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二、必备结论

22

1.轨迹类型：方程'+匕=1,当冽=心0时表示；当初〉心0或心冽>0时表示__；当_____时表示双曲线.

mny

A

2,椭圆结论：

（1）如图1：①焦点△B4F2周长。"遇尸2=、面积

②的周长为：CAABF2=；③通径：|4C|=（椭圆、双曲线通用）；

⑵如图2：点尸是椭圆上一动点，则有：

①动点角范围：0WN4B42WN41A42；

②焦半径范围：WlPElW（长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点）；

③1Poi范围：—W|PO|<―（长、短轴顶点到原点最远、最近；④斜率：kpAxkpA2=

⑶点尸（X0，/）和椭圆的关系：

①点P在椭圆内S+篝_1.②点P在椭圆上6日+舞―1.③点P在椭圆外of+普—1.

出bz_____出炉出b

（4）椭圆扁平程度：因为e=*='他一________，所以e越大，椭圆越____；e越小，椭圆越

ava1\la1

3.双曲线结论：斗

⑴如图3：①动点P到同侧焦点尸2的距离最小值为：I尸尸2K=%内=；*7畏拚

②焦点到渐近线的距离为：|FZM=；

（2）渐近线求法结论：可直接令方程理0）等号右边的常数为—，化简解得；

4.抛物线结论：

如图4：抛物线产=2必伞>0）焦点弦设/（XI，刈）、3（X2,y2）,48的中点E,准线为/.

（1）焦半径问题：①焦半径：|4F|=|4Q=____,\BF\=\BC\=______（随焦点位置变动而改变）；

②焦点弦：尸=（其中，a为直线的倾斜角）；③需+需=

（2）/、2两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即xrX2=，力72=（随焦点动而变）；图4

（3）其他结论：①$04B=（其中，a为直线N3的倾斜角）；②以N3为直径的圆必与相切于点X.

三、必备方法

1.直线与圆锥曲线相关问题：

（1）位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量（如y）得出方程4^+&+。=0：

①/0=有两个交点（相交）；②/0=有一个交点（相切）；③/0Q没有交点（相离）.

（2）弦长问题：弦长公式+韦达定理，即磔2尸=.

（3）中点问题：法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线之间的关系.

2.与角有关的关联性问题：①直角（垂直）=数量积ab=—或斜率krk2=—或余弦定理cos0=0或点共—；

②锐角Q”力0或余弦定理cos0>；③钝角Qa力0或余弦定理cos6<；

3.巧设直线：反设直线法，即过x轴上一点（a,0）的直线可设为x=，这样可避免对直线斜率存在性的讨论.

4.巧设共渐近线双曲线:与双曲线三一二=1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为（厚0）.

四、必备细节

1.易混淆：①椭圆层=,而双曲线标=；②双曲线离心率ed（l,+oo）,而椭圆离心率eG（0,l）.

2.易忽视：①椭圆、双曲线的焦点位置；②抛物线为化成标准方程；③设直线未讨论斜率存在性；

④解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式这一隐含条件.

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选择性必修二第一章：数列知识清单

一、必备公式

1.通项。“与前〃项和S,的关系是：。“=.

2.等差数列有关公式：

(1)通项公式：an=:(2)前〃项和公式：S尸

3.等比数列有关公式：

(1)通项公式：斯=；⑵前〃项和公式：S〃=.

二、必备结论

1.等差数列常用结论：

若｛斯｝为等差数列，公差为d,前〃项和为S,,则有：

(1)下标意识：若p+q=m+",则,特别地，若p+q=2k,则：

(2)隔项等差：数列Clk+m，ak+2m,…(k,加GN*)是公差为的等差数列；

(3)分段等差：数列S”$2"-S"$3"—$2",…是公差为的等差数列；

(4)数歹!]｛邑｝是公差为_____的等差数列，其通项公式当

nn212J

2.等差数列与函数关系：

(1)经整理而=加+(ai—④，则数列｛诙｝是等差数列o通项。“为________函数：即斯=加+6(°、b为常数)；

⑵经整理S,=数列｛3是等差数列OS.为无的_____函数：即必=/"2+即(/、8为常数).

3.等比数列常用结论：

若｛而为等比数列，公比为4,前〃项和为S”则有：

(1)下标意识：若夕+夕=加+小则,特别地，若p+q=2k,则；

(2)隔项等差：数列〃〃，斯+七4"+2左，Q"+3人…为数列，公比为.

(3)分段等比：数列S〃，S2n—S〃,S3〃一S2”仍成数列，其公比为

三、必备方法

1,数列通项公式的几种求法：

⑴利用即与&的关系：递推作差，具体步骤如下：

①先利用Q1=S1求出Q1；②利用诙=(〃22)求斯；③检验否符合的表达式.

⑵法：形如诙=斯_1+次〃)或诙一即_1=/5),用累加法求Q〃；

(3)法：形如斯=斯.1•加)或^^=/5),用累加法求。〃；

Qn-T

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(4)配凑构造等比数列：形如(/W0且/N1),用配凑法求斯，具体步骤如下:

BB

①设：Q〃+I+X=4(Q〃+X)；②求：x=_______；③配：斯+1+----=A(a+----).

A—lnA—1

(5)导数构造等差数列：通常有以下两种情况：

①形如诙+1=一包一(/,3为常数)，等号两边同时取________,即可构造｛1｝等差；

Ban+Aan

②形如an+\—an+Aan+i,«„=0,等号两边同时除以，即可构造｛'｝等差.

an

2.数列前〃项和的几种求法：

(1)法：形如斯=等差土等比土其它数列，用分组求和法，分别求和而后相加减；

(2)裂项相消法：常用的裂项公式有：

1

@---\=----②------------------------1=______________；®-F/---=______

n(n+1)n〃+1(2n—1)(2〃+1)y]n~\~\n+1

④-----J—=________________；±^=」x」+2"=1x--当

(2H—1)(2"+1—1)〃2(〃+2)24n2(«+2)24(z?+2)2n2

(3)法：形如斯=等差X等比，用错位相减法求解.

(4)法：形如斯=(-1)"•/)，用并项求和法求解，即列举前几项后，采用两项合并求解..

3.等差数列的题型和常用方法：

(1)等差数列判定：①定义法："欲证等差，直接"，即证为+i—。“=定值；

②等差中项法：即证2斯+1=；③函数结论法：即即为一次函数或a为的二次函数.

(2)求等差数列前n项和S“最值的两种方法：

①函数法：利用等差数列前〃项和&=劭2+加，通过或借助图象求二次函数最值的方法求解.

②正负分界法：即通过a"20(W0)找到为正负分界处，判断得出最大的前〃项和为S,,具体如下：

d)n0jQ加^^0,

I.当Qi>0,d<0且满足•时，S加最____；II.当Q1〈O,d>0且满足•时，S加最____.

©w+lWOQm+l2。

4.等比数列的判定方法：

(1)定义法：”欲证等比，直接"，即证理=式4/0的常数)。数列｛。〃｝是等比数列；

an

(2)等比中项法：即证成+1=(。〃恁+1或+2,0，〃£1^*)0数列｛4〃｝是等比数列.

四、必备细节

1.由斯=s〃一求得的Q〃是从几=2开始的，一定要对儿=时的情况进行验证.

2.在运用等比数列a时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略9=1这一特殊情形而导致解题失误.

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必修二第八章与选必一第一章：立体几何与空间向量知识清单

一、必备公式

1.空间几何体的表面积与体积公式：

（1）基本公式：①圆：面积^回二口2,周长。回=2b；

②扇形：弧长/扇jg=a尺，面积S扇彩=g/R=5aR2,周长C扇彩=/+2R.

（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

<----

---->

，夜irji；

侧面展开图i㈤'、/'2司

__2irr捻/

侧面积公式S圆柱侧=2兀./s圆锥侧一兀.S回合侧=兀（尸1+/2）/

（3）柱、锥、台和球的体积公式

①柱体（棱柱和圆柱）：s表面积=s侧+2S底，Vti=Sh；②锥体（棱锥和圆锥）：S表面积=S,w+S底，%

③台体（棱台和圆台）：5表面积—S上+S卜，嗅=；（S上+S-5s二M；④球：S球=4成2,瞑=-3；

2.平行关系的判定及性质定理:

（1）线〃面的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平1//a,aUa,lUa

判定定理//

面平行.（简记为“线线平行一线面平行”）',I//a

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面*：l//a,lUB，aCB=b

性质定理

的交线与该直线平行.（简记为“线面平行一线线平行”）：.l//b

（2）面〃面的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平、：a"B、b〃§,ar\b=P,aUa,b

判定定理

行.（简记为“线面平行，面面平行”）

两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行a//aC\y=a,6rle=b

性质定理/L

（简记为“面面平行=线线平行”）p7：.a//b

注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，（简记为“面面平行=线面平行”）

3.垂直关系的判定及性质定理:

（1）线，面的判定定理及性质定理

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1

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此l-Lb,a、bUa,aClb=O

判定定理

平面垂直.（简记为“线线垂直一线面垂直”）y•'.l-La

Vtz_La,b-La

性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.T

£/：.a